NGUYỄN BẢO VƯƠNG

TOÁN 10

CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH và HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ
THỨC BẬT NHẤT

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
NGUYỄN BẢO VƯƠNG


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ............................... 2
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ................................................................................................................................ 2
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 . ............................................................................ 2
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ...................................................................................................... 2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. .................................................................................... 2
DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0 . ............................................... 2
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................. 2
2. Các bài tập luyện tập................................................................................................................................ 7
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. ............................. 10
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................ 10
3. Bài tập luyện tập. .................................................................................................................................... 14
DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. ..................................................................................................................... 18
1. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................................... 18
2. Bài tập luyện tập ...................................................................................................................................... 25

§4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT ....................................................................................................... 29
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. .............................................................................................................................. 29
1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. ............................................................................................................ 29
a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: ............................................................................................................. 29
b) Dấu của nhị thức bậc nhất ..................................................................................................................... 29
2. Một số ứng dụng......................................................................................................................................... 29
a) Giải bất phương trình tích ................................................................................................................... 29
b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ............................................................................................... 29
c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) .............................................. 30
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ............................................................................... 30
DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. .... 30

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1


[CHNG IV. BT PHNG TRèNH V H BT PHNG TRèNH
NGUYN BO VNG BT NHT. DU CA NH THC BT NHT]
1. Cỏc vớ d minh ha. ............................................................................................................................... 30
2. Bi tp luyn tp. .................................................................................................................................... 40
DNG 2: NG DNG XẫT DU CA NH THC BC NHT HAI N VO GII
TON. .............................................................................................................................................................. 49
1. Cỏc vớ d minh ha. ............................................................................................................................... 49
3. Bi tp luyn tp ...................................................................................................................................... 57
BI TP TRC NGHIM T LUYN TNG HP LN 1.................................................................... 60
Bi 2: Bt phng trỡnh, h bt phng trỡnh bc nht mt n .................................................................... 60
Bi 3: Du ca nh thc bc nht................................................................................................................... 65

Đ3. BT PHNG TRèNH V H BT PHNG TRèNH BC NHT MT N
A TểM TT Lí THUYT.
1. Gii v bin lun bt phng trỡnh dng ax + b < 0 .

Gii bt phng trỡnh dng ax + b < 0 (1)
Nu a = 0 thỡ bt phng trỡnh cú dng 0.x + b < 0
- Vi b < 0 thỡ tp nghim BPT l S =
- Vi b 0 thỡ tp nghim BPT l S = Ă
ổ
bử
b
Nu a > 0 thỡ (1) x < suy ra tp nghim l S = ỗỗỗ- Ơ ; - ữ
ữ
ố
ứ
aữ
a
ổ b
ử
b
Nu a < 0 thỡ (1) x > suy ra tp nghim l S = ỗỗỗ- ; + Ơ ữ
ữ
ữ
ố a
ứ
a
Cỏc bt phng trỡnh dng ax + b > 0, ax + b Ê 0, ax + b 0 c gii hon toỏn tng t
2. H bt phng trỡnh bc nht mt n
gii h bt phng trỡnh bc nht mt n ta gii tng bt phng trỡnh ca h bt phng trỡnh.
Khi ú tp nghim ca h bt phng trỡnh l giao ca cỏc tp nghim tng bt phng trỡnh.
B. CC DNG TON V PHNG PHP GII.
DNG TON 1: GII BT PHNG TRèNH DNG ax + b < 0 .
1. Cỏc vớ d minh ha.
Vớ d 1: Khng nh no sau õy l Sai?

a) mx + 6 Ê 2 x + 3m
A. m = 2 bt phng trỡnh nghim ỳng vi mi x (cú tp nghim l S = Ă ).
B. m> 2 bõt phng trỡnh cú nghim l x < 3 (cú tp nghim l S = (- Ơ ; 3) )
C. m < 2 bõt phng trỡnh cú nghim l x > 3 (cú tp nghim l S = (3; + Ơ ))
D. C A, B, C u sai

GIO VIấN MUN MUA FILE WORD LIấN H 0946798489 2


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

b)

(x + m)m + x >

3x + 4

A. m = 2 bất phương trình vô nghiệm
B. m> 2 bât phương trình có nghiệm là x > - m - 2
C. m < 2 bât phương trình có nghiệm là x < - m - 2
D. Cả A, B, C đều sai
c) (m2 + 9)x + 3 ³ m (1 - 6 x)
A. m = - 3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m- 3
B. m ¹ - 3 bât phương trình có nghiệm là x ³
.
2
(m + 3)
C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai
d) m (m2 x + 2) < x + m2 + 1
A. m = 2 bất phương trình vô nghiệm

m- 1
m + m+ 1
m- 1
C. m< 1 bât phương trình có nghiệm là x > 2
.
m + m+ 1
B. m> 1 bât phương trình có nghiệm là x <

2

D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
a) Bất phương trình tương đương với (m - 2)x < 3m - 6
Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x £ 0 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
3m - 6
Với m> 2 bât phương trình tương đương với x <
=3
m- 2
3m - 6
Với m < 2 bât phương trình tương đương với x >
=3
m- 2
Kết luận
m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S = ¡ ).
m> 2 bât phương trình có nghiệm là x < 3 (có tập nghiệm là S = (- ¥ ; 3) )


m < 2 bât phương trình có nghiệm là x > 3 (có tập nghiệm là S = (3; + ¥ ))
b) Bất phương trình tương đương với (m - 2)x > 4 - m 2
Với m = 2 bất phương trình trở thành 0x > 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

4 - m2
Với m> 2 bât phương trình tương đương với x >
= - m- 2
m- 2
4 - m2
Với m < 2 bât phương trình tương đương với x <
= - m- 2
m- 2
Kết luận
m = 2 bất phương trình vô nghiệm
m> 2 bât phương trình có nghiệm là x > - m - 2
m < 2 bât phương trình có nghiệm là x < - m - 2
2

c) Bất phương trình tương đương với (m + 3) x ³ m - 3
Với m = - 3 bất phương trình trở thành 0 x ³ - 6 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m- 3
Với m ¹ - 3 bât phương trình tương đương với x ³
2
(m + 3)

Kết luận
m = - 3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m- 3
.
m ¹ - 3 bât phương trình có nghiệm là x ³
2
(m + 3)
d) Bất phương trình tương đương với Û (m3 - 1)x < m2 - 2m + 1
2

2

æ
1ö 3
Û (m - 1)x < 2
(vì m + m + 1 = ççm + ÷
÷
÷ + 4> 0 )
çè
2ø
m + m+ 1
Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm.
m- 1
Với m> 1 bât phương trình tương đương với x < 2
m + m+ 1
m- 1
Với m< 1 bât phương trình tương đương với x > 2
m + m+ 1
Kết luận
m = 2 bất phương trình vô nghiệm

m- 1
m> 1 bât phương trình có nghiệm là x < 2
m + m+ 1
m- 1
.
m< 1 bât phương trình có nghiệm là x > 2
m + m+ 1

(m - 1)

2

Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình (m2 - m)x + m < 6x - 2 vô nghiệm.
A. m = - 2 và m = 3
B. m = - 2 và m = 5
C. m = 5 và m = 3
D. m = 5 và m = 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với (m2 - m - 6)x < - 2 - m

ìï m ¹ - 2
Rõ ràng nếu m2 - m - 6 ¹ 0 Û ïí
bất phương trình luôn có nghiệm.
ïïî m ¹ 3

Với m = - 2 bất phương trình trở thành 0x < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm
Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x < - 5 suy ra bất phương trình vô nghiệm
Vậy giá trị cần tìm là m = - 2 và m = 3 .
Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình 4m2 (2 x - 1) ³ (4m2 + 5m + 9)x - 12m có nghiệm đúng " x Î ¡ .
A. m =

9
4

B. m =

7
4

C. m =

5
4

D. m =

3
4

Lời giải:
Bất phương trình tương đương với (4m - 5m - 9)x ³ 4m2 - 12m
2

ìï m ¹ - 1
ï

Dễ dàng thấy nếu 4 m - 5m - 9 ¹ 0 Û ïí
thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng
ïï m ¹ 9
ïî
4
"xÎ ¡
Với m = - 1 bất phương trình trở thành 0 x ³ 16 suy ra bất phương trình vô nghiệm
2

Với m =

27
9
bât phương trình trở thành 0 x ³ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
4
4

Vậy giá trị cần tìm là m =

9
.
4

Ví dụ 4. Tìm m để bất phương trình (4m2 + 2m + 1)x - 5m ³ 3x - m - 1 có tập nghiệm là [- 1; + ¥ ) .
A. m = - 2

B. m = - 3

C. m = - 5


D. m = - 1

Lời giải:
Bất phương trình tương đương với (4m2 + 2m - 2)x ³ 4m - 1 Û (m + 2)(4m - 1)x ³ 4m - 1
ém = - 2
ê
Với (m + 2)(4 m - 1) = 0 Û ê
thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x do
êm = 1
êë
2

đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

Với m >

1
1
Þ (m + 2)(4m - 1)> 0 bất phương trình tương đương với x ³
m+ 2
4

Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [- 1; + ¥ ) thì
Với - 2 < m <


- 2< m<

1
= - 1 Û m = - 3 (không thỏa mãn)
m+ 2

1
1
suy ra
Þ (m + 2)(4m - 1)< 0 bất phương trình tương đương với x £
m+ 2
4

1
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4

Với m < - 2 Þ (m + 2)(4 m - 1)> 0 bất phương trình tương đương với x ³
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [- 1; + ¥ ) thì

1
m+ 2

1
= - 1 Û m = - 3 (thỏa mãn)
m+ 2

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương


(m - 1)x + 2m -

3 ³ 0 (1) và (m + 1)x + m - 4 ³ 0 (2).

A. m = 2 ± 11

B. m = - 2 ± 12

D. m = - 2 ± 11

C. m = 2 ± 12

Lời giải:
* Với m = 1 bất phương trình (1) trở thành 0.x- 1 ³ 0 (vô nghiệm), bất phương trình (2) trở thành

2x - 3 ³ 0 Û x ³

3
do đó hai bất phương trình không tương đương.
2

* Với m = - 1 bất phương trình (1) trở thành - 2 x - 5 ³ 0 Û x £ -

5
, bất phương trình (2) trở thành
2

0.x- 5 ³ 0 (nghiệm đúng với mọi x ) do đó hai bất phương trình không tương đương.
* Với m> 1 ta có (1) Û x ³


4- m
3 - 2m
, (2) Û x ³
m+ 1
m- 1

Suy ra hai bất phương trình tương đương Û

3 - 2m 4 - m
=
m- 1
m+ 1

Û m2 + 4m - 7 = 0 Û m = - 2 ± 11

Đối chiếu với điều kiện m> 1 suy ra m = - 2 + 11 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
* Với - 1 < m < 1 ta có (1) Û x £

4- m
3 - 2m
, (2) Û x ³
do đó hai bất phương trình không tương
m+ 1

m- 1

đương.
* Với m< - 1 ta có (1) Û x £

4- m
3 - 2m
, (2) Û x £
m+ 1
m- 1

Suy ra hai bất phương trình tương đương Û

3 - 2m 4 - m
=
m- 1
m+ 1

Û m2 + 4m - 7 = 0 Û m = - 2 ± 11

Đối chiếu với điều kiện m< - 1 suy ra m = - 2 -

11

Vậy hai bất phương trình tương đương khi m = - 2 ± 11 .
2. Các bài tập luyện tập.
Bài 4.66: Khẳng định nào sau đây là sai?
a) m( x - m) £ x - 1.
A. Nếu: m=1 thì 0 x £ 2 (đúng). Tập nghiệm: S=R.
B. Nếu: m>1 thì x £ m+1.

C. Nếu : m<1 thì x ³ m+1.

Tập nghiệm: S= (- ¥ ; m + 1ùû.
Tập nghiệm: S= éëm + 1; + ¥ ) .

D. Cả A, B, C đều sai
b) 3x + m2 ³ m( x + 3).
A. Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x £ 0: nghiệm với mọi x .
B. Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x £ m.
C. Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ³ m.
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
Bài 4.66: a)

m( x - m) £ x - 1 Û ( m - 1)x £ m2 - 1

Nếu: m=1 thì 0 x £ 2 (đúng). Tập nghiệm: S=R.
Nếu: m>1 thì x £ m+1.

Tập nghiệm: S= (- ¥ ; m + 1ùû.

Nếu : m<1 thì x ³ m+1.

Tập nghiệm: S= éëm + 1; + ¥ ) .

b) 3x + m2 ³ m( x + 3) Û ( m - 3)x £ m2 - 3m.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7



[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x £ 0: nghiệm với mọi x .
Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x £ m.
Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ³ m.

Bài 4.67: a) Tìm m để bất phương trình mx - 2 £ x - m vô nghiệm.
A. m = 1

C. m = Æ

B. m = - 3

D. m = - 1

b) Tìm m để bất phương trình m2 (x - 1) ³ 9 x + 3m có nghiệm đúng " x Î ¡ .
A. m = 1

C. m = Æ

B. m = - 3

D. m = - 1

Lời giải:
Bài 4.67: a) Bất phương trình tương đương với (m - 1)x £ 2 - m
Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm.
Xét m = 1 bât phương trình trở thành 0x £ 1 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Bất phương trình tương đương với (m2 - 9)x ³ m2 + 3m

Dễ dàng thấy nếu m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng " x Î ¡
Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x > 18 suy ra bất phương trình vô nghiệm
Với m = - 3 bât phương trình trở thành 0 x ³ 0 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
Vậy giá trị cần tìm là m = - 3 .

Bài 4.68: Cho hàm số f (x) = (2m + 1)x - 3m + 2 .
a) Tìm m để phương trình f (x) = 0 có nghiệm x Î éë0;1ù
û.

2
A. £ m £ 3
3

2
B. £ m
3

C. m £ 3

ìï m ³ 3
ï
D. ïí
ïï m £ 2
ïî
3

b) Tìm m để f (x) ³ 0 với mọi x Î éë- 1; 2ùû.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8



[CHNG IV. BT PHNG TRèNH V H BT PHNG TRèNH
NGUYN BO VNG BT NHT. DU CA NH THC BT NHT]

A. - 4 Ê m

ỡù m Ê - 4
ù
C. ùớ
ùù m 1
ùợ
5

1
B. m Ê
5

D. - 4 Ê m Ê

1
5

Li gii:
Bi 4.68: a) Ta cú th hm s y = f (x) trờn ộở0;1ựỷ l mt on thng AB vi A(0; - 3m + 2) v
B(1; - m + 3) nờn phng trỡnh f (x) = 0 cú nghim trờn

ộ0;1ự on thng AB cú im chung vi trc honh cỏc im u mỳt A, B nm v hai phớa
ở ỷ

ca Ox (cú th nm trờn Ox). iu ny cú ngha l

f (0). f (1) Ê 0 (- 3m + 2)(- m + 3) Ê 0

2
Ê mÊ 3.
3

b) Ta cú f (x) 0 vi mi x ẻ [- 1; 2] th ca hm s y = f (x) trờn on [- 1; 2] nm trờn Ox
hai u mỳt ca on thng ú u nm trờn Ox

ỡù f (- 1) 0
ỡù - 5m + 1 0
1
ùớ
ùớ
- 4Ê mÊ .
ùùợ f (2) 0
ùùợ m + 4 0
5

Bi 4.69: Tỡm m bt phng trỡnh m (2 x - 1) 2 x + 1 cú tp nghim l [1; + Ơ ) .
A. m = 3

B. m = 1

C. m> 1

D. m< 1

Li gii:
Bi 4.69: Bt phng trỡnh tng ng vi (2m - 2)x m + 1

Vi m = 1 thỡ bt phng trỡnh vụ nghim do ú khụng tha món yờu cu bi toỏn.
Vi m> 1 bt phng trỡnh tng ng vi x

m+ 1
2m - 2

Do ú bt phng trỡnh cú tp nghim l [1; + Ơ ) thỡ
Vi m< 1 bt phng trỡnh tng ng vi x Ê

m+ 1
= 1 m = 3 (tha món)
2m - 2

m+ 1
suy ra m< 1 khụng tha món yờu cu bi
2m - 2

toỏn.
Vy m = 3 l giỏ tr cn tỡm.

Bi 4.70: Tỡm m hai bt phng trỡnh sau tng ng

GIO VIấN MUN MUA FILE WORD LIấN H 0946798489 9


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

(2 -


m)x + 2 m + 4 ³ 0 và (m + 1)x + m2 - 4 ³ 0 .

A. m< - 1

B. - 1 < m < 2

C. m> 2

D. m = Æ

Lời giải:
Bài 4.70: * Với m = 2 bất phương trình (2 - m)x + 2 m + 4 ³ 0 (1) trở thành 0.x + 8 ³ 0 (nghiệm đúng
với mọi x ), bất phương trình (m + 1)x + m2 - 4 ³ 0 (2) trở thành 3x ³ 0 Û x ³ 0 do đó hai bất phương
trình không tương đương.
* Với m = - 1 bất phương trình (1) trở thành 3x + 2 ³ 0 Û x ³ -

2
, bất phương trình (2) trở thành
3

0.x- 3 ³ 0 ( vô nghiệm) do đó hai bất phương trình không tương đương.
* Với m> 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
4 - m2
2m + 4
* Với - 1 < m < 2 ta có (1) Û x ³
, (2) Û x ³
m+ 1
m- 2

Suy ra hai bất phương trình tương đương Û


2m + 4 4 - m2
=
Û m = - 2 (loại)
m- 2
m+ 1

* Với m< - 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy không có giá trị nào của m để hai bất phương trình tương đương.
➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

ìï 5x - 2 > 4 x + 5
a) ïí
ïïî 5x - 4 < x + 2
ìï x > 7
ï
A. ïí
ïï x < 3
ïî
2

B. x > 7

C. x <

3
2


D. Vô nghiệm

ìï
ïï 6 x + 5 < 4 x + 7
ï
7
b) í
ïï 8 x + 3
< 2x + 5
ïï
ïî 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

A. x <

7
4

B. x <

22
7

C. x >


7
4

D. x >

22
7

ìï 5x - 2 < 4 x + 5
ï
c) í 2
ïï x < (x + 2)2
ïî
A. - 1 < x

B. x < 7

C. - 1 < x < 7

B. x ³ 2

C.

D. Vô nghiệm

ìï
ïï
ïï x - 1 £ 2 x - 3
d) ïí 3 x < x + 5
ïï

ïï 5 - 3 x
£ x- 3
ïï
î 2

A.

11
5
£ x£
5
2

11
£ x
5

D. x £

5
2

Lời giải:
a) Hệ bất phương trình tương đương với
ìï 5 x - 2 > 4 x + 5
ïí
Û
ïîï 5 x - 4 < x + 2

ìï x > 7

ïï
í
ïï x < 3
ïî
2

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với
ìï
ì
ïï 6 x + 5 < 4 x + 7 ïïï x <
ï
ï
7
Û í
í
ïï 8 x + 3
ï
< 2 x + 5 ïï x <
ïï
ïïî
ïî 2

22
7 Û x< 7
7
4
4

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x <


7
4

ìï x < 7
c) Hệ bất phương trình tương đương với ïí
Û - 1< x < 7
ïïî x > - 1
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là - 1 < x < 7 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
ìï
ïï
ïï x ³
ïï
d) Hệ bất phương trình tương đương với í x <
ïï
ïï
ïï x ³
ïïî

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là

2
5
11

5
Û
£ x£
2
5
2
11
5

11
5
£ x£ .
5
2

Ví dụ 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

ìï 2 x - 1 £ x + 2
a) ïí
ïï m (m + 1)x + 4m ³ (m - 2)x + 3m2 + 6
î
A. m ³ 0

B. m < 0

C. m £ 0

D. m = 0

ìï m (mx - 1) < 2

b) ïí
ïï m (mx - 2) ³ 2m + 1
ïî
A. m >

1
3

B. m =

1
3

C. m £

1
3

D. m <

1
3

Lời giải:
ìï
x£ 3
ìï
ïï
x£ 3
ï

2
Û í
a) Hệ bất phương trình tương đương với í 2
ïï x ³ 3m - 4m + 6
ïï (m + 2)x ³ 3m2 - 4m + 6
ïî
ïïî
m2 + 2

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

3m 2 - 4 m + 6
£ 3Û m³ 0.
m2 + 2

Vậy m ³ 0 là giá trị cần tìm.
ìï m2 x < m + 2
b) Hệ bất phương trình tương đương với ïí 2
ïï m x ³ 4m + 1
î

ìï 0 x < 2
Với m = 0 ta có hệ bất phương trình trở thành ïí
suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm
ïïî 0 x ³ 1
ìï
ïï x < m + 2
ï
m2
Với m ¹ 0 ta có hệ bất phương trình tương đương với ïí

ïï
4m + 1
ïï x ³
m2
ïî

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy m <

m + 2 4m + 1
1
>
Û m<
2
2
3
m
m

1
là giá trị cần tìm.
3

Ví dụ 3. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.

2
ìï
2
ï (x - 3) ³ x + 7 x + 1
a) í
ïï 2m £ 8 + 5x
ïî

A. m <

72
13

B. m ¹

72
13

C. m ³

72
13

D. m >

72
13

ìï mx + 1 £ x - 1
b) ïí

ïï 2 (x - 3) < 5 (x - 4)
î

A. m ³ 1

B. m> 1

C. m = 1

D.Vô nghiệm

Lời giải:
ìï
ïï x £ 8
ï
13
a) Hệ bất phương trình tương đương với í
ïï
2m - 8
ïï x ³
5
ïî
8 2m - 8
72
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm Û
<
Û m>
13
5
13

Vậy m >

72
là giá trị cần tìm.
13

ìï (m - 1)x £ - 2
ïï
b) Hệ bất phương trình tương đương với í
14
ïï
x>
ïïî
3
ìï 0 x £ - 2
ï
Với m = 1 hệ bất phương trình trở thành ïí
(hệ bpt vô nghiệm)
ïï x > 14
ïî
3
ìï
ïï x £ - 2
ï
m - 1 suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm
Với m> 1 hệ bất phương trình í
ïï
14
ïï x >
3

ïî
- 2
14
4
Û
£
Û - 6 £ 14 (m - 1) Û m ³
m- 1 3
7

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Do đó m> 1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm
ìï
ïï x ³ - 2
ï
m - 1 (hệ bpt luôn có nghiệm)
Với m< 1 hệ bất phương trình í
ïï
14
ïï x >
3
ïî
Vậy giá trị cần tìm là m ³ 1 .

ìï 2m (x + 1) ³ x + 3
Ví dụ 4. Tìm m để hệ bất phương trình ïí

có nghiệm duy nhất.
ïï 4mx + 3 ³ 4 x
î
A. m =

1
4

B. m =

3
4

C. m = 1

D. m =

1
2

Lời giải:
ìï (2m - 1)x ³ 3 - 2m
Hệ bất phương trình tương đương với ïí
ïï (4m - 4)x ³ - 3
ïî
3 - 2m
- 3
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì
=
2m - 1 4m - 4

3
5
Û 8m2 - 26m + 15 = 0 Û m = hoặc m =
4
2
ìï æ3 ö
3 ì
ïï çç - 1÷
x ³ 3÷
ï x³ 3
3
ï
÷
Với m = hệ phương trình trở thành í çè 2 ø
Û x= 3
2 Û ïí
ïï
ïïî x £ 3
4
- x³ - 3
ïïî
ìï 4 x ³ - 2
1
5
Với m = hệ phương trình trở thành ïí
Û x³ ïïî 6 x ³ - 3
2
2
Vậy giá trị cần tìm là m =


3
.
4

3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.71: Giải các hệ bất phương trình sau:
ìï 4 x - 5
ïï
< x+ 3
ï 7
a) í
ïï 3 x + 8
> 2x - 5
ïï
ïî 4

A. -

26
28
< x<
3
5

B. -

26
3

C. x <

28
5

D. Vô nghiệm

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
ìï
ïï
ï
b) í
ïï
ïï
ïî

4
1
- 12 x £ x +
3
2
4x - 3 2 - x
<
2
3

A.

5
£ x
78

B. x <

13
14

C.

5
13
£ x<
78
14

D. Vô nghiệm

ìï x
ïï £ x + 4
ï
3
c) í 2
ïï 2 x - 9 19 + x
³
ïï
2

ïî 3

B. x ³ 75

A. x ³ 12

C. x > 75

D. x < 75

ìï 11 - x
ïï
³ 2x - 5
ï
d) í 2
ïï
x- 8
ïï 2 (3x + 1)³
2
ïî

A. -

12
21
£ x£
11
5

B. x £

21
5

C. -

12
£ x
11

D. Vô nghiệm

Lời giải:
Bài 4.71: a)

-

26
28
< x<
3
5

c) x ³ 75

b)
d) -

5
13

£ x<
78
14

12
21
£ x£
11
5

Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

ìï 4 (x - 3)+ 1 £ 3 (x - 3)
a) ïí
ïï x + m > 1
î
A. m> - 1

B. m> - 2

C. m > 0

D. m> 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
ìï 2 (x + 5) < 3( x + 4)

ïï
ï
b) í - 3 x - 8 ³ 5 (x - 8)
ïï
ïï m (x + 2) < (m + 1)x + m - 2
ïî

B. m £ 2

A. m £ - 2

C. m> - 1

D. m< 1

Lời giải:
ìï x £ 2
Bài 4.72: a) Hệ bất phương trình tương đương với ïí
ïïî x > 1 - m
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 > 1- m Û m > - 1
Vậy m> - 1 là giá trị cần tìm.

ìï x > - 2
ïï
b) Hệ bất phương trình tương đương với ïí x £ 4
Û
ïï
ïïî x > m + 2

ìï - 2 < x £ 4

ïí
îïï x > m + 2

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
m+ 2 £ 4 Û m £ - 2

Vậy m £ - 2 là giá trị cần tìm.

Bài 4.73: Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.

ìï 2 x + 7 ³ 8 x + 1
a) ïí
ïïî m + 5 < 2 x
A. m ³ 3

B. m> - 3

C. m ³ - 3

D. m < - 3

B. m> - 3

C. m ³ - 3

D. m < - 3

ìï 3x + 5 ³ x - 1
ïï
2

2
ï
b) í (x + 2) £ (x - 1) + 9
ïï
ïï mx + 1 > (m - 2)x + m
ïî

A. m ³ 3

Lời giải:
ìï x £ 1
ï
Bài 4.73: a) Hệ bất phương trình tương đương với ïí
ïï x > m + 5
ïî
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm Û 1 £

m+ 5
Û m³ - 3
2

Vậy m ³ - 3 là giá trị cần tìm.
ìï

ïï
ìï - 3 £ x £ 1
ïï x ³ - 3
ï
ï
Û íï
b) Hệ bất phương trình tương đương với í x £ 1
ïï
ïï x > m - 1
m - 1 ïî
ïï
2
ïï x >
2
î
m- 1
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm Û
³ 1Û m³ 3
2

Vậy m ³ 3 là giá trị cần tìm.

ìï x < y
Bài 4.74: Tìm m để phương trình 15x2 - 11xy + 2 y 2 = - 7 có nghiệm thỏa mãn ïí
.
ïï 2 m 2 x + 3my < 0
î

A. -

9
< m< 0
2

C. m ¹ 0

B. m = 0

D.Vô nghiệm

Lời giải:
Bài 4.74: Ta thấy nếu y = 0 thì phương trình vô nghiệm
Với y ¹ 0 . Đặt x = ty khi đó

15x2 - 11xy + 2 y 2 = - 7 Û y 2 (15t 2 - 11t + 2) = - 7
ìï x < y
ïí
Û
ïï 2 m 2 x + 3my < 0
î

ìï y(t - 1) < 0
ïí
(*)
ïï y(2 m2t + 3m) < 0
î

Phương trình có nghiệm Û 15t 2 - 11t + 2 < 0 Û (3t - 1)(5t - 2)< 0 Û

1

2
< t<
3
5

ìï
y> 0
Do đó (*) Û ïí
2
ïïî 2m t + 3m < 0
ìï 1
2
ïï
< t<
Như vậy ta cần tìm m để hệ bất phương trình í 3
5 (**) có nghiệm với ẩn t .
ïï
2
ïî 2 m t + 3m < 0

Với m = 0 thì hệ bất phương trình (**) có nghiệm

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17


[CHNG IV. BT PHNG TRèNH V H BT PHNG TRèNH
NGUYN BO VNG BT NHT. DU CA NH THC BT NHT]
ỡù 1
ùù < t < 2
ù

5 do ú
Vi m ạ 0 (**) ớ 3
ùù
3
ùù t < 2m
ùợ
ộỡù m > 0
ờùù
ờớ
ờù m < - 9
ờùù
3
1
9
2
> ờợ
- < m< 0.
H bt phng trỡnh (**) cú nghim ờ ỡù m < 0
2m 3
2
ờ ùù
ờớ
ờù m> 9
ờ ùùợ
2
ở

Vy -

9

< m < 0 l nhng giỏ tr cn tỡm.
2

DNG TON 3: BT PHNG TRèNH QUY V BT PHNG TRèNH, H BT PHNG
TRèNH BC NHT MT N.
1. Cỏc vớ d minh ha.
Vớ d 1: Cho bt phng trỡnh tham s
A. 0 < m <

mx - m + 1
> 0 , Khng nh no sau õy sai?
x- 1

ổ1 - m
1
;+ Ơ
tp nghim bt phng trỡnh l S = (- Ơ ;1)ẩ ỗỗ
ỗố m
2

B. m =

1
tp nghim bt phng trỡnh l S = Ă \{1}
2

C. m >

1
tp nghim bt phng trỡnh l S =

2

ổ
ử
ỗỗ- Ơ ; 1 - m ữ
ẩ (1; + Ơ
ữ
ữ
ỗố
m ứ

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

)

ỡù 1 - m ỹ
ùù
D. m < 0 tp nghim bt phng trỡnh l S = Ă \ùớ 2;
ý
ùùợ
m ùùỵ

Li gii:
KX: x ạ 1

ỡù

x> 1
Bt phng trỡnh tng ng vi ùớ
(3) hoc
ùùợ mx - m + 1 > 0

ỡù
x< 1
ùớ
(4)
ùùợ mx - m + 1 < 0

GIO VIấN MUN MUA FILE WORD LIấN H 0946798489 18


[CHNG IV. BT PHNG TRèNH V H BT PHNG TRèNH
NGUYN BO VNG BT NHT. DU CA NH THC BT NHT]
ỡù x > 1
ỡù x < 1
ùù
ù
+ TH1: m > 0 ta cú (3) ớ
v (4) ùớ
1
m
ùù x >
ùù x < 1 - m
ùợ
ùợ
m
m

Nu

1- m
1- m
1
v (4) x < 1
> 1 m < khi ú (3) x >
m
m
2

ổ1 - m
Suy ra nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ (- Ơ ;1)ẩ ỗỗ
;+ Ơ
ỗố m
Nu

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

1- m
1
= 1 m = khi ú (3) x > 1 v (4) x < 1
m
2

Suy ra nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ Ă \{1}
Nu

1- m
1- m
1
< 1 m > khi ú (3) x > 1 v (4) x <
m
m
2

ổ
ử
1- m ữ
ẩ (1; + Ơ
Suy ra nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ ỗỗ- Ơ ;
ữ
ỗố
m ữ
ứ

)

ỡù x > 1
+ TH2: m = 0 ta cú (3) tr thnh ùớ
x > 1 , (4) tr thnh
ùùợ 0 x + 1 > 0
Suy ra nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ (1; + Ơ

ỡù x < 1

ùớ
(vụ nghim)
ùùợ 0 x + 1 < 0

)

ỡù x > 1
ỡù x < 1
ùù
ù
+ TH3: m < 0 ta cú (3) ớ
v (4) ùớ
1
m
ùù x <
ùù x > 1 - m
ùợ
ùợ
m
m

Nu

ổ 1- m ử
ổ1 - m
1- m
1
ữ
;+ Ơ
v (4) x ẻ (- Ơ ;1)ẩ ỗỗ

> 1 m < khi ú (3) x ẻ ỗỗ1;
ữ
ữ
ỗố
ỗố m
m ứ
m
2

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

ùỡ 1 - m ùỹ
ùý
Suy ra vi m < 0 nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ Ă \ùớ 1;
ùợù
m ùỵ
ù
Kt lun

0< m<

ổ1 - m
1
;+ Ơ
tp nghim bt phng trỡnh l S = (- Ơ ;1)ẩ ỗỗ
ỗố m

2

m=

1
tp nghim bt phng trỡnh l S = Ă \{1}
2

m>

1
tp nghim bt phng trỡnh l S =
2

ổ
ử
ỗỗ- Ơ ; 1 - m ữ
ẩ (1; + Ơ
ữ
ữ
ỗố
m ứ

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

)

GIO VIấN MUN MUA FILE WORD LIấN H 0946798489 19


[CHNG IV. BT PHNG TRèNH V H BT PHNG TRèNH
NGUYN BO VNG BT NHT. DU CA NH THC BT NHT]

m = 0 tp nghim bt phng trỡnh l S = (1; + Ơ

)

ỡù 1 - m ỹ
ùù
m < 0 tp nghim bt phng trỡnh l S = Ă \ùớ 1;
ý
ùùợ
m ùùỵ
Vớ d 2: Cho bt phng trỡnh

(m

2

- 4)x - m + 3 > 2 .

a) Gii bt phng trỡnh khi m = 1
A. S = (- Ơ ; -

ộ 2
B. S = ờ- ; + Ơ

ờở 3

2
]
3

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

C. S = Ă

D. S = ặ

b) Tỡm m bt phng trỡnh nghim ỳng vi mi x
A. m = 2

C. m = 2

B. m = - 2

D.Khụng tn ti m

Li gii:
a) Khi m = 1 bt phng trỡnh tr thnh
ỡù - 3x + 2 0
2
ùớ

xÊ ùùợ - 3x + 2 4
3

- 3x + 2 > 2

Vy tp nghim bt phng trỡnh l S = (- Ơ ; -

2
]
3

b) KX: (m2 - 4)x - m + 3 0 (*)
Gi s bt phng trỡnh nghim ỳng vi mi x thỡ khi ú (*) ỳng mi x
Suy ra m2 - 4 = 0 m = 2
Vi m = 2 ta cú bt phng trỡnh tr thnh
Vi m = - 2 ta cú bt phng trỡnh tr thnh
Vy m = - 2 l giỏ tr cn tỡm.

0.x - 2 + 3 > 2 (vụ nghim)

0.x + 2 + 3 > 2 (ỳng vi mi x )

Vớ d 3: Cho bt phng trỡnh x - 1( x - 2m + 2) 0
a) Gii bt phng trỡnh khi m = 2
A. S = {1}ẩ [2; + Ơ )

B. S = {1}ẩ (- Ơ ; 2ựỷ

C. S = Ă

D. S = ặ

b) Tỡm m mi x ẻ ộở2; 3ựỷ u l nghim ca bt phng trỡnh ó cho.
A. m <

3
2

B.

3
< mÊ 2
2

C. m Ê 2

D. m =

3
2

GIO VIấN MUN MUA FILE WORD LIấN H 0946798489 20


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

Lời giải:
a) Khi m = 2 bất phương trình trở thành x - 1( x - 2) ³ 0
é x- 1 = 0

ê
Bất phương trình tương đương với êêìïï x - 1 ³ 0
êí
êëïïî x - 2 ³ 0
éx = 1
ê
éx = 1
Û êêìïï x ³ 1 Û ê
ê
êíï x ³ 2 ëx ³ 2
êëïî
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = {1}È [2; + ¥ ) .

é
é x= 1
x- 1 = 0
ê
ê
Û êêìïï x ³ 1
b) Bất phương trình tương đương với êêìïï x - 1 ³ 0
êí
êíï x ³ 2 m - 2
êëïïî x - 2m + 2 ³ 0
êëïî
é x= 1
3
+ TH1: 2m - 2 > 1 Û m > : Ta có bất phương trình Û ê
êx ³ 2m - 2
2
ë

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là S = {1}È [2m - 2; + ¥ ) .
Do đó mọi x Î éë2; 3ùû đều là nghiệm của bất phương trình (*)
Û éë2; 3ù
ûÌ S Û 2 m - 2 £ 2 Û m £ 2

3
< m £ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
3
+ TH2: 2m - 2 = 1 Û m = : Ta có bất phương trình Û
2

éx = 1
ê
Û x³ 1
êx ³ 1
ë

3
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
3
+ TH3: 2m - 2 < 1 Û m < : Ta có bất phương trình Û
2

éx = 1
ê
Û x³ 1
êx ³ 1
ë

Suy ra

Suy ra m =

3
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Vậy giá trị cần tìm là m £ 2 .
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để
a) Bất phương trình mx + 4 > 0 (1) nghiệm đúng với mọi x < 8
Suy ra m <

A. -

1
1
£ m£
2
2

B. m < 0

C. m > 0

D. -

1
£ m< 0
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

b) Bất phương trình
A. m ³ -

3
2

mx
- 2m - 3 < 0 (2) nghiệm đúng với mọi x Î (0; + ¥ )
x +1
2

B. m < -

3
2

C. m > 0

D. -

3
£ m< 0
2

Lời giải:
a) Cách 1: Ta có x < 8 Û - 8 < x < 8 Û x Î (- 8; 8)
+ TH1: m > 0 ta có (1) Û mx > - 4 Û x > -

4
m

æ 4
;+ ¥
Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là S = çççè m

ö
÷
÷
÷
ø

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi

(-

8; 8)Ì S Û -

Suy ra 0 < m £

4
1
£ - 8 Û m£
m

2
1
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

+ TH2: m = 0 khi đó bất phương trình (1) trở thành 0.x + 4 > 0 (đúng với mọi x )
Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3: m < 0 ta có (1) Û mx > - 4 Û x < -

4
m

æ
4ö
Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là S = çç- ¥ ; - ÷
÷
çè
m÷
ø
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi

(-

8; 8)Ì S Û -

Suy ra Vậy -

4
1
³ 8 Û m³ m

2

1
£ m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

1
1
£ m £ là giá trị cần tìm.
2
2

Cách 2: Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi mx + 4 > 0, " x Î (- 8; 8)

Xét hàm số f (x) = mx + 4 . Ta biết đồ thị là một đường thẳng do đó

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

ìï f (- 8) ³ 0
f ( x) = mx + 4 > 0, " x Î (- 8; 8) Û ïí
ïïî f (8) ³ 0
ìï - 8m + 4 ³ 0
Û ïí
Û
ïïî 8m + 4 ³ 0

Vậy -

ìï
ïï m £ 1
ï
2 Û - 1 £ m£ 1
í
ï
1
2
2
ïïï m ³ 2
ïî

1
1
£ m £ là giá trị cần tìm.
2
2

b) Đặt t =

x
bất phương trình trở thành mt - 2m - 3 < 0
x +1
2

Với x > 0 ta có

x

x
1
1
£
=
khi đó 0 < t £
2
2
2
x +1 2 x
2

Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x Î (0; + ¥ ) khi và chỉ khi bất phương trình
1
mt - 2m - 3 < 0 đúng với mọi t Î (0; ] Û
2

Vậy m ³ -

ìï - 2m - 3 £ 0
ïï
Û
í1
ïï m - 2 m - 3 < 0
ïî 2

ìï
ïï m ³ - 3
3
í

2 Û m³ ïï
2
ïî m > - 2

3
là giá trị cần tìm.
2

ìï f (a )> 0
ï
Û
Nhận xét : Bất phương trình f (x) = ax + b > 0, " x Î éëa ; b ù
û íï f (b )> 0 , Bất phương trình
ïïî
ìï f (a ) ³ 0
f (x) = ax + b > 0, " x Î (a ; b ) Û ïí
. Các trường hợp khác tương tự.
ïï f (b ) ³ 0
ïî
Ví dụ 5: Cho phương trình (m + 1)x 2 - (4m + 3)x + 4m + 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1)
a) Có một nghiệm lớn hơn 2 và một nghiệm nhỏ hơn 2.
A. m> - 1

B. m = - 1

C. m ¹ - 1

D. Vô nghiệm

C. m> - 1

D. m ³ -

b) Có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
A. m = - 1

B. -

5
< m< - 1
4

5
4

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Lời giải:
Đặt y = x - 2 Þ x = y + 2 khi đó phương trình (1) trở thành
2

(m + 1)(y + 2) - (4m + 3)(y + 2)+ 4m + 1 =

0

Û (m + 1) y 2 + 4 (m + 1) y + 4 (m + 1)- (4m + 3) y - 2 (4 m + 3)+ 4 m + 1 = 0
Û (m + 1) y 2 + y - 1 = 0 (2)

a) Phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 2 một nghiệm nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (2)
có hai nghiệm trái
+ TH1: Với m = - 1 phương trình (2) trở thành y - 1 = 0 Û y = 1 suy ra m = - 1 không thỏa mãn yêu
cầu bài toán
TH2: Với m ¹ - 1 phương trình (2) là phương trình bậc hai do đó nó có hai nghiệm trái dấu

Û P< 0Û

- 1
< 0 Û m + 1> 0 Û m > - 1
m+ 1

Vậy với m> - 1 thì phương trình (1)
b) Ta có phương trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 khi và chỉ khi phương trình (2)
có ít nhất một nghiệm dương.
• Với m = - 1 phương trình (2) trở thành y - 1 = 0 Û y = 1 suy ra m = - 1 thỏa mãn yêu cầu bài
toán
• Với m ¹ - 1 phương trình (2) là phương trình bậc hai
+ TH1: Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
ìï 1 + 4 (m + 1)> 0
ï
ìï D > 0 ïï
ìï
ïï
1
ïï
ïï m > - 5
5
>

0
ï
ï
Û í S> 0 Û í
Û í
4 Û - < m< - 1
m
+
1
ïï
ï
ï
4
ïïî P > 0 ïïï
ïïî m < - 1
1
>0
ïï m+ 1
ïî

+ TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu Û m > - 1 (theo câu a)
+ TH3: Phương trình (2) có nghiệm kép dương

ìï D = 0
Û ïí
Û
ïïî S > 0

ìï 1 + 4 (m + 1) = 0 ìï
ïï

ïï m = - 5
5
Û í
í
4 Û m= 1
ïï ïï
4
>0
ïïî
ïî m < - 1
m+ 1

+ TH4: Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng không

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24