– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
➢ DẠNG TỐN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI.
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Phân tích thành tích.
– Đặt ẩn phụ.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau
a)

x2 + 2 x + 4 =

2- x

A.1 nghiệm
b) x -

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2x - 5 = 4

A.1 nghiệm

Lời giải:
ìï x 2 + 2 x + 4 ³ 0
Û x£ 2
a) ĐKXĐ: ïí
ïï
2
x
³
0
ỵ

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

éx = - 1
x 2 + 2 x + 4 = 2 - x Û x 2 + 3x + 2 = 0 Û ê
êx = - 2
ë
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1 và x = - 2 .
b) ĐKXĐ: 2 x - 5 ³ 0 Û x ³
x-

2x - 5 = 4 Û

5
.
2


2 x - 5 = x - 4 (*)

TH1: Với x - 4 < 0 Û x < 4 ta có VT(*) ³ 0, VP(*) < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm
TH2: Với x - 4 ³ 0 Û x ³ 4 ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tường đương
với


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

éx = 3
2
2 x - 5 = (x - 4) Û x2 - 10 x + 21 = 0 Û ê
êx = 7
ë
Đối chiếu với điều kiện x ³ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x = 7 là nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 .
Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta
có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:

ìï f ( x) = g( x)
g( x) Û ïí
ïïỵ f ( x) ³ 0 ( hay g( x) ³ 0)
ìï f ( x) = ég( x)ù2
ë
û
• f ( x) = g( x)  ïí
ïï g( x) ³ 0
ïỵ
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau

•

f ( x) =

a) x =

3x 2 + 1 - 1

A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2 x - 1 + x2 - 3x + 1 = 0

A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Phương trình tương đương với


ìï x ³ 0
ï
Û
í 2
ïï x = 3x 2 + 1 - 1
ỵ

ìï x ³ 0
ï
í
ïï 3x 2 + 1 = x 2 + 1
ỵ

ìï x ³ 0
ì
ïíï x ³ 0
Û ïí 2
Û
Û
ïï 3x + 1 = ( x2 + 1)2 ïï x4 - x2 = 0
ỵ
ỵ
ìï x ³ 0
ïï
Û ïí é x = 0 Û
ïï ê
ïïỵ êëx = ± 1

éx = 0

ê
êx = 1
ë

ìï x ³ 0
ï
í 2 2
ï x x - 1) = 0
ïỵï (


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1
b) Ta có

2 x - 1 + x 2 - 3x + 1 = 0 Û

2 x - 1 = - x 2 + 3x - 1

ìï
- x 2 + 3x - 1 ³ 0
ìï
- x 2 + 3x - 1 ³ 0
ïï
ïí
Û í
Û
2
ïï 2 x - 1 = (- x 2 + 3x - 1)
ïï ( x - 1)2 ( x 2 - 4 x + 2) = 0

ỵ
ïỵ

ìï - x 2 + 3x - 1 ³ 0 ìïï ïï
ï
Û ïí é
Û íï
x= 1
ïï ê 2
ïï
ïï êëx - 4 x + 2 = 0
ïï
ỵ
ỵ

x 2 + 3x - 1 ³ 0
é x= 1
ê
é x= 1
Û
êx = 2 - 2
ê
êë
êx = 2 ± 2
êë

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
A. m ³

3

2

B. m ³ -

2

x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt.
9
2

C. m ³

9
2

D. m ³ -

3
2

Lời giải:
ìï
ïï x ³ - 1
Phương trình Û í
.
2
ïï 2
ïïỵ 3x + (4 - m)x - 1 = 0 (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm Û (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc


1
1
Û đồ thị hàm số y = 3x2 + (4 - m)x - 1 trên [ - ; + ¥ ) cắt trục hoành tại
2
2
hai điểm phân biệt.
bằng -

Xét hàm số y = 3x2 + (4 - m)x - 1 trên [ -

b
1
m- 4
=
; + ¥ ) . Ta có 2a
2
6

1
m- 4
1
£ - Û m £ 1 thì hàm số đồng biến trên [ - ; + ¥ ) nên m £ 1
2
6
2
khơng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH1: Nếu

+ TH2: Nếu


m- 4
1
> - Û m> 1 :
6
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Ta có bảng biến thiên

m- 4
6

1
2
+¥

x

-

ỉ 1ử
y ỗỗ- ữ
ữ
ỗố 2 ứữ

+Ơ

y

ổm y ỗỗ
ỗố 6

ử
4ữ
ữ
ữ
ứ

Suy ra thị hàm số y = 3x2 + (4 - m)x - 1 trên [ -

ỉ 1ư
ỉm ³ 0 > y çç
điểm phân biệt Û y çç- ÷
÷
÷
çè 2 ø
èç 6

1
; + Ơ ) ct trc honh ti hai
2

4ử
2m - 9
1
ữ

0>
- m2 + 8m - 28) (1)

÷
(
÷
ø
4
12

2

Vì - m2 + 8m - 28 = - (m - 4) - 12 < 0, " m nên

(1) Û 2m - 9 ³ 0 Û m ³

Vậy m ³

9
(thỏa mãn m> 1 )
2

9
là giá trị cần tìm.
2

Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.
Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;

· A-

B=


(

A-

B

)(

A+

A+
B

B

)=

A- B
A+

B


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word cú li gii mi nht

à 3 A-

3

B=


(

3

A-

2
ổ
B ỗỗ 3 A +
ỗố

)( )
( A) + A
3

3

2

3

3

3

B+

2


ử

( B ) ứữữữ

A3 B+

3

2

( B)
3

A- B

=

2

( A) +
3

3

A3 B+

2

( B)
3


Với A, B không đồng thời bằng khơng.
Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình
2

a)

2 (x - 1)

(3 -

2

7 + 2x

)

= x + 20

A.1 nghiệm

b)

3x - 2 +

3

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm


B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

x= 2

A.1 nghiệm

c) 3 3 x +

B.2 nghiệm

x2 + 8 =

x2 + 15 + 2

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:
ìï
ìï 7 + 2 x ³ 0

ïï x ³ - 7
ï
Û í
a) ĐKXĐ: í
2
ïï 3 ạ 7 + 2 x ùù
ợ
ùợ x ạ 1
2

Phng trình Û

(

3-

2

( 7 + 2x )
7 + 2 x ) (3 + 7 + 2 x )

2 (x - 1) 3 +
2

2

= x + 20


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

2

Û

(

2 (x - 1) 10 + 2 x + 6 7 + 2 x

(2 -

2

2 x)

) = x + 20

Û 10 + 2 x + 6 7 + 2 x = 2 (x + 20)
Û

7 + 2 x = 5 Û x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có ngjiệm x = 9
b) ĐKXĐ: x ³

2
3

Nhẩm ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau
Phương trình Û


(
Û

(

)(

3x - 2 - 1

) (

3x - 2 - 1 +

)+ (

3x - 2 + 1

3x - 2 + 1
3x - 3

Û

3x - 2 + 1

+

3

3


)

x- 1 = 0

)(

x- 1
3

3

x2 +

x2 +

3

3

x2 +

3

)= 0

x+ 1

x+ 1

ổ

3
+
= 0 (x - 1)ỗỗỗ
ỗố 3 x - 2 + 1
x+ 1

x- 1
3

x2 +

3

2

Do

3

ỉ
1ư 3
x + 1 = ỗỗ 3 x + ữ
ữ + > 0 nờn
ỗố
2ữ
ứ 4

3
3x - 2 + 1


+

1
3

x2 +

3

ử
ữ
ữ
= 0 (*)
ữ
ữ
x + 1ø

1
3

2

x +

3

>0
x+ 1

Phương trình (*) Û x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
c) Phương trình được viết lại như sau: 3 3 x - 2 =
Vì

x2 + 15 -

x>

8
27

x2 + 8

x2 + 8 > 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 x - 2 hay

Ta có phương trình tương đương với:

33 x - 3 =

x2 + 15 -

x2 + 15 - 4 + 3 -

x2 + 8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

x- 1


Û 3
3

2

x +

x+ 1

3

2

x +

3

x +

3

x 2 + 15 + 4

3

x+ 1

+
x+ 1


x+ 1

-

-

) = 0 (**)

2

x + 8+ 3

x2 + 8 + 3

x2 + 8 + 3

x2 + 8 + 3

-

2

x+ 1

x+ 1

x2 - 1

-


x+ 1

+

8
suy ra
27

1
2

x2 - 1

1

Û ( x - 1)(

Vì x >

3

=

x + 15 + 4

x+ 1
x 2 + 15 + 4

x+ 1
x2 + 15 + 4


> 0 nên

>0

Phương trình (**) Û x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình
a) ( x + 3) 2 x2 + 1 = x2 + x + 3
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

b) (3x + 1) x2 + 3 = 3x2 + 2 x + 3
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:
a) Ta thấy x = - 3 khơng là nghiệm của phương trình
Xét x ¹ - 3 , phương trình Û


Û

2 x2 + 1 - 1 =

x2
Û
x+ 3

Phương trình (*) Û

2x2 + 1 =

2x2
2 x2 + 1 + 1

=

x2 + x + 3
x+ 3

x2
Û
x+ 3

2 x2 + 1 = 2 x + 5

ìï
ìï
5
5

ïï
ïï
x³ x³ Û í
Û í
2
2
ïï 2
ïï 2
2
2
x
+
1
=
4
x
+
25
+
20
x
x
+
10
x
+
12
= 0
ïỵ
ïỵ


é
x= 0
ê
ê
2
êë2 (x + 3) = 2 x + 1 + 1 (*)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
ìï
5
ïï
x³ Û í
Û x = 5 + 13 (thỏa mãn)
2
ïï
ïïỵ x = - 5 ± 13

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = - 5 + 13
b) Ta thấy x = -

Xét x ¹ -

1
khơng là nghiệm của phương trình
3

1
, phương trình đã cho Û

3

x2 + 3 =

3x2 + 2 x + 3
3x + 1

1
8
Đến đây, chú ý 3x2 + 2 x + 3 = 3( x + )2 + > 0
3
3
Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn x > -

Do đó phương trình đã cho Û

Û
Û

x2 + 3 - 2 x =

1
Þ
3

x2 + 3 + 2 x > 0

3x2 + 2 x + 3
- 2x
3x + 1


x2 + 3 - 4x2

3x 2 + 2 x + 3 - 6 x 2 - 2 x
=
3x + 1
x2 + 3 + 2x
é
x2 = 1
3(1 - x 2 )
3(1 - x 2 )
ê
=
Û ê
3x + 1
êë x 2 + 3 + 2 x = 3x + 1
x2 + 3 + 2x

* TH1: x2 = 1 Û x = ± 1
Nhưng x = - 1 không thoả mãn x > * TH2:

x 2 + 3 + 2 x = 3x + 1 Û

1
nên phương trình có nghiệm x = 1
3

x2 + 3 = x + 1

ìï

x³ - 1
Û ïí 2
Û x = 1 (thỏa mãn)
ïïỵ x + 3 = x2 + 1 + 2 x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Loại 3: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của phương trình


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
a) x2 +

x2 + 11 = 31

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm


C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

b) ( x + 5)(2 - x) = 3 x2 + 3x
A.1 nghiệm

c)

x2 + x + 1
x2 - x + 1

=3 x

A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Đặt t =

x2 + 11, t ³ 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

ét = 6
t 2 + t - 42 = 0 Û ê
êt = - 7
ë
Vì t ³ 0 Þ t = 6 , thay vào ta có

x2 + 11 = 6

x2 + 11 = 36 Û x = ± 5

Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 5
b) Phương trình Û x2 + 3x + 3 x2 + 3x - 10 = 0
Đặt t =

x2 + 3x , t ³ 0 . Phương trình đã cho trở thành

ét = 2
.
t 2 + 3t - 10 = 0 Û ê
êt = - 5
ë
Vì t ³ 0 Þ t = 2 , thay vào ta có

x 2 + 3x = 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

éx= 1
Û x2 + 3x - 4 = 0 Û ê
êx = - 4
ë
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = - 4 .
c) ĐKXĐ: x ³ 0
Dễ thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình
Xét x > 0 , phương trình Û x2 + x + 1 = 3 x . x2 - x + 1 Û x + 1 +

Đặt t =

x - 1+


1
1
= 3 x - 1+
x
x

1
1
, t ³ 1 Þ x + = t2 + 1
x
x

ét = 1
Phương trình trở thành t 2 + 2 = 3t Û t 2 - 3t + 2 = 0 Û ê
êt = 2
ë
· Với t = 1 ta có

x - 1+

1
= 1 Û x 2 - x + 1 = x Û x = 1 (thỏa mãn)
x

· Với t = 2 ta có

x - 1+

1

5 ± 21
= 2 Û x 2 - 5x + 1 = 0 Û x =
x
2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

5±

21
2

và x = 1 .

Nhận xét: Phương trình có dạng af (x)+ b f (x) + c = 0 ta đặt

f (x) = t .

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của phương trình
a)

4x - 1 + 4x2 - 6x + 1 = 0

A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

3x 2 - 2 x + 9 + 3 x 2 - 2 x + 2 = 7


C.3 nghiệm

D.4 nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
A.1 nghiệm

c) 3 x + 8 = 9 x +

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

1
1
+

x
x

A.1 nghiệm

d)

B.2 nghiệm

2x2 + 8x + 1
= 5 x
2x + 1

A.1 nghiệm

Lời giải:
a) ĐKXĐ: x ³

Đặt t =

1
4

4 x - 1, t ³ 0 Þ x =

t2 + 1
4
2

ỉt 2 + 1ư

t2 + 1
÷
÷
Phương trình trở thành t + 4 ỗỗỗ
6
+ 1= 0
ữ
ữ
ỗố 4 ứ
4
4t + t 4 + 2t 2 + 1 - 6 (t 2 + 1)+ 4 = 0
Û t 4 - 4t 2 + 4t - 1 = 0 Û (t - 1)(t 3 + t 2 - 3t + 1) = 0

é t= 1
2
Û (t - 1) (t 2 + 2t - 1) = 0 Û êê
(loại t = - 1 t
=
1
±
2
êë
Với t = 1 ta có 1 =

Với t = - 1 +

4x - 1 Û x =

2 ta có - 1 +


2=

2 )

1
2

4x - 1 Û 4x - 1 = 3 - 2 2 Û x =

2-

2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

Vậy phương trình có hai nghiệm x =
b) Đặt t =

2- 2
1
và x =
.
2
2

3x2 - 2x + 2 , điều kiện t ³ 0 . Khi đó

Phương trình trở thành


3x 2 - 2 x + 9 =

t2 + 7 + t = 7

ìï
t£ 7
t 2 + 7 = 7 - t Û ïí 2
ïïỵ t + 7 = t 2 - 14t + 49
ìï t £ 7
Û ïí
Û t= 3
ïïỵ t = 3

Û

3x 2 - 2 x + 2 = 3

Với t = 3 ta có

é
êx = 1 + 22
ê
3
Û 3x 2 - 2 x + 2 = 9 Û 3x 2 - 2 x - 7 = 0 Û ê
ê
êx = 1 - 22
êë
3


Vậy phương trình có hai nghiệm x =

1±

22
3

.

c) ĐKXĐ: x > 0 .
Phng trỡnh tng ng vi

ổ
1 ử
1
ữ
ữ
3 ỗỗ x + 8 = 9( x +
).
ữ
ỗố
9x
ứ
3 xữ
t t =

x-

1
3 x


ị t2 = x +

1 2
1
2
- Þ x+
= t2 +
9x 3
9x
3

Phương trình trở thnh:
ộ
2
ờt =
ổ 2 2ữ
ử
ờ
3
3t + 8 = 9 ỗỗt + ÷
Û 9t 2 - 3t - 2 = 0 Û ờ
ữ
ỗố
1
3ứ
ờ
ờt = ờở
3


t2 + 7 .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

2
Với t =
ta có
3

1

2
x= Û 3x - 2 x - 1 = 0 Û
3 x 3

1

1
3

Với t = -

1
ta có
3

Û 3x +

é

ê x = - 1 + 13
ê
7 - 13
6
x - 1= 0 Û ê
Û x=
ê
18
ê x = - 1 - 13
êë
6

x-

3 x

=-

é x= 1
ê
ê
Û x= 1
ê x= - 1
ê
3
ë

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x =

7-


13
18

.

d) ĐK: x ³ 0 .
Dễ thấy x = 0 khơng là nghiệm của phương trình.
Xét x ¹ 0 . Khi đó phương trình tương đương với

10 x x + 5 x = 2x2 + 1 + 8 x Û 5( x +

Đặt t =

x+

Suy ra x +

1
2 x

³ 2

x.

1
2 x

1
2 x


= 2 Þ t³

) = 2( x +

1
)+ 4
4x

2

1
= t 2 - 1 . Phương trình trở thành:
4x

5t = 2(t 2 - 1) + 4 Û 2t 2 - 5t + 2 = 0 Û t = 2 (thỏa mãn) hoặc t =

Với t = 2 ta có x +

1
(loại)
2

1
3± 2 2
(thỏa mãn)
= 3 Û 4 x2 - 12 x + 1 = 0 Û x =
4x
2



– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

3± 2 2
2
1
1
Nhận xét: Phương trình có chứa af (x)±
và a 2 f 2 (x)+ 2 2
thì ta đặt ẩn phụ là
bf (x)
b f (x)
Vậy phương trình có nghiệm là x =

t = af (x)±

1
bf (x)

Ví dụ 8: Tìm số nghiệm của phương trình
2

a) (x + 1) - 2 2 x( x 2 + 1) = 0
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm


B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

b) 10 x3 + 1 = 3( x2 + 2)
A.1 nghiệm

x + 1 = 3 x2 - 1 + 2 x - 1

c) 4 +

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:
a) ĐKXĐ: 2 x (x2 + 1) ³ 0 Û x ³ 0
Đặt

2 x = a , x 2 + 1 = b; a ³ 0, b ³ 0
2

Suy ra a 2 + b2 = 2 x + x 2 + 1 = (x + 1)


2

Phương trình trở thành a2 + b2 - 2ab = 0 Û (a - b) = 0 Û a = b
Suy ra

2x =

2

x 2 + 1 Û 2 x = x 2 + 1 Û (x - 1) = 0 Û x = 1 (thỏa mãn)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
b) ĐKXĐ: x3 + 1 ³ 0 Û x ³ - 1 .
Phương trình Û 10 ( x + 1)( x 2 - x + 1) = 3( x 2 + 2)
Đặt

x + 1 = a,

x 2 - x + 1 = b , a ³ 0, b ³ 0

Suy ra a2 + b2 = x2 + 2 khi đó
Phương trình trở thành

10ab = 3 (a2 + b2 ) Û 3a2 - 10ab + 3b2 = 0
é3a = b
Û (3a - b)(a - 3b) = 0 Û ê
êa = 3b

ë
Với 3a = b ta có 3 x + 1 =
Û x 2 - 10 x - 8 = 0 Û x = 5 ±

Với a = 3b ta có

x2 - x + 1 Û 9 (x + 1) = x2 - x + 1
33 (thỏa mãn điều kiện)

x + 1 = 3 x 2 - x + 1 Û x + 1 = 9 (x 2 - x + 1)

Û 9x2 - 10x + 8 = 0 (phương trình vơ nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 ±

33 .

c) ĐKXĐ: x ³ 1
Đặt

x + 1 = a, x - 1 = b; a ³ 0, b ³ 0

Phương trình trở thành 4 + a = 3ab + 2b
Mặt khác a2 + b2 = 2 suy ra 2 (a2 + b2 )+ a = 3ab + 2b Û (a - 2b)(2a + b + 1) = 0

Û a = 2b (do 2a + b + 1 > 0 )
Suy ra

x + 1 = 2 x - 1 Û x + 1 = 4 (x - 1) Þ x =

5

(thỏa mãn)
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

Vậy phương trình có nghiệm là x =

5
.
3

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2

x 2 - x + 1 (1)

a) (2 x - 1) + m =
A. m ³

- 12 +
2

3

B. m >

- 12 +
2


3

C. m £

- 12 +
2

3

D. m <

- 12 +
2

b) 3 x - 1 + m x + 1 = 2 4 x2 - 1 (2)
B. m £

A. - 1 < m

1
3

C. - 1 < m £

1
3

Lời giải:
a) Đặt t =


x2 - x + 1
2

Þ t 2 = x 2 - x + 1 Þ (2x - 1) = 4x 2 - 4x + 1 = 4t 2 - 3
2

ỉ 1ư 3 3
Vì x - x + 1 = ççx - ÷
÷
÷ + 4 ³ 4 nên t ³
çè
2ø
2

3
2

Phương trình (1) trở thành 4t 2 - 3 + m = t Û - 4t 2 + t + 3 = m (1')
Xét hàm số y = - 4t 2 + t - 3 với t ³

Ta có -

3
2

b
1
3
= <
2a 8

2

Bảng biến thiên

x

y

3
2
- 12 +
2

+¥

3

D. - 1 < m <

1
3

3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

- ¥

Phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (1') có nghiệm t ³


Û đồ thị hàm số y = - 4t 2 + t - 3 trên [

y= m Û m£

- 12 +
2

3

3
; + ¥ ) cắt đường thẳng
2

.

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m £

- 12 +
2

3

b) ĐKXĐ: x ³ 1 .
x + 1 ta có

Chia cả hai vế cho

(2) Û


x- 1

3

Đặt t =

x+ 1

4

4

+ m= 2

x- 1
=
x+ 1

4

1-

x2 - 1
x+ 1

Û - 3

x- 1
x- 1
+ 24

= m
x+ 1
x+ 1

2
Þ 0£ t< 1
x+ 1

Phương trình (2) trở thành - 3t 2 + 2t = m (2')
Xét hàm số y = - 3t 2 + 2t trên [0;1) , ta có -

ổ1 ử 1
b
1
= , y ỗỗ ữ
ữ=
ỗố 3 ứữ 3
2a 3

Bảng biến thiên

x
y

0

3
2

1

3
1
3

1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
- 1

0

Phương trình (2) có nghiệm Û phương trình (2') có nghiệm t Ỵ [0;1)

Û đồ thị hàm số y = - 3t 2 + 2t trên [0;1) cắt đường thẳng y = m Û - 1 < m £

Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi - 1 < m £

1
3

1
3

Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại tốn khơng chứa tham số thì
có thể khơng nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được
nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải. Nhưng với bài toán chứa tham số thì
chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ.
Loại 4: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
Ví dụ 10: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 3 x + 3 = 3x 2 + 4 x - 1

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Lời giải:
ĐKXĐ: x ³ - 3
Phương trình Û - 27 (x + 3)- 3 x + 3 + 3x2 + 31x + 80 = 0
Đặt t =

x+ 3

(t ³ 0) phương trình trở thành 2

Có D t = (18 x + 93) suy ra t1 =

27t 2 - 3t + 3x2 + 31x + 80 = 0

- 3x - 16
x+ 5
,t 2 =
9
3

·

x+ 3 =


- 3x - 16
- 3x - 16
Vơ nghiệm vì với x ³ - 3 thì
<0
9
9

·

x+ 3 =

x+ 5
Û x2 + x - 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = - 2
3

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x = - 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành

- 27 (x + 3)- 3 x + 3 + 3x2 + 31x + 80 = 0
phương trình ẩn t có

để sau khi đặt ẩn phụ t =

x+ 3

thì


2

V= (18x + 93) ( là bình phương của một nhị thức)

Nếu ta tách khơng hợp lý thì

V khơng là bình phương của một nhị thức hoặc là một

hằng số ,trong trường hợp đó việc giải phương trình theo hướng trên là không thể thực
hiện được.
Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách
ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như
sau:
B1: Viết (1) Û m(x + 3)- 3 x + 3 + 3x2 + (4 - m)x - 1- 3m = 0
B2: Đặt t =

x+ 3

(t ³ 0) pt trở thành mt 2 -

(m ¹ 0)

3t + 3x 2 + (4 - m)x - 1 - 3m = 0

Có D t = - 12mx 2 - 4m (4 - m)x + 12m2 + 4m + 9 = f (x)

ìï - 12m > 0 ìï - 12m > 0
B3: Tìm m sao cho ïí /
Û ïí /

Û m = - 27
ïï D f = 0
ïï D f = 4m (m + 27)(m2 + m + 1) = 0
ỵ
ïỵ
Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên

60 - 24x - 5x2 = x2 + 5x - 10

Ví dụ 11: Tìm số nghiệm của phương trình sau
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Lời giải:
ĐKXĐ: 60 - 24 x - 5x2 ³ 0
Đặt t =

60 - 24 x - 5x2 (t ³ 0) pt trở thành

1 2
1
t + t - x2 - x = 0 Û t 2 + 6t - x2 - 6x = 0
6
6


2

Phuơng trình ẩn t này có D / = (x + 3) nên ta tìm được t1 = x , t2 = - x - 6
·

ìï x ³ 0
60 - 24 x - 5 x 2 = x Û ïí 2
Û x = - 2 + 14
ïï x + 4 x - 10 = 0
ỵ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

·

ìï - x - 6 ³ 0
60 - 24 x - 5 x 2 = - x - 6 Û ïí 2
Û x = - 3ïï x + 6 x - 4 = 0
ỵ

Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = - 2 -

14 , x2 = - 3 -

Ví dụ 12: Tìm số nghiệm của phương trình (x + 3)
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm


13

13

(4 - x)(12 + x) =

C. 3 nghiệm

28 - x

D. Vô nghiệm

Lời giải:
ĐKXĐ: - x2 - 8 x + 48 ³ 0

t=

- x2 - 8x + 48 (t ³ 0) phương trình trở

thành

- 1 2
- 1 2
t + (x + 3)t +
x - 3x - 4 = 0
2
2

(t ³ 0)


Phương trình bậc hai ẩn t có D t = 1 từ đó có t = x + 2, t = x + 4
ìï x + 2 ³ 0
· - x 2 - 8 x + 48 = x + 2 Û ïí 2
Û x = - 3+
ïï x + 6 x - 22 = 0
ỵ

31

ìï x + 4 ³ 0
· - x 2 - 8 x + 48 = x + 4 Û ïí 2
Û x = - 4+ 4 2
ïï x + 8 x - 16 = 0
ỵ

Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = - 3 +

31 , x2 = - 4 + 4 2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.33: Tìm số nghiệm của phương trình sau:
a)

2 x + 1 = 3x + 1

A.1 nghiệm

b)

x3 - x =


B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

4x + 4

A.1 nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
c)

x4 + 3x + 1 =

x4 - x2 - 1

A.1 nghiệm

d)

2x +


B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

6x2 + 1 = x + 1

A.1 nghiệm
e) 2 x + 3 = 9 x 2 - x - 4
A.1 nghiệm


f) x 2 +

x+ 7 = 7

A.1 nghiệm

Lời giải:
ìï
ìï 3x + 1 ³ 0
ï x³ - 1
ï
ï
Û í
Bài 3.33: a) Pt Û í
.
3
ïï 2 x + 1 = (3x + 1)2 ïï 2
ỵ
ïïỵ 9 x + 4 x = 0

ìï
ïï x ³ - 1
ï
3
Û í
Û
ïï
4
ïï x = 0, x = 9

ïỵ

é x= 0
ê
ê
êx = - 4
êë
9

ìï
x³ - 1
Û
b) PT Û ïí 3
ïïỵ x - 5x - 4 = 0

é x= - 1
ê
ê 1+ 7
êx =
ê
2
ë

ìï
x4 - x2 - 1 ³ 0
Û
c) PT Û ïí 4
ïï x + 3 x + 1 = x 4 - x 2 - 1
ỵ


ìï x 4 - x 2 - 1 ³ 0
ïí
Û x= - 2
ïï x 2 + 3x + 2 = 0
ỵ

ìï x + 1 ³ 0
ìï x ³ - 1
ï
Û
d) Pt Û ïí
í
ïï 2 x + 6 x 2 + 1 = ( x + 1)2 ïï 6 x 2 + 1 = x 2 + 1
ỵ
ỵ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
ìï x ³ - 1
ìï x ³ - 1
ïí
Û ïí 2
Û
Û x = 0, x = 2
ïï 6 x + 1 = ( x 2 + 1)2
ïï x 4 - 4 x 2 = 0
ỵ
ỵ

(


e) 1 +

3+ x

2

)

é x + 3 + 1 = 3x
= 9 x 2 Û êê
Û
êë x + 3 + 1 = - 3x

f) x2 - ( x + 7) + ( x +

x + 7) = 0 Û ( x +

éx = 1
ê
ê - 5 - 97
êx =
ê
18
ë

x + 7)( x -

x + 7 + 1) = 0


Từ đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x =

1-

29
2

.

Bài 3.34: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5

a)

A.1 nghiệm

b) 3 3 x2 +

B.2 nghiệm

x2 + 8 - 2 =

5x - 1 +

3

3

C. 3 nghiệm


D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

9 - x = 2 x2 + 3x - 1

A.1 nghiệm

d)

D. Vô nghiệm

x2 + 15

A.1 nghiệm

c)


C. 3 nghiệm

x + 6 + x2 = 7 -

x- 1

A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.34: a) ĐKXĐ: x ³

5
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Phương trình đã cho tương đương với:

x2 + 12 - 4 = 3x - 6 +
x2 - 4

Û

x2 + 12 + 4

x2 + 5 - 3

æ x+ 2
(x - 2)ỗỗỗ

ỗố x 2 + 12 + 4

éx = 2
ê
Û êê x + 2
ê 2
êë x + 12 + 4
1

Do

x2 - 4

= 3 (x - 2)+

x 2 + 12 + 4

x2 + 5 + 3

ư
÷
- 3÷
=0
÷
÷
÷
ø
x2 + 5 + 3
x+ 2


x+ 2
2

- 3 = 0(*)

x + 5+ 3

<

1
x2 + 5 + 3

Þ

x+ 2
x 2 + 12 + 4

-

x+ 2
x2 + 5 + 3

< 0 nên pt (*) vơ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

b) Ta dự đoán được nghiệm x = ± 1, và ta viết lại phương trình như sau:
PT Û 3

Û


(

3

) (

x2 - 1 +

3 (x 2 - 1)
3

x4 +

3

x2 + 1

+

éx 2 = 1
ê
Û êê
1
+
ê3 4 3 2
êë x + x + 1

) (


x2 + 8 - 3 =

x2 - 1
x2 + 8 + 3

1
x2 + 8 + 3

=

=

x 2 + 15 - 4

)

x2 - 1
x 2 + 15 + 4

1
x 2 + 15 + 4

Mặt khác, ta có:
x 2 + 15 >

x2 + 8 Þ

x 2 + 15 + 4 >

x2 + 8 + 3 Þ


1
2

x + 15 + 4

Nên phương trình thức hai vơ nghiệm.

<

1
2

x + 8+ 3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy pt có 2 nghiệm x = 1, x = - 1 .

1
.
5

c) ĐKXĐ: x ³

Phương trình đã cho tương đương với:
5x - 1 - 2 +

Û


9 - x - 2 = 2 x 2 + 3x - 5

3

5 (x - 1)
5x - 1 + 2

1- x

+

(

é
ê
Û (x - 1)êê2 x + 5 ê
êë

3

= (x - 1)(2 x + 5)

2

)

9- x + 23 9- x + 4

ù
ú

ú= 0
+
2
ú
3
5x - 1 + 2
9- x + 23 9- x + 4ú
ú
û
5

1

(

é
ê
5 5x - 1 + 5
Û (x - 1)êê2 x +
+
5x - 1 + 2
ê
êë

)

ù
ú
ú= 0
2

ú
3
3
9- x + 2 9- x + 4ú
ú
û
1

(

)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1 .
d) ĐKXĐ: x ³ 1
PT Û

3

x+ 6 +

x - 1 + x2 - 7 = 0

Û ( 3 x + 6 - 2) + ( x - 1 - 1) + ( x2 - 4) = 0 (1)
Ta có " x ³ 1 : 3 ( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 = ( 3 x + 6 + 1)2 + 3 > 0 & x - 1 + 1 > 0
Do đó PT Û

x- 2
3

2


( x + 6) + 2 3 x + 6 + 4

é
1
Û ( x - 2) êê
+
êë3 ( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4

+

x- 2
x- 1 + 1

+ ( x - 2)( x + 2) = 0

ù
+ x + 2ú
ú= 0 Û x = 2
x- 1 + 1
ú
û
1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Bài 3.35: Tìm số nghiệm của phương trình
a)


x2 + x + 2 = x2 + x
A.1 nghiệm

2

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm


C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

x2 - x + 1

b) (2 x - 1) =

A.1 nghiệm

c) 13x + 2(3x + 2) x + 3 + 42 = 0
A.1 nghiệm

d) x2 - 2x - 22 -

B.2 nghiệm

- x2 + 2x + 24 = 0

A.1 nghiệm

e)

x+ 1
x+ 1-


3- x

= x-

1
2

A.1 nghiệm

f)

4x - 1 + 4x2 - 6x + 1 = 0

A.1 nghiệm

g) x 2 + 2 x x -

1
= 3x + 1
x

B.2 nghiệm