Lý thuyết đàn hồi - Chương 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (158.09 KB, 10 trang )

y
x
z
r
dr
1
o
θ
θ
d
o
y
x
θ
r
θ
θ
σ
σ
θ
θ
d
∂
∂
+
dr
r
r
r
∂
∂

+
σ
σ
θ
θ
τ
τ
θ
θ
d
r
r
∂
∂
+
r
f
dr
r
r
r
∂
∂
+
θ
θ
τ
τ
θ
σ

θ
τ
r
R
θ
τ
r
σ
θ
f
CHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng
tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những
miền cạnh lỗ tròn của tấm…
Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán
kính r.
7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1. Các phương trình vi phân cân bằng :
Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta
cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt.
- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr.
- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ.
- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị
Hình 7.1
+ Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét
A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau:
- Các mặt nhận r làm pháp tuyến:
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σ
r

, T
r
θ
.
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành
phần ứng suấ:
θ
σ
σ
θ
d
r
r
∂
∂
+
,
θ
θ
θ
θ
d
r
T
r
∂
∂
+
- f
r

, f
θ
: Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp
tuyến.
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 :
53
o x
y
A
B
D
C
A1
C1
D1
B1
V
U
0...
2
cos.1.)(
2
cos.1..
2
sin.1.).(
2
sin.1..).)((1...0
=+
∂
∂

++
−
∂
∂
+−−+
∂
∂
++−⇔=Σ
drdrf
d
drd
d
dr
d
drd
d
drddrrdr
r
drr
r
r
rr
r
rr
θ
θ
θ
θ
τ
τ

θ
τ
θ
θ
θ
σ
σ
θ
σθ
σ
σθσ
θ
θθ
θ
θθ
Vì biến dạng bé nên
22
sin
θθ
dd
≈

1
2
cos ≈
θ
d

Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được:
0

1
=+
−
+
∂
∂
+
∂
∂
x
r
f
r
r
T
rr
r
θ
θ
θ
σσ
σ
(7.1)
Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được

02
1
=++
∂
∂

+
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
σ
f
T
r
T
r
r
r
r
(7.2)
+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : T
r
θ
= T
θ
r
(7.3)
2. Các phương trình hình học :
Chuyển vị của điểm A(r,θ) theo phương r, θ là u,v
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương r, θ là :

dr

r
u
u
∂
∂
+
và
dr
r
v
v
∂
∂
+
Chuyển vị của điểm C(r,θ+dθ) theo 2 phương r, θ là :

θ
θ
d
u
u
∂
∂
+
và
θ
θ
d
v
v

∂
∂
+
Biến dạng tương đối theo phương r, θ là ε
r
, ε
θ
Hình 7.2
*Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ.
Sau biến dạng ABCD → A’B’C’D’ :
+ Các biến dạng dài :
54
o
C
A
B
D
x
y
A'
B'
D'
C'
E'
U
dr
r
u
u
∂

∂
+
θ
θ
d
u
u
∂
∂
+
1
γ
σr =
r
u
dr
udr
r
u
u
AB
ABBA
∂
∂
=
−
∂
∂
+
=

−
)(
''
;
2. Các phương trình hình học:
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v.
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là:

dr
r
u
u
∂
∂
+
và
dr
r
v
u
∂
∂
+
Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:
θ
θ
d
u
u
∂

∂
+
và
dv
v
v
θ
∂
∂
+
Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: ε
r
, ε
θ
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến
dạng ABCD trở thành A’B’C’D’:
Hình 7.3
+Các biến dạng dài tương đối:
r
u
dr
drdru)dr
r
u
u(
AB
AB'B'A
r
∂
∂

=
−+−
∂
∂
+
=
−
=ε
;
r
u
rd
rdd)ur(
AB
AC'C'A
=
θ
θ−θ+
=
−
=ε
θ
;
+Biến dạng góc: (a)
θ∂
∂
=
θ
−θ
θ∂

∂
+
==γ
u
r
1
rd
u)d
u
u(
EAC
'''
1

* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng
ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’:
55
D
C''
A
C
o
D''
B''
B
A''
x
y
M
N

v
dr
r
v
v
∂
∂
+
2
γ
(Hình 5.4)
+ Biến dạng dài:
θθ
θθθ
θ
ε
θ
∂
∂
=
−+−
∂
∂
+
=
−
=
u
rrd
ddvd

v
v
AB
ACCA 1
)(
''''
=
+ Biến dạng góc:
γ
2
= (B’’A’’M – NA’’M) (b)
=
r
v
r
v
r
v
dr
vdr
r
v
v
−
∂
∂
=−
−
∂
∂

+ )(

Có số hạng (NA”M) =
r
v
trong γ
2
là do sự quay toàn phân tố ABCD đối
với điểm 0.
Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong
tọa độ cực:
r
v
r
vu
r
1
v
r
1
r
u
r
u
21
r
−
∂
∂
+

θ∂
∂
=γ+γ
θ∂
∂
+=ε
∂
∂
=ε
θ
(7.4)
3. Các phương trình vật lý:
Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke
trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ:
a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất:
ε
r
=
E
1
(σ
r
– μσ
θ
)
ε
θ
=
E
1

(σ
θ
– μσ
r
) (7.5a)
56
γ
rθ
=
G
1
T
rθ
=
E
)1(2
µ
+
T
rθ
b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng:
σ
r
=
2
1
µ
−
E
(ε

r
– με
θ
)
σ
θ
=
2
1
µ
−
E
(ε
θ
– με
r
) (7.5b)
T
rθ
= G.γ
rθ
Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E
1
, μ
1
theo cách đặt:
2
1
1
µ

−
=
E
E
;
µ
µ
µ
−
=
1
1
$7.2. GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT:
- Phương trình LeVy
∇
2
(σ
x
+ σ
y
) = 0 là phương trình giải bài toán phằng
theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes.
Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực:
∇
2
(σ
x
+ σ
y
) = 0