BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀ O TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THI ̣THU TRANG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11-THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀ O TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THI ̣THU TRANG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11-THPT

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn

KHÓA ḶN TỚT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: Ths. Doãn Mai Hoa

SƠN LA, NĂM 2018


LỜI CẢM ƠN

Trong quá triǹ h thực hiê ̣n khóa luâ ̣n , em đã nhâ ̣n đươ ̣c sự hướng dẫn tâ ̣ n tiǹ h
của GV Ths. Doãn Mai Hoa, sự giúp đỡ và ta ̣o điề u kiê ̣n của thầ y cùng với các em học
sinh trường THPT . Đồng thời, viê ̣c hoàn thành khóa luâ ̣n nhâ ̣n đươ ̣c sự giúp đỡ ta ̣o
điề u kiê ̣n thuâ ̣n lơ ̣i về cơ sở vâ ̣t chấ t , tài liệu,Thư viên và mô ̣t số phòng ban trực thuô ̣c
trường Đa ̣i học Tây Bắc.
Nhân dip̣ này cho phép em đươ ̣c bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo,
các đơn vị nói trên về sự ủng hộ và những đóng góp ý kiế n giúp đỡ quý báu đó.
Em xin chân thành cảm ơn !
Sơn La, tháng 5 năm 2018
Ngƣời thƣ ̣c hiêṇ

Nguyễn Thi Thu
Trang
̣


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn khóa luận ...................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
2.2. Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu .................................................................................. 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Cấ u trúc của khóa luâ ̣n ................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THƢ̣C TIỄN ....................................... 3
1.1 Mô ̣t số khái niê ̣m .......................................................................................... 3
1.1.1. Kỹ năng .................................................................................................... 3
1.1.2. Kỹ năng phân tích giải bài tập toán ........................................................... 3
1.2. Phương pháp kỹ năng phân tić h trong tim

̀ lời giải bài toán : ......................... 4
1.3. Phương triǹ h lươ ̣ng giác trong chương triǹ h lớp11-THPT ........................... 5
1.3.1. Phương triǹ h lươ ̣ng giác cơ bản. ............................................................... 6
1.3.2. Mô ̣t số da ̣ng phương triǹ h lươ ̣ng giác tổ ng hơ ̣p có thuâ ̣t giải : ................... 7
1.4. Thực tra ̣ng của viê ̣c da ̣y và ho ̣c kỹ năng phân tích giải phương trình lươ ̣ng
giác của học sinh lớp 11-THPT .......................................................................... 7
1.4.1. Đối với giáo viên: ..................................................................................... 7
1.4.2. Đối với học sinh ....................................................................................... 8
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍ CH
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 ............ 9
2.1. Nguyên tắ c rèn luyê ̣n kỹ phân tích năng giải phương trình lươ ̣ng giác lơ
11:
́ p ....9
2.2. Rèn luyện kỹ năng phân tích mô ̣t số phươn
g trình lươ ̣ng giác...............................9
CHƢƠNG 3: THƢ̣C NGHIỆM SƢ PHẠM.................................................. 41
1) Mục đích thực nghiệm ................................................................................. 41
2) Nô ̣i dung thực nghiê ̣m .................................................................................. 41
3) Phương pháp thực nghiê ̣m............................................................................ 41


4) Tổ chức thực nghiê ̣m ................................................................................... 41
5) Tiế n trình thực nghiê ̣m ................................................................................. 41
6) Kế t quả rút ra từ thực nghiê ̣m ....................................................................... 42
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 44


DANH MỤC VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT
Từ và các cụm từ viết tắt


Từ và các cụm từ đầy đủ

THPT

Trung học phổ thơng

PTLG

Phương trình lượng giác

TH

Trường hợp

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

VD

Ví dụ

SGK

Sách giáo khoa


NXB

Nhà xuất bản


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Phương trình lươ ̣ng giác là mô ̣t trong những nô ̣i dung quan tro ̣ng trong chươn g
trình toán phổ thơng và ln có mặt trong đề thi đại học, cao đẳ ng.
Do vâ ̣y , tổ chức có hiê ̣u quả viê ̣c da ̣y ho ̣c lươ ̣ng giác nói chung
trình lượng giác nói riêng có vai trò tác động

, giải phương

trực tiế p đến kết quả học tâ ̣p của ho ̣c

sinh.Phương triǹ h lươ ̣ng giác rấ t đa da ̣ng và phong phú , để giải được chúng đòi hỏi
phải nắm vững được công thức , các phương trình lượng giác cơ bản và

điề u quan

trọng nhất là phải có kĩ năng phân tích giải phương triǹ h lươ ̣ng giác.
Rèn luyện kĩ năng phân tích giải phương trình lượng giác vừa là mục đích , vừa
là phương tiện làm cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản

, rèn luyện kĩ năng suy

luâ ̣n toán ho ̣c, tính toán và rèn luyện c ác phẩm chất tư duy : tư duy linh hoa ̣t , đô ̣c lâ ̣p,
sáng tạo, chính xác, cẩ n thâ ̣n…góp phầ n phát triể n năng lực toán ho ̣c cho ho ̣c sinh.

Thực tế da ̣y ho ̣c nhằ m rèn luyê ̣n kỹ năng phân tích cho ho ̣c sinh trong giải bài
tâ ̣p lươ ̣ng giác ở lớp 11-THPT Mường Bi còn có những ha ̣n chế . Do kỹ năng phân tić h
trong các bước giải bài tâ ̣p phương trình lươ ̣ng giác có tầ m quan tro ̣ng: Khơng chỉ giúp
học sinh nhìn thấy kiến thức về phương trình lượng giác liên quan đến

kiế n thức về

phương triǹ h đa ̣i số ; liên quan đế n kiế n thức về hiǹ h ho ̣c ; các quan hệ giữa các đại
lươ ̣ng hình ho ̣c…Do đó nhằ m giúp ho ̣c sinh lớp 11-THPT có nhâ ̣n thức toàn diê ̣n, đầ y
đủ về kỹ năng phân tić h trong giải phương tr

ình lượng giác tác giả l ựa chọn viê ̣c

nghiên cứu: “Rèn luyê ̣n ki ̃ năng phân tích giải mô ̣t số phương trình lươ ̣ng giác lớp 11THPT”, nhằ m đề ra mô ̣t vài suy nghi ̃ về viê ̣c nâng cao chấ t lươ ̣ng da ̣y ho ̣c phương
trình lượng giác lớp 11-THPT.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng phân tích trong giải
phương triǹ h lươ ̣ng giác cho ho ̣c sinh lớp 11, nhằ m góp phần nâng cao hiệu quả dạy và
học giải toán phương triǹ h ở THPT.
2.2. Nhiêm
̣ vu ̣ nghiên cƣ́u
Nghiên cứulí luận có liên quankỹ năng phân tíchtrong giải phương trình lượng giác
.
Tìm hiểu về thực trạng việc

rèn luyện kỹ năng phân tích giải phương trình

lươ ̣ng giác của học sinh lớp 11-THPT.
1



Đề xuấ t mô ̣t số biê ̣n pháp nhằ m rèn luyê ̣n kỹ năng phân tích trong giải một số
phương triǹ h lươ ̣ng giác.
Thử nghiê ̣m sư pha ̣m .
3. Đối tƣơ ̣ng, phạm vi nghiên cứu
- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán học.
- Mô ̣t số phương trình lươ ̣ng giác lớp 11-THPT.
4. Phƣơng pháp nghiên cƣ́u
- Phương pháp nghiên cứu lí luâ ̣n.
- Phương pháp quan sát- điề u tra.
- Phương pháp thử nghiê ̣m sư pha ̣m.
5. Cấ u trúc của khóa luâ ̣n
Ngoài phần mở đầu và kết luâ ̣n Khóa luâ ̣n gồ m 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn.
Chương 2: Mô ̣t số biê ̣n pháp r èn luyện kỹ năng phân tích giải phương
lươ ̣ng giác cho ho ̣c sinh lớp 11 THPT.
Chương 3: Thử nghiê ̣m sư pha ̣m.

2

trình


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THƢ̣C TIỄN
1.1 Mô ̣t số khái niêm
̣
1.1.1. Kỹ năng
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng . Những đinh
̣ nghiã này thường

bắ t nguồ n từ góc nhiǹ chuyên môn và quan niê ̣m cá nhân của từng người. Ví dụ như:
- Theo tâm lý ho ̣c kỹ năng là khả năng thực hiê ̣n có kế t quả mô ̣t hành đô ̣ng nào
đó theo mô ̣t mu ̣c đić h trong những điề u kiê ̣n nhấ t đinh.
̣
- Kỹ năng là khả năng con người trong việc vận dụng kiến thức để thực hiê ̣n mô ̣t
nhiê ̣m vu ̣ nghề nghiê ̣p mang tiń h kỹ thuâ ̣t , giải quyết vấn đề tổ chức , quản lý và giao
tiế p…
Hiể u mô ̣t cách chung nhấ t: kỹ năng là khả năng thực hiê ̣n mô ̣t hành đô ̣ng hay mô ̣t
hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, cách thức hành động
đúng đắ n để đa ̣t đươ ̣c mu ̣c đić h đề ra.
1.1.2. Kỹ năng phân tích giải bài tập toán
- Kỹ năng giải bài tập là khả năng thực hiện giải bài toán nào đó bằng cách lựa
chọn và vâ ̣n du ̣ng các kiế n thức toán ho ̣c để giải bài toán.
- Kỹ năng phân tích có thể coi là một trong những kỹ năng quan trọng mà bạn
không đươ ̣c da ̣y qua bấ t kỳ mô ̣t trường lớp nào cả . Kỹ năng này bao gồm : tư duy về
trực quan, tư duy phản biê ̣n và khả năng thu thâ ̣p và xử lý thông tin.
- Kỹ năng phân tić h giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử
dụng có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Mô ̣t ho ̣c sinh có kỹ năng phân tić h khi giải bài toán sẽ xác định được hướng giải
đúng, trình bài lời giải mợt cách logic, chính xác trong một thời gian nhất định.
a) Các mức độ của kỹ năng phân tích
Trong toán ho ̣c có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tâ ̣p toán học:
- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán cơ bản
- Kỹ năng phân tić h giải bài tập toán tổng hợp
b) Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh
Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để phân tích giải những bài tập toán
cơ bản, từ đó hiǹ h thành cho học sinh các thao tác cơ bản như: Viế t các đa ̣i lươ ̣ng theo
ngôn ngữ toán ho ̣c , viế t chính xác công thức , ký hiệu , tính gi á trị dựa vào công
thức…viê ̣c hiǹ h thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoa ̣n này là phân tić h giải bài tập mẫu
3



cụ thể để học sinh biết đươ ̣c thao tác phân tích giải một bà i tâ ̣p toán cơ bản (có thể
giáo viên triǹ h bày)
Giai đoạn 2: Học sinh vâ ̣n du ̣ng kiế n thức để phân tích bài tập toán cơ bản qua
đó hiǹ h thành kỹ năng riêng rẽ gắ n với các bài cơ bản . Viê ̣c hiǹ h thành kỹ năng riêng
rẽ của giai đoạn này là : Luyê ̣n tâ ̣p phân tić h giải một số bài t ập toán học tương tự bài
mẫu nhằ m giúp ho ̣c sinh nắ m đươ ̣c sơ đồ đinh
̣ hướng giải mô ̣t bài tâ ̣p toán cơ bản.
Giai đoa ̣n 3: Hình thành kỹ năng phân tić h giải bài tập tổng hợp thông qua việc
cho ho ̣c sinh phân tích giải những bài tâ ̣p tổ ng hơ ̣p phức ta ̣p, đa da ̣ng hơn.
Muố n hiǹ h thành kỹ năng phân tić h giải b ài toán cần nắm được vững

vàng

những kiế n thức đã ho ̣c trước đó có liên quan đế n bài toán.
Sự phân chia chỉ là tương đố i , trong hê ̣ thố ng các ki ̃ năng đề u có mố i liên hê ̣
mâ ̣t thiế t với nhau, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược lại.
b) Con đƣờng hin
̀ h thành kỹ năng phân tích giải bài tâ ̣p
Theo lý luâ ̣n da ̣y ho ̣c thì kỹ năng hình thành đươ ̣c do tâ ̣p luyê ̣ n mà nên , do đó
có thể hình thành kỹ năng phân tích bằng nhiều cách thức khác nhau:
Luyê ̣n tâ ̣p theo mẫu : Cho ho ̣c sinh phân tích giải bài toán bài tâ ̣p tương tự bài
tâ ̣p mẫu . Viê ̣c luyê ̣n tâ ̣p tiế n hành ngay trong tiế t ho ̣c cũng

có thể len lỏi qua một số

bài tập về nhà.Viê ̣c da ̣y ho ̣c sinh kỹ năng phân tić h đề là rất quan trọng, giúp học sinh
đinh
̣ hướng mô ̣t cách đúng đắ n nhấ t để đưa ra cách giải cho mô ̣t bài toán cu ̣ thể.

Luyê ̣n tâ ̣p không theo mẫu : cho ho ̣c sinh luyê ̣n tâ ̣p khi những điề u kiê ̣n và yêu
cầ u của bài toán đươ ̣c thay đổ i từ đơn giản đế n phức ta ̣p . Hê ̣ thố ng các bài tâ ̣p sắ p xế p
từ dễ đế n khó, giúp học sinh phát triển kỹ năng dần dần nâng cao.
Luyê ̣n tâ ̣p thườ ng xuyên : kỹ năng phân tić h phải được hình thành cho học sinh
mơ ̣t cách thành tha ̣o vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích
trong tiế t ho ̣c, trong hoa ̣t đô ̣ng ho ̣c ở nhà.
1.2. Phƣơng pháp kỹ năng phân tích trong tìm lời giải bài toán
Kỹ năng phân tić h chung, cũng tn theo bớ n bước sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (Phân tić h đề bài)
Phát biểu đề bài ở những dạng khác nhau để hiểu rõ, hiể u sâu nô ̣i dung bài toán
Phân biê ̣t đươ ̣c cái đã biế (giả
t thiết) và cái cầ n phải tìm, phải chứng minh(kế t luâ ̣n)
Xét xem chúng đã ở dạng tổng quát nào chưa nếu rời thì thực hiện giải theo cách
giải của dạng nó, nế u chưa thì tim
̀ cách biế n đổ i đưavề mô ̣t da ̣ng đã biế t hướng giải
4


(Có thể dùng cơng thức , kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ trong việc diễn tả phân tích
mô phỏng bài toán mô ̣t cách rõ ràng nhấ t có thể)
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghi ̃ có tiń h chấ t tim
̀ đoán : biế n đổ i
cái đã cho, biế n đổ i cái phải tim
̀ hay phải chứng minh ; và liên hệ chúng với những tri
thức đã biế t; liên hê ̣ bài toán với mô ̣t bài toán tương tự , mô ̣t bài bài toán tổ ng quá t hơn
hay mô ̣t bài toán có liên quan.
Sử du ̣ng những phương pháp đă ̣c thù với từng da ̣ng bài toán như : quy na ̣p toán
học, chứng minh phản chứng, toán dựng hình…
Kiể m tra bài toán bằ ng cách xem kỹ từng bước hoă ̣c đố i chiế u với


mô ̣t số kế t

quả có liên quan…
Tìm ra những cách giải khác nhau rời so sánh chúng

, tìm ra cách giải tới ưu

nhấ t cho bài toán.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Từ viê ̣c đã biế t đươ ̣c cách giải , ta sắ p xế p thành mô ̣t quy triǹ h giả i gồ m các
bước theo trình tự thích hơ ̣p và thực hiê ̣n lầ n lươ ̣t các bước đó
( đảm bảo đươ ̣c tiń h đúng, logic, chính xác..)
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rô ̣ng hay lâ ̣t ngươ ̣c vấ n đề; nghiên
cứu khả năng ứng du ̣ng kế t quả của lời giải.
Lƣu ý: Chú trọng nhất là bước1 phân tích đề bài; vì chỉ có thể hiểu rõ hiểu sâu bài
toán, nắ m đươ ̣c bài toán cho cáigì và phải tìm cái gì để từ đó ta mới đitìm cách giải
Như vâ ̣y, ta thấ y viê ̣c phân tić h đề bài là bước quan trọng nhất để giải quyết một
bài toán nào đó . Nó giúp ta định hướng tìm được nhanh chóng cách giải bài toán môt
cách dễ ràng hơn.
1.3. Phƣơng trin
̀ h lƣơ ̣ng giác trong chƣơng trin
̀ h lớp11-THPT
Phương triǹ h lươ ̣ng giác đươ ̣c trình bày ở chương I của sách giáo khoa Đa ̣i số
và giải tích 11 với 20 tiế t gồ m các nô ̣i dung sau:

 1 : Hàm số lượng giác(8 tiế t)

 2 : Phương trình lươ ̣ng giác cơ bản(4 tiế t)

 3 : Mô ̣t số hê ̣ phương triǹ h lươ ̣ng giác thường gă ̣p (8tiế t)

5


- Phương trình lươ ̣ng giác là phương trình chứa mô ̣t hay nhiề u hàm số lươ ̣ng
giác.
- Giải ph ương trình lươ ̣ng giác là tìm tấ t cả các giá tri ̣của ẩ n số thỏa mañ
phương triǹ h đã cho. Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc
bằ ng đô ̣.
Trong thực tế , có nhiều bài toán dẫn đến việc giải c ác phương trình có mợt
trong các da ̣ng sau: sin x  m,cos x  m,tan x  m,cot x  m.
(trong đó: x là ẩ n số và m là hằ ng số cho trước ).
Đó chiń h là phương triǹ h lươ ̣ng giác cơ bản.
1.3.1. Phƣơng trin
̀ h lƣơ ̣ng giác cơ bản
*Dạng1: Phương triǹ h sin x  m (1)
Cách giải:
Để giải và biện luâ ̣n phương trình (1) ta thực hiê ̣n các bước sau:
Bước1: Nế u m  1 thì phương trình vơ nghiệm.
Bước2: Nế u m  1 thì có hai trường hơ ̣p xảy ra:
+TH1: Nế u m biể u diễn qua sin của các cung đă ̣c biê ̣t.
+TH2: Nế u m không biể u diễn qua sin của các cung đă ̣c biê ̣t.
*Dạng2: Phương trình cosx  m (2)
Cách giải:
Để giải và biện luâ ̣n phương trình (2) ta thực hiê ̣n theo các bước sau:
Bước1: Nế u m  1 thì phương trình vơ nghiệm.
Bước2: Nế u m  1 thì có hai trường hợp xảy ra:
+TH1: Nế u m biể u diễn qua cos của các cung đă ̣c biê ̣t.
+TH2: Nế u m không biể u diễn qua cos của các cung đă ̣c biê ̣t.

* Dạng3: Phương triǹ h tan x  m (3)
Cách giải:
Để giải và biê ̣n luâ ̣n phương triǹ h (3) ta thực hiê ̣n theo các bước sau:
Bước1: Phân tích đă ̣c điể m của bài toán ta đă ̣t điề u kiê ̣n:

cos x  0  x 


2

 k ,(k  Z ) .

6


Bước2: Xét 2 trường hơ ̣p xảy ra:
+TH1: Nế u m biể u diễn qua tan của các cung đă ̣c biê ̣t.
+TH2: Nế u m không biể u diễn qua tan của các cung đă ̣c biê ̣t.
(Nhâ ̣n xét : Với mọi giá trị của tham số m thì phương trình

(3) ln ln có

nghiê ̣m.)
* Dạng 4: Phương trình cot x  m (4)
Cách giải:
Để giải và biê ̣n luâ ̣n phương trình (4) ta thực hiê ̣n theo các bước sau:
Bước1: Đặt điều kiện:

sin x  0  x  k ,(k  Z ) .
Bước2: Xét 2 trường hơ ̣p xảy ra:

+TH1: Nế u m biể u diễn qua cot của các cung đă ̣c biê ̣t.
+TH2: Nế u m không biể u diễn qua cot của các cung đă ̣c biê ̣t.
(Nhâ ̣n xét : Với mo ̣i giá tri ̣của tham số m thì ph

ương triǹ h (4) luôn luôn có

nghiê ̣m.)
1.3.2. Mô ̣t số da ̣ng phƣơng trin
̀ h lƣơ ̣ng giác tổ ng hơ ̣p có thuâ ̣t giải
* Phƣơng trin
̀ h bâ ̣c nhấ t đố i với mô ̣t hàm số lƣơ ̣ng giác
* Phƣơng trin
̀ h bâ ̣c hai đố i với mô ̣t hàm số lƣơ ̣ng giác
* Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
* Phƣơng trin
̀ h đố i xƣ́ng với sinx và cosx
1.4. Thƣ̣c tra ̣ng của viêc̣ da ̣y và ho ̣c kỹ năng phân tích giải phƣơng trin
̀ h lƣơ ̣ng
giác của học sinh lớp 11-THPT
Để tìm hiể u thực tra ̣ng viê ̣c da ̣y và ho c̣ ở trường THPT Mường Bi, tôi tiế n hành
điề u tra hai đố i tươ ̣ng là giáo viên và ho ̣c sinh trường THPT Mường Bi như sau:
- Giáo viên: trường THPT Mường Bi
- Học sinh: lớp 11A1 và 11A2.
1.4.1. Đối với giáo viên

7


Bảng1: Đội ngũ giáo viên của trƣờng.
Số

lƣơ ̣ng

Tuổ i nghề (năm)

Hê ̣đào ta ̣o

Chấ t lƣơ ̣ng GV

giáo
viên
12

1-10

10 - 20

Trên 20

CĐ

ĐH

Trên ĐH

G

K

TB


3

5

4

0

11

1

4

8

0

1.4.2. Đối với học sinh
Qua bảng điề u tra ta thấ y đ a số các ho ̣c sinh trong trường có phương pháp ho ̣c
tâ ̣p truyề n thố ng it́ mang la ̣i hứng thú ho ̣c tâ ̣p . Phầ n lớn các em đêu biế t làm và cũng
có kỹ năng mềm dẻo , linh hoa ̣t, sáng tạo. Do đó , giáo viên cần nắm bắt tình hình học
sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn mô ̣t số kỹ năng giải PTLG cho các em như : Kỹ năng
phân tić h, suy luâ ̣n ,…để các em hiể u sâu và vâ ̣n du ̣ng giải các bài toán phức ta ̣ p hơn
cũng có thể làm được.

8


CHƢƠNG 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11
2.1. Nguyên tắ c rèn luyêṇ kỹ phân tích năng giải phƣơng trin
̀ h lƣơ ̣ng giác lớp 11
Để rèn luyê ̣n kỹ năng phân tić h giải PTLG c ần dựa vào mức đợ và trình đợ kỹ
năng phân tích giải bài tâ ̣p toán ho ̣c.
- Rèn luyện kỹ năng phân tíc h giải PTLG ở các nô ̣i du ̣ng : phương triǹ h lươ ̣ng
giác cơ bản, và phương trình lượng giác tổng hợp có thuật giải.
2.2. Rèn luyện kỹ năng phân tích một số phƣơng trình lƣợng giác tích hợp
* Mô ̣t số ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình

sin 2 x  2sin x cos x  2cos 2 x 

1
2

(*)

Giải
*) Phân tích tìm hƣớng giải
Cách 1: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c:

sin 2 x 

1  cos 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
2

và

Từ đó ta có:

sin 2 x  2sin x cos x  2cos 2 x 

1 1  cos 2 x
1  cos 2 x 1

 sin 2 x  2

2
2
2
2

 2sin 2 x  3cos2 x  2 (**)
Giải (**) tìm nghiệm.
Cách 2: -Đánh giá cosx=0 xem có thỏa mañ phương triǹ h hay không,
- Nế u cos x  0 chia cả 2 vế cho cos 2 x , ta đưa phương triǹ h về da ̣ng phương
trình bậc hai đới với tanx. Khi đó phương trình (*) trở thành:

sin 2 x 2sin x cos x 2cos 2 x
1



2
2
2

cos x
cos x
cos x 2cos 2 x
1
 tan 2 x  2 tan x  2  (1  tan 2 x)
2
2
 tan x  4 tan x  5  0
Giải phương trình này ta được tìm nghiệm.

9


*) Phân tích xây dƣ̣ng chƣơng trin
̀ h giải
Cách 1: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c: sin 2 x 

1  cos 2 x
1  cos 2 x
và cos 2 x 
2
2

Khi đó (*):

1
2
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1


 sin 2 x  2

2
2
2
 2sin 2 x  3cos 2 x  2
sin 2 x  2sin x cos x  2cos 2 x 


Đặt : cos t 

2
3
2
sin 2 x 
cos 2 x 
13
13
13

2
3
,sin t 
13
13



 sin(2 x  t )  cos t  sin(  t )
2





2
x

t


t

k
2

x

 k


2
4


,(k  Z )
 2 x  t      t  k 2
 x    t  k ,(0  t   )


2

4
Cách 2:
Xét với: cos x  0  sin 2 x 

1
1
(Vơ lý), vì: sin 2 x  cos 2 x   1
2
2

Vâ ̣y cos x  0 . Chia cả 2 vế cho cos 2 x , ta đươ ̣c:

sin 2 x 2sin x cos x 2cos 2 x
1



cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2cos 2 x
1
 tan 2 x  2 tan x  2  (1  tan 2 x)
2
2
 tan x  4 tan x  5  0
Vì a+b+c=0 , Khi đó:



x


 k ,(k  Z )

 tan x  1
4


,(k  Z )
 tan x  5  x    k ,(      )

2
2

10


*) Phân tích trong thƣ ̣c hiêṇ chƣơng trin
̀ h giải
Ta có:

1
2
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1

 sin 2 x  2

2
2
2

 2sin 2 x  3cos 2 x  2
sin 2 x  2sin x cos x  2cos 2 x 


Đặt : cos t 

2
3
2
sin 2 x 
cos 2 x 
13
13
13

2
3
,sin t 
13
13



 sin(2 x  t )  cos t  sin(  t )
2




2

x

t


t

k
2

x

 k


2
4


,(k  Z )


 2 x  t     t  k 2
 x   t  k ,(0  t   )


2
4
Kế t luâ ̣n: Vâ ̣y phương triǹ h có nghiê ̣m là :


x


4

 k ,(k  Z ) và x    k ,(





   ) (k  Z )
2
2

*) Phân tích nghiên cứu sâu lời giải
- Cách khác:
+ Sử du ̣ng hằ ng đẳ ng thức sin 2 x  cos2 x  1  sin 2 x  1  cos2 x
Khi đó phương trình (*) lúc này trở thành:

(1  cos 2 x)  2sin x cos x  2cos 2 x 

1
2

1
2
Ta thấ y cos x  0 . Nên ta chia cả 2 vế cho cos 2 x ta đưa về phương triǹ h bâ ̣c
 3cos 2 x  2sin x cos x 


hai đớ i với tanx. Giải phương trình đó tìm nghiệm.
- Sáng tạo bài tốn mới : Sử du ̣ng các hằ ng đẳ ng thức sau:

1
1
2

cos
x

cos 2 x
1  tan 2 x
,
1
1
2
2
1  cot x  2  s in x 
sin x
1  cot 2 x
1  tan 2 x 

11


và công thức nhân đôi sin 2 x 

2 tan x
1  tan 2 x


Từ đó phương trình (*) ban đầ u:

sin 2 x  2sin x cos x  2cos 2 x 

1
2

1
2
1

sin
2
x


1  cot 2 x
1  tan 2 x 2
1
2 tan x
2
1




2
2
2
1  cot x 1  tan x 1  tan x 2

1
2(tan x  2) 1



2
1  cot x 1  tan 2 x
2


Ta có bài toán mới sau:

1
2(tan x  2) 1


2
1  cot x 1  tan 2 x
2

Ví dụ 2: Giải phương trình

3 cos(

5
5
 2 x)  sin(  2 x)  0 (*)
6
6


Giải
*) Phân tích tim
̀ lời giải
Đây là phương triǹ h lươ ̣ng giác chứa cả hàm sin và cos
Cách 1: Ta đưa về da ̣ng cơ bản cotx.
Phương tình (*)  3 cos(
-Đặt điều kiện: sin(

5
5
 2 x)   sin(  2 x) .
6
6

5
5

 2 x)  0  x 
 k ,(k  Z ) (1)
6
12
2

Chia cả 2 vế của (*) cho sin(

3 cos(

5
 2 x) , khi đó:
6


5
5
 2 x)   sin(  2 x) 
6
6

 3 cot(

3 cos(
sin(

5
 2 x)
6
 1

5
 2 x)
6

5
5
1
 2 x)  1  cot(  2 x)  
,
6
6
3


- Giải tìm nghiệm, kế t hơ ̣p với điề u kiê ̣n (2) rồ i kế t luâ ̣n nghiê ̣m.

12


Cách 2: Ta đưa về da ̣ng cơ bản tanx.
Phương tình (*)  3 cos(
- Đặt điều kiện: cos(

5
5
 2 x)   sin(  2 x) .
6
6

5


 2 x)  0  x    k ,( k  Z) (2)
6
6
2

Chia cả 2 vế của (*) cho cos(

5
 2 x) , khi đó:
6

5

 2 x)
5
5
6
3 cos(  2 x)   sin(  2 x) 
 3
5
6
6
cos(  2 x)
6
sin(

 tan(

5
 2 x)   3
6

- Giải tìm nghiệm, kế t hơ ̣p với điề u kiê ̣n (2) rồ i kế t luâ ̣n nghiê ̣m.
*) Phân tích xây dƣ ̣ng chƣơng trin
̀ h giải
Cách 1: Là phương triǹ h lươ ̣ng giác chứa cả hàm sin và cos , ta đưa về phương
trình cơ bản của hàm cot để giải.
Phương tình (*)  3 cos(

5
5
 2 x)   sin(  2 x) .
6

6

Đặt điều kiện:

5
5
 2 x)  0 
 2 x  k ,(k  Z )
6
6
(1*)
5
5

 2 x  
 k ,(k  Z )  x 
 k ,(k  Z )
6
12
2

(

- Chia cả 2 vế của (*) cho sin(

3 cos(

5
 2 x) , khi đó:
6


5
5
 2 x)   sin(  2 x) 
6
6

5
 2 x)
6
 1 (1*)
5
sin(  2 x)
6

3 cos(

5
 2 x)
5
6
 2 x) 
Mà: cot(
, nên phương triǹ h (1*) trở thành:
5
6
sin(  2 x)
6
cos(


13


3 cot(

5
5
1
(**)
 2 x)  1  cot(  2 x)  
6
6
3

- Giải phương trình (**): (Ta thấ y: cot

2
1
)

3
3

Ta đã đưa pt (**) về đúng da ̣ng phương trình cơ bản của cot, áp dụng công thức
nghiê ̣m để giải.
Khi đó: Phương trình (**): cot(

5
1
 2 x)  

6
3

5
2
 2x 
 k ,(k  Z )
6
3
2 5
 2 x 

 k ,(k  Z )
3
6


 2 x  
x


12


6

k

 k ,(k  Z )



2

,(k  Z )

- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (1*), thỏa mãn.
KL: Vâ ̣y phương triǹ h (*) có nghiệm là: x 


12

k


2

,(k  Z )

*) Phân tích trong thƣ ̣c hiêṇ chƣơng trin
̀ h giải
Ta có:

3 cos(

5
5
 2 x)  sin(  2 x)  0
6
6


 3 cos(
Với: (

sin(

5
5
 2 x)   sin(  2 x) .
6
6

5
5

 2 x)  0  x 
 k ,(k  Z ) (1*). Chia cả 2 vế của (*) cho
6
12
2

5
 2 x) , khi đó:
6


3 cos(

5
5
 2 x)   sin(  2 x)

6
6

5
 2 x)
5
1
6
 1  cot(  2 x)  
5
6
3
sin(  2 x)
6

3 cos(

14


5
2
 2x 
 k ,(k  Z )
6
3
2 5
 2 x 

 k ,(k  Z )

3
6


 2 x  
x


12


6

k

 k ,(k  Z )


2

,(k  Z )

- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (1*) thỏa mãn.
KL: Vâ ̣y phương trình (*) có nghiệm là: x 


12

k



2

,(k  Z )

*) Phân tích nghiên cƣ́u sâu lời giải
- Cách khác : (Sử du ̣ng phương pháp giải của phương triǹ h bâ ̣c nhấ t đố i với
sinx và cosx.)
Ta thấ y: (*) có pt dạng:

3 cos(

5
5
 2 x)  sin(  2 x)  0 , nên
6
6

+Ta chia cả hai vế phương triǹ h (*) cho 2, ta đươ ̣c:

3
5
1
5
cos(  2 x)  sin(  2 x)  0 (**)
2
6
2
6
+ Lại có: sin



3



3
 1
và cos  thay (**) ta đươ ̣c:
2
3 2


5

5
sin cos(  2 x)  cos sin(  2 x)  0 (3*)
3
6
3
6
+ Theo công thức cô ̣ng: sin( a  b)  sin acos b  cos asin b ,
Nên: sin


3

cos(

5


5
5


 2 x)  cos sin(  2 x)  sin   (  2 x) 
6
3
6
6
3

5
7


 (  2 x)   0  sin(  2 x)  0 (4*)
6
6
3


Phương triǹ h (3*)  sin 

(Áp dụng công thức nghiệm giải

(4*) và đó cũng chình là nghiệm phương

trình (*).)
- Sáng tạo bài tốn mới

+ Áp dụng cơng thức cợng, ta có:

15


cos(
sin(

5
5
5
3
1
 2 x)  cos cos 2 x  sin sin 2 x  
cos 2 x  sin 2 x ,
6
6
6
2
2

5
5
5
1
3
 2 x)  sin cos 2 x  cos sin 2 x  cos 2 x 
sin 2 x
6
6

6
2
2

+Từ đó, thay vào (*) biế n đổ i thu go ̣n ta đươ ̣c:

3sin 2 x  cos2 x  0

Vâ ̣y ta có bài toán mới:

3sin 2 x  cos2 x  0 .
Ví dụ 3: Giải phương trình

2sin 2 x  sin 2 x  0 (*)
Giải
*) Phân tích tìm lời giải
Đây chưa phải là phương triǹ h bâ ̣c nhấ t đố i với mô ̣t hàm lươ ̣ng giác , nên ta sử
dụng các phép biến đổi lượng giác và công thức lượng giác để đưa chúng về da ̣ng đó.

sin 2 x 

Cách 1: Dùng công thức hạ bậc

1  cos 2 x
biế n đổ i (*), đưa về
2

phương triǹ h da ̣ng bâ ̣c nhấ t đố i với sin2x và cos2x.
Khi đó, phương trình (*) trở thành:


2

1  cos 2 x
 sin 2 x  0  1  cos2 x  sin 2 x  0
2

Cách 2: Dùng công thức nhâ n đôi sin 2 x  2sin x cos x biế n đổ i (*), đưa về
phương triǹ h tić h. Khi đó, phương triǹ h (*):

2sin 2 x  sin 2 x  0  2sin 2 x  2sin x cos x  0

 2sin x  sin x  cos x   0
Cách 3: Biế n đổ i

sin 2 x thành (1  cos 2 x) , dựa vào hằ ng đẳ ng thức

sin 2 x  cos2 x  1 .
Dẫn đế n phương trình (*) trở thành phương trình : 2(1  cos2 x)  sin 2 x  0 ,
biế n đổ i bằ ng cách thu go ̣n ta đươ ̣c : 1  cos2 x  sin x cos x  0 (2*) _Phương trình
này là phương trình đẳng cấp bậc hai, đã có phương pháp giải.

16


*) Phân tích xây dƣ ̣ng chƣơng trin
̀ h giải
Cách 1: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c biế n đở i sin 2 x 
trình (*) trở thành:

2


1  cos 2 x
, do đó phương
2

1  cos 2 x
 sin 2 x  0
2

 1  cos2 x  sin 2 x  0 .(1)
Hay: cos2 x  sin 2 x  1 (2). Ta thấ y (2) ở dạng phương trình bậc nhất đới với
sin và cos.




Ta có: cos2 x  sin 2 x  2 sin 2 x 





 , nên (2)  2 sin  2 x    1 , rồ i
4
4




chia cả 2 vế phương trình này cho 2 ta đươ ̣c: sin  2 x 

Ta thấ y,



1
(3)

4
2

1

1
đươ ̣c biể u diễn qua sin của cung đă ̣c biê ̣t là : sin 
4
2
2



Phương trình (3)  sin  2 x 





  sin
4
4


 

2
x

  k 2
 x  k

4 4


(k  z )

 x   k


 2 x      k 2

4

4
4
 x  k
(k  z )
Vâ ̣y phương triǹ h (*) có nghiệm là: 

 x   k

4
Cách 2: Sử du ̣ng công thức nhân đôi biế n đổ i sin 2x=2sinxcosx, do đó phương

trình (*) trở thành:

2sin 2 x  2sin x cos x  0 .(1)

-Ta thấ y, VT của pt (1) có nhân tử chung là 2sinx,
Đặt sinx ra ngoài làm nhân tử chung, đưa về phương triǹ h da ̣ng tić h

sin x  0
sin x  cos x  0

Do vâ ̣y, phương trình (1)  2sin x  sin x  cos x   0  
+TH1: sin x  0  x  k (k  z )

+TH2: sin x  cos x  0 . (Đây là phương triǹ h bâ ̣c nhấ t đố i với sinx, cosx)

17


2 ,ta đươ ̣c: 

Ta chia cả 2 vế cho
Mà: sin


4

 cos


4




1
1
sin x 
cos x  0 (a)
2
2

1
, Sử dụng cơng thức cợng đưa phương trình
2

(a) về

phương trình hàm sin.
Phương triǹ h (a)

 sin x cos


4

 cos x sin


4

0




 sin  x    0
4

 x
x


4



4

 k ( k  z )
 k ( k  z )

 x  k
(k  z )
Vâ ̣y pt (*) có nghiệm là: 

 x   k

4
Cách 3: Sử du ̣ng công thức biế n đổ i

sin 2 x thành (1  cos 2 x) , dựa vào hằ ng


đẳ ng thức sin 2 x  cos2 x  1 . Dẫn đế n phương trình

(*) trở thành phương trình

: 2(1  cos2 x)  sin 2 x  0 , biế n đổ i bằ ng cách thu go ̣n ta đươ ̣c:

1  cos2 x  sin x cos x  0 (2*) ( Xét 2TH: cosx=0 và cosx# 0)
TH1:cosx=0 .Khi đó pttt: (*) vô nghiê ̣m
TH2: cosx# 0. Khi đó ta chia cả 2 vế pt(2*) cho cos 2 x ta đươ ̣c:

1
sin x

1

 0 (3*)
cos 2 x
cos x
Sử du ̣ng các hằ ng đẳ ng thức: 1  tan 2 x 

1
sin x
va
tan
x

cos 2 x
cos x

Khi đó pt(3*) trở thành:


(1  tan 2 x)  1  tan x  0
 tan 2 x  tan x  0

18


*) Phân tích trong thƣ ̣c hiêṇ chƣơng trin
̀ h giải
Ta có: 2sin 2 x  sin 2 x  0

2

1  cos 2 x
 sin 2 x  0
2

 1  cos2 x  sin 2 x  0  cos2 x  sin 2 x  1


 1


 2 sin  2 x    1  sin  2 x   
4
4
2







 sin  2 x    sin
4
4

 

2
x

  k 2
 x  k

4 4


(k  z )




x


k

 2 x      k 2


4

4
4
 x  k
(k  z )
Vâ ̣y phương trình (*) có nghiệm là: 

 x   k

4
*) Phân tích nghiên cứu sâu lời giải
Cách khác:
- Ta thấ y: Sử du ̣ng công thức nhân đôi: sin 2 x  2sin x cos x ,
Khi đó, PT(*): 2sin 2 x  sin 2 x  0  2sin 2 x  2sin x cos x  0 (2*)
- Ta xét hai trường hơ ̣p:
+TH1: sin x  0  x  k ,(k  Z ) thay vào phương trình , nế u thỏa mañ thì

x  k ,(k  Z ) là nghiệm của phương trình.

(1)

+TH2: sin x  0  x  k ,(k  Z ) thì chia cả hai vế phương trình cho sin 2 x ,
ta đươ ̣c phương triǹ h bâ ̣c nhấ t đố i với cotx.
( Chia cả 2 vế phương triǹ h (2*) cho sin 2 x , ta đươ ̣c:

2sin 2 x 2sin x cos x

0
sin 2 x

sin 2 x

1

cos x

 0  cot x  1  x   k ,(k  Z )
sin x
4

Từ (1) và (2) suy ra nghiê ̣m pt (*) là:

19

(2)