BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

TÁCH CÁC TẬP ĐÓNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VÀ ÁP DỤNG TRONG TỐI ƯU VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

TÁCH CÁC TẬP ĐÓNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VÀ ÁP DỤNG TRONG TỐI ƯU VECTƠ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Quang Huy

Hà Nội, 2017

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Quang Huy

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 vào hồi ... giờ ...
Ngày ... tháng ... năm 2018

CÓ THỂ TÌM HIỂU LUẬN VĂN TẠI
THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quang Huy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Nguyễn Quang Huy, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận
văn này.
Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn
thể quý thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám
hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Tiên Du số 1 - Huyện Tiên Du Tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi học tập và hoàn thành
kế hoạch học tập.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng ... năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Hường


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quang
Huy, luận văn Chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Tách các tập đóng
trong không gian Banach và áp dụng trong tối ưu véctơ do tôi tự làm.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa
những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng ... năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Hường


1


Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Tách mờ các tập đóng
1.1. Các khái niệm về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, dưới
vi phân và đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Khái niệm nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Khái niệm nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Khái niệm dưới vi phân và đối đạo hàm . . . . .
1.2. Nguyên lý cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Định lý tách mờ các tập đóng . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 2. Áp dụng trong tối ưu véctơ
2.1. Các khái niệm nghiệm . . . . . . . .
2.2. Điều kiện cực trị . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5
5
5
6
8
9
21
21
23
40
41



2

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Các định lý tách các tập lồi đóng có một vai trò quan trọng trong
giải tích hàm và lý thuyết tối ưu. Một dạng hữu ích và quen thuộc của
các định lý này có thể phát biểu như sau: Nếu A1 và A2 là hai tập lồi
đóng trong không gian Banach (hoặc tổng quát hơn, không gian véctơ
tôpô lồi địa phương) X với một trong hai tập là compact thì tồn tại một
hàm tuyến tính liên tục x∗ trên X sao cho
inf{ x∗ , x : x ∈ A2 } > sup { x∗ , x : x ∈ A1 } .
Trong những năm gần đây đã có nhiều sự quan tâm nghiên cứu theo
hướng mở rộng định lý tách cho các tập đóng không nhất thiết lồi (xem,
chẳng hạn, [10] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong một không
gian Asplund và theo thuật ngữ nón pháp tuyến Fréchet, Mordukhovich
và Shao [11] lần đầu tiên thiết lập nguyên lý cực trị cho hai tập đóng với
một điểm chung xác định của hai tập này. Theo nghĩa nào đó, nguyên
lý cực trị này có thể xem như một dạng của định lý tách mờ cho hai tập
đóng không nhất thiết lồi. Tiếc rằng, trong trường hợp A1 = {x} và A2
là tập lồi (và đóng) sao cho x ∈
/ A2 thì định lý tách mờ đã biết cho các
tập đóng không thể đưa về dạng định lý tách các tập lồi đã phát biểu
ở trên. Từ quan điểm lý thuyết cũng như trong ứng dụng, nó là quan
trọng và thú vị mà cần phải tìm một dạng khác cho định lý tách mờ để
có thể đồng nhất định lý tách mờ các tập đóng và định lý tách các tập
lồi đóng cổ điển.
Sử dụng kỹ thuật của giải tích biến phân và các khái niệm nón pháp

tuyến, Zheng và NG [17] đã thiết lập một dạng mới của định lý tách mờ
một số hữu hạn tập đóng trong không gian Banach mà nó đồng nhất
các định lý tách lồi cổ điển và định lý tách mờ đã biết.


3

Đề tài "Tách các tập đóng trong không gian Banach và áp
dụng trong tối ưu véctơ" nhằm mục đích nghiên cứu dạng mở rộng
định lý tách mờ các tập đóng của Zheng và NG[17], và áp dụng để thiết
lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm Pareto xấp xỉ của bài toán tối
ưu có ràng buộc.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kết quả về tách mờ các tập đóng trong không gian
Banach và áp dụng trong tối ưu véctơ hay tối ưu đa mục tiêu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các định lý tách lồi cổ điển; các định lý tách mờ của
Mordukhovich và các đồng tác giả; định lý hình chiếu xấp xỉ; nguyên lý
cựu trị; dạng mở rộng định lý tách mờ của Zheng và NG[17] đã đồng
nhất các định lý tách lồi cổ điển, định lý tách mờ tập đóng và định lý
hình chiếu xấp xỉ; các kỹ thuật của giải tích biến phân để thiết lập dạng
mở rộng định lý tách mờ. Áp dụng để thiết lập các điều kiện cần và đủ
cho nghiện Pareto xấp xỉ của bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Nón pháp tuyến; nguyên lý cực trị trong
không gian Banach; các định lý tách mờ các tập lồi đóng; các điều kiện
cần và đủ tối ưu.
+ Phạm vi nghiên cứu: Giải tích biến phân và tối ưu véctơ.
5. Phương pháp và đối tượng nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Giải tích hàm, Giải tích

biến phân và Tối ưu véctơ.


4

6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa các kết quả về tách lồi cổ điển, tách mờ các tập đóng,
định lý hình chiếu xấp xỉ và dạng mở rộng của định lý tách mờ các tập
đóng. Áp dụng kết quả tách mờ các tập đóng để thiết lập các điều kiện
tối ưu trong tối ưu véctơ.


5

Chương 1
Tách mờ các tập đóng
Trong chương này, trước tiên chúng ta nhắc lại các khái niệm quen
thuộc về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, dưới vi phân và đối đạo hàm.
Tiếp theo là trình bày các định lý tách mờ, định lý hình chiếu xấp xỉ,
một mở rộng nguyên lý cựu trị của Mordukhovich và các đồng tác giả.
Kết quả quan trọng trong chương này là dạng mở rộng định lý tách mờ
của Zheng và NG [17] đã đồng nhất các định lý tách lồi cổ điển, định lý
tách mờ tập đóng và định lý hình chiếu xấp xỉ đã biết.
1.1.

1.1.1.

Các khái niệm về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, dưới
vi phân và đối đạo hàm
Khái niệm nón tiếp tuyến


Ta ký hiệu BX ,
X lần lượt là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị.
B(x, r) ký hiệu là hình cầu mở với tâm x và bán kính r. Cho A là một
tập con đóng của X và a là một điểm thuộc A. Ta ký hiệu Tc (A, a) và
T (A, a) lần lượt là các nón tiếp tuyến Clarke và nón tiếp liên của A tại
a, được định nghĩa như sau
A

Tc (A, a) := {v ∈ X : ∀an → a và ∀tn → 0+ ∃vn → v
sao cho an + tn vn ∈ A ∀n ∈ N}
và
T (A, a) := v ∈ X : ∃tn → 0+ và vn → v sao cho a + tn vn ∈ A ∀n ∈ N ,
A

ở đây x → a nghĩa là x → a và x ∈ A.
1.1.2.

Khái niệm nón pháp tuyến

Nón pháp tuyến Clarke Nc (A, a) của A tại a được định nghĩa bởi
Nc (A, a) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , h ≤ 0 ∀h ∈ Tc (A, a)} ,


6

ở đó X ∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X.
Cho ε ≥ 0 và a ∈ A, tập khác rỗng
Nε (A, a) :=


x∗ , x − a
x ∈ X| lim sup
≤ε
||x
−
a||
A
→
∗

x

a

gọi là ε-pháp tuyến Fréchet của A tại a.
Khi ε = 0 thì Nε (A, a) là một nón lồi và được gọi là nón pháp tuyến
Fréchet của A tại a và được kí hiệu bởi N (A, a).
Nón pháp tuyến Mordukhovich N (A, a) của A tại a được định nghĩa
bởi
∗

∗

A

w∗

N (A, a) := x ∈ X : ∃ε → 0 , an → a và x∗n → x∗
+


sao cho x∗n ∈ Nεn (A, an ) ∀n ∈ N .
Ta đã biết rằng
N (A, a) ⊂ N (A, a) ⊂ Nc (A, a).
Mordukhovich và Shao [12] đã chứng minh rằng nếu X là không gian
Asplund thì
Nc (A, a) = cl∗ (co(N (A, a))) và N (A, a) = lim sup N (A, x),
x→a

ở đây cl∗ kí hiệu bao đóng yếu*. Ta đã biết rằng nếu A là tập lồi thì
Tc (A, a) = T (A, a) và
Nc (A, a) = N (A, a) = {x∗ ∈ X| x∗ , x ≤ x∗ , a ∀x ∈ A} .
1.1.3.

Khái niệm dưới vi phân và đối đạo hàm

Cho φ : X → R ∪ {+∞} là hàm chính thường và nửa liên tục dưới.
Dưới vi phân Clarke-Rockafellar ∂c φ(x) của φ tại x ∈ dom(φ) được xác
định như sau
∂c φ(x) := x∗ ∈ X ∗ | x∗ , h ≤ φ↑ (x, h) ∀h ∈ X ,
ở đây
φ↑ (x, h) := lim lim sup
ε↓0

φ

z → x,t↓0

φ (z + tw) − φ (z)
.
w∈h+εBx

t
inf


7

Dưới vi phân Fréchet của φ tại x ∈ dom(φ) được định nghĩa bởi
∂φ(x) :=

φ(z) − φ(x) − x∗ , z − x
x ∈ X | lim inf
≥0 .
z→x
||z − x||
∗

∗

Ta đã biết rằng
∂φ(x) ⊂ ∂c φ(x)

(1.1)

và nếu φ là hàm lồi thì với mỗi x ∈ dom(φ), ta có
∂c φ(x) = ∂φ(x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , y − x∗ ≤ φ(y) − φ(x) ∀y ∈ Y } .
Cho A là một tập con đóng của X và δA kí hiệu hàm chỉ của A. Ta đã
biết rằng
Nc (A, a) = ∂c δA (a), N (A, a) = ∂δA (a) ∀a ∈ A

(CS)


và với mỗi x ∈ dom(φ),
∂c φ(x) = {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ Nc (epi(φ), (x, φ(x)))}

(CF)

∂φ(x) = x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epi(φ), (x, φ(x))) ,
ở đây epi(φ) := {(x, t) ∈ X × R : φ(x) ≤ t}.
Ta nhắc lại quy tắc dưới vi phân đã biết cho hàm tổng [10].
Bổ đề 1.1.1. Cho φ1 , φ2 : X → R ∪ {+∞} là các hàm chính thường
và nửa liên tục dưới. Lấy x ∈ dom(φ1 ) ∩ dom(φ2 ) và giả sử rằng φ1 là
Lipschitz địa phương tại x. Khi đó
∂c (φ1 + φ2 )(x) ⊂ ∂c (φ1 ) + ∂c (φ2 ).
Nếu X là không gian Asplund thì với mỗi x∗ ∈ ∂(φ1 + φ2 )(x) và với mỗi
ε > 0 luôn tồn tại x1 , x2 ∈ B(x, ε) sao cho |φi (xi ) − φi (x)| < ε (i = 1, 2)
và
x∗ ∈ ∂(φ1 )(x1 ) + ∂φ2 (x2 ) + εBX ∗ .
Cho một hàm đa trị F giữa các không gian Banach X và Y . Ta kí
hiệu Gr(F ) là đồ thị của nó. Ta nói rằng F là đóng (tương ứng, lồi) nếu
Gr(F ) là tập con đóng (tương ứng, lồi) trong X × Y . Ta nắc lại rằng F


8

là giả Lipschitz tại (x, y) ∈ Gr(F ) nếu tồn tại các số L, r1 , r2 ∈ (0, +∞)
sao cho
F (x1 ) ∩ B(y, r1 ) ⊂ F (x2 ) + x1 − x2 L BY , ∀x1 , x2 ∈ B(x, r2 ).
Cho x ∈ X và y ∈ F (x). Ánh xạ đa trị D∗ F (x, y) và Dc ∗ F (x, y) :
−
Y ∗→

→X ∗ là đối đạo hàm của F tại (x, y) tương ứng theo nón pháp tuyến
Fréchet và Clarke được xác định như sau
D∗ F (x, y)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (Gr(F ), (x, y))

∀y ∗ ∈ Y ∗
(1.2)

và
Dc ∗ F (x, y)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Nc (Gr(F ), (x, y))} ∀y ∗ ∈ Y ∗ .
1.2.

Nguyên lý cực trị

Theo một nghĩa nào đó, Nguyên lý cực trị đã được thiết lập bởi
Mordukhovich và Shao [11] có thể được xem như là một dạng của định lý
tách mờ hai tập đóng không nhất thiết lồi. Hơn thế nữa, Mordukhovich,
Treiman và Zhu [13] đã giới thiệu khái niệm điểm cực trị cho một số hữu
hạn các tập đóng và thiết lập nguyên lý cực trị cho một số hữu hạn các
tập đóng. Ta nhắc lại định nghĩa tập chỉ số không phân cắt (nonintersect
index) γ(A1 , . . . , An ) [11] của một số hữu hạn các tập A1 , . . . , An như
sau:
n−1

||ai − an || : ai ∈ Ai , i = 1, . . . , n .

γ(A1 , . . . , An ) := inf
i=1

n


Ai = ∅ và ∀ε > 0, ∃ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤

Lưu ý rằng γ(A1 , . . . , An ) =0 nếu
i=1

n) sao cho
n−1

||ai − an || < γ(A1 , ..., An ) + ε.

(1.3)

i=1

Mở rộng nguyên lý cực trị của Mordukhovich và đồng tác giả, Zheng và
Ng [15] đã thiết lập kết quả sau:


9

Định lý A (dạng mở rộng của nguyên lý cực trị): Xét các tập đóng
n

Ai = ∅. Lấy ε >

A1 , . . . , An của một không gian Banach X sao cho
i=1

0, ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) thỏa mãn (1.3). Khi đó, với mỗi λ > 0, tồn tại
ai ∈ Ai và a∗i ∈ X ∗ sao cho

n

(i)
i=1
(ii) a∗i

n

||ai − ai || < λ, max || a∗i || = 1,
1≤i≤n
ε
∗
λ BX

a∗i = 0;

i=1

a∗i

(hoặc
∈ N (Ai , ai ) + λε BX ∗ ),i=1,. . . ,n,
∈ Nc (Ai , ai ) +
ở đây Nc (Ai , ai ) và N (Ai , ai ) kí hiệu lần lượt là nón pháp tuyến Clarke
và Fréchet.
Ta dễ dàng thấy rằng trong trường hợp n = 2, A1 = {x} , A2 là một
tập lồi (và đóng) sao cho x ∈
/ A2 thì Định lý A và tất cả các định lý tách
các tập đóng đã biết hiện nay nói chung không không bao hàm được
định lý tách cổ điển đã trình bày trong phần Mở đầu. Mặt khác, ta nhắc

lại định lý hình chiếu xấp xỉ trên một tập đóng (đã được chứng minh bởi
các tác giả trong [16]) như sau: ∀η ∈ (0, 1), ∃a2 ∈ A2 và − a∗2 ∈ (A2 , a2 )
sao cho || a∗2 || = 1 và
η||x − a2 || ≤ a∗2 , a2 − x .

(1.4)

Rõ ràng, (1.4) suy ra rằng ta có thể tách (theo nghĩa thông thường)
A1 = {x} và A2 nếu A2 là tập lồi. Từ quan điểm lý thuyết cũng như
quan điểm ứng dụng ta thấy rằng sẽ quan trọng và thú vị để thiết lập
một kiểu tách mờ mới cho các tập đóng mà ở đó đồng nhất các kết quả
tách mờ đã biết, định lý tách lồi cổ điển và định lý hình chiếu xấp xỉ.
Điều này dược trình bày trong mục tiếp theo.
1.3.

Định lý tách mờ các tập đóng

Trong mục này, chúng ta thiết lập định lý tách mờ cho một số hữu
hạn các tập đóng mà cho phép không chỉ đồng nhất được định lý tách
lồi cổ điển đã đề cập ở Mục 1.2 và các kết quả tách không lồi đã biết
mà còn đạt được cả kết quả về định lý phép chiếu xấp xỉ đã được chứng
minh trong [16].
Giả sử 1 ≤ p ≤ +∞. γp (A1 , . . . , An ) là kí hiệu chỉ số (p-trọng số)


10

không giao nhau của hữu hạn các tập con đóng A1 , . . . , An của một
không gian Banach và được được định nghĩa bởi:



1
p
 n−1

p
γp (A1 , . . . , An ) := inf (
||xi − xn || ) : xi ∈ Ai , i = 1, . . . , n ,


i=1

n−1

ở đó (

1
p

||xi − xn ||p ) được hiểu là max ||xi − xn || khi p = +∞.
0≤i≤n

i=1

Cho một điểm e và hai tập con S1 , S2 của một không gian Banach,
đặt
d(S1 , S2 ) := inf {||u − v|| : u ∈ S1 , v ∈ S2 }
và d(e, S2 ) := d({e}, S2 ).
Định lý 1.3.1. Cho A1 , . . . , An là các tập con đóng khác rỗng của X sao
n


1
p

Ai = ∅. Giả sử 1 ≤ p, q ≤ +∞ với

cho
i=1

+

1
q

= 1, ε > 0, ai ∈ Ai (1 ≤

i ≤ n) sao cho
1
p

n−1

||ai − an ||p

< γp (A1 , . . . , An ) + ε.

(1.5)

i=1


Khi đó, với bất kỳ λ > 0, tồn tại ai ∈ Ai , a∗i ∈ X ∗ thỏa mãn
n

(i)

1
p

||ai − ai ||p

i=1
n−1

(ii)

< λ.

1
q

|| a∗i ||q

i=1
n−1

(iii)

n

= 1,

1
p

||an − ai ||p

a∗i = 0 và

i=1
n−1

=

i=1

n

q

d(a∗i , Nc (Ai , ai ))

i=1

1
q

< λε .

a∗i , an − ai .

i=1


Chứng minh. Định nghĩa φ : X n → R ∪ {+∞} như sau
1
p

n−1

||xi − xn ||p

φ (x1 , . . . , xn ) :=

+ δA1 ×···×An (x1 , . . . , xn )

i=1

với mọi (x1 , . . . , xn ) ∈ X n , ở đây X n được trang bị chuẩn
1
p

n

||xi ||p

|| (x1 , . . . , xn ) || =
i=1

∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ X n .


11


Khi đó
γp (A1 , . . . , An ) = inf {φ (x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ X n } ,
và ta suy ra từ (1.5) rằng ∃ε, ∈ (0, ε) sao cho
φ (a1 , . . . , an ) < inf {φ (x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ X n } + ε, .
Vì φ là hàm nửa liên tục dưới trong không gian Banach X n , ta suy ra
từ nguyên lý biến phân Ekeland (xem, chẳng hạn, [14, Theorem 2.26])
rằng tồn tại (a1 , . . . , an ) ∈ X n sao cho (i) được thỏa mãn và
ε,
φ (a1 , . . . , an ) ≤ φ (x1 , . . . , xn )+
λ

1
p

n

∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ X n .

||xi − ai ||p
i=1

(1.6)
n

Ai = ∅ nên

Do đó φ (a1 , . . . , an ) < +∞ và suy ra ai ∈ Ai với mỗi i. Vì
i=1


(a1 − an , . . . , an−1 − an ) = (0, . . . , 0) .

(1.7)

Với mỗi (x1 , . . . , xn ) ∈ X n , đặt
1
p

n−1

||xi − ai ||p

f (x1 , . . . , xn ) :=

+

i=1

ε
λ

1
p

n

||xi − ai ||p

.


i=1

Khi đó f là một hàm lồi liên tục trên X n và từ (1.6) suy ra rằng
f đạt cực tiểu trên A1 × · · · × An tại (a1 , . . . , an ). Do đó 0 ∈
∂c (f + δA1 ×···×An ) (a1 , . . . , an ) . Điều này và Bổ đề 1.1.1 suy ra rằng
0 ∈ ∂g (a1 , . . . , an ) + Nc (A1 , a1 ) × · · · × Nc (An , an ) +
n−1

ở đây g (x1 , . . . , xn ) :=

1
p

||xi − xn ||p

∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ X n . Do đó,

i=1

tồn tại (− a∗1 , . . . , − a∗n ) ∈ ∂g (a1 , . . . , an ) sao cho
1
q

n

d(a∗i , Nc (Ai , ai ))q
i=1

ε,
B n ∗,

λ (X )

ε,
ε
≤ < .
λ
λ


12

Vì vậy
n

1
p

n−1

− a∗i , xi − ai ≤

||xi − xn ||p

i=1

1
p

n−1


||ai − an ||p

−

i=1

(1.8)

i=1

với mọi ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ X n . Đặt x1 = . . . = xn = x. Ta suy ra rằng
n

− a∗i , x − ai ≤ −
i=1
n

và do đó

1
p

n−1

||ai − an ||p

∀x ∈ X

i=1


a∗i = 0. Từ điều này và (1.8) suy ra rằng

i=1
1
p

n−1

n−1

− a∗i , xi − xn − (ai − an ) ≤

||xi − xn ||p

||ai − an ||p

−

i=1

i=1

1
p

n−1

i=1

với mọi (x1 , . . . , xn ) ∈ X n . Lấy tùy ý một phần tử (u1 , . . . , un−1 ) trong

X n−1 và đặt xi := ui + xn (1 ≤ i ≤ n − 1), ta suy ra rằng
n−1

1
p

n−1

− a∗i , ui − (ai − an ) ≤

||ui ||p

i=1

1
p

n−1

||ai − an ||p

−

i=1

i=1

và do đó
(− a∗1 , . . . , − a∗n−1 ) ∈ ∂||.||X n−1 (a1 − an , . . . , an−1 − an ) .
Từ (1.7) ta suy ra rằng

1
q

n−1

|| a∗i ||q

n−1

a∗i , an − ai =

= 1,

||ai − an ||p

.

i=1

i=1

i=1

1
p

n−1

Định lý đã được chứng minh.
Định lý 1.3.2. Cho A1 , . . . , An và p, q như trong Định lý 1.3.1. Giả sử

rằng
1
p

n−1

||ai − an ||p
i=1

= γp (A1 , . . . , An ).


13

Khi đó, tồn tại a∗i ∈ X ∗ (1 ≤ i ≤ n) thỏa mãn
1
q

n−1

n

|| a∗i ||q

(i)

i=1
n−1

(ii)


a∗i = 0 và a∗i ∈ Nc (Ai , ai ), i = 1, . . . , n.

= 1,
i=1
1
p

||an − ai ||p

n

=

i=1

a∗i , an − ai .

i=1

Chứng minh. Đặt φ và g là hai hàm xác định như trong chứng minh
Định lý 1.3.1. Khi đó
φ (a1 , . . . , an ) = inf {φ (x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ X n } .
Do đó
0 ∈ ∂φ (a1 , . . . , an ) ⊂ ∂g (a1 , . . . , an ) + Nc (A1 , a1 ) × · · · × Nc (An , an ) .
Ta suy ra rằng (a∗1 , . . . , a∗n ) ∈ ∂g (x1 , . . . , xn ) sao cho a∗i ∈
Nc (An , an ) (i = 1, . . . , m). Nhắc lại rằng (a1 − an , . . . , an−1 − an ) =
(0, . . . , 0) và như phần tương ứng trong chứng minh Định lý 1.3.1, ta
có
1

q

n−1

|| a∗i ||q
i=1

n−1

a∗i , ai − an =

= 1,

1
p

n−1

i=1

||ai − an ||p

.

i=1

Định lý đã được chứng minh.
Từ Định lý 1.3.1 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.1. Cho A1 và A2 là hai tập con đóng khác rỗng của X
sao cho A1 ∩ A2 = ∅. Khi đó, ∀ε > 0, ∃ai ∈ Ai (i = 1, 2) , a∗ ∈ X ∗ với

||a∗ || = 1 sao cho
−a∗ ∈ Nc (A1 , a1 ) + εBX ∗ , a∗ ∈ Nc (A2 , a2 ) + εBX ∗

và
||a1 − a2 || = a∗ , a1 − a2 < d(A1 , A2 ) + ε.
Nhận xét: Trong Hệ quả 1.3.1, ta thấy rằng ε không thể lấy bằng 0
ngay cả trong trường hợp lồi. Thật vậy, giả sử tồn tại hai tập lồi đóng A1


14

và A2 của R2 sao cho d(A1 , A2 ) > 0 nhưng N (A1 , a1 ) ∩ −N (A2 , a2 ) =
{0} ∀a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 . Đặt A1 = (s, t) ∈ R2+ \ {0} : 1s ≤ t , A2 =
R × [ − 1, −∞). Khi đó A1 và A2 là hai tập lồi đóng. Rõ ràng rằng
bd(A1 ) = (s, t) ∈ R2+ \ {0} : t = 1s , bd(A2 ) = R × { − 1} và R × {0} là
đường tiệm cận của bd(A1 ). Do đó d(A1 , A2 )=1,
N (A1 , (s, t)) = R+ −

1
, −1
s2

và N (A2 , (s, , t, )) = R+ (0, 1) ∀ (s, t) ∈ bd (A1 ) , ∀ (s, , t, ) ∈ bd (A2 ). Ta
suy ra rằng
N (A1 , (s, t)) ∩ −N (A2 , (s, , t, )) = {(0, 0)} ∀ (s, t) ∈ A1 , ∀ (s, , t, ) ∈ A2 .
Hệ quả 1.3.2. Lấy A1 là một tập con đóng khác rỗng của X và A2 là một
tập con, lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng của X. Giả sử rằng A1 ∩ A2 = ∅.
Khi đó, ∀ε > 0, ∃a1 ∈ A1 và a∗ ∈ Nc (A1 , a1 ) với ||a∗ || = 1 sao cho
d (A1 , A2 ) − ε < inf a∗ , x − a∗ , x .
x∈A2


Hơn nữa, nếu thêm điều kiện A1 là tập lồi thì
d (A1 , A2 ) − ε < inf a∗ , x − max a∗ , x .
x∈A2

x∈A1

Chứng minh. Cho k là một số tự nhiên bất kì và chọn ai (k) ∈ Ai sao
cho
1
||a1 (k) − a2 (k) || < d(A1 , A2 ) + 2 ;
(1.9)
k
tức là
1
||a1 (k) − a2 (k) || < γ1 (A1 , A2 ) + 2 .
k
Bởi Định lý 1.3.1, ∃ai (k) ∈ Ai và a∗i (k) ∈ X ∗ sao cho
1
||a1 (k) − a1 (k) || + ||a2 (k) − a2 (k) || < ,
k

(1.10)

1
|| a∗1 (k) || = 1, a∗1 (k) + a∗2 (k) = 0, a∗i (k) ∈ Nc (Ai , ai (k)) + BX ∗ , i = 1, 2,
k
và
||a1 (k) − a2 (k) || = a∗1 (k) , a2 (k) − a1 (k) .



15

Lấy a∗i ∈ Nc (Ai , ai (k)) sao cho ||ai ∗ (k) − a∗i (k) || < k1 (i = 1, 2). Khi đó
1−

1
1
< ||ai ∗ (k) || < 1 + ,
k
k

||a1 ∗ (k) + a2 ∗ (k) || <

2
k

và suy ra
1
a1 (k) − a
¯2 (k) ||
(1 − )||¯
k
≤ a
¯∗1 , a
¯2 (k) − a
¯1 (k)
≤ −¯
a∗2 (k) , a
¯2 (k) − a

¯∗1 (k) , a
¯1 (k) + ||¯
a∗1 (k) + a
¯∗2 (k) ||||¯
a2 (k) ||
2L
≤ − max a
¯∗2 (k) , x − a
¯∗1 (k) , a
¯1 (k) +
x∈A2
k
3L
≤ inf a
¯∗1 (k) , x − a
¯∗1 (k) , a
¯1 (k) +
,
x∈A2
k
∗

.
ở đó L = maxx∈A2 x . Lấy a∗ (k) := || aa1∗(k)
1 (k)||
Khi đó a∗ (k) ∈ Nc (A1 , a∗ (k)) và ta suy ra rằng
1−

1
k


||a1 (k) − a2 (k) || −
|| a∗1 (k) ||

3L
k

≤ inf a∗ (k) , x − a∗ (k) , a1 (k) .
x∈A2

Từ (1.9) và (1.10) ta có
1−

1
k

||a1 (k) − a2 (k) || −
|| a∗1 (k) ||

3L
k

→ d (A1 , A2 ) .

Do đó
d (A1 , A2 ) ≤ inf a∗ (k) , x − a∗ (k) , a1 (k)
x∈A2

với mọi k đủ lớn. Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét: Trong Hệ quả 1.3.2, nếu A2 là compact thì d (A1 , A2 )>0. Lấy

ε ∈ (0, d (A1 , A2 )), ta thấy rằng Hệ quả 1.3.2 là một mở rộng và tổng
quát của định lý tách các tập lồi như đã đề cập trong phần Mở đầu.
Khi X là không gian Asplund, định lý sau đây dễ dàng cho thấy rằng
nón pháp tuyến Clarke trong Định lý 1.3.1 có thể thay bởi nón pháp
tuyến Fréchet nếu đẳng thức (iii) trong Định lý 1.3.1 được thay bởi bất
đẳng thức.


16

Định lý 1.3.3. Cho X là không gian Asplund và A1 , . . . , An là các tập
n

Ai = ∅. Lấy 1 ≤ p, q ≤ +∞ với

con đóng khác rỗng của X sao cho
i=1
1
p

+

1
q

= 1, ε > 0 và ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤ 2) sao cho
1
p

n−1


||ai − an ||p

< γp (A1 , . . . , An ) + ε.

i=1

Khi đó, ∀λ > 0, ∀ρ ∈ (0, 1) , ∃ai ∈ Ai và a∗i ∈ X ∗ với các đặc tính sau:
1
p

n

p

||ai − ai ||

(i)
i=1
n

(ii)

|| a∗i ||q

i=1
n−1

(iii) ρ


< λ.

1
q

n

= 1,

a∗i = 0, và

i=1
1
p

||ai − an ||p

d a∗i , N (Ai , ai )

q

1
q

i=1
n−1

≤

i=1


n

< λε .

a∗i , an − ai .

i=1

Chứng minh: Cho φ là hàm được được xác định như trong chứng minh
của Định lý 1.3.1. Khi đó
φ (a1 , . . . , an ) < inf {φ (x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ X n } + ε.
Lấy ε, ∈ (0, ε) và λ, ∈ (0, λ) sao cho
ε,
ε
<
λ,
λ
và
φ (a1 , . . . , an ) < inf {φ (x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ X n } + ε, .
Ta suy ra từ nguyên lý biến phân Ekeland rằng ∃ (a1 , . . . , an ) ∈ X n sao
cho
1
n

p

p

||ai − ai ||


< λ,

(1.11)

i=1

và


ε, 
φ (a1 , . . . , an ) ≤ φ (x1 , . . . , xn ) + ,
λ

1
p

n

||xi − ai ||p
i=1




(1.12)


17
n


với mọi (x1 , . . . , xn ) ∈ X n . Vì

Ai = ∅ nên từ (1.12) ta có
i=1

n−1

||ai − an || > 0.

(1.13)

i=1

Với mỗi (x1 , . . . , xn ) ∈ X n , đặt
1
p

n−1

||xi − xn ||p

f (x1 , . . . , xn ) =

,



ε 
λ,


+

i=1

1
p

n

||xi − ai ||p




i=1

Bởi (1.12) và định nghĩa của φ, ta có 0 ∈ ∂ (f + δA1 ×...×An ) (a1 , . . . , an ).
,
Lấy 0 < β < min λε − λε , , λ − λ, . Khi đó, từ phiên bản không gian
Asplund của Bổ đề 1.1.1 và (1.13) suy ra ∃xi ∈ X và ai ∈ Ai thỏa mãn
1
p

n
p

||xi − ai ||

1

p

n
p

||ai − ai ||

< β,

n−1

i=1

i=1

||xi − xn ||p

< β, 0 <
i=1

(1.14)
và
n
(1.15)
0 ∈ ∂f (x1 , . . . , xn ) + N (A1 × . . . × An , (a1 , . . . , an )) + β BX
∗ .

Ta suy ra từ (1.11) rằng (i) được thỏa mãn. Lấy g là hàm được xác định
,
như trong chứng minh Định lý 1.3.1. Khi đó, f = g + λε , ||.||X n . Bởi tính

lồi của f và g lồi, ta có
ε,
∂f (x1 , . . . , xn ) = ∂g (x1 , . . . , xn ) + , B(X n )∗ .
λ
Ta suy ra từ (1.5) rằng
ε,
0 ∈ ∂g (x1 , . . . , xn ) + N (A1 , a1 ) × . . . × N (An , an ) + (β + , )B(X n )∗ .
λ
n

Do đó,

d a∗i , N (Ai , ai )

q

i=1

1
q

≤ β+

ε,
λ,

<

ε
λ.


Ta nhắc lại (bởi bất

đẳng thức thứ 3 của (1.14) rằng (x1 − xn , . . . , xn−1 − xn ) = (0, . . . , 0).
Như phần tương ứng trong chứng minh Định lý 1.3.1, ta có
1
q

n−1

|| a∗i ||q
i=1

n−1

a∗i , xn − xi =

= 1 và
i=1

1
p

n−1

||xi − xn ||p
i=1

.



18

Ta suy ra từ (1.14) rằng
n−1

n−1

a∗i , an

− ai =

i=1

n−1

a∗i , xn

a∗i , an − xn − (ai − xi )

− xi +

i=1

i=1
1
p

n−1


||xi − xn ||p

≥

1
p

n−1

||an − xn − (ai − xi )||p

−

i=1

i=1
1
p

n−1

||ai − an ||p

≥

1
p

n−1


||an − xn − (ai − xi )||p

−2

i=1

i=1
1
p

n−1

||ai − an ||p

≥

1
p

n−1

(4β)p

−2

i=1

i=1
1
p


n−1

||ai − an ||p

≥

− 8 (n − 1) β.

i=1

Nhắc lại rằng β chọn bất kì trong 0, min
và (1.13) suy ra


1
n−1

β→0

,

− λε , , λ − λ,

p

. Từ (1.14)
1
p


n−1

p

ai − an

lim+ 

ε
λ

− 8 (n − 1) β  =

a
¯i − a
¯n

p

> 0.

i=1

i=1

Do ρ ∈ (0, 1) nên ta có
1
p

n−1


||ai − an ||p

lim+ ρ

β→0

1
p

n−1

||ai − an ||p

=ρ

i=1

i=1



||ai − an ||p

< lim+ 
β→0
ε
λ

Ta suy ra rằng ∃β ∈ 0, min

1
p

n−1

||ai − an ||p

ρ
n−1
i=1

minh.

,

− λε , , λ − λ,

− 8 (n − 1) β  .

đủ nhỏ sao cho
1
p

||ai − an ||p

<

− 8 (n − 1) β.

i=1

1
p

||ai − an ||p



i=1

n−1

i=1

Do đó ρ

1
p

n−1

n−1

<
i=1

a∗i , ai − an . Định lý đã được chứng


19


Từ định lý tách mờ trên, ta có thể thiết lập kết quả hình chiếu xấp
xỉ như sau. Trong trường hợp đặc biệt khi n = 1, các kết quả hình chiếu
xấp xỉ này đã được biết và đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu
chặn sai số, tính chính quy metric và chính quy tuyến tính metric cho
các phương trình suy rộng.
Hệ quả 1.3.3. Cho X là một không gian Asplund, A1 , . . . , An là các
n

tập con đóng khác rỗng của X. Lấy x ∈ X\

Ai và ρ ∈ (0, 1). Khi đó,
i=1

∃ai ∈ Ai và ∃ a∗i ∈ X ∗ (1 ≤ i ≤ n) sao cho các khẳng định sau được thỏa
mãn
(i) max || a∗i || = 1 và a∗i ∈ N (Ai , ai ) (1 ≤ i ≤ n).
1≤i≤n
n

n

||x − ai || ≤ min

(ii) ρ
i=1

n

d(x, Ai ),
i=1


a∗i , x − ai

.

i=1

Chứng minh: Với mỗi số tự nhiên k, lấy ai (k) ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) sao cho
n

n

||ai (k) − x|| <

d(x, Ai ) +
i=1

i=1

1
.
k2

(1.16)

n

Đặt An+1 := {x}. Khi đó γ1 (A1 , . . . , An , An+1 ) =

d (x, Ai ) và

i=1

n

||ai (k) − x|| < γ1 (A1 , . . . , An , An+1 ) +
i=1

1
.
k2

Bởi Định lý 1.3.3 (áp dụng cho a1 = a1 (k) , , an = an (k) , an+1 = x, ε =
1
1
1
∗
a∗
k 2 , λ = k , và ρ = 1 − k ) nên ∃a (k) ∈ Ai và i ∈ X sao cho
n

i=1

1
||ai (k) − ai (k)|| < ,
k

1
max ||a∗i (k) || = 1, a∗i (k) ∈ N (Ai , ai (k)) + BX (1 ≤ i ≤ n)
1≤i≤n
k

và
1
1−
k

n

(1.18)

n

a∗i (k) , x − ai (k) .

||ai (k) − x|| ≤
i=1

(1.17)

i=1

(1.19)


20

Với mỗi i, lấy a∗i (k) ∈ N (Ai , ai (k)) sao cho || a∗i (k) − a∗i (k) || ≤
đặt ηk := max || a∗i (k) || . Ta suy ra từ (1.19) rằng

1
k


và

1≤i≤n

1
ηk

n

2
1−
k

n

a∗i (k)
, x − ai (k) .
ηk

||ai (k) − x|| ≤
i=1

i=1

(1.20)

Rõ ràng, từ (1.16) và (1.17) ta có
n


n

||ai (k) − x|| <
i=1

1
1
+ 2.
k k

d (x, Ai ) +
i=1

n

Lưu ý rằng ηk → 1 khi k → ∞, ρ ∈ (0, 1) và 0 <

d (x, Ai ) ≤
i=1

n

||ai (k) − x||, ∀k. Ta suy ra từ (1.20) rằng
i=1
n

n

||ai (k) − x|| ≤ min


ρ
i=1

n

a∗i (k)
, x − ai (k)
ηk

d (x, Ai ),
i=1

i=1

với mọi k đủ lớn. Định lý được chứng minh.
Tương tự cho chứng minh Hệ quả 1.3.3 (với Định lý 1.3.1 được thay
thế bởi Định lý 1.3.3) ta có thể chứng minh được kết quả sau.
Hệ quả 1.3.4. Cho X là một không gian Banach và A1 , . . . , An là các
n

tập con đóng khác rỗng của X. Lấy x ∈ X\

Ai , ρ ∈ (0, 1). Khi đó,
i=1

∃ai ∈ Ai và ∃ a∗i ∈ X ∗ (1 ≤ i ≤ n) sao cho các khẳng định sau là đúng
(i) max || a∗i || = 1 và a∗i ∈ Nc (Ai , ai ) (1 ≤ i ≤ n).
1≤i≤n
n


n

||ai − x|| ≤ min d (x, Ai ) ,

(ii) ρ
i=1

a∗i , ai − x

.

i=1

Kết luận. Trong chương này chúng ta đã bày các định lý tách mờ, định
lý hình chiếu xấp xỉ, một mở rộng nguyên lý cựu trị của Mordukhovich
và các đồng tác giả. Định lý 1.3.1 và 1.3.3 là các kết quả thú vị cho ta
cái nhìn thống nhất về các định lý tách lồi cổ điển, kết quả về tách mờ
và định lý hình chiếu xấp xỉ đã biết được đề cập trong phần Mở đầu. Áp
dụng các kết quả này để thiết lập các điều kiện cần cực trị và các điều
kiện đủ cực trị cho bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc ở chương sau.