BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LÝ

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU
LIÊN TỤC ĐỐI VỚI
HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LÝ

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU
LIÊN TỤC ĐỐI VỚI
HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2017

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Giới thiệu về hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Các không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Đánh giá đối với số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá nghiệm . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh trong trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . .

9


1.4.2. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ
Navier-Stokes hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1. Cách xây dựng nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Chứng minh sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm chính xác
khi thời gian ra vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh đã định

hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Lý


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh, luận
văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Bài toán đồng hóa
dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes hai chiều" được hoàn
thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Lý


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes là một hệ phương trình cơ bản trong cơ
học chất lỏng và có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công
nghệ. Việc nghiên cứu sự tồn tại, các tính chất nghiệm và dáng điệu tiệm
cận nghiệm của hệ này khi thời gian ra vô cùng đã thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, xin xem các cuốn chuyên khảo
[1, 4, 5]. Một trong những vấn đề thời sự hiện nay là nghiên cứu bài toán
đồng hóa dữ liệu đối với hệ Navier-Stokes và các hệ phương trình khác
trong cơ học chất lỏng. Vấn đề này có nhiều ý nghĩa trong bài toán dự
báo khí tượng.
Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục được mô tả như sau. Giả sử u1 (t)
biểu diễn trạng thái thực của hệ tại thời điểm t. Ta biểu diễn phần đo
được của u1 (t) tại thời điểm t là Pλ u1 (t), ở đó Pλ là một phép chiếu trực
giao có hạng hữu hạn. Ở đây λ là tham số biểu diễn độ chính xác của
thiết bị đo. Giả sử u2 (t) là nghiệm xấp xỉ của u1 (t), nhận được từ phép
đồng hóa dữ liệu liên tục của phần đo được Pλ u1 (t) trên khoảng thời
gian τ ∈ [0, t]. Chúng ta sẽ tìm các điều kiện trên λ theo các tham số
vật lí của hệ để đảm bảo nghiệm xấp xỉ u2 (t) sẽ hội tụ đến nghiệm chính
xác u1 (t) khi t → ∞.
Ở đây ta sẽ lấy u1 (t) là nghiệm chính xác của hệ Navier-Stokes hai chiều

1


với điều kiện ban đầu cho trước và với điều kiện biên tuần hoàn.
Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả chính trong [2, 3]
về bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes hai chiều
trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes

hai chiều trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày cách xây dựng nghiệm xấp xỉ u1 (t) từ phần đo được
Pλ u1 (t) của nghiệm chính xác u1 (t).
• Tìm điều kiện của λ để nghiệm xấp xỉ u2 (t) sẽ hội tụ đến nghiệm
chính xác u1 (t) khi t → ∞. Đánh giá tốc độ hội tụ.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều.
• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ
Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn.

2


5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều, lí thuyết hệ Navier-Stokes và lí thuyết đồng hóa dữ liệu.

6. Đóng góp của luận văn
Thiết lập được các kết quả về sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ, xây dựng
bằng phương pháp đồng hóa dữ liệu liên tục, về nghiệm chính xác của
hệ Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả
bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau. Các kết quả chủ yếu tham
khảo trong [1, 4, 5].

1.1. Giới thiệu về hệ Navier-Stokes
Xét hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều có dạng
∂u1
+ (u1 · ∇) u1 − v u1 + ∇π1 = f,
∂t

(1.1)

∇ · u1 = 0,
với điều kiện ban đầu u1 (0) = u0 trên hình xuyến Ω = [0, L]2 chu kì L. Ở
đó u1 biểu diễn trường vận tốc Euler, ν là độ nhớt động học, f là ngoại
lực, và π1 là áp lực vật lý.
Rõ ràng từ hệ (1.1) ta thấy rằng nếu
đó

Ω u1 (t)

Ω u0

= 0 và

Ωf

= 0, thì khi

= 0 với mọi thời điểm. Vì thế, chúng tôi chỉ quan tâm tới


các nghiệm có trung bình bằng không. Theo đó, tại bất kì thời điểm t,
trường vận tốc, ngoại lực, và áp suất có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier
a=

ak φ k ,

trong đó F = {

k∈F

2πm
: m ∈ Z2 \ {0}},
L

và
φk (x) = eik·x và a
ˆk = a
ˆ−k .
4

(1.2)


Chú ý rằng các hệ số Fourier tương ứng với vận tốc và ngoại lực là các
hàm giá trị vectơ trong C2 sao cho k · a
ˆk = 0, trong khi đó các hệ số
tương ứng của áp suất là các vô hướng. Định nghĩa chuẩn trong L2 và
H 1 của a tương ứng là:
1/2


|ˆ
ak |2

|a| = L

1/2

|k|2 |ˆ
ak |2

và a = L

k∈F

.

(1.3)

k∈F

Không gian Fourier cho ta các biểu diễn để mô tả tốt hơn về các phép
chiếu trực giao mà ta cần nghiên cứu. Với a mà |a| < ∞, ta định nghĩa
a
ˆk φk và Qλ = I − Pλ .

Pλ a =

(1.4)


|k|2 ≤λ
1

Vì vậy, với phép chiếu Pλ u1 (t) được cho ở trên, đại lượng λ− 2 biểu diễn
cho tỉ lệ độ dài nhỏ nhất của dòng chất lỏng mà ta có thể quan sát được
từ thiết bị đo lường giả định. Lưu ý rằng λ và hạng N của Pλ là tỷ lệ
cân bằng nhau trong hai chiều.

1.2. Các không gian hàm và toán tử
Trong phần này, ta mô tả các đặc trưng của các không gian H, V, V khi
nghiên cứu về phương trình Navier-Stokes và phát biểu một số bất đẳng
thức và kết quả ta sẽ cần ở các phần sau.
Trước tiên, ta định nghĩa không gian Vα qua các hạng tử của chuỗi
Fourier (1.2) như sau
Vα =

ukφk : ||u||2λ < ∞, uk = uˆ−k , k · uˆk = 0, và uˆ0 = 0

u=
k inf

trong đó chuẩn
u

2
λ

= L2

|k|2α |uk |2 .

k∈F

5

(1.5)


Lưu ý rằng
||u||α = sup

u, v : v∈V−α và ||v||−α = 1

(1.6)

trong đó
u, v = L2

uk · v−k .
k∈F

Từ lí thuyết Fourier, ta suy ra Vα là một không gian con của L2 (Ω)
với α ≥ 0. Hơn nữa, V−α có thể được đồng nhất với không gian đối ngẫu
liên tục của Vα .
Ta thấy rằng, tồn tại một mối liên hệ giữa chuẩn được định nghĩa
trong (1.5) và phép chiếu trong (1.4). Mối liên hệ này cho phép ta đánh
giá các chặn theo chuẩn của Qλ u và Pλ u, theo cách mà các chặn phụ
thuộc vào dải tham số λ. Với α < β, ta có một dạng khác của bất đẳng
thức Poincaré như sau
||Qλ u||2α


=L

2

2α

|k|
|k|2 >λ

L2
uk | ≤ β−α
λ

|k|2β uk |2 =

2

|k|2 >λ

1
λβ−α

λ||Pλ u||2β ,
(1.7)

và với α > β ta thu được bất đẳng thức
||Pλ u||2α = L2

|k|2α |uk |2 ≤ L2 λα−β
|k|2 ≤λ


|k|2β uk |2 = λα−β ||Pλ u||2β
|k|2 ≤λ

(1.8)
Vì Qλ1 u = u với λ1 = (2π/L)2 , nên (1.7) cho ta bất đẳng thức Poincaré
dạng thông thường là
||u||2α ≤

1
λβ−α
1

||u||2 với α < β.

(1.9)

Các không gian hàm để nghiên cứu hệ (1.1) và (2.2) được định nghĩa
như sau
H = V0 , V = v1 ,
6

và V = V−1 .


Chú ý rằng các chuẩn ||u||0 , ||u||1 và ||u||−1 tương ứng là các chuẩn
|u|, ||u|| và ||u||∗ đã đưa định nghĩa trong (1.3). Do vậy, H gồm các hàm
bình phương khả tích trên hình xuyến Ω chu kì L, có div tự do và có
trung bình 0. Không gian V là các hàm trong H với đạo hàm cấp một
cũng bình phương khả tích, và không gian V là đối ngẫu của V. Ngoài

ra, bằng dạng nhất thức Parseval, các chuẩn trên H và V có thể được
biểu thị bởi
1/2

|u| =

u·u

và ||u|| = |∇u| = |∇u| = |∇u|.

Ω

Định nghĩa 1.1. [3] Định nghĩa phép chiếu Leray Pσ : L2 → H là
phép chiếu trực giao từ L2 lên H. Hơn nữa, định nghĩa A : V → V và
B : V × V → V tương ứng là các mở rộng liên tục của các toán tử
Au = −Pσ u và B (u, v) = Pσ (u · ∇v)
với bất kì hàm trơn phù hợp u.
Lưu ý rằng, miền xác định D (A) của toán tử A là V2 .
Với u0 ∈ V và f ∈ H, ta viết phương trình Navier-Stokes (1.1) như
một phương trình hàm trong H bởi
du1
+ vAu1 + B (u1 , u1 ) = f
dt

(1.10)

với điều kiện ban đầu u1 (0) = u0 .

1.3. Đánh giá đối với số hạng phi tuyến
Bây giờ, ta nhắc lại một vài tính chất đại số của số hạng phi tuyến

B (u, v) , chúng đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu của chúng
7


ta. Cho u, v, w ∈ V ta có
B (u, v) , w = − B (u, w) , v

(1.11)

B (u, v) , v = 0

(1.12)

B (u, v) , Av = 0

(1.13)

và do đó

Hơn nữa, nếu v ∈ D (A) thì

và bằng việc lấy đạo hàm của (1.13) ta có
B (u, v) , Av + B (v, u) , Av + B (v, v) , Au = 0

(1.14)

với u, v ∈ D (A). Chú ý rằng các điều kiện (1.13) và (1.14) vẫn còn đúng
với phương trình Navier-Stokes hai chiều trên miền tuần hoàn.
Số hạng phi tuyến này còn có thể được đánh giá bằng bất đẳng thức
H¨older và bất đẳng thức Ladyzhenskaya sau đây.

Bổ đề 1.1. [3] Cho trước u ∈ V khi đó
||u||2L4 ≤ c1 |u|||v||

(1.15)

trong đó c1 ≤ 2 + (2π)−1 với hình xuyến 2 chiều Ω.
Từ đó, nếu u, v, w∈V thì
1

1

1

1

B (u, v) , w ≤ ||u||L4 ||v|||w||L4 ≤ c1 |u| 2 ||u|| 2 ||v|||w| 2 ||w|| 2 ,

(1.16)

và nếu u ∈ V, v ∈ D (A) và w ∈ H thì khi đó
1

1

1

1

B (u, v) , w ≤ ||u||L4 ||∇v|||w||L4 ≤ c1 |u| 2 ||u|| 2 ||v|| 2 |Avw| 2 |w|. (1.17)
8



Ta kết thúc phần này với một số đánh giá chặn trên theo thời gian
trung bình của ||u1 || và ||Au1 || theo u0 và f.
Bổ đề 1.2. [3] Cho u1 (t) là nghiệm mạnh duy nhất của (1.10) với f ∈
L2loc ((0, ∞) ; H) và f phụ thuộc thời gian và điều kiện ban đầu u0 ∈ V .
Khi đó
1
t

1

1
1
||u1 (τ ) || dτ ≤ |u0 |2 + 2
νt
ν t

1

2

0

||f (τ ) ||2∗ dτ

(1.18)

0


và
1
t

1

1
1
|Au1 (τ ) | dτ ≤ ||u0 ||2 + 2
νt
ν t

1

2

0

|f (τ ) |2 dτ.

(1.19)

0

1.4. Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá nghiệm
1.4.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh trong trường hợp
hai chiều
Trước tiên ta nhắc lại một vài kết quả đã biết về nghiệm của hệ phương
trình Navier-Stokes hai chiều.
Dưới các giả thiết ở mục trước, hệ phương trình (1.10) có duy nhất

nghiệm mạnh phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u0 . Điều này được
khẳng định qua định lí sau.
Định lí 1.1. [3] Cho u0 ∈ V và f ∈ L2loc ((0, ∞); H). Thì hệ phương trình
(1.10) có duy nhất nghiệm mạnh thỏa mãn
u1 ∈ L∞ ((0, T ); V ) ∩ L2 ((0, T ); D(A)) và

du1
∈ L2 ((0, T ); H)
dt

với bất kì T > 0. Hơn nữa, nghiệm mạnh này là thuộc C([0, t]; V ) và phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u0 .
9


Định lí 1.2. [3] Cho v1 và v2 là hai nghiệm của phương trình NavierStokes hai chiều trên hình xuyến chu kì L với các hàm ngoại lực tương
ứng g1 và g2 và có thể có các điều kiện ban đầu khác nhau. Khi đó tồn
tại hằng số c1 không phụ thuộc vào ν, L, gi , và điều kiện ban đầu sao cho
mọi λ (L/2π)2 > c1 Gr (g1 ) giới hạn
|g1 (t) − g2 (t) | → 0 và |Pλ v1 (t) − Pλ v2 (t) | → 0 khi t → ∞
kéo theo
||v1 (t) − v2 (t) || → 0

t → ∞.

Người ta cũng chỉ ra rằng, các giả thiết trên các hàm g1 và g2 của
Định lí 1.2 có thể được nới lỏng. Cụ thể, ta chỉ cần điều kiện
|Qλ g1 (t) − Qλ g2 (t) → 0 khi t → ∞.
Điều này là rõ ràng vì có sự khác biệt nhỏ của v1 và v2 , và điều này được
kiểm tra bằng giả thiết và sự hội tụ tới 0, khi đó điều ta cần là chứng

tỏ hiệu của các mode cao giữa v1 và v2 hội tụ về 0. Vì thế chỉ có sự hiệu
giữa các mode cao của g1 và g2 cần được chứng minh. Định lý 1.2 có thể
được viết lại như sau.
Định lí 1.3. [3] Cho v1 và v2 là hai nghiệm của phương trình NavierStokes hai chiều trên hình xuyến chu kì L với các hàm ngoại lực tương
ứng g1 và g2 và có thể có các điều kiện ban đầu khác nhau. Khi đó tồn
tại hằng số c1 không phụ thuộc vào ν, L, gi , hoặc điều kiện ban đầu sao
cho mọi λ (L/2π)2 > c1 Gr (g1 ) giới hạn
|Qλ g1 (t) − Qλ g2 (t) | → 0 và |Pλ v1 (t) − Pλ v2 (t) | → 0 khi t → ∞,
10


kéo theo
||v1 (t) − v2 (t) || → 0

t → ∞.

Bây giờ ta xét hệ phương trình Navier-Stokes có dạng



 du1 + νAu1 + B (u1 , u1 ) = f,
dt

 du1 + νAu2 + B (u2 , u2 ) = f + Pλ (B (u2 , u2 ) − (u1 , u1 )) ,
dt

(1.20)

với điều kiện ban đầu u1 (0) = u0 và u2 (0) = Pλ u0 + η tại u0 ∈ V và
η ∈ Qλ V .

Nghiệm của phương trình (1.20) có thể được xem là hai nghiệm u1 và
u2 của phương trình Navier-Stokes (2.6) tương ứng với các hàm ngoại
lực f1 , f2 cho bởi
f1 = f

và f2 = f + Pλ (B(u2 , u2 ) − B(u1 , u1 )).

(1.21)

Bây giờ ta trình bày kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh
của hệ (1.20) qua định lí sau.
Định lí 1.4. [3] Cho T > 0 và λ ≥ 0. Nếu u0 = u1 (0) ∈ V, η =
Qλ u2 (0) ∈ Qλ V , và f ∈ L2loc ((0, ∞); H), thì hệ (1.20) được xem như
một hệ phương trình vi phân hàm trong H, và hệ này có duy nhất một
nghiệm mạnh thỏa mãn
f ∈ L∞ ((0, T ); V ) ∪ f ∈ L2 ((0, T ); D(A)) và

du1
∈ L2 ((0, T ); H)
dt
(1.22)

với i = 1, 2. Hơn nữa, các nghiệm mạnh là thuộc C([0, T ]; V ) và phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u0 và η theo chuẩn trong V.
11


Từ định lí trên, ta thấy rằng tính duy nhất nghiệm trong Định lý (1.4)
đảm bảo rằng, nếu u1 (t) và u2 (t) bằng nhau tại một vài điểm trong không
gian, thì điều này cũng đúng cho tất cả thời điểm sau đó. Đặc biệt, nếu

η = Qλ u0 thì u1 (t) = u2 (t) với mọi t. Bổ đề sau thiết lập các chặn trên
cho sự hội tụ của đồng hóa dữ liệu liên tục theo các hạng tử của thời
gian trung bình của nghiệm chính xác u1 . Khi λ tăng dải nghiệm sẽ trở
nên mịn hơn. Bởi vậy, ta mong muốn nghiệm u2 (t) trở thành nghiệm
xấp xỉ tốt hơn và tốt hơn nghiệm xấp xỉ của u1 (t) khi λ → ∞.
Bổ đề 1.3. [3] Cho u1 (t) và u2 (t) là các nghiệm mạnh duy nhất của (1.20)
với u0 = u1 (0) ∈ V, η = Qλ u2 (0), và f ∈ L2loc ((0, ∞); H) cho trước trong
Định lí 1.4. Khi đó
c21
|u1 (t) − u2 (t)| ≤ |u1 (0) − u2 (t)| exp −νλt +
ν
2

t

2

||u1 (τ )||2 dτ
0

(1.23)
và
c21
|u1 (t) − u2 (t)| ≤ ||u1 (0) − u2 (t)|| exp −νλt +
νλ
2

t

2


||Au1 (τ )||2 dτ

.

0

(1.24)
1.4.2. Một số bất đẳng thức
• Bất đẳng thức Young:
1 1
Cho 1 < p, q < ∞, + = 1. Khi đó
p q
ab

ap b q
+ ,
p
q

(a, b > 0).

• Bất đẳng thức Young với :
ab

ap + C( )bq ,
12

(a, b, > 0),



với C( ) = ( p)−q/p q −1 .
• Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp :
Giải thiết 1

s

r

∞ và

t

θ
1−θ
1
= +
. Giả sử u ∈
r
s
t

Ls (Ω) ∩ Lt (Ω). Khi đó u ∈ Lr (Ω) và
u

t
Ls (Ω)

u


Lr (Ω)

u

1−θ
Lt (Ω) .

• Bất đẳng thức Gronwall:
Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, T ] và thỏa mãn
dx
dt

g (t) x + h (t) , với hầu khắp t,

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ]. Khi đó
t

x(t)

x(0)eG(t) +

eG(t)−G(s) h(s)ds,
0

với 0

t

T , ở đó
t


G (t) =

g (r) dr.
0

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
x (t)

x (0) +

dx
dt

ax + b, thì

b at b
e − .
a
a

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân:
Cho ξ (t) là một hàm khả tích, không âm trên [0, T ] và thỏa mãn với
hầu khắp t bất đẳng thức tích phân
t

ξ (t)

C1


ξ (s)ds + C2 ,
0

13


với C1 , C2 là các hằng số không âm. Khi đó
C2 1 + C1 teC1 t

ξ (t)
với hầu khắp t, 0

t

T.

• Bất đẳng thức Gronwall đều:
Giả sử x, a và b là các hàm dương thỏa mãn
dx
dt
với

t+r

x (s)ds

ax + b

t+r


X,

t+r

a (s)ds

t

A và

t

với r > 0 nào đó và với mọi t

t

t0 .

Khi đó
x (t)
với mọi t

b (s)ds

X
+ B eA
r

t0 + r.


14

B


Chương 2
Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục
đối với hệ Navier-Stokes hai chiều
Chương này được viết dựa trên tài liệu tham khảo [2, 3].

2.1. Cách xây dựng nghiệm xấp xỉ
Trong mục này chúng tôi trình bày bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục
của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều. Để làm điều này, ta kí hiệu
u1 (t) là nghiệm chính xác nghiệm của phương trình hai chiều không nén
Navier-Stokes (1.1).
Bây giờ, ta công nhận rằng, nếu ta đã cho trước chính xác u0 , tại thời
điểm t = 0, thì ta có thể lấy tích phân của phương trình Navier-Stokes
và từ đó thu được chính xác u1 (t) cho mọi t > 0. Vì thế, việc khó nhất
là ta không thể thu được u0 chính xác bằng các phép đo. Tuy nhiên, ta
có thể thu được Pλ u1 (t) trong khoảng thời gian cần thiết đủ lớn. Khi
đó, câu hỏi sẽ trở thành, làm sao để thu được u1 (t) từ Pλ u1 (t). Trong
trường hợp tổng quát điều này là không thể, vì vậy, thay vào đó, ta hãy
tìm u2 (t) là xấp xỉ tiệm cận tốt nhất của u1 (t) .
Để tìm u2 (t) ta viết lại phương trình Navier-Stokes (1.1) thành một
hệ gồm hai phương trình vi phân. Ta đặt ui = pi + qi trong đó pi = Pλ ui
và qi = Qλ ui với i = 1, 2. Vì Pλ và Qλ là các phép chiếu lên không gian
15


các hàm riêng của toán tử ∆, chúng giao hoán với nhau. Tương tự Pλ

và Qλ giao hoán với div và gradient. Vì vậy, trước tiên thực hiện phép
chiếu (1.1) bởi Pλ và sau đó bởi Qλ cho ta


 ∂p1 + Pλ {(p1 + q1 ) .∇ (p1 + q1 )} − v∇p1 + ∇Pλ π1
∂t
∂q

 1 + Qλ {(p1 + q1 ) .∇ (p1 + q1 )} − v∇q1 + ∇Qλ π1
∂t

= Pλ f, ∇ · p1 = 0
= Qλ f, ∇ · q1 = 0.

Vì p1 (t) được cho trước bởi các phép đo, ta chỉ cần lấy tích phân phương
trình thứ hai để tìm u1 (t). Tuy nhiên, vì ta không biết q1 (0), nên tích
phân phương trình thứ hai là không thể. Vì thế, ta phải tính toán xấp
xỉ q2 (t) của q1 (1) bằng tích phân
∂q2
+ Qλ {(p1 + q1 ) · ∇ (p1 + q1 )} − v∆q2 + ∇Qλ π2 = Qλ f,
∂t

∇ · q2 = 0
(2.1)

với điều kiện ban đầu q2 (0) = η trong đó η = Qλ η biểu diễn phỏng đoán
ban đầu của các mode q1 (0) của nghiệm chính xác. Từ đó, bài toán của
ta là một bài toán ban đầu hóa, và ta giải bài toán đó bằng ban đầu hóa
các tần số cao theo bất kì cách nào ta muốn và sau đó lấy tích phân.
Đồng hóa dữ liệu liên tục thực chất là thuật toán đơn giản để xây

dựng một nghiệm gần đúng u2 phù hợp cho việc xử lý bằng lý thuyết của
phương pháp xác định các mode của Foias và Prodi. Trong luận văn này,
ta xem u2 như là một nghiệm của một hệ phương trình Navier-Stokes
hai chiều thay đổi nhỏ so với hệ gốc (1.1). Điều này có thể được thực
hiện bằng cách thêm phương trình tiến hóa với p1 (t) thành phương trình
tiến hóa với q2 (t) . Vì vậy, ta thu được
∂u2
+ (u2 .∇) u2 − ν∆u2 + ∇π2 = f2 ,
∂t
16

∇ · u2 = 0

(2.2)


với điều kiện ban đầu u2 (0) = Pλ u0 + η với η = Qλ η và
f2 = f + Pλ {(u2 · ∇) u2 − (u1 · ∇) u1 }

(2.3)

Chú ý rằng f2 là hàm phụ thuộc vào thời gian và phụ thuộc vào u2 để
đảm bảo rằng Pλ u1 (t) = Pλ u2 (t) tại mọi thời điểm t ≥ 0.
Tuy nhiên, lí thuyết xác định các mode không đặt các giả thiết lên u2 .
Do đó, ta luôn nhớ rằng u2 đã được xây dựng bằng đồng hóa dữ liệu liên
tục và giả sử rằng nó là một nghiệm khác của hệ phương trình NavierStokes với hàm f2 (t) phụ thuộc thời gian. Để tránh những nhầm lẫn có
thể có, ta sẽ giả thiết các nghiệm v1 và v2 của hệ Navier-Stokes (1.1) ứng
với các hàm ngoại lực tương ứng g1 và g2 khi thảo luận lí thuyết tổng
quát về xác định các mode.
Định nghĩa 2.1. [3] Số xác định mode là hạng nhỏ nhất của phép chiếu

Pλ sao cho với bất kì hai nghiệm v1 và v2 của (1.1) thỏa mãn
|Pλ v1 (t) − Pλ v2 (t)| → 0 khi t → ∞
thì ta có
|v1 (t) − v2 (t)| → 0 khi t → ∞.
Ta kí hiệu bởi λc là giá trị nhỏ nhất của λ sao cho hạng của Pλ là bằng
với số xác định mode Nc .
Ta biết rằng, hệ Navier-Stokes hai chiều có số xác định mode hữu
hạn. Hơn nữa, số xác định mode là phụ thuộc vào ngoại lực, độ nhớn và
độ lớn của miền. Để hiểu rõ hơn, ta định nghĩa số Grashof như sau.
Định nghĩa 2.2. [3] Số Grashof được định nghĩa là
Gr(f ) =

2

L
2πν

lim sup |f (t)|.
t→∞

17


Như đã biết, số Grashof đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá
số xác định mode của hệ phương trình Navier-Stokes, khi đó ta cần sự
tương đương về dáng điệu của các ngoại lực. Điều này rất quan trọng vì
hàm ngoại lực f2 trong đồng hóa dữ liệu liên lục không bằng với f.

2.2. Chứng minh sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về
nghiệm chính xác khi thời gian ra vô cùng

Định lí 2.1. [3] Cho
M1 =

1
sup
t>0 t

1/2

t

||f (τ )||2∗ dτ

và M2 =

0

1
sup
t>0 t

1/2

t
2

|f (τ )| dτ

.


0

Khi đó, cho trước một tập con bị chặn B0 ⊂ V và f ∈ L2loc ((0, T ); H) với
M2 < ∞, tồn tại các số K1 và K2 đủ lớn sao cho với mỗi u0 = u1 (0) ∈ B0
và η = Qλ u2 (0) ∈ Qλ V, các nghiệm u1 (t) và u2 (t) của (1.20) thỏa mãn:
(i) Nếu tồn tại α sao cho 0 < 2α ≤ νλ − c21 v −3 M12 thì
|u1 (t) − u2 (t)| ≤ |u1 (0) − u2 (0)|K1 e−αt với t ≥ 0.
(ii) Nếu tồn tại α sao cho 0 < 2α ≤ νλ − c21 (v 3 λ)M22 thì
|u1 (t) − u2 (t)| ≤ |u1 (0) − u2 (0)|K2 e−αt với t ≥ 0.
Chứng minh. Đặt δ = u1 − u2 . Để ước lượng được |δ(t)|, ta thay (2.14)
ở Bổ đề 2.4 vào (1.23) trong Bổ đề 1.3, để thu được
tc21 1
1
|δ(t)| ≤ |δ(0)| exp −νλt +
( |u0 |2 + 2 M12 )
ν νt
ν
2
c1
c21 2
2
2
≤ |δ(0)| exp
|u0 | exp (−νλ + 3 M1 )t .
ν2
ν
2

2


18


Do đó, nếu 0 < 2α ≤ νλ − c21 ν −3 M12 , thì |δ(t)| ≤ |δ(0)|K1 e−αt trong đó
K1 được chọn đủ lớn sao cho
c21
K1 ≥ exp
|u0 |2
ν2

với mọi u0 ∈ B0 .

Để đánh giá ||δ(t)||, ta thay (2.15) ở Bổ đề 2.4 vào (1.24) trong Bổ đề
1.3 để được
1
tc21 1
( ||u0 ||2 + 2 M22 )
νλ νt
ν
2
c1
c21
2
2
≤ ||δ(0)|| exp
||u0 || exp (−νλ + 3 M22 )t .
2
ν λ
ν λ


||δ(t)||2 ≤ ||δ(0)||2 exp −νλt +

Do đó, nếu 0 < 2α ≤ vλ − c21 (v 3 λ)M22 thì ||δ(t)|| ≤ ||δ(0)||K2 e−αt với K2
được chọn đủ lớn sao cho
c21
K2 ≥ exp
||u0 ||2
2
v λ

với mọi u0 ∈ B0 .

Định lí được chứng minh
Từ Định lí 2.1, ta thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1. [3] Dưới các giả thiết của Định lí 2.1, nghiệm xấp xỉ u2
hội tụ tới u1 trong L∞ ([0, ∞]; V ) khi λ → ∞.
Chứng minh. Vì K2 trong Định lí 2.1 có thể được chọn không phụ thuộc
vào λ, nên
||u1 (t) − u2 (t)|| ≤ ||u1 (0) − u2 (0)||K2 e−αt ≤ K2 ||Qλ (u0 − η)|| → 0,
khi t → ∞. Hay u2 hội tụ tới u1 trong L∞ ([0, ∞]; V ) khi λ → ∞.
Định lí 2.2. [3] Cho u1 (1) là một nghiệm trên tập hút toàn cục của
phương trình Navier-Stokes hai chiều (1.1) với ngoại lực không phụ thuộc
19


vào thời gian f ∈ L2 (Ω). Cho u2 (t) là xấp xỉ của u1 (t) thu được từ việc
đồng hóa dữ liệu liên tục của (1.1) dưới các phép đo quan sát Pλ u1 (τ )
trên khoảng thời gian τ ∈ [0, t]. Khi đó, tồn tại các hằng số K1 và K2
không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu sao cho
(i) Nếu tồn tại α sao cho 0 < 2α ≤ νλ − c21 v − 3||f ||2∗ , thì

|u1 (t) − u2 (t) | ≤ |u1 (0) − u2 (0) |K1 e−αt với t ≥ 0;
(ii) Nếu tồn tại α sao cho 0 < 2α ≤ νλ − c21 (v 3 λ)−1 |f |2 , thì
|u1 (t) − u2 (t) | ≤ |u1 (0) − u2 (0) |K2 e−αt với t ≥ 0.
Lưu ý rằng, Định lí 2.2 chứng tỏ rằng, sự hội tụ của u2 tới u1 là theo
tốc độ mũ. Điều này dẫn đến định nghĩa sau
Định nghĩa 2.3. [3] Tốc độ của đồng hóa dữ liệu liên tục là cận trên
đúng của tất cả α sao cho
||u1 (t) − u2 (t) || = O e(−λ)t

với t → ∞.

Trước tiên ta chứng tỏ phương trình đồng hóa dữ liệu liên tục (1.1) là
đặt đúng toàn cục. Ở đây, ta chú ý đến nghiệm mạnh. Sau đó, ta thiết
lập một bổ đề và cuối cùng chứng minh Định lí (2.2). Cuối cùng, ta thảo
luận về hệ phương trình (1.1) và (2.2) là tiêu hao. Khi λ = 0, hệ này là
tiêu hao vì trong trường hợp này f2 = f và số hạng phản hồi
Pλ {(u2 · ∇)u2 − (u1 · ∇)u1 } = 0.
Vì vậy, u2 là một nghiệm của phương trình Navier-Stokes hai chiều với
ngoại lực f . Với
λ > min{c21 ν −4 f 2∗ , c1 ν −2 |f |}
20

(2.4)