PHẦN TIẾP TUYẾN
PHẦN 1:

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
B. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN 2:

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Nhóm thực hiện
1. Nguyễn Nhật Hoàng Kim 1511142
2. Nguyễn thị Kim Loan 1511150
3. Hoàng Anh Thiện 1511289
4. Hoàng Ngọc Đoan Thùy 1511300
****************…………..////////………….***************

1


PHẦN 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn là một mảng kiến thức khá quen thuộc
trong chương trình Toán THPT. Sau đây ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng bài tập về lĩnh vực này
trong mặt phẳng lẫn trong không gian.
A.

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG:

1) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên đường tròn:

Dấu hiệu nhận biết:
M ∈( C )

, tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến qua M và vuông góc IM
______________________________
M ( xo , yo )

Gọi
tại M.

( C)
là điểm nằm trên đường tròn

I ( a, b )

có tâm

.Gọi

V

( C)
là tiếp tuyến của

2


Ta có M thuộc
Do đó


V

V

uuur
IM = ( xo − a, yo − b )
và vectơ

là vectơ pháp tuyến của

V

có phương trình:

( xo − a ) ( x − xo ) + ( yo − b ) ( y − yo ) = 0

( C ) : ( x − a)

2

+ ( y − b ) = R2
2

Đây cũng là phương trình tiếp tuyến của đường tròn
nằm trên đường tròn.

( C)
Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với


( C ) : ( x − 1)

2

tại điểm M

M ( 1,1)

tại

thuộc đường tròn

+ ( y + 2) = 9
2

.
Giải

( C)

I ( 1, −2 )

có tâm

, bán kính R = 3

uuur
IM = ( 0,3 )
uuur
IM = ( 0,3)


M ( 1,1)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

có vectơ pháp tuyến

:

0 ( x − 1) + 3 ( y − 1) = 0
⇔ y −1 = 0

y −1 = 0
Vậy pttt tại M là
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(3,4) , biết đường tròn có
x2 + y 2 − 2x − 4 y − 3 = 0
phương trình là:
Giải
3


Ta xác định tâm và bán kính của (C)
R = 12 + 2 2 − ( −3) = 8

(C) Tâm I(1,2) , bán kính
uuur
IM = (2, 2)

uuur
IM = (2, 2)


Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3,4) có vectơ pháp tuyến

:

2( x − 3) + 2( y − 4) = 0
⇔ 2 x + 2 y − 14 = 0
⇔ x+ y−7 = 0

x+ y −7 = 0
Vậy pttt tại M là
Bài Tập:
1.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(3,4) thuộc đường tròn
(C): (x – 1)2+(y – 2)2 = 8
2.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm B(2,1) thuộc đường tròn
(C): x2 + y2 – 4x + 8y - 5 = 0
2.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm B(1,2) thuộc đường tròn
(C): 3x2 + 3y2 – 6x – 6y + 3 = 0

2.

Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Xác định tâm và bán kính của đường tròn
4


V
có hệ số góc k nên có dạng: y= kx + m


Vì tiếp tuyến

⇔ d ( I , ∆) = R

Dựa vào điều kiện tiếp xúc
Giải phương trình ta tìm được m => phương trình tiếp tuyến
(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 5 = 0
Ví dụ Cho đường tròn

. Viết phương trình tiếp tuyến của đường

tròn , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1,3) , bán kính R=√5

V
Vì tiếp tuyến

V
có hệ số góc k = -2 , nên

có dạng:

y = −2 x + m ⇔ 2 x + y − m = 0
V
Vì

V
là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên


tiếp xúc (C) , ta có :

⇔ d ( I , ∆) = R

⇔

2.1 + 3 − m
22 + 12

= 5

5 − m = 5
m = 0
⇔ 5−m = 5 ⇔ 
⇔
5 − m = −5
 m = 10

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là:

( V1 ) : 2 x + y = 0
( V2 ) : 2 x + y − 10 = 0
Bài tập:

5


1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0

Biết tiếp tuyến


có hệ số góc bằng 2
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0

Biết tiếp tuyến

−1
2
có hệ số góc bằng
3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 40 = 0

Biết tiếp

5
12
tuyến có hệ số góc bằng
3.

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

( C)
Cho đường tròn

viết tiếp tuyến

V

( C)
của


biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng

( d ) ax + by + c = 0
:

Cách làm: Giả sử phương trình đường thẳng

( ∆ ) :ax + by + m = 0

V

có dạng:

(m ≠ c)

(Lưu ý: nếu m = c thì đường thẳng sẽ trùng với tiếp tuyến)
Tính chất tiếp xúc : Khoảng cách từ tâm I đến .. bằng R
6


d ( I, ∆) = R

ta tìm được m

( ∆ ) :ax + by + m = 0
Thay m vừa tìm được vào phương trình
cần tìm.

ta tìm được phương trình tiếp tuyến


( C ) : x2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0
Ví dụ :Cho

( C)
. Viết phương trình tiếp tuyến với

biết tiếp tuyến

( d ) : 3x + 4 y + 20 = 0
đó song song với đường thẳng

.

Giải
Ta có :

( C)

I ( 1, 2 )

có tâm

và bán kính

( C)
Giả sử tiếp tuyến với

là

V


R=3

song song d .

V
≠
=> có dạng: 3x + 4y + m =0 ( m 20)
V

( C)

⇔ d ( I , ∆) = R

là tiếp tuyến của

⇔

3.1 + 4.2 + m
32 + 4 2

=3

⇔ m + 11 = 15

 m + 11 = 15
⇔
 m + 11 = −15
m = 4 ( N )
⇔

 m = −26 ( N )

7


( V1 ) : 3x + 4 y + 4 = 0 ( V2 ) : 3x + 4 y − 26 = 0
,

Vậy ta có 2 phương trình tiếp tuyến :
Bài tập:

1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y - 5 = 0

Biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng d: x – y = 0
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0

Biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng d: y= – x + 3
3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0

Biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng d: 24x – 7y – 37= 0

4.

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước


( C)
Cho đường tròn

viết tiếp tuyến

V

( C)
của

biết tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng

( d ) ax + by + c = 0
:

8


Cách làm:
Ta xác định tâm và bán kính của đường tròn
Do

V⊥ d

Ta giả sử phương trình đường thẳng

V

có dạng:


( ∆ ) :bx − ay + m = 0
( ∆ ) : -bx + ay + m = 0
(Hoặc

)

≠
(Lưu ý: ta không cần đặc đk m
tiếp tuyến)

c vì nếu giả sử m = c thì đường thẳng cũng không trùng với

Tính chất tiếp xúc : Khoảng cách từ tâm I đến

V

bằng R

d ( I, ∆) = R

ta tìm được m

( ∆ ) :bx − ay + m = 0
Thay m vừa tìm được vào phương trình
tuyến cần tìm.

( C ) : ( x − 2)

2


ta tìm được phương trình tiếp

+ ( y − 1) = 5

( C)

2

Ví dụ : Cho đường tròn

. Viết phương trình tiếp tuyến với

biết

( d ) : 2x + y + 3 = 0
tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

.

Giải

( C)

I ( 2,1)

có tâm

và bán kính


( C)
Giả sử tiếp tuyến với

là

V

R= 5

vuông góc với d .

9


Do

V⊥ d

V
=> có dạng: x – 2y + m = 0
V

( C)

⇔ d ( I , ∆) = R

là tiếp tuyến của

⇔


2 − 2.1 + m
5

= 5

m = 5
⇔
 m = −5

( V1 ) : x − 2 y + 5 = 0 ( V2 ) : x − 2 y − 5 = 0
Vậy ta có 2 phương trình tiếp tuyến :

,

Bài tập:
1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 9 = 0

Biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y = 0
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 3x2 + 3y2 – 6x – 6y + 3 = 0

Biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + y = 0
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 5x2 + 5y2 + 10x – 10y - 75 = 0

Biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2x + y - 1 = 0

5.

Phương trình tiếp tuyến hợp với đường thẳng 1 góc cho trước:

Kết hợp điều kiện tiếp xúc và công thức góc tạo bởi 2 đường thẳng

10


(C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 1)2 = 10
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

. Viết phương trình

(d ) : 2 x + y − 4 = 0
tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
Giải
10
(C) có tâm I(1,-1) , bán kính R =
: Ax + By + C = 0, A2 + B 2 > 0
V
Giả sử tiếp tuyến có phương trình
Điều kiện tiếp xúc :
d ( I, ∆) = R
⇔

A− B +C
A2 + B 2

một góc 45o


= 10
(1)

tiếp tuyến tạo với đường thẳng
nên:

(d ) : 2 x + y − 4 = 0
một góc 45o

11


2A + B

cos 45o =

5. A2 + B 2
2

2

 2   2A + B 
⇔ 
÷
÷ =  5. A2 + B 2 ÷
2


 

2
2
⇔ 3 A + 8 AB − 3 B = 0
2

A
 A
⇔ 3 ÷ + 8 − 3 = 0
B
B
A
 B = −3
⇔
A =3
 B
 A = −3B(*)
⇔
 A = 3B (**)
C = 14 B
= 10 ⇔ C − 4 B = 10 B ⇔ 
(−3B) 2 + B 2
C = −6 B

−3B − B + C

Thay (*) vào (1) :
C = 14B . Ta có pttt: -3Bx + By + 14B =0  -3x + y + 14 =0
C = -6B . Ta có pttt: -3Bx + By - 6B =0  -3x + y - 6 =0
C = 8 B
= 10 ⇔ C + 2 B = 10 B ⇔ 

(3B) 2 + B 2
C = −12 B

3B − B + C

Thay (**) vào (1) :
C = 8B . Ta có pttt: 3Bx + By + 8B =0  3x + y + 8 =0
C = -12B . Ta có pttt: 3Bx + By - 12B =0  3x + y - 12 =0
Bài Tập:

12


(C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 2
1.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

. Viết phương trình tiếp

(d ) : 3x − y + 1 = 0
một góc 60o

tuyến của (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
(C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0
2.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

. Viết phương trình tiếp

(d ) : x − y + 5 = 0
một góc 45o


tuyến của (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
(C ) : ( x − 5) 2 + ( y + 1) 2 = 9
3.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

. Viết phương trình tiếp

(d ) : y = 2 x + 1
tuyến của (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

6.

một góc 30o

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua một điểm nằm ngoài đường
tròn

Lưu ý : phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua 1 điểm nằm ngoài đường tròn có 2 tiếp
tuyến
Hướng dẫn:
Trước tiên ta kiểm M(xM,yM) xem có thuộc (C) không , nếu thuộc ta đưa về dạng qua điểm nằm
trên đường tròn , còn nếu không thuộc ta làm như sau :
Cách 1: Xác định tâm và bán kính của (C)
13


uu
r
nV (a, b)

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(xM,yM) và có vecto pháp tuyến


nên có dạng:

a ( x − xM ) + b ( y − y M ) = 0
⇔ d ( I , ∆) = R

Dựa vào điều kiện tiếp xúc
Sau đó chọn a , b thích hợp rồi suy ra phương trình tiếp tuyến
**Chú ý: Khi giái bằng cách này , không được chia 2 vế cho a hoặc b mà chuyển tất cả các hạng
tử về 1 vế , vế còn lại bằng 0 . Sau đó chọn a ( hoặc b) rồi tìm giá trị còn lại b (hoặc a) tương ứng.
Cách 2:

Xác định tâm và bán kính của (C)

V
Giả sử tiếp tuyến

có hệ số góc là k

Vì tiếp tuyến đi qua M(xM,yM) và có hệ số góc là k nên có dạng
y − yM = k ( x − xM )
⇔ y = k ( x − xM ) + yM

V
Vì

là tiếp tuyến của (C) nên

d ( I , ∆) = R


Giải phương trình tìm được k , rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

( C ) : ( x + 1)
Ví dụ 1: Cho M(1,1) , đường tròn

2

+ ( y − 2) =
2

9
5

.Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) qua M.

14


Giải
Cách 1:

9
5
(C) có tâm I(-1,2) bán kính R=
uu
r
nV (a, b)


Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(1,1) và có vecto pháp tuyến

nên có dạng:

a ( x − xM ) + b ( y − yM ) = 0
⇔ a ( x − 1) + b ( y − 1) = 0

Do tiếp xúc đường tròn nên:
d ( I , ∆) = R

⇔

a (−1 − 1) + b(2 − 1)
a 2 + b2

=

9
5

⇔ 5 −2a + b = 3 a 2 + b 2
⇔ 5(b 2 − 4ab + 4a 2 ) = 9( a 2 + b 2 )
⇔ 11a 2 − 20ab − 4b 2 = 0
Chọn a=2 pt  44 – 40b – 4b2 =0
b = 1
⇒
b = −11
Vậy phương trình tiếp tuyến là:

( V1 ) : 2 x + y − 3 = 0

( V2 ) : 2 x − 11y + 9 = 0
Cách 2:
15


9
5
(C) có tâm I(-1,2) bán kính R=

V
Giả sử tiếp tuyến

có hệ số góc là k

Vì tiếp tuyến đi qua M(1,1) và có hệ số góc là k nên có dạng

y − yM = k ( x − xM )
⇔ y = k ( x − 1) + 1
⇔ kx − y − k + 1 = 0
V
Vì

là tiếp tuyến của (C) nên

d ( I , ∆) = R

k .(−1) − 2 − k + 1
k 2 +1

=


9
5

⇔ 5. −2k − 1 = 3 k 2 + 1
⇔ 5(4k 2 + 4k + 1) = 9(k 2 + 1)
⇔ 11k 2 + 20k − 4 = 0

 k = −2
⇔
k = 2

11

k = −2 => pttt : −2 x − y + 3 = 0
k=

2
2
9
=> pttt : x − y + = 0 ⇔ 2 x − 11y + 9 = 0
11
11
11

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2- 4x + 8y +18= 0
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1,-3)
16



b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua B(1,1)
Giải
a.Ta kiểm xem A(1,-3) có thuộc đường tròn không . Thế tọa độ điểm A vào (C)

12 + (−3) 2 − 4.1 + 8.(−3) + 18 = 0

⇔0=0
( luôn đúng)
 M thuộc đường tròn (C) , ta quay về dạng viết pttt qua điểm nằm trên đường tròn
(C) có tâm I(2,-4) , bán kính R=√2

uu
r
IA = (−1,1)
uu
r
IA = (−1,1)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(1,-3) có vectơ pháp tuyến

:

−1( x − 1) + 1( y + 3) = 0
⇔ −x + y + 4 = 0

−x + y + 4 = 0
Vậy pttt tại A là
b. Ta thay tọa độ điểm B vào đường tròn (C) thì thấy không thỏa , nên điểm B nằm ngoài đường
tròn (C) , ta đưa về dạng viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm không thuộc đường tròn.
Cách 1:

(C) có tâm I(2,-4) , bán kính R=√2

uu
r
nV (a, b)

Vì tiếp tuyến đi qua điểm B(1,1) và có vecto pháp tuyến

nên có dạng:

a ( x − xB ) + b ( y − y B ) = 0
⇔ a ( x − 1) + b ( y − 1) = 0

Do tiếp xúc đường tròn nên:
17


d ( I , ∆) = R

⇔

a (2 − 1) + b( −4 − 1)
a 2 + b2

= 2

⇔ a − 5b = 2. a 2 + b2
⇔ ( a 2 − 10ab + 25b 2 ) = 2( a 2 + b 2 )
⇔ a 2 + 10ab − 23b 2 = 0
Chọn b=1 pt  a2 + 10a – 23 =0

 a = −5 + 4 3
⇒
 a = −5 − 4 3

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

( V1 ) : (−5 + 4
( V2 ) : (−5 − 4

3) x + y + (4 − 4 3) = 0
3) x + y + (4 + 4 3) = 0

Cách 2:
(C) có tâm I(2,-4) , bán kính R=√2

V
Giả sử tiếp tuyến

có hệ số góc là k

Vì tiếp tuyến đi qua B(1,1) và có hệ số góc là k nên có dạng

y − y B = k ( x − xB )
⇔ y = k ( x − 1) + 1
⇔ kx − y − k + 1 = 0
V
Vì

là tiếp tuyến của (C) nên


d ( I , ∆) = R

18


k .2 − (−4) − k + 1
k 2 +1

= 2

⇔ k + 5 = 2. k 2 + 1
⇔ (k 2 + 10k + 25) = 2(k 2 + 1)
⇔ k 2 − 10k − 23 = 0
k = 5 + 4 3
⇔
 k = 5 − 4 3

(

)

(

)

(

)

(


)

k = 5 + 4 3 => pttt : 5 + 4 3 x − y + −4 − 4 3 = 0

k = 5 − 4 3 => pttt : 5 − 4 3 x − y + −4 + 4 3 = 0

Bài tập:
1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0 . Biết tiếp tuyến đi
qua điểm M(2,3)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y – 4 )2 = 25 . Biết tiếp tuyến đi
qua điểm M(-4,-6)
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 8 = 0 . Biết tiếp tuyến
đi qua điểm M(3,5)
7.Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn:

Vị trí tương đối của hai đường tròn :
1) Định lý
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ta nói hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì R - r < OO’

19


Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì OO’ = R+r.Nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong thì
OO’= R - r.
a, Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là
đường nối tâm là đường trung trực của dây cung chung.
b, Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm nắm trên đường nối tâm.

(Bảng tóm tắt vị trí tương đối giữa 2 đường tròn)
2) Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy điểm A tùy ý trên (O). Vẽ đường tròn đường kính
OA. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính OA. Ta có O’ là trung điểm của OA và bán kính đường
tròn(O’) là
20


R' = OA/2 = R/2.
Độ dài đoạn nối tâm: d= OO' = OA/2 = R/2.
Ta có: R - R' = R/2 = d nên (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A(-1;1) và B(3;0). Vẽ các đường tròn (A;r) và
(B;r’).
Khi r=3 và r’=1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Độ dài đoạn nối tâm d = AB = √(3+1)2 + 1 = √17 (1)
Tổng hai bán kính:
r + r’ = 3 + 1 = 4 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy √17 > 4 nên hai đường tròn không giao nhau; hai đường tròn (A) và (B)
nằm ngoài nhau.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R) cắt nhau tại M và N. Biết OO’=24cm, MN=10cm.
Tính R.

Gọi giao điểm của OO’ và MN là I. Vì OM = ON =O’M =O’N = R nên tứ giác OMO’N là hình
thoi
21

=> OO' ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO’ và MN.
Do đó: IM = MN/2 = 5cm ; IO = OO'/2 = 12cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác MIO ta có:
R = OM = √(IM2 + IO2) = 13
Vậy R = 13(cm)
Bài 4: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN
với M thuộc (O), N thuộc (O’). Biết R=9cm, R’= 4cm. Tính độ dài đoạn MN.

Ta có: OO’= OA + O’A = 9 + 4 =13(cm)
Kẻ OH ⊥ OM tại H
Suy ra tứ giác O’NMH là hình chữ nhật
Suy ra MH=O’N=4cm; MN=O’H
Suy ra OH=OM-MH=9-4=5(cm)
Áp dụng đình lí py-ta-go vào tam giác OO’H, ta có:
MN = O'H = √(OO'2 - OH2) = 12 (cm)
Vậy MN = 12cm.

Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn:
Cho hai đường tròn (C1) có tâm I1(a1,b1), bán kính R1 và (C2) có tâm I2(a2,b2), bán kinh R2.
Có 2 cách giải bài toán viết pttt chung cùa 2 đường tròn (C1) và (C2).
Cách 1: Gọi (∆) : Ax + By + C = 0
22


d ( I1 , ∆ ) = R1 ⇔

a1 A + b1B + C
A2 + B 2

= R1

(∆) tiếp xúc (C1) 

(1)

⇔ d ( I 2 , ∆ ) = R2 ⇔

a2 A + b2 B + C
A2 + B 2

= R2

(∆) tiếp xúc (C2)
⇒ a1 A + b1 B + C =

(2)
R1
a2 A + b2 B + C
R2

(3)
Giai các hệ phương trình sau :
 (a1 A + b1B + C ) 2 = R 2 ( A2 + B 2 )

  a A + b B + C = R1 (a A + b B + C )
1
2
2
  1
R2


(a1 A + b1B + C ) 2 = R 2 ( A2 + B 2 )

  a A + b B + C = − R1 (a A + b B + C )
1
2
2
  1
R2
Ta được A,B,C suy ra phương trình các tiếp tuyến.
∈ (C1 )
Cách 2: Viết phương trình ∆ tiếp xúc (C1) tại điểm Mo(xo ; yo)

(ẩn số là xo , yo)

Từ điều kiện để ∆ tiếp xúc (C2) ta suy ra xo, yo và được phương trình ∆
Cách 3:
(1) Nếu I1I2 > R1 + R2 thì (C1), (C2) có 2 tiếp tuyến chung ngoài, 2 tiếp tuyến chung trong.

R1
R2

-Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (I chia I1I2 theo tỉ số
với 1 trong 2 đường tròn.

, gọi là tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc
R1
R2

- Tiếp tuyến chung trong đi qua J (J chia I1I2 theo tỉ số xúc với 1 trong 2 đường tròn.

, gọi là tâm vị trí trong) và tiếp

23


(2) Nếu I1I2 = R1 + R2 thì (C1) , (C2) tiếp xúc ngoài => (C1) , (C2) có 2 tiếp tuyến ngoài và 1
tiếp tuyến trong.
- Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với 1trong 2 đường tròn.
- 1 tiếp tuyến chung trong chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn.
R1 − R2 < I1 I 2 < R1 + R2

(3) Nếu
thì (C1) , (C2) cắt nhau tại 2 điểm => (C1) , (C2) chỉ có 2 tiếp
tuyến ngoài. Hai tiếp tuyến ngoài qua I (tâm vị ự ngoài) và tiếp xúc một trong 2 đường tròn.
R1 − R2 = I1 I 2

(4) Nếu

thì (C1) , (C2) chỉ có 1 tiếp tuyến chung.

Tiếp tuyến chung đi qua tiếp điểm và vuông với đường nối tâm (tức trục đẳng phương).
Ví dụ :Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :
2
2
2
2
( C1 ) : ( x − 1) + ( y – 1) = 1, ( C2 ) : ( x – 2 ) + ( y + 1) = 4.

Giải :

( C1 )
có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 1. (C2) có tâm I2 (2;-1) , bán kính R2 = 2
I1 I 2 = 5


I1 I 2
Vì : R2 – R1 = 1 <

< 3 = R2 + R1 nên (C1) , (C2) cắt nhau => có 2 tiếp tuyến ngoài.

Cách 1 : Gọi (∆) : Ax + By + C = 0
⇔ d ( I1 , ∆) = R1 ⇔

A+ B +C
A2 + B 2

=1

(∆) tiếp xúc (C1)

(1)
⇔ d ( I 2 , ∆ ) = R2 ⇔

(∆) tiếp xúc (C2)

2A− B + C
A2 + B 2

=2

(2)

24


Ta có:

 ( A + B + C ) 2 = A2 + B 2

 A + B + C = A2 + B 2
 C = −3B
⇔


 C = −1 (4 A + B )
 2 A + B + C = 2 A − B + C
 
3
( A + B − 3B) 2 = A2 + B 2 ⇔ B (3B − 4 A) = 0

+ Với C = -3B : Ta có
 B=0 hoặc 4A =3B
+ B = 0 => C = 0 , chọn A = 1 ta có tiếp tuyến x = 0
+ 4A = 3B : Chọn A = 3, B = 4 => C = -12 ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0.

+ Với C =

1
3

(4A + B) . Tương tự ta thấy hệ vô nghiệm.

Cách 2 : Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến (∆) với (C1 ) là M(xo; yo)
uuuu
r
I1M
- Tiếp tuyến của (C1 ) tại M có vtpt
=( xO – 1; yo - 1) nên có phương trình:
∆ : (x – xo)( xo – 1) + (y – yo))( yo)- 1) = 0

(1)

+ Vì M(xo; yo)) thuộc (C1 ) nên :
(xo – 1)2 + (yo)– 1)2 = 1  x02 + y02 - 2x0 - 2 y0 + 1 = 0

(2)

+ Đường thẳng (∆) tiếp xúc (C2) khi và chỉ khi :
⇔ d ( I 2 , ∆ ) = R2 ⇔

(2 − xo )( xo − 1) − (−1 − yo )( yo − 1)
( xo − 1) 2 + ( yo − 1) 2

xo − 2 yo − ( xo 2 + yo 2 − 2 xo − 2 yo + 1)
( xo − 1) 2 + ( yo − 1) 2

=2

=2



 xo = 2 yo + 2 (3)
⇔ xo − 2 yo = 2 ⇔ 
 xo = 2 yo − 2 (4)
Giai (2) với (3) ta thấy vô nghiệm
25