PHÒNG GD&ĐT NAM TỪ LIÊM
9

ĐỀ KIỂM TRA KSCL HỌC SINH LỚP
Năm học 2017 – 2018 – Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề kiểm tra gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

A=
Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức
1) Tính giá trị biểu thức A khi

x −2
;B =
x

x −1 7 x − 9
−
( x > 0, x ≠ 9 )
x −9
x −3

x = 36.

2) Rút gọn biểu thức B.
3) Cho biểu thức P = A:B. Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn P = m.
Câu 2. (2 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 6 giờ 40 phút thì đầy bể. Nếu để
chảy một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 3 giờ. Tính

thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Câu 3. (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

y

3
2
x
−
1
−
=1

y +1


 2x −1 + 2 y = 5

y +1


2) Trên măt phăng toa đô Oxy cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2mx – m2 + m. Tìm giá trị của m để (d)

x1 = 3 x2
cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn :
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và hai đường kính MN và PQ vuông góc với nhau. Lấy điểm A trên
cung nhỏ PN. PA cắt MN tại B, AQ cắt MN tại E.

1. Chứng minh OABQ là tứ giác nội tiếp
2. Nối AM cắt PQ và PN lần lượt tại C và I. Chứng minh tích MC.MA không đổi khi A
di chuyển trên cung nhỏ PN.

IN = 2 EN

3. Chứng minh
4. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác ACE đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5. (0,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c ≥ 6.


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a 3 + b3 b3 + c 3 c 3 + a 3
M= 2
+
+
a + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2

………………………………………
HẾT………………………………………

.


ĐỀ KIỂM TRA KSCL HỌC SINH LỚP 9 – QUẬN NAM TỪ LIÊM
Năm học 2017 – 2018 – Môn: Toán

x −2
;B =

x

A=
Bài 1.

1) Thay

B=

x = 36

(

36 − 2 2
=
3
36

A=
(tmđk) vào A ta có

)(

x −1

(

x −1 7 x − 9
−
( x > 0, x ≠ 9 )

x −9
x −3

)

x +3 −7 x +9

x −3

)(

x +3

)

=

(
(

)(
x − 3) (

x −3

.

)=
x + 3)


x −2

x −2
x +3

2)

P = A: B =
3) Với x> 0, x ≠ 9, x ≠ 4 ta có:

P=m⇔

x −2 x −2
:
=
x
x +3

x +3
= m ⇔ ( m − 1) x = 3(*)
x

+) Với m = 1 thì (*) vô nghiệm

x=
+) Với m ≠ 1, ta có (*) có dạng

Đê (*) co nghiêm thi

3

m −1

 3
m −1 > 0
m > 1


5
 3
≠
2
⇔

m ≠
2
m −1

 3
m ≠ 2
m −1 ≠ 3


20
3

Bài 2. Đổi 6 giờ 40 phút =
giờ
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h) (x > 0)
thì thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x + 3 (h)


Trong 1 giờ, vòi 1 chảy một mình được

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy một mình được

1
x

(bể)

1
x+3

(bể)

x +3
x


1:
Trong 1 giờ, cả hai vòi cùng chảy được

20 3
=
3 20

(bể).

 x = 12(tm)
1
1

3
2
+
=
⇔ 3 x − 31x − 60 = 0 ⇔ 
5
 x = − (ktm)
x x + 3 20
3


Ta co phương trinh:
Vây thơi gian voi 1 chay môt minh đây bê la 12 giơ, thơi gian voi 1 chay m ôt minh đây bê la 15 giơ.

Bài 3.
1) Điều kiện: x ≥ ½ , y ≠ -1.

y
2y


3
2
x
−
1
−
=
1
6

2
x
−
1
−
=2
7 2 x − 1 = 7
x = 1


y +1
y +1




⇔
⇔
⇔  2y

2y
2
y
2
y
2
x
−
1
+

=
5
 2x − 1 +
 2x − 1 +

 y +1 = 4
=5
=5
y +1




y +1
y +1



 x = 1(tm)
⇔
 y = −2(tm)
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2mx – m2 + m. Tìm giá trị của m
x1 = 3 x2
để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn :
Phương trình hoành độ giao điểm của (d): y = 2mx – m2 + m và (P): y = x2 là

x 2 − 2mx + m 2 − m = 0
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 không âm thì

m > 0

∆ ' > 0


⇔ m ≥1
 x1 + x2 ≥ 0 ⇔ 2m ≥ 0
 x .x ≥ 0
 2
 1 2
m − m ≥ 0
 x1 + x2 = 2m

2
 x1.x2 = m − m(*)
Theo định lý Viet :

x1 = 3 x2
Để x1 , x2 thỏa mãn

thì

x1 = 3 x2

.


Khi đo ta co

3m

x

=
1
 x1 + x2 = 2m 
2
⇔

 x1 = 3x2
x = m
 2 2

thay vào (*) ta có

 m = 0(ktm)
3m m
. = m2 − m ⇔ 
2 2
 m = 4(tm)
Bài 4.

·
PAQ
= 900

1)

P

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

·

·
·
QAB
= 900 ⇒ QAB
= QOB
= 900

I

⇒

A

C

⇒ ABQ nội tiếp.
2) ΔMOC

∽

O

M

N
E

ΔMAN (g.g) ⇒

MC MO

=
⇒ MC.MA = MO.MN = 2 R 2
MN MA

H
Q

3)

1 ¼
1 ¼
·
·
MAQ
= sd MQ
= 450 , PNM
= sd PM
= 450
2
2
·
·
⇒ MAQ
= PNM
⇒ AIEN nội tiếp ⇒
EN

·
·
·

IAN
+ IEN
= 1800 ⇒ IEN
= 900

⇒ ΔIEN vuông cân tại E ⇒IE =

IN = 2 EN
mà IN2 = IE2 + EN2 ⇒
1
S ACE = S AMQ − S MCEQ = S AMQ − ME.CQ
2

4)

∽
ΔMCQ

ΔMEQ

∽

ΔPCA (g.g) ⇒

ΔAEN (g.g) ⇒

CQ MQ
AC.R 2
=
⇒ CQ =

CA AP
AP

ME MQ
AE.R 2
=
⇒ ME =
AE AN
AN

B


CQ.ME =

AC. AE
.2 R 2
AP. AN

suy ra

( ·ACP = ·ANM ; ·APC = ·AEN ) ⇒ AN = AE ⇒ AC.AE = AP.AN
AC

∽
ΔACP

Do đo

ΔANE (g.g)


AP

1
CQ.ME = 2 R 2 ⇒ S ACE = S AMQ − R 2 = AH .R 2 − R 2
2

SAME lớn nhất ⇔ AH lớn nhất ⇔ A là điểm nằm chính giữa cung nhỏ PN.
Bài 5. a, b, c > 0; a + b + c ≥ 6.

M=

a 3 + b3 b3 + c3 c 3 + a 3
+
+
a 2 + b2 b2 + c2 c 2 + a 2

2
2
a 3 + b3 ( a + b ) ( a + b − ab )
ab 

=
=
a
+
b
1
−
(

)

2
2 ÷
a 2 + b2
a 2 + b2
 a +b 

a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔
Ta có:

a3 + b3 a + b
⇔ 2
≥
a + b2
2
M=

ab
1
ab
1
ab  a + b

≤
⇔
1
−
≥
⇔

a
+
b
1
−
≥
(
)

2
2 ÷
a 2 + b2 2
a 2 + b2 2
2
 a +b 

Chứng minh tương tự:

b3 + c3 b + c a 3 + c 3 a + c
≥
;
≥
b2 + c2
2 a2 + c2
2

a 3 + b3 b3 + c 3 c 3 + a 3 a + b b + c a + c
+
+
≥

+
+
≥6
a 2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.
Vậy GTNN của M là 6 khi a = b = c.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
QUẬN HÀ ĐÔNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9
Năm học 2017 -2018 ( lần 2)
Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
( Đề gồm có 01 trang )
BÀI I. ( 2,0 điểm)

A=

x +2
x
1
và B =

+
+
x−4
x
x −2
x =6−2 5

Cho các biểu thức
1) Tính giá trị của A tại

1
x +2

với x >0, x ≠ 4

.

A
B

2) Rút gọn biểu thức B và tính
x P = ;x − 25
3) Tìm x thỏa mãn xP ≤ 10
- 29 .
BÀI II. ( 2,0 điểm) Gải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Quãng đường AB dài 120 km. Cùng một lúc một xe máy đi từ A đến B và một xe đạp
đi từ B đến A. Vận tốc xe máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 20 km/h. Hai xe gặp nhau tại điểm
cách B là 48km. Tính vận tốc xe đạp biết rằng trước khi gặp nhau xe máy có dừng lại 1h để
bảo dưỡng ?
BÀI III. ( 2,0 điểm)


2 x − 1 + y − 1 = 5

 x − 1 + y − 1 = 3

1) Cho
Giải hệ
2)
x2 phương
– 2(m – trình
2)x + 2m – 5 = 0
a) Giả phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng bình phương
nghiệm kia.
BÀI IV. ( 3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ). Đường cao AD, BE cắt nhau
tại H, kéo dài BE cắt đường tròn ( O; R ) tại F.
1) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp được một đường tròn;
1) Chứng minh ΔHAF cân;
3) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh: ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp ΔCDE
3
4) Cho BC cố định và BC = R
. Xác định vị trí của A trên đường tròn (O) để DH.DA lớn
nhất.
BÀI V. ( 0,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 2019. Chứng minh rằng

a
b

c
+
+
≤1
a + 2019a + bc b + 2019b + ca c + 2019c + ab


-------------------------------- Hết ----------------------------PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN
QUẬN HÀ ĐÔNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9
Năm học 2017 -2018 ( lần 2)
Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
( Đáp án gồm có 01 trang )
BÀI I. ( 2,0 điểm)
với x>0, x ≠ 4
1) Ta có

x =6−2 5

( TMĐK ) =>

x = 6−2 5

( 5 − 1)2
=


=

5 −1

thay vào A ta

có

A=

B=

5 −1+ 2
5 + 1 ( 5 + 1)( 5 + 1) 3 + 5
=
=
=
5 −1
2
5 −1
5 −1
1
x + ( x + 2) + ( x − 2)
x+2 x
=
=
=
x −2
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)


x
+
x−4

2)

P=

3) xP ≤ 10

A
x +2
x
x−4
+
:
=
B
x
x
x −2
x

x − 25

- 29 -

x


⇔ x – 4 ≤ 10
⇔ x – 10
⇔

x
x +2

x

+

( x − 5)2
+

- 29 -

x − 25
x − 25

x − 25

+ 25 ≤ 0
≤ 0 (*)

( x − 5)2 ≥ 0
Với x>0, x ≠ 4 ta có

Do đó (*) ⇔

;


x − 25 ≥ 0

⇒

( x − 5) 2 + x − 25) ≥ 0

 x − 5 = 0
⇔ x = 25(TMDK )

 x − 25 = 0


Vậy x=25 thì xP ≤10

x

-29-

x − 25

BÀI II. ( 2,0 điểm)
Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h) (x>0)
Thì vận tốc xe máy là x + 20 (km/h)
Quãng đường xe đạp đi từ B đến lúc gặp xe máy là: 48km

Thời gian xe đạp đi từ B đến lúc gặp xe máy là

48
(h)

x

Quãng đường xe máy đi từ A đến lúc gặp nhau là: 120 - 48 = 72 (km)

Thời gian xe máy đi từ A đến lúc gặp xe đạp là:

72
(h)
x + 20

Vì xe máy phải dừng lại 1h để bảo dưỡng nên ta PT

⇔ x2 + 44x – 960 =0 ⇔

48
72
=
+1
x x + 20

 x = 16(TM )
 x = −60( KTM )


Vậy vận tốc xe đạp là 16km/h
BÀI III. ( 2,0 điểm)

1) (*)

2 x − 1 + y − 1 = 5


 x − 1 + y − 1 = 3

y ≥1
(ĐK:

)

 x = 3
 x − 1 = 2
 x − 1 = 2

⇔
⇔   x = −1

 x − 1 + y − 1 = 3  y − 1 = 1  y = 2(TM )


⇔ hệ (*) có 2 nghiệm (x;y) = (3;2); (x;y)=(-1;2)
Vậy
2) x2 – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 (1)

a) Vơi m = 1; ta có PT: x2 = 2x – 3 = 0  (x-1)(x+3)=0 
Vậy (1) có 2 nghiệm x = 1; x = -3 khi m=1

x = 1
 x = −3




b) Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì thì ∆’>0 ⇔ (m-2)2 - 2m + 5 > 0
⇔ m2 - 6m + 9 > 0
⇔ (m -3 )2 > 0
⇔m≠3
Khi đó để (1) có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này không bằng bình phương nghiệm kia
thì ta có 2 trường hợp sau:

TH1: x1 = ( x2 )2 ⇔

2m − 5 1
=
2
4

⇔ 8m – 20 = 2 ⇔ 8m = 22 ⇔ m =

1
4

(TM)


5+ 2
m=
(TM )

1  2m − 5 
2
2
=

÷ ⇔ 4m − 20m + 23 = 0 ⇔ 
2  2 

5− 2
(TM )
m =

2
2

TH2: x2 = ( x1 )2 ⇔

14 5 ± 2 
 ;

2 
 4
∈
bình phương nghiệm kia.

Vậy với m
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng
BÀI
· IV. (=3,5
· điểm)
HEC
HDC
= 900
A
1)

⇒ CDHE nội tiếp.
2)
;

·
·
FBC
= FAC

·
·
FBC
= CAH

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)
(cùng phụ với

·ACD

·
·
CAD
= FAC

E

)

M
O


⇒
⇒ ΔAHF cân tại A.
3) M là trung điểm của AB ⇒ ΔMBE cân tại M
⇒

B
x

ma tư giac ABDE nôi têp 

·AHE = ·ACD
⇒

H

·ABE = MEB
·

·ABE = MEB
·

F

; ma

·ABE = MEB
·

(cùng bù với


·
MED
= ·ACD

)

C

K

suy ra

·AHE = HED
·
·
·
·
·
+ HDE
⇒ ·AHE = HED
+ MEB
= MED
·
EHD

D

mà



+) Kẻ tia Ex là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔECD (Ex và C nằm ở hai nửa mặt
phẳng bờ ED)

·
xED
= ·ACD

·
·
MED
= xED
⇒ Ex ≡ EH

⇒
vậy
ngoại tiếp tam giác ECD.

⇒ EH là tia tiếp2 tuyến2 của đường tròn

∆DBH ∽ ∆DAC (g.g) ⇒ DA.DH = DB.DC
2

3R
4)
⇒ DA.DH ≤

 DB + BC  BC
≤
÷ =

2
4



4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi DB = DC hay ΔABC cân tại A ⇔ A là điểm chính giữa cung
lớn BC.
Vậy DH.DA lớn nhất ⇔ A là điểm chính giữa cung lớn BC.
BÀI V. ( 0,5 điểm) a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 2019.

a
=
a + 2019a + bc a +
⇔

a

( a + b) ( a + c)

=

a

(

a+b+a+c

a

− a÷

( a + b) ( a + c) − a
2

≤ 
ab + bc + ac
ab + bc + ac

)

a
ab + ac
≤
a + 2019a + bc 2 ( ab + bc + ca )

Chứng minh tương tự ta có:

b
ab + bc
c
ac + bc
≤
;
≤
b + 2019b + ac 2 ( ab + bc + ca ) c + 2019c + ab 2 ( ab + bc + ca )

Từ đó suy ra

a

b
c
+
+
≤1
a + 2019a + bc b + 2019b + ca c + 2019c + ab
-------------------------------- Hết -----------------------------

PHÒNG GD&ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA
TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ VÀO 10 (LẦN 1)
Năm học 2017 – 2018 – Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. (2 điểm)

A=
Cho biểu thức


2−5 x
x
2 x
3x + 9  x − 2 
;B = 
+
+
+ 1÷( x ≥ 0, x ≠ 9 )

÷
9
−
x
3
x +1
x
+
3
x
−
3




1) Tính giá trị biểu thức A khi
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Gọi M = A.B. So sánh M và

x = 16.

M


Câu 2. (2 điểm)
Để hoàn thành một công việc, hai tổ làm chung trong 8 giờ. Sau 3 giờ làm chung thì tổ 1
1
3
được điều đi làm việc khác, tổ II làm tiếp trong 7 giờ thì còn lại công việc. Hỏi nếu mỗi

tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó?
Câu 3. (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho parabol (P) : y =

2

x −1 + = 2

y


 4 − x −1 = 1

y

1
2

x2 và (d) : y = (m +1)x – m.

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

x1 + x2 = 2
b) Goi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để

Câu 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O ;R) và dây CD có trung điểm E. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M.

Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt AB tại H,
cắt đường tròn tại I. (I nằm giữa M và O).
1. Chứng minh: năm điểm M, A, O, E, B cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh OH.OM = OA2 từ đó suy ra OH.OM + MC. MD = MO2.
3. Chứng minh CI là phân giác của góc MCH.
4. Đường thẳng AB cắt OE tại K. Khi M di chuyển trên tia đối của tia CD thì AB luôn đi
qua một điểm cố định.
Câu 5. (0,5 điểm) Cho hai số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện x – y ≥ 1.

A=

4 1
−
x y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

………………………………………
HẾT………………………………………
PHÒNG GD&ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA
TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT
ĐÁP ÁN
Câu 1. (2 điểm)

ĐỀ THI THỬ VÀO 10 (LẦN 1)
Năm học 2017 – 2018 – Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút



A=
Cho biểu thức


2−5 x
x
2 x
3x + 9  x − 2 
;B = 
+
+
+ 1÷( x ≥ 0, x ≠ 9 )
÷
9
−
x
3
x +1
x
+
3
x
−
3



x = 16.


1) Tính giá trị biểu thức A khi
2) Rút gọn biểu thức B.

M

3) Gọi M = A.B. So sánh M và

2+ x
x
1
B=
−
+
x−4 2− x
x

A=

;

A=
1) Thay x =16 (tm) vao A ta co:

1
x +2

2 − 5.4 −18
=
4 +1
5


với x>0; x ≠ 4.


x
2 x
3 x + 9  x − 2  3 x − 9 x + 1
B=
+
+
+ 1÷ =
.
=
÷
9
−
x
3
x
−
9
3
x
+
3
x
−
3





2)

M = A.B =

x +1
x +3

2 − 5 x x +1 2 − 5 x
.
=
x +1 x + 3
x +3

3)

Điều kiện: M≥ 0 ⇔

M −1 =

2−5 x
4
⇔ x≤
25
x +3

2−5 x
−6 x − 1
−1 =

<0
x +3
x +3

Xét

M− M = M

(

)

M −1 ≤ 0

do đó

với 0 ≤ x ≤ 4/25

⇒ M < 1 ⇒ M −1 < 0

M ≥ 0, M − 1 < 0
do

.

M≤ M
Vậy

.


Bài 2. (2,0 điểm)

Gọi thời gian tổ 1 làm một mình xong công việc là x (h) (x >8)
thì thời gian tổ 2 làm một mình xong công việc là y (h) (y > 8)

Trong 1 giờ, tổ 1 làm một mình được

1
x

(công việc)

1
y
Trong 1 giờ, tổ 2 làm một mình được

(công việc)

1:8 =
Trong 1 giờ, cả hai tổ cùng làm được

1
8

(công việc).


1 1 1
+ =
x y 8

Ta co phương trinh:

3 3
+
x y
Hai tổ làm chung trong 3 giờ được

(công việc) , tổ 2 làm một mình trong 7 giờ được

7
y

3 3 7
1
+ + =1−
x y y
3
(công việc) thì còn 1/3 công việc nên ta có phương trình:

1 1 1
x + y = 8
 x = 12(tm)

⇔

 y = 24(tm)
 3 + 10 = 2
 x y 3

Ta co hê:

Vây thơi gian tô 1 lam môt minh xong cv la 12 giơ, thơi gian tô 2 lam m ôt minh xong cv la 24 giơ
Câu 3. 1) (ĐK: y  0)

 x = 2
2
2


x
−
1
+
=
2
x
−
1
+
=
2



 x −1 = 1
y
y


y = 2
⇔

⇔
⇔

 x = 0
 y = 2(tm)
 4 − x −1 =1
6 = 3



y
y
  y = 2
2) Xet phương trinh hoanh đô giao điêm:

x 2 − 2(m + 1) x + 2m = 0
a) Ta co Δ’= m2 + 1 > 0 với moi m nên d luôn căt (P) tai 2 điêm phân bi êt.
b) Theo Viet

 x1 + x2 = 2m + 2

 x1 .x2 = 2m

x1 + x2 = 2
đê

thì

 2m + 2 ≥ 0
m ≥ 0


2
m
≥
0
⇔
⇔ m = 0(tm)


2
m
=
−
m



 x1 + x2 + 2 x1 x2 = 2


Câu 4.
1) Chứng minh: năm điểm M, A, O, E, B
cùng thuộc một đường tròn.
+) E là trung điểm của dây DC

·
MEO
= 900

A


J

·
·
MAO
= MBO
= 900

⇒
lại có
(MA, MB là tiếp tuyến của (O))
suy ra 5 điểm M, A, O, E, B cùng thuộc một
đường tròn đường kính MO.
2) +) Xét tam giác OAM vuông tại A, đường
cao AH có: OH.OM = OA2
+) ΔMAC ∼ ΔMDA ⇒ MA2 = MC.MD
+) OH.OM + MC. MD = OA 2 + MA2 =
MO2
3) MH.MO = MC.MD = MO2

O
H
I

M
E

C


D

B

K

⇒

ΔMCH

∼

ΔMOD

(cgc)

⇒

CH MH
·
·
MHC
= MDO
(1) ,
=
OH DH
⇒ CH. DH = MH. OH (2) và CHOD nội tiếp ⇒

·
·

OHD
= OCD

mà

·
·
OCD
= ODC

·
·
OHD
= ODC
(3)

do đó

·
·
MHC
= OHD

từ (1) và (3) suy ra
+) IH.JH = AH2; MH.OH = AH2 ⇒ IH.JH = MH. OH (4).

Từ (2) và (4) ⇒ CH.DH = IH. HJ ⇒

CH IH
=

HJ DH

⇒ ΔHCI ∼ ΔHJD (cgc) ⇒

·
·
ICH
= HJD

·
·
HJD
= MCI
mà

⇒

·
·
ICH
= MCI

OE OM
=
⇒ OE.OK = OM .OH = OA 2 = R 2
OH OK

4) ΔOME ∼ ΔOKH (gg) ⇒
Vì OE không đổi nên OK không đổi nên K cố định. Vậy AB luôn đi qua điểm K cố định


(K thuộc tia OE sao cho OK =
Câu 5. Cho x, y> 0 .

R2
OE
)


Ta có x ≥ y + 1 > 1 ⇒

A=
⇒

1
1
≤
x y +1

 4y
4 1
4
1 −4 y + 4 y + 4 1 + y − y
y +1
− ≤
− =
−
= −
+
÷+ 5
x y y +1 y

y +1
y
y
+
1
y



.

4y
y +1
4y y +1
+
≥2
.
= 4 ⇒ A ≤ −4 + 5 = 1
y +1
y
y +1 y

Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi

y +1
 4y
=
x = 2

y

+
1
y
⇔


y =1
x = y + 1


. Vậy minA = 1 khi x =2; y = 1.


UBND QUẬN HOÀN KIẾM
9

ĐỀ KIỂM TRA KSCL HỌC SINH LỚP

TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Năm học 2017 – 2018 – Môn: Toán
Ngày thi: 22 tháng 5 năm 2018
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian
phát đề)

A=
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức

5 x +9

x+2
x
;B =
−
( x ≥ 0, x ≠ 1)
x −1
x+ x −2
x +2

x=
1) Tính giá trị biểu thức A khi

2) Chứng minh rằng

A 5 x +9
=
B
x +1

1
9

.

A
=m
B

3) Với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1, tìm tất cả các giá trị m để phương trình
có

nghiệm x.
Câu 2. (2,0 điểm)
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 24 phút thì đầy bể. Nếu
để chảy một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy một mình bao lâu thì đầy bể?
Câu 3. (2,0 điểm)
 1
+ 2 y −1 = 3

 x−2

 3 − 1− y = 2

 x−2
1) Giải hệ phương trình:
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2x + 3.
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b) Goi A, B la giao điêm cua (d) va (P). Lây điêm C thu ôc (P) co hoanh đ ô băng 2. Tinh di ên tch tam
giac ABC.

Câu 4.(3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến SA, SB
tới (O ;R) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ dây cung BC song song với SA ; SC cắt đường tròn
(O ; R) tại điểm thứ hai là D ; tia BD cắt SA tại điểm M.
1. Chứng minh MA2 = MD. MB
2. Gọi I là trung điểm của đoạn DC. Chứng minh 5 điểm S, B, I, O, A cùng thuộc một
đường tròn và tia IS là phân giác của góc BIA.
3. Qua điểm I kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh ED // BC.



4. Giả sử BM ⊥ SA, khi đó hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔSDA theo R.
Câu 5. (0,5 điểm). Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng
thời bằng 0 và a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca). Chứng minh rằng:

2ab
2bc
2ac
+
+
≥1
a2 + b2
b2 + c 2
a2 + c2

.
………………………………………HẾT…………………………………
UBND QUẬN HOÀN KIẾM
ĐỀ KIỂM TRA KSCL HỌC SINH LỚP
9
TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN
Năm học 2017 – 2018 – Môn: Toán

ĐÁP ÁN

Ngày thi: 22 tháng 5 năm 2018
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian
phát đề)

A=
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức


1) Thay

1
x=
9

A=
( tm) vào A ta có


A 5 x +9 
=
:
B
x −1 


(

x+2
x +2

)(

)

x −1

−


2)
3) Với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1

5 x +9
x+2
;B =
−
x −1
x+ x −2

5

1
+9
9
= −12
1
−1
9


x ÷
=
x +2÷


(

5 x +9


)(

x +1

x=
+) Với m ≠ 5, ta có (*) có dạng

Đê (*) co nghiêm thi

9−m
m−5

9 − m
 m − 5 > 0 5 < m ≤ 9
⇔

9
−
m
m ≠ 7

≠1
 m − 5

)

x −1

A

5 x +9
=m⇔
= m ⇔ ( m − 5 ) x = 9 − m ( *)
B
x +1
+) Với m = 5 thì (*) vô nghiệm

x
( x ≥ 0, x ≠ 1)
x+2

:

1
5 x +9
=
x −1
x +1

.


12
5

Bài 2. Đổi 2 giờ 24 phút =
giờ
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h) (x > 0)
thì thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x + 2 (h)


Trong 1 giờ, vòi 1 chảy một mình được

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy một mình được

1
x

1
x+2
1:

Trong 1 giờ, cả hai vòi cùng chảy được

(bể)

(bể)

12 5
=
5 12

(bể).

 x = 4(tm)
1
1
5
2
+
= ⇔ 5 x − 14 x − 24 = 0 ⇔ 

6
 x = − (ktm)
x x + 2 12
5


Ta co phương trinh:
Vây thơi gian voi 1 chay môt minh đây bê la 4 giơ, thơi gian voi 1 chay m ôt minh đây bê la 6 giơ.
Bai 3.
1) ĐK: x > 2

 y = 2
 1
 3
 y = 2
+
2
y
−
1
=
3
+
6
y
−
1
=
9


7
y
−
1
=
7

 x − 2
 x − 2

 y = 0

⇔
⇔ 3
⇔
⇔  y = 0

3
3
−
y
−
1
=
2
3





− 1− y = 2
− y −1 = 2
= 3  x = 3(tm)
 x−2
 x − 2
 x − 2
 x − 2
2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) : y = x2 và (d) : y = 2x + 3 :
x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3.
x = -1 thì y = 1 ; x = 3 thì y = 9
Vậy (d) cắt (P) tại (-1 ;1) và (3 ;9).
b) Giả sử (d) cắt (P) tại A(-1 ;1) và B(3 ;9)
C thuộc (P) có hoành độ bằng 2 suy ra tung độ điểm C là y = 4.
Vậy C(2 ;4).
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C, B trên trục hoành.

S ABC = S ABKH − S ACIH − S BCIK
=

( AH + BK ) .HK − ( AH + CI ) .H I − ( CI + BK ) .I K

2
2
( 1 + 9 ) .4 − ( 1 + 4 ) .3 − ( 4 + 9 ) .1 = 6
=
2
2
2
Câu 4.(3,5 điểm)


2


1)

1
·
·
MBA
= MAD
= sd »AD
2

B

∆MBA ∽ ∆MAD
MB MA
⇒
=
MA MD
⇒ MA2 = MB.MD

D
E
O

S

2)
+) I là trung điểm của dây DC

⇒

C

I

M

·
SIO
= 900

A

·
·
SAO
= SBO
= 900

(MA, MB là

tiếp tuyến của (O))
suy ra 5 điểm S, B, I, O, A cùng thuộc một đường tròn đường kính SO.
+) Xét đường tròn đường kính SO ⇒

¶ = SOA
·
SIA
⇒


3)

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung SB)

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung SA) mà

· = SIA
¶
SIB

IE

·
·
SOB
= SIB

//

·
·
DCA
= DBA

·
·
SOA
= SOB


(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ tia IS là phân giác của góc BIA.

AC
⇒

⇒

·
·
DIE
= DCA
(slt)

·
·
DIE
= DBA
⇒ DBIE

mà
nội tiếp

·
·
⇒ IDE
= IBE

·

¶ ⇒ DE //SA //BC
·
¶ ⇒ IDE
= ISA
IBE
= ISA

mà
4) Giả sử BM ⊥ SA mà SA // BC ⇒ BM ⊥BC
⇒

·
DBC
= 900

⇒ DC là đường kính của (O) ⇒

·
SBD
= ·ABD

DC ⊥ AB hay D là điểm chính giữa cung nhỏ AB ⇒
mà BD ⊥ SA ⇒ ΔSBA
cân tại B mà SA = SB do đó ΔSBA đều có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBA
Chứng minh được ΔOBD đều ⇒ BD = R.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔSDA là R.



ĐỀ THI THỬ VÀO 10 – QUẬN HOÀN KIẾM

Ngày kiểm tra: 11/5/2018
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
Câu 1. (2,0 điểm)

A=
Cho hai biểu thức

2+ x
x
1
B=
−
+
x−4 2− x
x
;

a) Tính giá trị của A khi x =
b) Rút gọn B.

1
4

1
x +2

với x>0; x ≠ 4.

.


Px ≤

3
2

(

)

x −1

c) Cho P = A : B. Tìm cac giá trị nguyên của x để
.
Câu 2. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một ô tô khởi hành từ A để đi đến B trên quãng đường AB dài 270km. Sau đó 45 phút, một ô tô con
cũng khởi hành từ A để đi đến B trên cùng quãng đường. Hai ô tô đến B cùng một lúc. Biết vận tốc
của ô tô tải nhỏ hơn vận tốc ô tô con là 5 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 3. (2,0 điểm)

1) Giai hệ phương trinh:

1
 8
+
 x − 3 2 y −1 = 5


 4 + 1 =3
 x − 3 2 y − 1


2) Cho parobol (P): y = x 2 và đường thẳng y = mx + m + 1 (m là tham số) trong mặt phẳng tọa độ
Oxy.
a) Với giá trị nào của m để d tiếp xúc với (P)?Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
b) TÌm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía đối với trục tung,
có hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2x2 – 3x2 = 5.
Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H.
1) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
này.
2) Trên cung nhỏ EC của (O), lấy điểm I sao cho IC > IE, DI cắt CE tại N.
Chứng minh NI. ND = NE. NC
3) Gọi M là giao điểm của EF và IC. Chứng minh MN song song với AB.
4) Đường thẳng HM cắt (O) tại K, KN cắt (O) tại G (khác K), MN cắt BC tại T. Chứng
minh H, T, G thẳng hàng.


Câu 5. (0,5 điểm). Cho ba số thực không âm a, b, c và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức

K = 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1
.


ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,0 điểm)

A=

2+ x

x
1
B=
−
+
x−4 2− x
x

1
x +2

;

a) Thay x =

1
4

A=

với x>0; x ≠ 4.

1
4 =5

2+
1
4

(tm) vào A ta có:


1
x+ x +2+ x −2
=
=
x +2
x +2
x −2

B=

x
1
−
+
x−4 2− x

P=

A 2+ x
x
x−4
=
:
=
B
x
x
x −2


(

)(

x
x −2

)

b)

c)

Px ≤

⇔

(

3
2

(

)

x −1 ⇔ x − 4 ≤

)(


3
2

(

)

x − 1 ⇔ 2x − 3 x − 5 ≤ 0
.

)

x +1 2 x − 5 ≤ 0 ⇔ 2 x − 5 ≤ 0

x +1 > 0

(vì

0< x≤
Kết hợp điều kiện ta có

25
4

Px ≤
thì

3
2


(

)

⇔ x≤
với x >0)

x −1

3
4

Bài 2. (2,0 điểm) Đổi 45 phút =
giờ
Gọi vận tốc của ô tô tải là x (km/h) (x>0) thì vận tốc của ô tô con là x + 5 (km/h).

Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là

Thời gian ô tô con đi từ A đến B là

Do ô tô con đi sau

3
4

270
(h)
x
270
(h)

x+5

giờ nên ta có phương trình

270 270 3
=
+
x
x+5 4

x = 40(tm) x = −45(tm)

Giải phương trình ta có:
;
(loại)
Vậy vận tốc ô tô tải là 40 km/h, vận tốc ô tô con là 45 km/h.
Câu 3. (2,0 điểm)

.

25
4


1)

1
 8
1


+
a=
 x − 3 2 y −1 = 5

x −3
1



t
( b > 0)

 x ≥ 0, x ≠ 9, y ≠ ÷. § Æ
1
4
1
2



b =
+
=3
2 y −1
 x − 3 2 y − 1


ta cã hÖ:

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y) là (25;0) và (25;1).

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P): y = x2 và (d) y = mx + m + 1:
x2 – mx – m – 1 = 0 (1)
a) d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hay Δ = 0 ⇔ m2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = -2.
Khi đó (1) có nghiệm kép x = m/2 = -1 suy ra y = 1.
Vậy m =-2 thì (d) tiếp xúc (P) tại tiếp điểm (-1;1).
b) Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía đối với trục tung thì (1) có hai nghiệm phân
biệt trái dấu tức là 1.(-m-1) < 0 ⇔ -1 < m.

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . Theo định lý Vi-et ta có:

Theo đề bai 2x2 – 3x2 = 5 kết hợp với (*) ta có hệ:

thay vao (**) ta co phương trinh:

 x1 + x2 = m(*)

 x1.x2 = −m − 1(**)

2m − 5

x1 =

 x1 + x2 = m

5
⇔

2 x1 − 3x2 = 5  x = 3m + 5
 2
5


10

m
=
−
(loai)
2m − 5 3m + 5
.
= −m − 1 ⇔ 
3

5
5
 m = 0(tm)

Bài 4. (3,5 điểm)
A

1) Ta có

M

·
·
·
·
HDC
= HEC
= 900 ⇒ HDC

+ HEC
= 1800
E

⇒ tứ giác DHEC nội tiếp đường kính CH. Vậy tâm O

K

của đường tròn ngoại tiếp DHEC là trung điểm của

I
F
H

B

CH.

N

D

O
C

T
G

2) ΔDNE


∽

ΔCNI (g.g) ⇒

⇒ NI. ND = NE. NC

NE ND
=
NI NC