Ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng_2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (278.82 KB, 11 trang )
ơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản
về tập lồi, hàm lồi và các hàm lồi suy rộng. Các kiến thức cơ bản được sử
dụng để nghiên cứu các vấn đề trong chương 2.
Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng. Nội dung chính của chương này
tập trung trình bày các định nghĩa về ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt,
ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh
xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh. Đồng thời nêu các đặc trưng của
ánh xạ đơn điệu suy rộng như là ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mối
liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu
suy rộng khả vi, và ánh xạ đơn điệu suy rộng affin.
Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu. Ở đây luận văn trình bày một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
4
Footer Page 6 of 12.
Header Page 7 of 12.
PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành
luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho tác giả. Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ
– Tin học, khoa Sau đại học và các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập tại trường. Cuối
cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm,
động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn của mình.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Tác giả luận văn
Đức Minh Thiêm
5
Footer Page 7 of 12.
Header Page 8 of 12.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số nội dung về tập lồi, hàm lồi và hàm lồi
suy rộng, bao hàm hàm tựa lồi và của hàm giả lồi. Những nội dung trình
bày trong chương này chủ yếu chọn trong tài liệu [2].
1.1
Không gian Euclide
Tập hợp
Rn := {x = (x1 , ..., xn )T : x1 , ..., xn ∈ R}
với hai phép toán
(x1 , ..., xn )T + (y1 , ..., yn )T := (x1 + y1 , ..., xn + yn )T
λ(x1 , ..., xn )T := (λx1 , ..., λxn )T ,
λ∈R
lập thành một không gian véc tơ Euclide n−chiều.
Nếu x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ i
của x. Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kí hiệu
đơn giản là 0, vậy 0 = (0, ..., 0)T .
Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc ., . như sau: với
x = (x1 , ..., xn )T , y = (y1 , ..., yn )T ∈ Rn ,
n
x, y =
xi yi .
i=1
6
Footer Page 8 of 12.
Header Page 9 of 12.
Đôi khi ta còn ký hiệu là xT y. Khi đó với mọi x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn ta
định nghĩa
n
x :=
(xi )2
x, x =
i=1
và gọi là chuẩn Euclide của véc tơ x.
1.2
Tập lồi
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi, nếu
∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ X.
Mệnh đề 1.2. Cho Xα ⊂ Rn (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kì. Khi đó X =
Xα cũng lồi.
α∈I
Mệnh đề 1.3. Cho các tập Xi ⊂ Rn lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, ..., m). Khi đó
λ1 X1 + ... + λm Xm cũng là tập lồi.
Mệnh đề 1.4. Cho các tập Xi ⊂ Rni lồi, (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó tích
Đề các X1 × ... × Xm là tập lồi trong Rn1 × ... × Rnm .
Định nghĩa 1.5. Cho X ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa X được
gọi là bao lồi (convex hull) của tập X, kí hiệu là coX.
Định nghĩa 1.6. Giả sử X ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa
X được gọi là bao lồi đóng của tập X và kí hiệu là coX.
Mệnh đề 1.7. Cho X ⊂ Rn lồi. Khi đó,
i) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi;
ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, thì
{λx1 + (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂ intX.
7
Footer Page 9 of 12.
Header Page 10 of 12.
1.3
Hàm lồi
Định nghĩa 1.8. Cho hàm f : X → R, trong đó X ⊂ Rn , R = R ∪
{−∞, +∞}, các tập
epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} ,
dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞}
được gọi lần lượt là trên đồ thị và miền hữu hiệu của f .
Định nghĩa 1.9. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi, f : X → R.
Hàm f được gọi là lồi trên X nếu trên đồ thị epi(f ) của nó là một tập
lồi trong Rn × R.
Nếu dom f = ∅ và −∞ < f (x) với mọi x ∈ X ta nói hàm f là chính
thường.
Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X.
Định lý 1.10. Giả sử f1 , ..., fm là các hàm lồi chính thường trên X. Khi
đó, tổng f1 + ... + fm là một hàm lồi.
Ta nhắc lại một số đặc trưng và tính chất của hàm lồi một biến khả vi.
Định lý 1.11. Cho ϕ : (a, b) → R.
i) Nếu ϕ khả vi trên (a, b) thì ϕ lồi trên (a, b) khi và chỉ khi ϕ không
giảm trên (a, b).
ii) Nếu ϕ có đạo hàm bậc hai trên (a, b) thì ϕ lồi trên (a, b) khi và chỉ
khi ϕ (t)
0 với mọi t ∈ (a, b).
iii) Nếu ϕ lồi trên [a, b] thì ϕ liên tục trên (a, b).
Định lý 1.12. Cho X là tập lồi trong không gian Rn và f : X → R. Khi
đó, các điều kiện sau là tương đương:
a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X.
b) f (λx + (1 − λ) y)
λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ X.
8
Footer Page 10 of 12.
Header Page 11 of 12.
Tài liệu tham khảo
[1] J. P. Crouzeix (1993), "Pseudomonotone Variational Inequalitiy
Problems: Existence of Solutions", Mathematical Programming78,
pp. 305-314.
[2] G. Giorgi, A. Guerraggio and J. Thierfelder (2004), Mathematics of
Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam
The Netherlands.
[3] P. T. Harker, J. S. Pang (1990), "Finite Dimensional Inequality and
Nonlinear Complementarity Problems: A Survey of Theory Algorithms and Applications", Mathematical Programming48, pp. 161220.
[4] S. Karamadian and S. Schaible (1990), "Seven Kinds of Monotone
Maps", J. Optim. Theory and Applications66, pp. 37-46.
[5] S. Karamadian (1976), "Complementarity problems over cones with
monotone and pseudomonotone maps ", J. Optim. Theory and Applications18, pp. 445-454.
[6] S. Karamadian, S. Schaible and J. P. Crouzeix (1993), "Characterizations of Generalized Monotone Maps", J. Optim. Theory and Applications76, pp. 399-413.
[7] B. T. Kien, J.-C. Yao and N. D. Yen (2008), "On the Solution Existence of Pseudomonotone Variational Inequalities", J. Global Optim.41, pp. 135-145.
52
Footer Page 11 of 12.
