ĐỀ TÀI
Khảo sát phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn
A. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết. Vật lý học
sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh
nhiều ngành toán học mới. Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng
kể vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh
mẽ của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết.
Trong bộ môn phương pháp Toán - Lý có sự giao thoa giữa toán và vật lý, do đó
nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa
Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán
cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để nghiên
cứu vật lý.
Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh
vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức
về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và
nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực
học, Vật lý thống kê. Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững
kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình
Vật Lý - Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Việc giải một bài
tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể
hiện rất rõ ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây.
Là sinh viên Sư phạm Vật Lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp Toán - Lý
là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây.
Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này
còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể. Đó là lý
do nhóm chúng tôi chọn đề tài:
“Khảo sát phương trình sóng một chiều thông qua một số bài tập về dao động tự
do của dây hữu hạn trong chương trình toán cho vật lý dành cho sinh viên
chuyên ngành Vật Lý”.
B. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nắm được lý thuyết của phương trình vi phân


- Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động tự do của sợi dây.
- Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động tự do của sợi dây cho sinh viên trong
quá trình học tập học phần môn phương pháp Toán - Lý.
- Giúp mở rộng kiến thức của bản thân.
C. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao
động tự do của sợi dây.
- Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số về
phần dao động tự do của sợi dây.
D. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng: Xét sợi dây có lực căng T với giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động là
nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây, lực căng T là như nhau ở mọi
tiết diện trong suốt quá trình dao động.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong trường hợp sợi dây là hữu hạn .
E. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
- Lý thuyết về phương trình vi phân , một số bài tập về phương trình vi phân
- Lập phương trình dao động của sợi dây
- Khảo sát dao động tự do của sợi dây hữu hạn và một số bài tập về dao động tự do
của sợi dây dài hữu hạn
- Xét ý nghĩa của nghiệm
- Một số bài tập mở rộng
F. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sưu tầm tài liệu.
- Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài tập cụ
thể về dao động của sợi dây.

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT



I. LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN CƠ BẢN:
Các phương trình mô tả sự
biến thiên của trường theo thời
gian thường là các phương trình vi
phân đạo hàm riêng, trong đó
chứa hàm chưa biết (hàm nhiều
biến), các đạo hàm riêng của nó
và các biến số độc lập.

u

T2

M2
M1
T1

Phương trình đạo hàm riêng
gọi là tuyến tính nếu nó là bậc
nhất đối với hàm chưa biết và đạo
hàm riêng của nó.

O

x1

x2


x

u

M2

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến
số độc lập:
M1
(1)

T2

T1

Trong đó: hàm chưa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y ; u = u(x, y), các hệ
số A, B, C, D, E, F là những hàm của x, y.

O

x1

x2

Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta có thể đưa phương trình (1) về 3 dạng
sau:
1. Nếu AC – B2 > 0 trong một miền nào đó, thì có thể đưa phương trình (1)
trong miền ấy về dạng:
(1.1)


x


Phương trình này gọi là phương trình loại Eliptic. Dạng đơn giản nhất của phương
trình này là phương trình Laplace:

Nghĩa là D1 = E1 = F1 = G1 = 0
2. Nếu AC – B2 < 0 trong một miền nào đó, thì có thể đưa phương trình (1) trong
miền ấy về dạng:
(1.3)
Phương trình này gọi là phương trình loại Hypebolic. Dạng đơn giản nhất của
phương trình này là phương trình dao động của dây.

Nghĩa là D2 = E2 = F2 = 0
3. Nếu AC – B2 = 0 trong một miền nào đó, thì có thể đưa phương trình (1) trong
miền ấy về dạng:

Phương trình này gọi là phương trình loại Parabolic. Dạng đơn giản nhất của
phương trình này là phương trình truyền nhiệt.


Nghĩa là D3 = F3 = 0
Trong các phương trình (1.4), (1.6) ta thường lấy một biến số là thời gian, còn
một biến số kia là tọa độ x, khi đó ta có phương trình dao động của dây (hay
phương trình sóng một chiều):

Phương trình truyền nhiệt:

Phương trình Laplace:


Nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật dẫn đến các phương trình này nên người ta gọi
chúng là những phương trình vật lý – toán cơ bản.
Các phương trình (1.7), (1.8), (1.9) đều có vô số nghiệm vì vậy ta phải đặt thêm
các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng.
Các phương trình (1.7), (1.8) xuất hiện khi các quá trình là không dừng (biến
đổi theo thời gian t). Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng không gian x hữu
hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt trong thanh hữu hạn)
thì ta có hai loại điều kiện phụ sau:


a) Điều kiện ban đầu: Cho biết trạng thái lúc t = 0
b) Điều kiện biên: Cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện
ban đầu gọi là bài toán hỗn hợp.
Nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn - < x < + thì ta chỉ cần điều kiện
ban đầu, bài toán này gọi là bài toán Cauchy.
Phương trình (1.9) không chứa thời gian, cả hai biến x, y đều là biến số không
gian. Nó xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình dừng. Để xác định nghiệm ta chỉ
cần các điều kiện biên, bài toán này gọi là bài toán biên.
Nghiệm của bài toán đặt ra phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên và điều kiện
ban đầu. Các bài toán được thiết lập sao cho nghiệm của nó tồn tại, duy nhất và
phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ.
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY:
1. Bài toán:


Xét một sợi dây mảnh không giãn, có chiều dài l, mật độ khối lượng . Mỗi
điểm trên sợi dây chịu tác dụng của lực căng dây T theo phương tiếp tuyến.
Giả sử, ban đầu sợi dây song song với Ox, quá trình dao động nằm trong mặt

phẳng uOx. Trong đó, u là độ lệch của dây khỏi VTCB, u = u(x, t). Thiết lập
phương trình cho hàm u(x, t).
2. Giải quyết bài toán:
Giả sử tại thời điểm t có dạng như hình vẽ. Giả thiết dây đàn hồi dao động của dây
y là nhỏ, coi chiều dài của dây không đổi, lực căng dây như nhau trong suốt quá
trình dao động.
Xét có tọa độ tương ứng. Mỗi điểm trên sợi dây được mô tả bởi hàm .
Các lực tác dụng lên sợi dây: lực căng dây T, trọng lực P
Lực căng dây tác dụng lên :
Lực căng dây tác dụng lên :
Lực căng dây tác dụng lên là:

Chiếu lên trục u ta có:
(1)
Vì dao động bé nên


(2)
Ngoài lực căng sợi dây còn chịu tác dụng của trọng lực

Phương trình định luật II Newton cho đoạn là:

(4)
Vì nên phương trình (4) trở thành:

Đặt gọi là vận tốc truyền dao động. Khi đó phương trình (5) có dạng:
(*)
Phương trình (*) gọi là phương trình mô tả dao động của dây với hệ số là hằng
số có vế phải. Đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng 2.
Nếu không có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = 0 thì (*) gọi là phương trình

vi phân mô tả dao động tự do của dây.
Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = 0 thì (*) gọi là phương trình vi phân
mô tả dao động cưỡng bức của dây.
III. KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN:


1. Bài toán:
Xét dao động của một sợi dây hữu hạn ngoài tác dụng của lực căng còn có tác
dụng của trọng lực, biết sợi dây được gắn chặt hai đầu x = 0 ; và x = l. Tại thời
điểm sợi dây bắt đầu được mô tả hàm f(x) và được chuyển bởi hàm F(x).
2. Giải quyết bài toán.
Theo giả thiết ngoài tác dụng của lực căng sợi dây còn chịu tác dụng của trọng lực.
Dây dao động cưỡng bức do đó hàm U(x,t) thỏa mãn phương trình vi phân sau.

Trong đó: thỏa mãn các điều kiện biên
+ điều kiện biên: (2)
+ điều kiện ban đầu
* chú ý: Với phương trình vi phân không thuần nhất thì biểu thức nghiệm của nó

Do nghiệm của phương trình thuần nhất mô tả dao động của dây có dạng

Nên ta có thể đặt nghiệm biểu thức như sau:
(5)
Lấy đạo hàm 2 lần theo t và x rồi thay vào (1)


Thay vào (1) ta được:

(6)
Vì (g) là hằng số mang giá trị bé do đó ta giả giử rằng đối với mỗi thì có thể phân

tích thành chuỗi Furue như sau:
(7)
(8)
Thay (7) vào (6) sử dụng phương pháp đồng nhất thức 2 vế

Phương trình số (9) là phương trình vi phân cấp 2 với hệ số là hằng số có vế phải là
một hằng số nên nghiệm của phương trình là
(10)
Điều kiện ban đầu:

Thay (10) vào (9)


IV. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm nghiệm u(x,t)của phương trình
(3.1)
thỏa mãn điều kiện ban đầu:
điều kiện biên:
Bài giải:
Giả sử nghiệm riêng của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện
biên có thể viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc vào x, một
hàm chỉ phụ thuộc vào t: u(x,t) = X (x)T(t)

(3.2)

Thay vào (3.1) và thực hiện việc tách biến ta được:
Bởi vì vế trái của đẳng thức này không phụ thuộc vào t, còn vế phải không
phụ thuộc vào x. Do đó cả không phụ thuộc vào x và t. Vậy hai vế bằngnhau khi
chúng cùng bằng hằng số C, nghĩa là:
Ta đi đến hai phương trình:

Các nghiệm riêng cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện biên, nên với mọi t ta
có:


Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không, ta phải có:
X(0) = 0 va X(L) = 0
- Trường hợp 1: Đặt
Thay vào (3.4) ta được:
Phương trình (3.4) có nghiệm dạng:

(3.6)

trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.
Sử dụng điều kiện biên:
(3.7)
Thay (3.7) vào (3.6) thì X(x) = 0

u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 2: Đặt C = 0 Thay vào (3.4) ta được:
Phương trình (3.4) có nghiệm dạng: X(x) = C1x + C2

(3.8)

trong đó C1, C2là các hằng số tùy ý.
Từ điều kiện biên:
(3.9)
Thay (3.9) vào (3.8) thì X(x) = 0


u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 3: Đặt
Thay vào (3.4) ta được:
Phương trình (3.4) có nghiệm dạng: X(x) =C1cosλx + C2sinλx
(3.10) trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý
Từ điều kiện biên:
Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì
(3.11)
Thay C1= 0 và (3.11) vào (3.10) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một hàm
Xk(x) tương ứng dạng:

(3.12)


trong đó: Dk là hằng số tùy ý có thể lấy dấu tùy ý, k là số nguyên khác không,
Xk(x) gọi là hàm riêng tương ứng của phương trình (3.4). Các hàm Xk(x) lập thành
một họ hàm trực giao trong khoảng [0,L], nghĩa là:
Thay (3.11) vào phương trình (3.5) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một
phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:
(3.13)
trong đó Ek, Fk là hằng số tùy ý.
Thay vào ta được các nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện biên
là:
trong đó Ak và Bk là các hằng số tùy ý.
Các dao động của dây ứng với uk(x,t) gọi là các dao động riêng hay các sóng
đứng
Khi xét riêng một sóng đứng uk(x,t) với , mỗi điểm x của sợi dây thực hiện
các dao động điều hòa tần có tần số: với biên độ

Thay (3.12) và (3.13) vào (3.1) ta được:
(3.14)
(3.14) là tổng hay chồng chập các sóng đứng, cũng là nghiệm của phương
trình dao động, nếu chuỗi (3.14) là hội tụ và có thể vi phân được theo x và theo t
biểu thức dưới tổng hai lần. Ngoài ra hàm (3.14) hiển nhiên thỏa mãn các điều kiện
biên như mỗi hàm uk với các giá trị bất kì của ak và bk.
Sử dụng điều kiện ban đầu của bài toán ta có:
Như vậy ak và là các hệ số khai triển Fourier của các hàm f(x) và F(x) trong
khai triển chúng theo sin trên quãng [0,L]
Chú ý: điều kiện khai triển
+ Hàm sin là hàm tuần hoàn chu kì 2L


+ Hàm lẻ
+ f(0) = f (L) = 0
Các hệ số của chúng được tính theo công thức:

Vậy nghiệm của phương trình tường minh dưới dạng:
(3.14)
Bài 2: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L,
thỏa mãn phương trình:,

(a = const)

(3.15)

thỏa mãn điều kiện ban đầu:
điều kiện biên:
Bài giải:
Giả sử nghiệm của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện biên

có thể viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc x với một
hàm chỉ phụ thuộc t: u(x,t) = X(x) T(t)

(3.16)

Thay (3.16) vào phương trình(3.15) và thực hiện tách biến ta được
Từ đẳng thức trên ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức không phụ thuộc
vào biến t, còn vế phải của đẳng thức không phụ thuộc biến x. Do đó cả không
phụ thuộc vào x và t. Vậy hai vế bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số C.
Nghĩa là:
Ta đi đến hai phương trình:
Các nghiệm riêng cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện biên, nên với mọi t ta
có:


Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta phải có:
X’(x) = 0 và X’(L) = 0
- Trường hợp 1: Đặt
Thay vào (3.17) ta được:
Phương trình (3.17) có nghiệm dạng:

(3.19)

trong đó C1, C 2 là các hằng số tùy ý.
Sử dụng điều kiện biên:
(3.20)
Thay (3.20) vào (3.19) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0
Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 2 : Đặt C = 0
Thay vào (3.17) ta được:

Phương trình (3.17) có nghiệm dạng: X(x) = C1x + C2

(3.21)

trong đó C1, C2là các hằng số tùy ý.
Từ điều kiện biên:

(3.22)

Thay (3.22) vào (3.21) thì:
Thay C1= 0 vào (3.18) ta được:

(3.23)
(3.24)

trong đó D1, D2 là các hằng số tùy ý.
Thay (3.23) và (3.24) vào (3.16) ta được một nghiệm riêng: trong đó A0 và B0
là những hằng số tùy ý.
- Trường hợp 3: Đặt
Thay vào (3.17) ta được:
Phương trình (3.17) có nghiệm dạng:
(3.19)
trong đó C1, C 2 là các hằng số tùy ý.
Sử dụng điều kiện biên:


Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì
(3.26)
Thay C2= 0 và (3.26) vào (3.25) thì ứng với mỗi giá trị của k ta xác định
tương ứng một nghiệm riêng Xk(x) dạng:


(3.27)

trong đó: Dk là hằng số tùy ý có thể lấy dấu tùy ý, k là số nguyên khác không,
Xk(x) gọi là hàm riêng tương ứng của phương trình (3.17). Các hàm Xk(x) lập
thành một hệ hàm trực giao trong khoảng [0,L], nghĩa là:
Thay (3.26) vào phương trình (3.18) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một
phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:
(3.28)
trong đó Ek, Fk là hằng số tùy ý.
Thay (3.27) và (3.28) thì tương ứng với mỗi cặp (Xk(x); Tk(t)) ta xác định
được một nghiệm riêng uk(x,t) dạng:
với ak và bk là các hằng số tùy ý.
Nhờ tính chất tuyến tính và đồng nhất của phương trình bài toán, hàm:
(3.29)
(3.29) cũng là nghiệm của phương trình này, nếu chuỗi (3.29) là hội tụ và có
thể vi phân được theo x và theo t biểu thức dưới tổng hai lần. Ngoài ra hàm (3.28)
hiển nhiên thỏa mãn các điều kiện biên như mỗi uk với các giá trị bất kỳ của A0, B0,
ak và bk.
Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có:
Trong đó ta đặt khi


Như vậy Ak và Bk phải là các hệ số Fourier của các hàm f(x) và F(x) trong
khai triển chúng theo cosin trên quãng [0,L]
Chú ý: điều kiện khai triển
+ f(x) là hàm tuần hoàn chu kì 2L
+ f(x) là hàm chẵn
+ f’(0) = f’(L) = 0


Vậy nghiệm của phương trình tường minh dưới dạng
Bài 3: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình
trên miền D:
Với điều kiện ban đầu:
và điều kiện biên:
Trong đó a là hằng số khác 0 còn các hàm f(x), g(x) giải tích trên D.
Bài giải:
Giả sử nghiệm riêng của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện
biên có thể viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc x với một
hàm chỉ phụ thuộc t: u(x,t) = X(x) T(t)

(3.30)

Thay (3.16) vào phương trình(3.15) và thực hiện tách biến ta được
Từ đẳng thức trên ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức không phụ thuộc
vào biến t, còn vế phải của đẳng thức không phụ thuộc biến x. Do đó cả không
phụ thuộc vào x và t. Vậy hai vế bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số C.
Nghĩa là:
Ta đi đến hai phương trình:


Các nghiệm riêng cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện biên, nên với mọi t ta
có:
Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta phải có:
X’(x) = 0 và X’(L) = 0
- Trường hợp 1: Đặt
Thay vào (3.31) ta được:
Phương trình (3.31) có nghiệm dạng:

(3.33)


trong đó C1, C 2 là các hằng số tùy ý.
Sử dụng điều kiện biên:
(3.34)
Thay (3.34) vào (3.33) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0
Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 2 : Đặt Đặt C = 0
Thay vào (3.31) ta được:
Phương trình (3.31) có nghiệm dạng: X(x) = C1x + C2
trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.
Từ điều kiện biên:

(3.36)

Thay (3.36) vào (3.35) thì:

X(x) = 0 u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 3: Đặt
Thay vào (3.31) ta được:
Phương trình (3.31) có nghiệm dạng:
(3.37)
trong đó C1, C 2 là các hằng số tùy ý.
Sử dụng điều kiện biên:

(3.35)


Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì

(3.38)
Thay C1 = 0 và (3.38) vào (3.37) thì ứng với mỗi giá trị của k ta xác định
tương ứng một nghiệm riêng Xk(x) dạng:

(3.39)

trong đó: Dk là

hằng số tùy ý có thể lấy dấu tùy ý, k là số nguyên khác không, Xk(x) gọi là hàm
riêng tương ứng của phương trình (3.31). Các hàm Xk(x) lập thành một hệ hàm trực
giao trong khoảng [0,L], nghĩa là:
Thay (3.38) vào phương trình (3.32) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một
phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:
(3.40)
trong đó Ek, Fk là hằng số tùy ý.
Thay (3.39) và (3.40) vào (3.30) thì tương ứng với mỗi cặp (Xk(x); Tk(t)) ta
xác định được một nghiệm riêng uk(x,t) dạng:
với Ak và Bk là các hằng số tùy ý.
Nhờ tính chất tuyến tính và đồng nhất của phương trình bài toán, hàm:
(3.41)
(3.41) cũng là nghiệm của phương trình này, nếu chuỗi (3.41) là hội tụ và có
thể vi phân được theo x và theo t biểu thức dưới tổng hai lần. Ngoài ra hàm (3.41)
hiển nhiên thỏa mãn các điều kiện biên như mỗi uk với các giá trị bất kỳ của ak và
bk.
Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có:
Trong đó ta đặt là các hệ số khai triển Fourier của các hàm f(x) và F(x) trong
khi khai triển chúng theo sin trên quãng [0,L]


Chú ý: điều kiện khai triển

+ f(x) là hàm tuần hoàn chu kì 2L
+ f(x) là hàm lẻ
+ f’(0) = f’(L) = 0

Vậy nghiệm của phương trình tường minh dưới dạng

Bài 4: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình
trên miền D:
Với điều kiện ban đầu:
và điều kiện biên:
Trong đó a, A, B là các hằng số khác 0, các hàm f(x); g(x) giải tích trên D.
Bài giải:
Ta sẽ tìm nghiệm u(x,t) của phương trình dưới dạng:
u(x,t) = v(x,t) + w1(x) + w2(x)

(3.43)

Thay (3.43) vào phương trình ta được:
Ta sẽ tìm các hàm v(x,t); w1(x); w2(x) như sau:
Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình:
với điều kiện ban đầu:

(3.44)

(3.45)

và điều kiện biên:

(3.46)


Hàm w1(x) là nghiệm của phương trình:

(3.47)

và thỏa mãn điềukiện biên:

(3.48)

Hàm w2(x) là nghiệm của phương trình:
và thỏa mãn điều kiện biên:

(3.49)
(3.50)


Dạng nghiệm w1(x) của phương trình (3.47) là:

(3.51) trong đó a1;

a2là các hằng số tích phân
Sử dụng điều kiện biên: :
(3.52)
Thay (3.52) vào (3.51) thì w1(x) là tường minh:
(3.53)
Dạng nghiệm w2(x) của phương trình (3.49) là:

(3.54)

trong đó b1; b2là các hằng số tích phân.
Sử dụng điều kiện biên: :

(3.55)
Thay (3.55) vào (3.54) thì w2(x) là tường minh:

(3.56)Thay

(3.53) và(3.56) vào (3.45) thì điều kiện ban đầu của hàm v(x,t) là hoàn toàn xác
định:
(3.57)
Nghiệm v(x,t) của phương trình (3.44) được tìm dưới dạng:
v(x,t ) = X(x) T(t )

(3.58)

Thay (3.58) vào (3.44) ta được: (3.59)
Từ đẳng thức (3.59) ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc
vào biến x, còn vế phải của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến t nên để cho đẳng
thức xảy ra thì:
- Trường hợp 1: Đặt
Thay vào (3.60) ta được:
Phương trình (3.60) có nghiệm dạng:
trong đó A1, A2 là các hằng số tùy ý.
Sử dụng điều kiện biên:
(3.63)

(3.62)


Thay (3.63) vào (3.62) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0
Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 2: Đặt C = 0

Thay vào (3.60) ta được
Phương trình (3.60) có nghiệm dạng:

(3.64)

trong đó B1, B2 là các hằng số tùy ý.
Từ điều kiện biên:
(3.65)
Thay (3.65) vào (3.64) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0
Bài toán cho nghiệm tầm thường
- Trường hợp 3: Đặt
Thay vào (3.60) ta được:
Phương trình (3.60) có dạng: X(x) = C1cosλx + C2sinλx

(3.66)

trong đó C1, C2 là các hằng số tích phân.
Sử dụng điều kiện biên:
Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì
(3.67)
Thay C1 = 0
và (3.67) vào (3.66) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một hàm Xk(x)
tương ứng dạng:

(3.68)

Thay (3.67) vào phương trình (3.61) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một
phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:
(3.69)
trong đó Dk, Ek là hằng số tùy ý.

Thay (3.68) và (3.69) vào (3.58) thì ứng với mỗi cặp ( Xk(x), Tk(t))


ta xác định tương ứng một nghiệm riêng vk(x,t) dạng:
(3.70)
Với
Nghiệm v(x,t) thu được là chồng chập của các nghiệm riêng:
(3.71)
Sử dụng điều kiện ban đầu (3.44):
(3.72)
(3.73)
Thay (3.72) vào (3.71) thì v(x,t) là hoàn toàn tường minh:
Thay (3.53), (3.56) và (3.72) vào (3.43) thì nghiệm u(x,t) là hoàn toàn tường
minh
Bài 5:
Giải phương trình vi phân

Bài giải:
Khai triển nghiệm của bài toán dưới dạng.

Ta có:

Cho 2 chuỗi bằng nhau khi ta đồng nhất thức, ta suy ra


Ta có 2 phương trình vi phân

Ta giải phương trình (4),(5) với các điều kiện của hàm là

a) giải phương trình (4). Nghiệm tổng quát của (4) là tổng hợp chồng chập của

nghiệm riêng từ phương trình thuần nhất với 1 nghiệm riêng của phương trình
không thuần nhất
- Phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất có nghiệm là:

- Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là:
Do đó nghiệm của phương trình (4) là:

Trong đó các hằng số M,P,Q được xác định bằng các điều kiện ban đầu

Thay vào ta được:

Trong đó M được tìm từ các phương trình.

Thay vào phương trình (4)
Từ đó suy ra:
b) Giải phương trình (5)


Vậy nghiệm cuối cùng của phương trình (1) là:

Bài 6: Cho sợi dây dài , có 2 đầu gắn chặt giả sử có một ngoại lực tác dụng p(x,t)
tính trên 1 đơn vị đo độ dài. Phương trình dao động của dây dưới tác dụng của
ngoại lực là

Với các điều kiện biên và điều kiện bân đầu có dạng

Hãy tìm nghiệm của phương trình trên
Bài giải:
Nghiệm của phương trình trên được tìm dưới dạng


Thay vào (1)

Giải hệ (II)
Khai triển hàm V(x,t) như sau:
thay vào hệ (II)
với