LỜI NÓI ĐẦU VỀ TÀI LIỆU HỌC TÂP
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
1- Thời lượng:

Số đơn vị học trình : 3 ĐVHT = 45 tiết

2 - Mục tiêu của học phần
1 Kiến thực : Am hiểu về mục tiêu và nội dung trương trình môn toán Tiểu học, nắm
được cấc cách giải toán tiểu học chuẩn chương trình toán tiểu học, Toán cơ bản
thường dùng và nâng cao. Nắm được các phương pháp giải toán tiểu học theo quy
dịnh của môn học. Biết cách hướng dẫn học sinh tiểu học giải toán
.2- Kĩ năng : Giải được các bài toán trong chương trỡnh tiểu học và nõng cao
3 -Thái độ hành vi và năng llực : yêu thích , say sưa và ham giải toán tiểu học . Có sự
tự trọng của người SV CĐTH trong giải toán ở bậc học mà mình sẽ ra dạy sau này ,
giải được phù hợp với đối tượng HS tiểu học và hướng dẫn học sinh hiểu được cách
giải
4 - Phẩm chất: Bước đầu rèn luyện tác phong người giáo viên, bồi dưỡng lòng yêu
nghề, yêu trẻ, có trách nhiệm trong rèn luyện chuyên môn, nghiệp vụ,…
3 - Phương pháp hướng dẫn sö dông tài liệu và yêu cầu với người học:
Sinh viên có tài liệu để tham khảo trước khi đến lớp nghe giảng hoặc làm bài tập
trước khi luyện tập trên lớp - giờ lên lớp là giờ các SV trình bày cách giải của mình
và cùng bàn bạc chọn cách giải phù hợp với HS Tiểu học và hướng dẫn học sinh TH
giải được , phục vụ việc nâng cao chất lượng dạy toán tiểu học khi ra trường và bồi
dưỡng HS giỏi toán tiểu học – tham ra thi toán tuổi thơ sân chơi bổ ich với HS có
năng khiếu giải toán.
Toán tuổi thơ đã mang đến cho các em ham học toán những niềm vui bổ ích và
cũng rất lãng mạn đã được thể hiện qua bài thơ “ Toán và hoa ” của Giáo sư Văn Như
Cương tặng các em ham học toán:
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn
Mong rằng Toán học bớt khô khan
Em ơi ! Trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
Cho nên một vấn đề đặt ra cho các thày cô giáo khi dạy cho các đối tượng này là
phải say với giải toán tiểu học và phải sáng tạo trong dạy học toán tiểu học, phải biết
1


sáng tạo các bài toán có chất lượng cao hơn mà dựa vào các kiến thức đang dạy.
Người giáo viên biết phân loại bài tập. Sáng tạo trong cách giải một bài tập có thể
giải bằng nhiều cách giải khác nhau để gây hứng thú giải toán , tạo ra khả năng sáng
tạo, học sinh ham hiểu biết và ham tìm tòi.
7- Điều kiện cơ sở vật chất phục vụ dạy học
Học sinh – sinh viên có các sách tham khảo theo quy định hoặc mỗi SV có một đề
cương bài giảng làm tài liệu học tập
8-Phương pháp đánh giá quá trình :
- Có 3 điểm đánh giá thường xuyên
- Điểm đánh giá là chấm bài tự luân kiểm tra học trình
- Thời điểm kiểm tra là tiết cuối của học trình tuần 5-10-15 tiết chương trình 15-3045
9- Nội dung học phần:
Học trình 1:

I - HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIỂU HỌC GIẢI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN CẤU TẠO THẬP PHÂN CỦA SỐ
1.1 Các bài toán có liên quan tới phân tích cấu tạo thập phân của số
1.2
Phân tích các số sau thành tổng giá trị của các chữ số:….1975, abcde , xyuv ….
Bài 1: Phân tích các số sau thành tổng giá trị các số(tổng của nhiều số ):

ab , abc ,

ab, cd


Với bài này, tôi gợi ý để HS xác định được giá trị của từng chữ số trong hệ thập
phân (hàng trăm,hàng trục, hàng đơn vị, hàng phần mười…)
Giải:
ab = ao x 10 + b = a x10 + b
abc = aoo + bo + c = a x100 + b x10 + c
ab, cd = ao = b + oc + o, od = a x10 + b + c x 0,1 + d x 0,01

Bài 2: Phân tích các số sau thành tổng của số cụ thể và số chứa chữ (tổng của hai số):
ab7 ; ab 43 ; ab125 ; 8ab ; 2ab8 ; 26abc .

2


Với bài toán này tôi gợi ý để học sinh nhận thấy mỗi số có hai phần: Chữ số (là số)
và chữ số (là chữ). Vậy chữ số (là chữ) chính là ẩn của mỗi số nên ta tách mỗi số trên
thành 2 phần: số cụ thể và số chứa chữ ( ẩn) như sau:
ab7 = ab x 10 + 7
ab 43 = ab x 100 + 43
ab125 = ab x 1000 + 125
8ab = 800 + ab
2ab8 = 2008 + ab x10
26abc = 2600 + abc

Bài 3: (Đề học sinh giỏi huyện lớp 4 năm học 2002 - 2003)
So sánh các biểu thức sau:

1a 26 + 4b 4 + 57b và abc + 1995

Dựa vào kiến thức trên, HS phải tách mỗi số thành 2 phần : số và số chứa chữ (ẩn)

để dễ dàng so sánh.
Giải:
Từ biểu thức bên trái ta có:
1026 + a x 100 + 404 + b x 10 + 570 + c
1026 + 404 + 570 + a x 100 + b x 10 + c
2000 + abc > abc + 1995
Nên 1a 26 + 4b4 + 75c > abc + 1995.
Bài tập luyện tập
Bài 1: (Đề thi HS giỏi lớp 3 năm học 2002 - 2003)
Cho các số x15 ; 15 x .
Phân tích các số trên thành tổng các trăm, các trục các đơn vị.
Bài 2: (Đề thi HSG lớp 3 năm học 2001 - 2002)
Tìm hiệu của ab và ba biết a = 3 + b
Bài 3: So sánh các biểu thức sau có giải thích
a. 6a + a7 và aa + 68 (Đề thi HSG lớp 4 năm 2000 - 2001).
b. 1a 43 + 5b1 + 45c và abc + 1995 (Đề thi HSG lớp 4 năm 2002 - 2003).
c. 1a,25 + 4,4b + 5,7c và a, bc + 19,99 (Đề thi HSG lớp 5năm 1997- 1998).
Bài 4: (Đề thi chọn HSG lớp 5 vòng 2 năm 2004 - 2005)
Cho 2 số abc và cba
3


Chứng tỏ hiệu của chúng chia hết cho 9, chia hết cho 11.
( abc - cba = a x 100 + b x 10 + c - ( c x100 + b x 10 + a)
= a x 99 - c x 99
= ( a - c ) x 99
= ( a - c ) x 9 x 11
Vậy ( abc - cba ) chia hết cho 11, chia hết cho 9.
Bài 5: (Đề thi HSG lớp 5 vòng 5 năm 2002 - 2003).
Xét các số abc sao cho:

abc = ab + bc + ca + ac + bc + ba

Chứng minh rằng abc là số chẵn chia hết cho 11
Bài 6:Tìm abcd biết abcd - a = 1974
Hướng dẫn: Để tìm được abcd trong biểu thức abcd - a = 1974, yêu cầu chúng ta
tách số abcd thành tổng của mấy số cho phù hợp với bài toán?
Rõ ràng nếu tách số chứa ẩn thành tổng nhiều số như bài 1:
( a x 1000 + b x100 + c x 10 + d - a = 1974) thì chỉ thêm phức tạp mà thôi. Vì vậy
đòi hỏi chúng ta phải tách số abcd thành tổng của hai số như sau:
abcd - a = 1974

a x 1000 + bcd - a = 1974
a x (1000 - 1) + bcd = 1974
a x 999 + bcd = 1974
a = 1974: 999 ( dư bao nhiêu chính là bcd vì bcd là số có 3 chữ số nên bcd <=
999)
a = 1974 : 999 = 1 dư 975
Vậy abcd = 1975
Bài 7: (Đề thi Giải toán qua thư Toán tuổi thơ số 90)
thay các chữ bằng các chữ số thích hợp
1975abcd : abcd + 6 = 2007

Bài 8:Tìm abcd biết:
ab + cd = 94 và abcd - cdab = 5544.

Ở trường hợp tìm ab và cd biết ab + cd = 94 và abcd - cdab = 5544
Thực tế, HS cũng thường tách mỗi số thành tổng của nhiều số như bài 2:
4



abcd - cdab = 5544

(a x 1000 + b x 100 + c x 10 ) - (c x 1000 + d x 100 + a x 10 + b) = 5544
Đến đây, HS sẽ lúng túng và không tìm ra cách giải tiếp . GV nên gợi ý cho HS như
sau:
Điều kiện bài toán đã cho tổng của số có 2 chữ số ab và cd nên ta chỉ tách mỗi số có
4 chữ số thành tổng của 2 số là có 2 chữ số đã cho như sau:
abcd - cdab = 5544
ab x 100 + cd - ( cd x 100 + ab ) = 5544

Như vậy HS sẽ lúng túng và không tìm ra cáh giải tiếp . GV nên gợi ý cho HS như
sau
Điều kiện bài toán đã cho tổng của số có 2 chữ số ab và cd nên ta chỉ tách mỗi số
có 4 chữ số thành tổng của 2 số là có hai chữ số đã cho như sau:
abcd - cdab = 5544
ab x 100 + cd - ( cd x 100 + ab ) = 5544 (cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi 1 lần
ab và 1 lần cd )
ab x 99 - cd x 99 = 5544
ab - cd = 5544 : 99
ab - cd = 56 và ab + cd = 94

Vậy ab = ( 94 + 56 ): 2 = 75
cd = 94 - 75
cd = 19

Vậy ab = 19 và cd = 75.
Như vậy việc phân tích các số có chữ chứa thành tổng các số là một khâu đặc biệt
quan trọng. Chìa khoá của bài toán dạng này là giúp học sinh hiểu khi nào thì phân
tích một số thành tổng của nhiều số (các trăm , các trục, các đơn vị).
Qua dạng toán cơ bản này giúp HS hiểu bản chất cơ bản của mạch kiến thức

trên.Từ đó, GV phát triển thêm các dạng toán có liên quan từ đơn giản đến phức tạp.
1.2 Các bài tập về số tự nhiên và chữ số tạo thành
Các bài tập về số tự nhiên mà khi giải nó có thể ding các chữ cái a, b ,c, d, e, g, h, m,
n, …..để thay cho các chữ số hoặc các chữ A, B, C, D, M, N, …để biễu diễn số có
một hay nhiều chữ sô :
5


1- abc là một số tự nhiên có 3 chữ số , chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng choc là b ,
chữ số hàng đơn vị là c
2- Phân tích số đó: abc = aoo + bo + c = a x100 + b x10 + c = ab x 10 + c = aoo + bc
= …….
Cách phân tích phụ thuộc vào yêu cầu bài toán
Ví dụ 1: Cho một số có 2 chữ số. Nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số
của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho
Hướng dãn giải bài toán:
Số phải tìm là ab trong đó a > 0 và a, b là các chữ số từ 0 - 9
Theo bài ra ta có: ab = a + b + a x b
10 x a + b = a + b + a x b ( Phân tích số
10 x a

= a+ axb

ab = ao x 10 + b = a x10 + b)

( cùng trừ đi b )

a x 10 = a x ( b +1 ) (tính chất giao hoán vầ được tính b + 1 lần hay một số
nhân với 1 tổng)
10 = b + 1 (cùng chia cho a khác 0)

b = 10 – 1 (tìm số hạng chưa biết trong một tổng)
b =9
Ví dụ 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng phép chia số đó cho tổng các chữ số của
nó là một kết quả chia hết và được thương bằng 11
Hướng dẫn giải:
Gọi số phải tìm là :
Theo bài ra ta có :

abc với a khác 0 và a, b,c là các chữ só 0 đến 9
abc : ( a + b + c ) = 11 =>

abc = ( a + b + c ) x 11

a x100 + b x10 + c = ( a + b + c ) x 11 ( phân tích số )
a x100 + b x10 + c = a x 11 + b x11 + c x 11
a x 11 + a x 89 + b x 10 + c = a x 11 + b x 10 + b + c x 10 + c
Cùng trừ đi số lượng bằng nhau ta có : a x 89 = b + c x 10
a x 89 = cb

( cấu tạo thập phân của số )

Số có 2 chữ số cb < 100 nên a x 89 < 100 do đó a + 1 và cb + 89
Số phải tìm là :

abc = 198

Thử lại : ( a + b + c ) x 11 = ( 1 + 9 + 8 ) x 11 = 198
Ví dụ 3: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị
6



Cách 1: Gọi số phải tìm là ab với a khác 0 và a, b < 10
a x 9 có tận cùng là b ( b khác o ) => b = 5 . Do đó:
ab = 5 x 9 = 45

Vậy số phải tìm là 45
Cách 2 :
=>

ab = b x 9 => ab = b x ( 10 – 1 )
ab = b x 10 – b =>

ab + b = b0

Vì b + b có tận cùng bằng 0 nên b = 5
Do đó

ab = 50 -5 = 45

Các bài tập để SV giải và hướng dẫn học sinh giải toán
Bài 1: Cho một số có 3 chữ số. Nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đã cho bị giảm đi
7 lần . Tìm số đã cho .
Bài 2: Nếu một số có 2 chữ số chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là
6 và dư 5 . Tìm số đã cho
Bài 3: Nếu một số có 2 chữ số chia cho chữ số hàng chục của nó thì được thương là
12 và dư 2 .Tìm số đã cho.
Bài 4: Nếu một số có 2 chữ số mà 2 lần chữ số hàng choc thì bằng 5 lần chữ số
hàng đơn vị của nó . Tìm số đã cho
Bài 5: Nếu một số có 2 chữ số nếu lấy 3 lần chữ số hàng choc trừ đi 1 thì bằng chữ
số hàng đơn vị của nó . Tìm số đã cho

Bài 6: Nếu một số có 2 chữ số gấp 12 lần chữ số hàng chục của nó thì được số đó
là số nào ?
Bài 7: Tìm một số có 2 chữ số , biết rằng lấy 8 lần chữ số hàng choc chia cho chữ số
hàng đơn vịcủa nó thì được thương là 5 và dư 3.
Bài 8: Cho một số có hai chữ số. Nếu lấychữ số hàng chục nhân với chính nó thì
bằng số đã cho chia hết cho 6. tìm số đó .
Bài 9: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng lấy tích hai chữ số đó chia cho3 thì bằng
hiệu của chữ số hàng chục và 1.
Bài 10: Bắc hỏi tuổi ông nội: “ Thưa ông , ông bao nhiêu tuổi ạ ?”. Ông trả lời : “ Số
chỉ tuổi ông là một số chẵn. Nếu viết theo thứ tự ngược lại thì được số chỉ tuổi bố
cháu. Nếu cộng các chữ số chỉ số tuổi của bố cháu tthì được tuổi cháu. Tuổi ông, tuổi
bố cháu và tuổi cháu cộng lại thì bằng 144 năm ”. hãy tính tuổi của mỗi người ?
7


1.3 Các bài tập về số tự nhiên và tổng, hiệu,tích, thương các chữ số
* Một số kiến thức cần lưu ý :
-Số có tận cùng là các chữ số 0; 2; 4; 6; 8 là các số chẵn và ngược lại số chẵn có tận
cùng là các chữ số 0; 2; 4; 6; 8
- Số chẵn chia hết cho 2và ngược lại số chia hết cho 2 là số chẵn .
- Số có tân cùng là 1; 3; 5; 7; 9 là số lẻ và ngược lại số lẻ là số có tận cùng là 1; 3; 5;
7; 9
- Số lẻ không chia hết cho 2 và ngược lại số không chia hết cho 2 là số lẻ.
- Tổng, hiệu của hai số chẵn (2 số lẻ) là một số chẵn
- Tích của 2 số chẵn là một số chẵn, tích của 2 số lẻ là một số lẻ .
- Tích của một số nhân với chính nó có tận cùng là các chữ số 0; 1; 4; 4; 6; 9 và
không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
Ví dụ 1: Tìm một số có 2 chữ sô lớn nhất . nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số
hàng chục và hàng đơn vị thì được thương là 18 và dư là 4.
Hướng dẫn giải :

Theo đầu bài ta có ; ab = ( a – b ) x 18 + 4
Trong phép chia có dư thì số dư sẽ nhỏ hơn số chí nên ; 4 < a – b
Nếu ab lấy giá trị lớn nhất là 98 thì giá trị của ( a – b ) x 18 sẽ là 98 – 4 = 94. Khi đó
giá trị lớn nhất của a – b sẽ là : 5 <98 : 4 < 6 . Vậy 5 < a – b < 6.
Ta xét a – b = 5 khi đó ab = 5 x 18 + 4 = 94
Vì hiệu hai chữ số của 94 là 9 – 4 = 5 nên đúng với đầu bài ; 94 = ( 9 – 4 ) x 18 + 4
Vậy số phải tìm là 94
Vớ dụ 2: Cho một số có hai chữ số. Nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số
của số đó cho thỡ bằng số đó. Tỡm chữ số hàng đơn vị của số đó cho.
Hướng dẫn giải :
Gọi số phải tỡm là ab với a ≠ 0 a,b < 10
Theo đầu bài ra ta có : ab = a + b + a x b
a x 10 + b = a + b + a x b ( cấu tạo thập phõn của số )
a x 10 = a + a x b ( cùng bớt đi b )
10 = 1 + b

( cùng chia cho b )

b = 10 – 1 =9 ( tỡm số hạng chưa biết của tổng )
8


Vớ dụ 3: Tỡm số cú hai chữ số , biết rằng số đó cho gấp 8 lần tổng cỏc chữ số của nú
Hướng dẫn giải :
Gọi số phải tỡm là ab với a ≠ 0 a,b < 10
Theo đầu bài ra ta có : ab = ( a + b ) x 8 = a x 8 + b x 8
a x 10 + b = a x 8 + b x 8 ( cấu tạo thập phõn của số )
a x 8 + a x 2 + b = a x 8 + b x 7 + b (tính chất , ĐN phép nhân)
a x 2 = b x 7 ( cùng trừ đi một lượng như nhau )
Suy ra a = 7 và b = 2

Thử lại : 72 = ( 7 + 2 ) x 8
Số phải tỡm là : 72
Cũn rất nhiều cỏch giải khỏc nữa giành cho cỏc độc giả và các em học sinh tiểu học
* Các bài tập giành cho SV giải và hướng dẫn học sinh giải
Bài 1: Cho một số có hai chữ số, nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì
được thương là 5 và dư 12 . Tìm số đã cho .
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu các chữ số của nó
và chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng chục.
Bài 3: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị. Nếu lấy số đó chia cho hiệu các chữ số của nó thì đước thương là 26 và dư
là 1 .
Bài 4: Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó tích các chữ số của nó .
Bài 5: Cho số có hai chữ số , nếu lấy số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được
thương là 5 và dư 2.
Bài 6: Cho một số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn
vị . Tìm số đó biết rằng số đó gấp 21 lần thương của chữ số hàng chục và hàng đơn
vị.
Bài 7: Cho một số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn
vị. Tìm số đó biết rằng khi chia số đó cho thương của chữ số hàng chục và hàng đơn
vị thì được thương là 20 và dư là 2.
Bài 8: Tìm một số có hai chữ số biết rằng lấy tổng hai chữ số cộng với tích hai chữ
số cộng với 6 thì được số phải tìm. Tìm số đó
1.4. Kỹ thụât tính và quan hệ giữa các phép tính
9


Bài toán cơ sở
Bài 1.
a) Tổng của hai số gấp đối số thứ nhất. Tìm thương của hai số đó.
b) Tích của hai số gấp 10 lần số thứ nhất. Tìm thừa số thứ hai.

c) Hiệu của hai số bằng nửa số bị trừ. Tìm thương của hai số đó.
d) Thương của 2 số bằng 1 và dư 1992. Tìm hiệu của hai số đó.
Bài giải
a) Tổng của hai số gáp đôi số thứ nhất, thì hai số bằng nhau. Do đó, thương của
hai số đó bằng 1.
b) Tích của hai số bằng 10 lần số thứ nhất, có nghĩa là tích = 10 x số thứ nhất.
Vậy số thứ hai là 10.
c) Hiệu của hai số bằng nửa số bị trừ, như vậy số bị trừ sẽ gấp đối hiệu hay gấp
đôi số trừ. Do đó, thương của hai số đó bằng 2.
d) Thương của hai số bằng 1 và còn dư 1992, tức là số bị chia = số chia + 1992.
Như vậy, hiệu của hai số đó là 1992.
*Bài tập tự giải
Bài 1.
a) Trong một phép chia, nếu giảm số đó đi 1/5 của nó thì thương thay đổi như thế
nào?
b) Trong một phép nhân có hai thừa số, nếu giảm mõi số đi 1/3 của nó thì tích sẽ
thay đổi như thế nào?
c) Trong một phép trừ, nếu số trừ và hiệu cùng giảm đi 1/5 của mỗi số thì số bị
trừ sẽ thay đổi như thế nào?
d) Trong một phép cộng hai số, nếu giảm cả tổng và số hạng thứ nhất đi 1/5 của
mỗi số thì số hạng thứ hai thay đổi như thế nào?
Bài 2. Hiệu của hai số là 16,8 nếu cộng thêm vào mõi số 1, 4 đơn vị thì số lớn sẽ gấp
3 lần số bé. Tìm hai số đó.
Bài 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6,8 m. nếu ta bớt
mỗi chiều đi 0,2 m thì chu vi hình chữ nhật mới gấp 6 lần chiều rộng mới. Tính diện
tích của mảnh vườn luc đầu.

10



Bài 4. Hiệu của hai số là 1,4. Nếu ta tăng mọt số lên 5 lần và giữ nguyên số kia thì
được hai số có hiệu là 145,4. Tìm hai số đó.
Bài 5. Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3, tổng của số bị chia, số chia và số
dư bằng 195. Tìm số bị chia và số chia.
Bài 6. Nếu ta chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 0,6. Còn nếu ta chia số bị
chia cho ba lần số thương thì cũng được 0,6.
Tìm số bị chia, số chia và số thương trong phép chia ban đầu.
Bài 7. hai số thập phân có tổng là 15,83. Nếu dời dấu phẩy của số bé sang phải một
hàng, rồi trừ đi số lớn thì được 0,12. Tìm hai số đó.
Bài 8. Tổng của hai số thập phân là 16,26. Nếu ta tăng số thứ nhất lên 5 lần và số thứ
hai len hai lần thì được hai số coa tổng là 43,2. Tìm hai số đó.
Bài 9. So sánh tích 1,993 x 199,9 và 19,96 x 19,96.
1.5. Các bài toán về điền các chữ số thích hợp vào dấu chấm và dấu *, thay các
chữ bằng các chữ số
Bài 1. Thay các chữ sau bằng các chữ số thích hợp:
abc
+ cba
8cb
Lời giải
Từ giả thiết ta thấy chỉ xảy ra 2 trường hợp: a + c = 7 hoặc a + c = 8
Nếu a + c = 7 thì b = 7 . Khi đó ta có 7 + 7 = 14, suy ra c = 4 . Vậy a = 3 .
Do đó, ta có phép tính:
374
+ 473
847
Bài 2. Điền chữ số thích hợp vào dấu *
39 *
3*
***8
***1

****8
Giải
Từ phép tính ta thấy: 3 x * có tận cùng là 1. Dựa vào bảng nhân 3 ta suy ra * = 7.
11


Vậy ta có thừa số thứ nhất là 397.
Lại có 7 x * coa tận cùng là 8, dựa vào bảng nhân 7 ta suy ra * = 4.
Vậy ta tìm được thừa số thứ 2 là 34.
Từ đó ta lập phép nhân 397 x 34.
Nhận xét: Khi giảI các bài toán dạng này, ta cần tìm ra chìa khóa của bài toán.
Ví dụ ử bài 1 thì chìa khóa là a + c = 7 hoặc a + c = 8
Còn bài 2 thì chìa khóa là 3 x * có tận cùng là 1 và 7 x * có tận cùng là 8.
Bài tập tự giải
Bài 1. Điền các chữ số thích hợp vào các dấu * và các chữ sau của phép nhân:

4 *3
2*
*8*
***
*****

abc
bac
****

*1*
3* 2
*3*


**5
1**
2 **5

** a
***b

3* 2 *
*2 *5

13* 0
***

******

1*8*30

4 **7 *

432
**
30 **
***
1****

Bài 2. Điền các chữ số thích hợp vào các dấu * và các chữ sau của phép cộng và phép
trừ:
**
**
*97

abcd 0
abcd
17865

ab8c
ab6
a589
cdebc
abcd
acac

2*6
* 68
70 *

ab0
ab
462
abcd 0
1abcd
abcd

ab4
ab
a 48

***
***
*997


86187 *
* 0 *364
*27 *8*9 *

abc
ab
bccb
9 * 21
****
*0110

a 21b
123b
ccb0
*96
8**
*28

Bài 3. Điền các chữ số thích hợp vào các dấu * và các chữ sau của phép chia:
11
*3
**
*5**
17028
**
****
***
**
***
***

**3
****
8**
**
**
74
***
03*
***
**
***
**
***
*1
***
0
0
**
108
00

*
12


**

****
*7
***

***
0

******
231
***
***

aa
bbbb

***
***
***
***
0

II-. DÃY SỐ VÀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ
1.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Bài 1. Điền thêm 4 số hạng nữa vào mỗi dãy số sau:
a) 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8;…
b) 1; 4; 10; 19; 34;…
Bài giải
a) Dãy số được lập thành theo quy tắc sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số đều
bằng tổng hai số liền trước nó.
Do đó ta chỉ cần thực hiện các phép tính:
8+5=13; 13+8 = 21; 21+13 = 34; 34+21 = 55
thì ta được dãy số kéo dài là: 0; 1; 1; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55;…
b) Quy tắc lập dãy số ở đây là: Kể từ số thứ 3 trở đi, mỗi số đều lớn hơn tổng của hai
số liền ngay trước nó 5 đơn vị. Do đó bốn số tiếp theo là:

19+34+5=58
34+58+5=97
+58+97+5=160
97+160+5=262
Dãy số đã cho là:
1; 4; 10; 19; 34; 58; 97; 160; 262;…
Nhận xét: Khi đưa ra dãy số và xác định quy luật của dãy số, bài toán sẽ chưa giải
được nếu người làm vẫn chỉ nhìn dãy số ấy là một tập hợp những chữ số. Nhưng chỉ
13


cần người ấy nhìn số đó như một tập hợp những số thì sẽ nhận thấy rằng giứ chúng có
quy luật nhất định.
Ví dụ: Đưa ra số 1379131519… và yêu cầu xác định nguyên tắc lập số này. Nếu chỉ
nhìn số ấy là một tập hợp những chữ số, thì bài toán chưa giải được. Nhưng chỉ nhìn
số đó như một tập hợp những số thì người ấy sẽ nhận thấy rằng số đó chứa những số
liên tiếp với hiệu số luân phiên là hai, rồi 4 đơn vị ( 1 – 3- 7 – 9 – 13 – 15 – 19,…).
Và như vậy ta có thể viết các số tiếp theo tuỳ ý.
Bài tập tự giải
Bài 1.
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số.
b) Có bao nhiêu số có ba chữ số đều lẻ
c) Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau?
Bài 2.
a) Tìm số hạng đầu tiên của dãy: …..; 10; 16; 26; 42; biết rằng dãy số này có 7 số.
b)Cho dãy số: 5; 8; 11; 14; 17; …, có 76 số. Tìm số cuối cùng của dãy số này.
c) Dãy số 2; 7; 12; 17; …; 92 có bao nhiêu số:
Bài 3. Tìm quy luật viết các số của dãy số sau:
a) 1; 4; 9; 16; 25; …
b) 3; 7; 15; 31; 63;…

c) 1; 3; 6; 10; 15; …
d) 78; 54; 30; 24; 6; …
e) 2; 12; 30; 56;…
f) 1; 2; 3; 5; 8; 13; …
g) 1; 2; 3; 6; 12; 24; …
h) 1; 5; 14; 33; 72; …
i) 2; 20; 56; 110; 182; …
Bài 4. Tìm x để số các chữ số của dãy số 1; 2; 3; 4; ..; x gấp hai lần rưỡi số các số
trong dãy số đó?
Bài 10.
Có 10 bao gạo mà số gạo đựng trong các bao theo thứ tự là một dãy số: 1 kg; 3 kg; 6
kg; 10 kg; …
14


a) Em hãy ghi tiếp các số hạng của dãy số này
b) Nếu muốn lấy 1 tạ gạo bằng các bao nguyên thì có thể chọn những bao nào?
Bài 5. Tìm x:
(x+1) + (x+4) + (x+7) + … + (x+28) = 155
Bài 6. Hãy viết tiếp số cuối cùng trong từng dãy số sau
a) 10; 8; 11; 9; 12; …
b) 2; 3; 4; 9; 16; …
c) 1; 2; 6; 24; 120; …
d) 1; 5; 14; 3; 72; …
Bài 7. Cho dãy số tự nhên liên tiếp: 1; 2; 3; 4; 5;…; 1999.
Hỏi dãy số có bao nhiêu chữ số?
Bài 8. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3; 4;5; …; x.
Tìm x biết dãy số có 2010 chữ số.
Bài 9. Cho dãy số chẵn liên tiếp: 2; 4; 6; 8; 10; …; 2468.
a) Hỏi dãy đó coa bao nhiêu chữ số?

b) Tìm chữ số thứ 2000?
Bài 10. Cho dãy 1; 2; 3; 4; 5; ; …; x.
Tìm x để số chữ số của dãy gấp 4,5 lần x.
Bài 11. Cho dãy số: 1; 1; 2; 2; 3; 3; …; 108,9; 110,0
a) Dãy số này có bao nhiêu số hạng?
b) Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?
Bài 12. Cho dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; …
a) Số hạng thứ 1000 có bao nhiêu chữ số 0 ở phần thập phân?
b) Để viết từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100 phải dùng bao nhiêu chữ số 1,
bao nhiêu chữ số 0?
Bài 13. Cho dãy 3;18; 48; 93; 153; …
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy?
b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
1.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ TÍNH TỔNG
Bài 1. Tính nhanh các tổng sau:
a) 1+4+9+16+…+100
15


b) 1+2+3+4+…+999+1000
Bài giải
a) Nhận xét
1=1x1

25 = 5 x 5

81 = 9 x 9

4=2x2


36 = 6 x 6

100 = 10 x 10

9=3x3

49 = 7 x 7

16 = 4 x 4

64 = 8 x 8

Vậy tổng viết đầy đủ là:
1+ 4 + 9+16+25+36+49+64+81+100
= (1+9) + (4+16) + 25 + ( 36+64) + ( 49+81) + 100
= 10 + 20 + 25 + 100 + 100 + 130+ 100
= 385.
b) Tổng đã cho bằng
(1+100) + (2+999) + (3+998) + … + (500 + 501)
= 1001

+ 1001

+ 1001 + …. +

1001 (500 số hạng 1001)

= 1001 x 500
= 500 500.
Nhận xét: Ở các bài tập về viết tiếp số vào dãy, tính nhanh một tổng thì cái khó là

chúng ta phải tìm ra quy luật của dãy số đó.
Bài tập tự giải
Bài 1. Tính nhanh tổng của 10 số hạng sau
a) 2 + 4 + 8 + 16 + …
b) 1+ 2+ 3+ 5+ 8 + …
Bài 2. Tính tổng
T=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1× 2 2 × 3 3 × 4
99 × 100

Bài 3. Tính nhanh tổng sau
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
+
2 4 8 64 128 256 512 1024


Bài 4. Tìm M biết
M =

1 13 33 61
9601 9997
+ +
+
+ ... +
+
3 15 35 63
9603 9999

Bài 5.
16


Anh Tâm đi xe đạp từ tỉnh A lúc 7 giờ sáng và đến tỉnh B lúc 14 giờ cùng ngày. Vì
đường khó đi nên giờ đầu anh đi được 14 km, và cứ mỗi giờ sau lại giảm đi 1 km.
Tính quãng đường AB?
Bài 6. Bạn Minh nuôi một con thỏ. Lứa thỏ đầu tiên con thỏ này để được hai con thỏ
con. Lứa thứ hai, cả thỏ mẹ lẫn hai thỏ con đèu để, mỗi con để được 3 con thỏ con.
Lứa thứ 3, tất cả số thỏ đã có đều đẻ, mỗi con đều đẻ được 4 thỏ con. Hỏi sau 3 lứa
để, bạn Minh có bao nhiêu con thỏ tất cả?
Bài 7. Tính tổng
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 199 = ?
b) 4 + 9 + 14 + 19 + 24 + … + 999?
c) 1 + 4 +5 + 9 + 14 + … + 60 + 97 = ?
Bài 8. Bài toán cổ
Một lão cho vay nặng lãi keo kiệt, thuê người đào một cái giếng sâu 18 m. Những

người thơn đòi trả công 500 đồng, hắn chê đắt, không bằng lòng. Một người thợ bèn
nói: “ Thôi thì mét đầu tiên lấy giá rẻ một xu thôi. Song vì càng xuống sâu càng khó
đào nên ông chủ trả cho mét thứ hai 2 xu, mét thứ ba 4 xu, mét thứ tư 8 xu,…”.Lão
cho vay nặng lãi thấy toàn tiền xu, cho là rẻ nên bằng lòng ngay. đén khi tính tiền lão
mới té ngửa ra là mình đã ước tính sai. Em hãy tính xem lão ta phải trả bao nhiêu
tiền? (Ghi chú 100 xu = 1 đồng)
Bài 9. Tính tổng
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + … + 99 x 100 = ?
Bài 10. Cho dãy số: 3; 3; 3; 3; 3.
Hãy thay các dấu chấm phẩy bằng dấu phép tính để được các biểu thức có giá trị lần
lượt là 1; 2; 3; 4; 5.
Bài 11. Cho một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1999 được viết
theo thức tự liền nhau như sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …1994 1995 1996 1997 1998 1999.
Hãy tính tổng tất cả các chữ số đó.
III - CÁC BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ
3.1 Một số bài tập về so sánh số
17


Các bài toán về phân số rát đa dạng và phong phú, mỗi bài đều có một
vẻ độc đáo riêng của nó và có một thủ thuật riêng của nó
Ví dụ 1: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần mà không quy đồng mẫu số
1 2 1 2 1 2 1 2
; ; ; ; ; ; ;
2 3 4 5 6 7 8 9

Phân tích: Ta thấy không đươc quy đồng nhìn vào bài toán không được đưa về cùng
mẫu số thì ta đưa về cùng tử số
- Các phân số trên đều có tử là 1 và 2 cho nên ta đưa phân số có tử số là 1 về tử

số là 2 theo tính chất của phân số (toán 4) nhân tử số và mẫu số của phân số với
2 ta được:
1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2
= ; ;
= ; ; = ; ;
= ;
2
4 3 4
8 5 6
12 7 8
16 9

- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta có :
1
1
2
1
2
2
2
2
=
< =
< < = <
16
12

8
8
6
9
4
7

Kết quả là :

1
1
2
1
2
<
< <
<
8
6
9
4
7

Ví dụ 2: Cho phân số

<

<

2

2
1
2
< = <
2
4
5
3

2
2
1
<
<
2
5
3

37
. Hãy tìm một số nào đó để khi lấy tử số trừ đi số đó và lấy
63

số đó cộng với mẫu số thì được một phân số bằng

3
.
17

Phân tích: Gọi số tự nhiên phải tìm là a
Ta có :


37
37 − a
3
=>
= .
63
63 + a
17

Nhận xét : Khi chưa rút gọn thì tổng tử số và mẫu số là không đổi và bằng
37 + 63 = 100 hay
Phân số đã rút gọn là

(37 - a ) + ( 63 + a ) = 100
3
tìm phân số bằng phân số đó mà có tử số và mẫu số cộng
17

với nhau bằng 100
Tử số là 3 phần và mẫu số là 17 phần
Tổng số phần là : 3 + 17 = 20 ( phần )
Tử số của phấn số đó là : 100 : 20 x 3 = 15
Vậy ta có 37 – a = 15
Số phải tìm là : 37 – 17 = 12
18


Từ phân tích trên suy ra cách giải và khái quát hoá cách giảỉ với loại bài tập này
Các bài tập giành cho SV giải và hướng dẫn học sinh giải :

Bài 1. Khi cộng cả tử và mẫu của phân số11/5 với cùng một số tự nhiên ta được một
phân số bằng phân số 21/19 . Tìm số tự nhiên đó.
Bài 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần mà không quy đồng mẫu số
1)
2)

1 7 1 5
1 3 9
; ; ; ; 1; ; ;
3 2 5 2
9 2 2
22 1974 2008 29 1944
;
;
;
;
23 1975 2009 30 1945

Bài 3:. Tính nhanh bằng cách thuận tiện nhất
12-.

1
1
1
1
1
+
+
+ …+
+

1 × 6 6 × 11 11 × 16
491 × 496 496 × 501
1
1
1
+ + + .....+
2
4
8

Bài 4: So sánh : A =
Bài 5: a-

1
1
1
+
+
2048
4096
8192

1
1
1
1
1
+ + +
+
+

2
4
8
16
32

1
1
+ .. +
với B =
64
512

2009
2010

b- Cho số A = 111111111222222222 (gồm 9 chữ số1 và 9 chữ số 2). Hãy

viết số A thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp .
Bài 6: Cho dãy số :

1 1
1
1
1
; ;
;
;
; ....
2 6 12 20 30


1- Hãy tính tổng của 100 số đầu tiên của dãy số trên
2- Số

1
có phải là một số của dãy số trên không ? Vì sao ?
10200

3.2. các bài toán về tách phân số thành các tổng
3.2.1 Các bài toán cơ sở
Một số dạng toán nâng cao về phân số: Viết phân số a/b ( a, b là các số tự nhiên,
0có nhiều bài tập rất hay và khó, đòi hỏi phải sử dụng một số mẹo nhỏ để làm bài.
Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu các cách giải thông qua các bài toán điển hình.
Bài 1: Hãy viết các phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số
khác nhau.
a)

7
12

b)

17
18

19


Phân tích:

Ta có tính chất: Khi nhân (hoặc chia) cả tử số và mẫu số của một phân số với (hoặc
cho) một số tự nhiên khác 0 thì phân số mới có giá trị bằng phân số đã cho.
Mặt khác,

7
17
và
có tử số đều lớn hơn 1.
12
18

Từ đó ta suy nghĩ hướng giải: Tách tử số thành tổng của các ước của mẫu số.
a) Ta có mẫu số 12= 1.12 = 2. 6 = 3. 4; vậy các ước của 12 là: 1, 12, 2, 6, 3, 4
trong đó 1+6 = 3+4 = 7 ( tử số).
b) Ta có mẫu số 18= 1.18 = 2. 9 = 3. 6; vậy các ước của 18 là: 1, 18, 2, 9, 3, 6
trong đó 2+6 +9 = 17 ( tử số).
Từ phân tích trên ta giải bài toán sau:

7 6 +1 6
1 1 1
=
=
+
= + .
12
12
12 12 2 12

Vậy

7 1 1
= +
12 2 12

Hoặc

7 3+ 4 3
4 1 1
7 1 1
=
=
+
= + . Vậy
= +
12
12
12 12 4 3
12 4 3

b)

17 2 + 6 + 9 2 6 9 1 1 1
17 1 1 1
=
= + +
= + + . Vậy
= + +
18
18
18 18 18 9 3 2

18 9 3 2

Tiểu kết: ở dạng toán nêu trên nếu tử số a>1 ta cần tách tử số thành tổng của các
ước của mẫu số để đưa về dạng một tổng ( tử số) chia cho một số (mẫu số). Từ đó, ta
tách phân số a/b thành tổng của nhiều phân sô. Tiếp theo ta rút gọn các phân số vừa
được tách để hoàn thành bài tập.
Bài 2: Viết phân số 1/5 thành tổng của hai phân số có tử số là 1,mẫu số khác nhau.
Phân tích:
Với bài 2 tử số là 1 nên ta không thể tách tử số thành tổng của các số tự nhiên là ước
của mẫu số, ta sử dụng cách giải sau:
Ta có
1
1
a +1− a
1
1
1
1
−
=
=
. Vậy =
+
.(1)
a a + 1 a × (a + 1) a × (a + 1)
a a + 1 a × (a + 1)

áp dụng cách (1) ta dễ dàng giải bài toán:
1
1

1
=
+
5 5 + 1 5 × (5 + 1)
1 1 1
= +
5 6 30

20


Từ cách giải bài toán 2 chúng ta có thể phát triển để giải nhiều bài toán phức tạp
hơn.
Bài 3: Viết 1/5 thành tổng 3 phân số có tử số là 1,mẫu số khác nhau.
1

1

1

Cách 1: Theo (1): a = a + 1 + a × (a + 1)
1

1

1

1

Suy ra a = ( a + a + 1 + a × (a + 1) ) : 2

1

1

1

1

Vậy a = 2 × a + 2 × (a + 1) + 2 × a × (a + 1)

(2)

Từ đó
1
1
1
1
=
+
+
5 2 × 5 2 × (5 + 1) 2 × 5 × (5 + 1)
1 1
1
1
=
+ +
5 10 12 60

Cách 2: Ta có

1 1 1
= +
5 6 30

Theo (1) ta viết được:
1 1 1
= +
6 7 42

Vậy

1 1 1
1
= +
+ .
5 7 42 30

Bài toán tổng quát: Viết phân số 1/a (a>1) thành tổng của n (n>1) phân số có tử số
là 1, mẫu số khác nhau.
Thực hiện liên tiếp công thức (1) ta có:
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
a (n) a + (n − 1) a × (a + 1) (a + 1) × (a + 2)

[a + (n − 2)] × [a + (n − 1)]
(n > 1 ⇒ n − 1 ≥ 0;1,2,..., (n − 2), (n − 1))

3.2.2 Bài tập tự giải

1. Viết phân số 1/5 thành tổng của 4 phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau.
2. Hãy viết các phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác
nhau:
5/6; 11/30; 15/42.

3. Hãy viết các phân số sau dưới dạng tổng 2 (3, 4, 5) phân số có tử số là 1, mẫu
số khác nhau:
21


1/9; 1/83; 1/2005.
4-Viết phân số

407
thành tổng của 3 phân số có tử số bằng 1 , mẫu số khác nhau.
2005

3.3- Quy luật viết của dãy số và tính tổng các phân số
Việc dạy: Phân số và các phép tính với phân số được dạy ở kỳ II toán 4. Các loại
toán nâng cao ở phần này rất đa dạng và phong phú, mỗi bài đều có một vẻ độc đáo
riêng và thủ thuật để giải nó. Dạng toán tính tổng các phân số là một dạng toán khó ở
cấp Tiểu học. Tuy nhiên nếu nắm được phương pháp giải, biết vận dụng các kiến thức
đã học để tìm ra mối quan hệ giữa các phân số trong tổng, đưa bài toán tưởng như
phức tạp trở thành các bài toán đơn giản thì các bạn có thể giải tốt dạng toán này.
Chúng ta hãy cùng giải một số bài toán sau và mở rộng nó nhằm đào tạo, bồi dưỡng

các em ngay từ bậc Tiểu học
Bài 1: Tính tổng S biết:
S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1x 2 2 x3 3 x 4
9 x10

Bài này học sinh phải tính tổng của 9 phân số bài tập nâng cao khi giải mỗi bài đều
có một vẻ độc đáo riêng và thủ thuật để giải nó. Nếu nhân mẫu số rồi quy đồng thì sẽ
lâu và mất nhiều thời gian, không đúng với học sinh giỏi toán. Nhưng giáo viên biết
gợi ý cho học sinh phát hiện vấn đề: mẫu số của các phân số trong tổng là tích của 2
số tự nhiên liên tiếp tăng dần và phân tích các phân số trong tổng thành hiệu 2 phân
số, ta có:
1
1 1
1 1
= 1− ;
= −
1x 2
2 2 x3 2 3

Vậy:
S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1x 2 2 x3 3 x 4
9 x10

1 1 1
1 1
+ − + ... + −
2 2 3
9 10
1
9
=1−
=
10 10
=1−

Bài 2: Tính tổng sau:
S=

3
3
3
3

+
+
+ ... +
10 x13 13x16 16 x19
58 x61

22


Nhận xét: Quy luật viết mẫu số các phân số trong bài đều có tử số là 3, còn mẫu số.
Mẫu số của các phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau đúng bằng
tử số của từng phân số (3 đơn vị). Như bài 1 ta biến đổi các phân số trong tổng thành
từng hiệu hai phân số rồi tính tổng, ta có:
1 1 1 1
1
1
− + − + ... +
−
10 13 13 16
58 61
1
1
51
=
−
=
10 61 610
S=

Lưu ý: Nếu các phân số có tử số là hiệu giữa hai thừa số của mẫu thì cách giải tương

tự như hai bài toán trên
Bài 3: Tính tổng:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
4 x7 7 x10 10 x13
19 x 22

S=

Nhận xét: Quy luật viết mẫu số các phân số trong bài đều có tử số là 1, còn mẫu
số.Mẫu số của các phân số trong tổng là tích 2 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị, tử số
của các phân số là 1. Để đưa bài toán về dạng toán 1 ta nhân các tử số của các phân
số trong tổng với 3, để tổng không đổi ta nhân cả tổng với

1
(chia cả tổng cho 3), ta
3

có:
S=

1  3
3
3 
x

+
+ ... +

3  4 x7 7 x10
19 x 22 

Biến đổi tương tự như bài 1 ta có:
S=
=

1 1 1 1 1
1
1 
x − + − + ... + − 
3  4 7 7 10
19 22 

1  1 1  1 18
3
x −  = x =
3  4 22  3 88 44

Bài 4: Tính tổng S biết:
S=

1 1
1
1
+ +
+ ... +

7 91 247
775

Nhận xét: Quy luật viết mẫu số các phân số trong bài đều có tử số là 1, còn mẫu số.
Tách các mẫu số của các phân số trong tổng thành tích của hai thừa số ta có:
S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1x7 7 x13 13 x19
25 x31

23


Dựa theo cách giải của bài 3, nhân các tử số của các phân số với 6 đồng thời chia
tổng cho 6 để tính đuợc kết quả là
S=

Bài 6: Tính tổng:

5
31

1 1 1 1

1
1
+ + + +
+
2 4 8 16 32 64

Nhận xét: Các phân số trong tổng được viết theo quy luật: Mẫu số của phân số sau
gấp 2 lần mẫu số của phân số liền trước nó.
Cách 1: Phân tích từng phân số trong tổng duới dạng hiệu của 2 phân số, ta có:
1
1 1 1 1
1
1
1
= 1 − ; = − ;...;
=
−
2
2 4 2 4
64 32 64

Cách 2: Tính S x 2
1
1 
1 1
2 × S = 2 ×  + + ... +
+ 
32 64 
2 4
1  1 1

1 
1 1
2 × S − S = 2 ×  + + ... +  −  + + ... + 
64   2 4
64 
2 4
1
1 1 1
1
1
= 1 + + ... +
− − − ... −
−
2
32 2 4
32 64
1 63
= 1−
=
64 64

Bài7: Cho dãy số:

1 1
1
1
1
; ; ;
;
…

2 6 12 20 30

a- Nêu quy luật viết dãy số trên .
b- Tính tổng của của 2010 số đầu tiên của dãy số trên .
c- Cho số A = 111111111222222222 (Số có 18 chữ số gồm 9 chữ số 1 và 9 chữ số 2.
Phân số

1
có thuộc dãy số trên không.
A

Nhận xét: Đây là bài toán khá quen thuộc, mẫu số của các phân số trong tổng là tích
của 2 số tự nhiên liên tiếp tăng dần
Tính tổng S biết:

S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1× 2 2 × 3 3 × 4
2010 × 2011

Phân tích các phân số trong tổng thành hiệu 2 phân số, ta có:
1
1 1

1 1
1
1
1
= 1− ;
= − ;...
=
−
1× 2
2 2 × 3 2 3 2010 × 2011 2010 2011

Vậy:
24


S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1× 2 2 × 3 3 × 4
2010 × 2011
1 1 1
1
1
+ − + ... +

−
2 2 3
2010 2011
1
2010
=1−
=
2011 2011
=1−

Số A = 111111111222222222 phân tích thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp cho
nên Phân số

1
có thuộc dãy số trên .(Bạn đọc tự giải).
A
1
3

1
6

Bài 8: Cho S = 1 + + +

1
1
+ ... +
. So sánh S với 2.
10
45

Nhận xét: Quy luật viết mẫu số các phân số trong bài đều có tử số là 1, còn mẫu số.
Mẫu số của các phân số mà nhân với 2 là các số tự nhiên 2; 6; 12; 20; 30; 42; 56; 72;
90 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Để xuất hiện mẫu số là tích các thừa số tự nhiên
liên tiếp ta nhân cả tử và mẫu của từng phân số trong tổng với 2, ta có:
2 2 2
2
2
+ + + ... +
+
2 6 12
72 90
1
1
1
1 
 1
= 2×
+
+
+ ... +
+

8 × 9 9 × 10 
 1× 2 2 × 3 3 × 4
S=

4
5

Tượng tự bài toán 1, dễ dàng tính được S = 1 . Vậy S < 2.
Bài 9: Tính giá trị biểu thức sau:
1  1111 1111 1111 1111 1111 
x
+
+
+
+

11  1212 2020 3030 4242 5656 

Rút gọn các phân số trong tổng bằng cách chia cả tử và mẫu từng phân số cho 101,
biến đổi theo cách làm của các bài toán trên ta có:
1  1111 1111 1111 1111 1111 
×
+
+
+
+

11  1212 2020 3030 4242 5656 
=

1  11 11 11 11 11 
× +
+
+
+ 
11  12 20 30 42 56 

1
1
1
1
1 
 1
× 11 × 
+
+
+
+

11
 3× 4 4 × 5 5× 6 6 × 7 7 × 8 
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
3× 4 4 × 5 5× 6 6 × 7 7 × 8
1 1 1 1
1 1
= − + − + ... + −
3 4 4 5
7 8

1 1 5
= − =
3 8 24
=

25