ĐỀ XUẤT một số CHIẾN lược GIẢI TOÁN NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN ỨNG DUNG (THEO đè MH 2018)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (227.91 KB, 4 trang )
Thủ thuật Máy tính Cầm tay, số 1, 2018
c Nhóm Thủ thuật Casio Khối A, Casio Tư duy
Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng
trong Đề Tham Khảo Toán 2018
Dương Trác Việt*
Tóm tắt nội dung
Bài viết đề xuất một số chiến lược giải các bài trắc nghiệm về chủ đề Nguyên hàm, Tích phân
và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018, môn Toán học, của Bộ
Giáo dục & Đào tạo.
Từ khóa
Nguyên hàm — tích phân.
Nhóm Thủ thuật Casio Khối A, Casio Tư duy
Bài 1 (c6). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành được tính theo công thức
b
C. 6x + C.
D. x 3 + x + C.
Hướng dẫn giải
3x 2 + 1 → 3 ·
x3
+ x → x 3 + x + C.
3
=⇒ Chọn đáp án D
A. V = π
f (x) dx.
2
b
f 2 (x) dx.
a
b
C. V = π2
f 2 (x) dx.
a
b
D. V = π2
dx
bằng
x +3
Bài 3 (c19). Tích phân
a
B. V = 2π
2
f (x) dx.
a
Hướng dẫn giải
Gặp “Thể tích” thì. . .
1. “có π” → không phải π2 → loại C , D ;
2. “chỉ có 1π” → không phải 2π → loại B .
=⇒ Chọn đáp án A
Bài 2 (c9). Họ nguyên hàm của hàm số
f (x) = 3x 2 + 1 là
A. x 3 + C.
x3
B.
+ x + C.
3
0
16
.
A.
225
5
B. log .
3
5
C. ln .
3
2
D.
.
15
Hướng dẫn giải
1
Vì
là dạng “Lật Ngược”, nên khi lấy tích
x +3
phân sẽ liên quan đến ln (ln = Lật Ngược).
=⇒ Chọn đáp án C
Bài 4 (c31).
y
Cho hình (H) là hình
2
phẳng giới hạn bởi
parabol y =
3x 2 ,
cung tròn có phương
trình y =
4 − x2
O
2 x
(với 0 ≤ x ≤ 2) và
trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện
tích của (H) bằng
Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Toán 2018 — 2/4
4π + 3
.
12
4π − 3
B.
.
6
4π + 2 3 − 3
C.
.
6
5 3 − 2π
D.
.
3
Hướng dẫn giải
Cách 1
Ta tách diện tích cần tìm thành hai phần
diện tích nhỏ hơn.
Đầu tiên, ta tìm vị trí phân tách. Nhìn hình
vẽ dễ thấy chỗ phân tách sẽ là x 0 ∈ [0; 2] nên
ta Shift Calc ( Solve ) phương trình hoành độ
0+2
= 1.
giao điểm với X =
2
A.
Khi đó dễ thấy nếu cắt phần diện tích bên
trái (S1 ) chuyển qua phần diện tích bên phải
(S3 ) thì diện tích S = S1 + S2 cần tìm sẽ xấp
xỉ diện tích hình chữ nhật SChữ nhật = S3 + S2 .
Rõ ràng hình chữ nhật này có chiều dài không
đến 2, chỉ khoảng 1.8∗ , và chiều rộng 2−1 = 1.
Như vậy
I ≈ SChữ nhật ≈ 1.8 × 1 = 1.8.
y
2
S3
S2
S1
1
O
2
x
Solve
4 − X 2 ⇔ X = 1.
3X 2 −
Khi đó diện tích lớn sẽ bị chia ra như sau
y
Thử lại với bốn phương án đề cho ta thấy
kết quả trên gần nhất với B .
=⇒ Chọn đáp án B
Bài 5 (c32). Biết
2
2
dx
1
O
2
x
Tức là
I = S1 + S2
1
=
2
(P) +
0
(C)
1
1
=
2
3x 2 dx +
0
CASIO
4 − x 2 dx
1
(x + 1) x + x
I=
a−
a−
b − c,
P = a + b + c,
≈ 1.805719968.
Thử lại với bốn phương án đề cho ta thấy
kết quả trên gần nhất với B .
Cách 2
Vẽ thêm một số đường phụ, ta được
⇔
⇒
a−
2
⇔
a−
x
∗
b
2
= (I + c)2 ,
a + b = P − c,
a+ b−2
⇒P − c − 2
2
b = I + c,
a + b = P − c,
y
1
=
b−c
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính
P = a + b + c.
A. P = 24.
B. P = 12.
C. P = 18.
D. P = 46.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có hệ
1
O
x +1
ab = (I + c)2 ,
a + b = P − c,
ab = (I + c)2
Căn cứ hình vẽ mà ước lượng trực giác.
Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Toán 2018 — 3/4
⇔2
ab = P − c − (I + c)2
⇔4a b = P − c − (I + c)2
2
Suy ra
.
f (−1) + f (3) − f (0) − f (1)
−1
2 2
∈
Vì a, b ∈ ∗ nên 4ab = P − c − (I + c)
∗
. Ta cần xét xem với giá trị nào của P (trong
bốn phương án của đề bài) thì ta tìm được số
2
nguyên dương c thỏa mãn P − c − (I + c)2
cũng là số nguyên dương.
Thật vậy,
2
dx
1. Tính
1
(x + 1) x + x
x +1
và gán vào
biến nhớ Y .
2. Vào Mode 7, nhập
f (X ) = PĐáp án − X − (Y + X )2
2
=
=⇒ Chọn đáp án D
⇔ f (−1) + f (3)
−1
Bài 6. Cho hàm số f (x) xác định trên
2
thỏa mãn f (x) =
, f (0) = 1
2x − 1
và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3)
bằng
A. 4 + ln 15.
B. 2 + ln 15.
C. 3 + ln 15.
D. ln 15.
Hướng dẫn giải
2
2
Vì f (x) =
nên f (x) =
dx.
2x − 1
2x − 1
Bên cạnh đấy, theo định nghĩa tích phân xác
định, ta còn có
2
dx +
2x − 1
= f (0)+ f (1)+
0
2
dx.
2x − 1
1
Trong các phương án đều có ln 15 kết nối
2
dx theo mẹo “lật ngược”, do đó
với
2x − 1
ta không cần quan tâm đến. Lúc này đáp án
đúng chỉ phụ thuộc vào
f (0) + f (1) = 1 + 2 = 3.
=⇒ Chọn đáp án C
Bài 7 (c50). Cho hàm số f (x) có đạo hàm
liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0,
1
f (x)
2
dx = 7 và
0
x 2 f (x) dx =
1
. Tích
3
0
1
f (x) dx bằng
phân
0
7
.
5
B. 1.
7
C. .
4
D. 4.
Hướng dẫn giải
Cái đã biết
A.
f (1) = 0,
(1)
1
−1
2
dx = f (−1) − f (0),
2x − 1
0
f (x)
2
dx = 7,
(2)
1
x 2 f (x) dx = .
3
(3)
0
1
3
2
dx = f (3) − f (1).
2x − 1
1
3
1
1
\
2
2
dx
2x − 1
1
0
3. Cho X chạy từ Start = 1 đến End = 20,
bước nhảy Step = 1.
4. Với phương án A , B , C ta không tìm
được f (X ) ∈ ∗ , với đáp án D , ta được
f (X ) = 1536 ∈ ∗ khi X = 2.
3
2
dx +
2x − 1
0
Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Toán 2018 — 4/4
7
⇒ f (x) = − x 4 + C
4
1
f (x) dx =?
Cái cần tìm I =
0
Đối với các bài tập dạng này, thông thường
giả thiết (1) được sử dụng vào giai đoạn cuối
cùng để xác định cụ thể hàm số. Vì vậy, tại thời
điểm ban đầu ta cần tìm cách vận dụng (2) và
(3). Cụ thể, ta thử khai triển (3) sao cho có
liên quan đến (2). Dễ thấy (3) là kết quả tính
tích phân có f (x), do đó để tạo ra f (x) nhằm
liên kết với (2), chỉ còn một hướng tiếp cận là
phương pháp tích phân từng phần.
u = f (x),
u = f (x),
⇒
ta
Xét (3), đặt
x3
v = x2
v= ,
3
có
x3
f (x) dx
3
1
x3
f (x) −
x 2 f (x) dx =
0
3
0
0
1
x3
f (x) dx
3
1 1
03
⇔ = f (1) − f (0) −
3 3
3
0
0
1
1
1
⇔ =−
3
3
x 3 f (x) dx
0
1
x 3 f (x) dx = −1
0
Để kết nối với (2), ta cần có số 7 ở vế phải
1
x 3 f (x) dx = (−1) × (−7)
⇔−7×
0
1
(−7x 3 ) × f (x) dx = 7 (∗).
⇔
7
0=− +C
4
7
⇔C = .
4
7
7
Vậy f (x) = − x 4 + . Từ đó
4
4
1
7
7
− x4 +
4
4
I=
7
dx = .
5
0
=⇒ Chọn đáp án A
1
1
⇔
Mà (1): f (1) = 0 nên
0
1
So sánh (∗) và (2):
f (x) × f (x) dx = 7 ta
0
được
f (x) = −7x 3
Tài liệu
[1]
Nhóm Thủ Thuật Casio Khối A (2018),
Hướng dẫn giải chi tiết Đề thi tham
khảo Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc
gia năm 2018, truy cập ngày 28-12018 tại Drive: file/d/12cnZ8EYxgF25zRUV1AJwRtib_EUBHVE/
