ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

CƠ HỌC KỸ THUẬT 2
(2 Tín chỉ)

Biên soạn
ThS. Đặng Văn Hiếu

Thái Nguyên, 2017


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

2


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

3


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

4


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Chương 1. Giới thiệu về động lực học
Nội dung chính:
1. Giới thiệu về động lực học.
2. Định nghĩa vị trí, vận tốc, gia tốc của chất điểm.
3. Các khái niệm và định luật cơ bản của động lực học.

Các bài tập giải mẫu:
Bài tập mẫu 1.1: Chuyển đổi 1.5km/h sang mm/s.
Lời giải:

Bài tập mẫu 1.2: Gia tốc a của một chất điểm liên quan đến vận tốc v, vị trí của nó x và
thời gian t bởi phương trình:
=
+
(a)
Với A và B là các hằng số. Thứ nguyên của gia tốc là chiều dài chia đơn vị thời gian bình
phương, nghĩa là [a]=[L/T2]. Thứ nguyên của các biến khác là [v]=[L/T], [x]=[L], và
[t]=[T]. Hãy suy ra thứ nguyên của A và B nếu phương trình trên đồng nhất về thứ
nguyên. Biểu diễn đơn vị của A và B trong hệ SI.
Lời giải:
Với phương trình (a), để đồng nhất thứ nguyên, thứ nguyên của mỗi số hạng bên vế phải
của phương trình phải là [L/T2], giống với thứ nguyên của a. Do đó, thứ nguyên của số
hạng thứ nhất bên vế phải của phương trình (a) trở thành

Giải phương trình (b), chúng ta được thứ nguyên của A

5


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2


Trong hệ SI, đơn vị của A là m-2s-3.
Thực hiện phân tích thứ nhguyen tương tự đối với số hạng thứ hai bên vế phải của
phương trình (a), chúng ta được

Giải phương trình (c), chúng ta được thứ nguyên của B

Trong hệ SI, đơn vị của B là s-3.
Bài tập mẫu 1.3: Tính lực hấp dẫn gây ra bởi trái đất lên một người đàn ông nặng 70kg
ở độ cao trên bề mặt của trái đất bằng bán kính của trái đất. Khối lượng và bán kính của
trái đất là
= 5.9742 × 10 kg và
= 6378 .
Lời giải:
Xét vật thể khối lượng m đặt tại một khoảng cách 2Re từ tâm của trái đất khối lượng Me.
Định luật vạn vật hấp dẫn, từ phương trình (1.17), chỉ ra rằng vật thể bị hấp dẫn bởi trái
đất với một lực F được tính bởi

với = 6.67 × 10 /( ∙ ) là hằng số hấp dẫn. Thay giá trị của G và các thông
số đã cho, lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên người đàn ông nặng 70kg là

Các bài tập tự giải:
B1.1. Một người nặng 30 N trên mặt trăng, với g = 1.6 m/s2. Xác định (a) khối lượng của
người; và (b) trọng lượng của người trên trái đất.

6


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2


B1.2. Bán kính và chiều dài của một khối trụ sắt là 60 mm và 120 mm, tương ứng. Nếu
mật độ khối lượng của sắt là 7850 kg/m3, xác định trọng lượng của khối trụ.
B1.3. Đổi các đại lượng sau: (a) 100 kN/m2 sang lb/in.2; (b) 30 m/s sang km/h; (c) 800
slugs sang Mg; (d) 20 lb/ft2 sang N/m2. Sử dụng bảng chuyển đổi được đưa ra ở trang
đầu.
B1.4. Cân bằng định luật 2 của Newton và định luật hấp dẫn và sau đó rút ra đơn vị của
hằng số hấp dẫn.
B1.5. Khi một vật rắn có khối lượng m chuyển động phẳng, động năng của nó (KE) là

với v là vận tốc của khối tâm, k là hằng số, và ω là vận tốc góc của vật tính bằng rad/s.
Biểu diễn đơn vị của KE và k theo các đơn vị cơ bản của hệ đo lường SI.
B1.6. Trong một ứng dụng cụ thể, gia tốc a và tọa độ vị trí x của chất điểm liên hệ với
nhau

với g là gia tốc trọng trường, k là hằng số, và W là trọng lượng của chất điểm. Chỉ ra rằng
phương trình đó phù hợp về thứ nguyên nếu thứ nguyên của k là [F/L].

7


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Chương 2: Động học chất điểm
Nội dung chính:
1. Động học chất điểm trong hệ tọa độ thẳng (Đề các):
Vị trí của chất điểm:
( )= . + . + .
Vận tốc của chất điểm:
v=


dr d( x.i  y. j  z.k )
di
dj
dk

 x.  x.i  y.  y. j  z.  z.k
dt
dt
dt
dt
dt

Gia tốc của chất điểm:

a

dv d( vx .i  v y .j  vz .k )

 vx i .  v y . j  vz .k
dt
dt

Các trường hợp đặc biệt: Chuyển động thẳng, chuyển động phẳng.
2. Động học chất điểm trong hệ tọa độ quĩ đạo (hệ tọa độ tiếp tuyến và pháp tuyến):
Vị trí của chất điểm:
s(t): Tọa độ quĩ đạo.

8



Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Vận tốc của chất điểm:

vn  0; vt  v  s : Vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo.

Gia tốc của chất điểm:

an: gia tốc pháp tuyến; at: gia tốc tiếp tuyến.
Quan hệ vận tốc, gia tốc và tọa độ quĩ đạo:

Chuyển động đặc biệt: Chuyển động tròn:

3. Động học chất điểm trong tọa độ cực:

9


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Vị trí của chất điểm: R=R(t), θ=θ(t).
Vận tốc của chất điểm:

Gia tốc của chất điểm:

Các bài tập giải mẫu:
Bài tập mẫu 2.1
Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương trình

x  3t 2  12t36( m ) , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s,

(1) Vẽ biểu đồ vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi được; và (3)
xác định dịch chuyển của chất điểm.
10


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Giải
Phần 1
Do chuyển động là thẳng, véc tơ vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:

Các hàm này được biểu diễn trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới
t=3s. Chú ý đồ thị của x là paraboll, nên có đạo hàm là hàm bậc nhất đối với vận tốc và
hằng số đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất có thể được xác định bằng
cách cho dx/dt=0, hoặc ứng dụng phương trình v=-6t+12=0, ta có kết quả t=2s thay
t=2s vào phương trình (a) ta tìm được

xmax  6 m
Phần 2

11


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Biểu đồ (d) chỉ ra chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới
t=3s khi t=0, chất điểm dời điểm A (x=-6m) chuyển động sang phải . Sau đó nó chuyển
động sang trái, tới C (x=3m) khi t=3s. Do đó quãng đường đi được bằng khoảng cách
mà điểm dịch chuyển sang phải ( AB ) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta
có


d  AB  BC  12  3  15m
Phần 3
Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban đầu
tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này được minh họa như là ∆r trong biểu đồ (d) là

r = 9 i
Quan sát rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) là lớn hơn so với giá trị của
véctơ dịch chuyển (9m) do hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã cho.
Bài tập mẫu 2.2
Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong sơ đồ (a)
trượt dọc theo rãnh cố định dạng parabol có phương trình
2

là y  40x trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ
y của P thay đổi theo thời gian t (được đo bằng giây) với
2
phương trình y  4t  6t . Khi y=30mm, tính toán (1)

véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của điểm P.

Giải
12


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Phần 1
Thay thế
vào phương trình quỹ đạo và giải với x ta có:


Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là:

Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm ra t=2.090s. Thay giá trị này vào
trong các phương trình (c) và (d) ta có:

Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là

Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây cũng như trong hình (b)

Bằng việc đánh giá độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận
tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo.

13


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Phần 2
Từ các phương trìn (c) và (d) chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc bằng
phép tính vi phân:

Thay t=2.090s , ta có:

Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:

Biểu diễn véctơ a là:

14



Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b) chúng ta thấy phương của véctơ a không tiếp
tuyến với quỹ đạo.
Bài tập mẫu 2.3
Góc hợp bởi hai thanh cho trong hình (M3.1a) và trục x thay đổi theo

 (t )  0.3t 3  1.6t  3rad , trong đó t là thời gian tính bằng giây. Khi t=2s (1) định các độ
lớn của vận tốc và gia tốc của điểm A; và (2) Biểu diễn véctơ vận tốc và gia tốc của các
thanh trên hình.

Hình M3.1a

Hình M3.1b

Hình M3.1c

Lời giải
Phần 1
15


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Ta thấy thuận lợi khi sử dụng các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến bởi vì quỹ
đạo của A là một đường tròn (tâm O và bán kính R=2m).
Vận tốc góc và gia tốc góc của thanh là   0.9t 2  1.6t (rad / s ) và   1.8t (rad / s 2 ) . Tại
thời điểm t=2s chúng ta tìm ra được


Do  và  là dương, chiều của chúng là cùng chiều với chiều dương của  đó là ngược
chiều kim đồng hồ.
Từ công thức (3.10) giá trị của vận tốc của A là :

Các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của A là, sử dụng công thức (3.11):

Do đó giá trị của gia tốc của điểm A là

Phần 2
Khi thay t=2s vào trong biểu thức của  (t ) chúng ta tìm ra rằng góc xác định vị trí của
thanh ở thời điểm t=2s là

Véctơ vận tốc của điểm cuối của A được biểu diễn trong hình (Hình M3.1b). Giá trị của
véctơ v là 4.00m/s, như đã tính trong phần 1, và véctơ là tiếp tuyến với quỹ đạo tròn,
hướng của nó xét cùng với hướng của  .
16


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Hình (M3.1c) biểu diễn các hướng của các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của
véctơ gia tốc như được xác định trong phần 1.
Chú ý rằng véctơ an là vuông góc với quỹ đạo và luôn hướng vào tâm của quỹ đạo.
Hướng của véctơ at tiếp tuyến với quỹ đạo, phù hợp với chiều hướng của  . Véctơ gia
tốc của giá trị 10.76m/s2 cũng được thể hiện trong hình (M3.1c) trong đó góc giữa véctơ
a và véctơ at được tìm ra là :

Bài tập mẫu 2.4:
Một chiếc xe đua cho trong hình (M3.2a) đang chạy với vận tốc 90km/h khi vào một
đoạn đường cong dạng nửa đường tròn tại A. Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận

tốc 144km/h tại C. Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B.

Hình M3.2a

Hình M3.2b

Lời giải
Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách sử
dụng hệ tọa độ quĩ đạo.
Như thể hiện trong hình (M3.2b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ
đạo từ A tới C.
17


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Giá trị của gia tốc tiếp tuyến là hằng số từ A tới C, do tốc độ tăng đều. Do đó tích phân
của at ds  vdv ta có được :

v2
 at s  C
2

(a)

trong đó C là hằng số tích phân. Hai hằng số at và C có thể được xác định bằng việc sử
dụng hai điều kiện của chuyển động:

Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được:


Từ đó hằng số tích phân
C=312.5(m/s)2

(b)

Thay điều kiện 2 và giá trị của C vào trong công thức (a) ta có

Giải ra at:
at=1.55m/s2

(c)

Như trong hình (M3.2b) hướng của at là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc.
Khi thay giá trị của C và at vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách s
được tìm ra là

(d)
Từ phương trình (3.11) thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là
18


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (M3.2b).
Giá trị của gia tốc tại B là

Với hướng như hình (M3.2b)
Bài tập mẫu 2.5:
Một con trượt A trong hình (M3.5a) trượt dọc theo một tay quay OB. Góc định vị của tay
2

quay là    t 2 , và khoảng cách của con trượt từ O thay đổi theo công thức
3
R  18t 4  4( m) , trong đó thời gian được tính bằng giây. Xác định các véctơ vận tốc và

gia tốc của con trượt tại thời điểm t=0.5s

Hình M2.5a

Hình M2.5b

Lời giải
Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của tọa độ cực của con trượt A và hai đạo hàm đầu
tiên của nó ở thời điểm t=0.5s:

19


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Các thành phần của tọa độ cực của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức :

Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t=0.5s là :

Kết quả này được thể hiện trong hình (M2.5b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa
véctơ v và tay quay được tính toán như sau:

Các thành phần của gia tốc có được từ công thức :

véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t=0.5s là


20


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

véctơ này được thể hiện trong hình (M2.5c). Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán
từ công thức:

Hình M2.6c

Các bài tập tự giải:
B2.1. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời điểm t=0. Cao độ của
viên đạn được cho bởi:
= −0.13

+ 4.1

+ 0.12 ( )

Với t tính bằng giây. Xác định vận tốc lớn nhất của viên đạn và cao độ tương ứng.
B2.2. Khi một vật được ném thẳng lên bề mặt của một hành tinh, chuyển động tiếp theo
trong điều kiện không có sức cản của không khí có thể được mô tả bởi:
=−

1
2

+

Với g và là các hằng số. (a) Xác định biểu thức của vận tốc và gia tốc của vật. Sử dụng

kết quả đó để chỉ ra rằng là tốc độ ban đầu của vật và g là gia tốc trọng trường. (b) Xác
định độ cao lớn nhất mà vật đạt được và tổng thời gian bay của vật. (c) Tính kết quả của
phần (b) với
= 90 /ℎ và g=9.81m/s2 (bề mặt của trái đất).
21


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

B2.3. Vị trí của một chất điểm chuyển động trên trục x được mô tả bởi:
=

− 108

Với t là thời gian tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 đến t=10s, (a) Vẽ đồ thị
vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (b) Tìm dịch chuyển của chất điểm; và (c) Xác định
quãng đường đi được của chất điểm.
B2.4. Vị trí của chất điểm di chuyển trên trục x được cho bởi:
=

−3

− 45

Với t là thời gian tính bằng giây. Xác định vị trí, vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được
khi t=8 s.
B2.5. Vị trí của chiếc xe hơi di chuyển trên đường ray thẳng được cho bởi:
=

−


90



Với t là thời gian tính bằng giây. Xác định: (a) Quãng đường đi được của chiếc xe trước
khi nó dừng lại; và (b) Vận tốc lớn nhất mà chiếc xe đạt được.
B2.6. Một vật được thả ra từ trạng thái nghỉ tại A và rơi tự do. Do ảnh hưởng của sức cản
của không khí, vị trí của vật là hàm của thời gian :
=

( −

+

/

)

Với và là các hằng số. (a) Xác định biểu thức của tốc độ v của vật. Sử dụng kết quả
để giải thích tại sao
được gọi là vận tốc ban đầu. (b) Xác định biểu thức của gia tốc a
của vật là hàm của thời gian t và là hàm của vận tốc v.

22


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

B2.7. Một hạt di chuyển dọc một thanh thẳng dài 60-mm nằm trên trục x. Vị trí của hạt

được cho bởi:
=2

− 10

Với x được đo từ tâm của thanh, và t là thời gian tính bằng giây. Xác định: (a) Thời gian
khi hạt rời khỏi thanh; và (b) Quãng đường đi được của hạt từ t=0 đếm khi nó rời khỏi
thanh.
B2.18. Viên đạn được bắn ra từ O theo quĩ đạo parabol, được cho dưới dạng tham số
= 66 , = 86 − 4.91
với x và y được đo băng mét và t đo bằng giây. Xác định: (a) Véc tơ gia tốc trong khi
bay. (b) Véc tơ vận tốc tại O. (c) Chiều cao lớn nhất h. (d) Tầm xa L.

Hình B2.8
B2.9. Một chiếc ô tô di chuyển xuống một quả đồi có mặt cắt là một parabol. Giả sử rằng
thành phần nằm ngang của véc tơ vận tốc có độ lớn không đổi v0, xác định: (a) Biểu thức
của tốc độ của ô tô theo x; và (b) Độ lớn và hướng của gia tốc.

23


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

Hình B2.9
B2.10. Vị trí của một chất điểm trong chuyển động phẳng được xác định bởi:

với a>b, và ω là hằng số. (a) Chỉ ra rằng quĩ đạo của chất điểm là một ellip. (b) Chứng
minh rằng véc tơ gia tốc luôn hướng về tâm của ellip.
B2.11. Chiếc xe di chuyển trên đoạn AB của đường cong S với tốc độ không đổi, giảm
tốc trên đoạn BC, và tăng tốc trên đoạn CD. Chỉ ra hướng xấp xỉ của véc tơ gia tốc của xe

tại mỗi điểm đã chỉ ra.

Hình B2.11
B2.12. Chiếc xe chuyển động xung quanh một cung tròn bán kính 200m, trong khi tăng
tốc với tỉ lệ không đổi 0.8m/s2. Tại thời điểm xác định, độ lớn của véc tơ gia tốc là
1.5m/s2. Tốc độ của xe tại thời điểm đó bằng bao nhiêu km/h?
B2.13. Tên lửa bay xung quanh bề mặt trái đất. Xác định bán kính cong của quĩ đạo tại
thời điểm tức thời nếu tốc độ của tên lửa là 200m/s. Chú ý rằng gia tốc của tên lửa có hai
thành phần – gia tốc do lực đẩy của động cơ và gia tốc do trọng trường.

Hình B2.13

24


Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2

B2.14. Chiếc xe chuyển động với tốc độ không đổi qua chỗ trũng của con đường. Bán
kính cong của đường tại A, đáy của chỗ trũng là 500m. Tốc độ của xe bằng bao nhiêu
km/h để gia tốc của xe có độ lớn bằng 0.2g khi xe qua A?

Hình B2.14
B2.15. Quả bóng được bắn ra từ một cannon tại A với vận tốc ban đầu vA hướng nghiêng
góc θ so với phương ngang. Xác định biểu thức của bán kính cong tại B- điểm cao nhất
của quĩ đạo của quả bóng.

Hình B2.15
B2.16. Một chất điểm chuyển động xung quanh một đường tròn bán kính 4m, thay đổi
tốc độ với tỉ lệ không đổi. Tại một điểm A xác định, tốc độ là 3m/s. Sau đó di chuyển một
phần tư vòng tròn đến điểm B, tốc độ của nó tăng lên 6m/s. Xác định độ lớn của gia tốc

của chất điểm tại B.
B2.17. Thanh OB quay theo chiều kim đồng hồ quanh O với tốc độ góc không đổi 30
vòng/phút trong khi con trượt A trượt tới B với tốc độ không đổi 1m/s, tương đối so với
thanh. Khi con trượt A có vị trí R=0.2m, θ=0, tính (a) véc tơ vận tốc của A; và (b) véc tơ
gia tốc của A.

25