▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶✳✶✳ ❉↕♥❣ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❏♦r❞❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷✳ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ Cn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✷✳✶✳ ▼❛ tr➟♥ H ✲ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ▼❛ tr➟♥ H− ✉♥✐t❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳ ❚÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❯♥✐t❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳ ▼❛ tr➟♥ ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹
✶✾
✷✹
✷✻

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵

✶


ớ õ
r ự t t ừ tr ụ ữ tr
t t tr t trỹ t rt õ
ự ữ tr t tr rt q
trồ tữỡ ữỡ ợ ự t r ỡ
t ừ tr r t r ởt tr ỡ
t ỗ ợ õ tỹ q ự t
t tr r ổ r

ố ợ õ tr tỹ t t ữủ ởt số t q t
tr trỹ tr ố ự t ỳ t q õ
t rở ố ợ tr ự ổ
õ ợ ở ữỡ t
trú ổ r tr r ừ ởt số ợ tr ự
t ử t
ữỡ ởt số tự tr ỡ
tr r tự trữ ừ ởt ỗ tr ụ
tr t r
ữỡ r tự ờ ởt số t t ừ ởt
số tr tr t ữ tr H tỹ ủ tr t
r sốt q tr õ tốt tổ t
ỡ q t ữợ ữ r
ỵ õ õ ờ tổ õ t t ở õ ổ
ụ ỡ t ổ tr trữớ ồ ữ
ồ ũ t ú ù
tổ tr q tr tỹ õ tốt
ổ t ỡ



❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✷✵ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

❚r➛♥ ❚❤à ❍ç♥❣ ◆❤✉♥❣

✸


ữỡ

ởt số tự
ổ sỷ V K ổ tỡ ỳ f End(V )

t r

U ởt ổ tỡ ừ V U ữủ ồ

ổ tỡ t ố ợ f f t f (U ) U
f (U ) U tữỡ ữỡ U f () U ứ
t õ
U ổ tỡ t ố ợ f t f s
ởt tỹ ỗ f|U : U U ừ f U


ồ ởt ỡ s {
1 ,
2 , ..., m } ừ U rỗ ờ s ữủ ỡ s
{1 , ..., m , m+1 , .., n } ừ V f (i ), i = 1, .., m t q
{1 , 2 , ..., m } tr ỡ s {1 , ..., m , m+1 , .., n } ừ V f õ
tr õ
A B
O C

A tr ừ f|U ố ợ ỡ s {1, 2, ..., m} O tr
ổ ỡ ỳ f (U ) U f ỏ s ởt tỹ

ỗ fU : V /U V /U fU ([])
= [f ()] õ C
tr ừ fU ố ợ ỡ s [m+1], ..., [n]
tỗ t ởt ổ t W ừ V tọ

V = U W t ồ {m+1 , .., n } ỡ s ừ W t tr ừ



f

tr ỡ s {1, ..., m, m+1, .., n} õ
A O
O C

A tr ừ f|U ố ợ ỡ s {1, 2, ..., m} C tr
ừ f|W ố ợ {m+1, .., n} O tr ổ
ự trú ừ f t t ữ ự trú
ừ f|U f|W
sỷ f : V V ởt tỹ ỗ tr K tỡ




= 0 f (
) =
ợ ởt õ ừ trữớ K ồ tỡ r
ừ f ự ợ tr r ừ f
tự trữ ừ tỹ ỗ f ỵ Pf (x)
tự Pf (X) = det(f xIdV )
Pf (x) ởt tự n õ số t (1)n
sỷ tr ỡ s = {i} ừ V f õ tr A t Pf () =
det(f IdV ) = det(A In ) = PA (lambda|) tự PA () ụ ồ
tự trữ ừ tr A t tự p(x) = amxm + ... + a1x + a0
tr trữớ K

tr ổ A n tr K ồ ởt
ừ tự p(x)
p(A) = am Am + ... + a1 A + a0 In = O

O tr ổ
ởt tỹ ỗ f End(V ) ồ ởt ừ tự P (X)
p(f ) = am f m + ... + a1 f + a0 IdV = 0

0 tỹ ỗ ổ
ợ K t Ker(f IdV ) õ 0 t õ ổ
tỡ ừ V ỗ tỡ 0 tt tỡ r ừ f ự ợ
tr r ổ ồ ổ r ự ợ tr r
ữủ P
P = Ker(f IdV ).



sỷ f ởt tỹ ỗ ừ K ổ tỡ


V ỳ ợ ộ K t t {
V | õ số ữỡ

(f IdV )m (
) = 0} ởt ổ tỡ ừ V õ 0
t ồ õ ổ r s rở ừ f ự ợ tr r
R

R ổ r s rở ừ f ự ợ
tr r t õ ỳ s


R ổ t ố ợ f
ỹ ỗ f |R : R R õ tr r
ố số ừ ở ừ ừ tự trữ
Pf (x)





k Rk \ { 0 } k = 1, 2, ..., m 1 , 2 , ..., m ổ ởt



t t tỡ {
1,
2 , ...,
m } ở t t

ỹ ỗ f ồ ụ õ số

ữỡ q s f q = 0 f q = ff ... f q õ q
số ọ t tọ f q = 0 t q ữủ ồ ụ ừ f




ởt ỡ s {
1 , ...,
n } ừ V f (

i) =
i+1 (i = 1, ..., n 1)




f ( n ) = 0 ữủ ồ ỡ s ố ợ f


ởt ỡ s {
1 , ...,
m } ừ ổ tỡ U ừ V ữủ ồ

ố ợ f f (i) = i+1(i = 1, ..., m 1) f (m) =
0
ổ tỡ U ừ V ồ ổ ố ợ f
õ õ ởt ỡ s ố ợ f
ứ t t r U ổ ố ợ f
t U f t ỡ ỳ ự ữủ r
ồ tr r ừ ởt tỹ ỗ ụ ổ




−
−
✷✳ ◆➳✉ {→
ε 1 , ..., →
ε n } ❧➔ ❝ì sð ①②❝❧✐❝ ❝õ❛ f
tr♦♥❣ ❝ì sð ♥➔② ❝â ❞↕♥❣



0
1


0

...

...
0

0
0
1
...
...
0

...
...
...
...
...
...

0
0
...

...
0
1

:V →V

t❤➻ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ f


0
0

...


...

0
0

✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♠ët tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❧ô② ❧✐♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✳ f ❧➔ tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❧ô② ❧✐♥❤ ❝õ❛ K✲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❤ú✉ ❤↕♥

❝❤✐➲✉ V t❤➻ V ❧➔ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❝♦♥ ①②❝❧✐❝ ✤è✐
✈î✐ f ✳

❚r÷î❝ ❦❤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ t❛ ❝➛♥ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ s❛✉✳ ✣➦t Vi =
Kerf i ✱ i ≥ 0 ✭f 0 = IdV ✮✳ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ Vi ⊆ Vi+1 ✈➔

f (Vi+1 ) ⊆ Vi ✳ ❍ì♥ ♥ú❛

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ◆➳✉ q ❧➔ ❜➟❝ ❧ô② ❧✐♥❤ ❝õ❛ f t❤➻ Vi

Vi+1 ✈î✐ ♠å✐ i < q ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ i s❛♦ ❝❤♦ Vi = Vi+1 t❤➻ Vi =
→
−
−
−
Vi+1 = ... = Vq = V ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐ ♠å✐ →
α ∈ Vi+2 t❤➻ f i+2 (→
α) = 0 ✱
→
−
→
−
−
−
−
s✉② r❛ f i+1(f (→
α )) = 0 =⇒ f (→
α ) ∈ Vi+1 = Vi ✱ s✉② r❛ f i (→
α ) = 0 tù❝
→
−
α ∈ Vi+1 ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✮ ❈❤å♥
(q)

(q)
−
−
Vq = V s❛♦ ❝❤♦ ❤➺ {[→
α 1 ], ..., [→
α rq ]} ❧➔
(q)
−
f (→
α j )✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉

(q)
(q)
−
−
❝→❝ ✈❡❝tì {→
α 1 , ..., →
α r } tr♦♥❣
(q−1)
−
❝ì sð ❝õ❛ V /Vq−1✳ ✣➦t →
αj
=
q

(q)
(q)
−
−
✶✳ ❍➺ {→

α 1 , ..., →
α r } ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ V ✳
(q−1)
(q−1)
−
−
✷✳ ❍➺ {[→
α 1 ], ..., [→
α r ]} ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ Vq−1 /Vq−2 ✳
❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✶ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✷✳ ❳➨t ✤➥♥❣
t❤ù❝✿
q

q

→
−
(q−1)
−
−
k1 [→
α 1 ] + ... + krq [→
α (q−1)
]=[0]
rq
✼


(q1)
(q1)



tự k1f (
1 ) + ... + krq f (
rq ) Vq2 Vq1 r

rq
j=1

(q)

kj [
j ] =

tr Vq /Vq1 r kj = 0 ợ ồ j = 1, ..., rq
(q1)
(q1)


ứ tr t õ rq rq1 ờ s
r +1 , ...,
r
t
(q1)
(q1) (q1)
(q1)
(q1)
(q1) (q1)






{
1 , ...,
r ,
r +1 , ...,
r } s {[
1 ], ..., [
r ], [
r +1 ], ...
ỡ s ừ Vq1/Vq2
tử q tr ữ tr t t ữủ tỡ


[0]

q

q

q1

q1

q

q

(q)




1 , ...,
(q)
rq
(q1)
(q1)






, ...,
(q1) ,

, ...,
(q1)
1

rq

rq +1

rq1

...
(1)



(1)



(1)

(1)

(1)
(1)
1 , ...,
rq , rq +1 , ..., rq1 , ...., r2 , ..., r1

s ợ tữỡ ữỡ ừ tỡ ỏ tự i tứ ữợ


ỡ s ừ Vi/Vi1 ỡ ỳ f (
ji ) =
j1
i t ỗ tt
tỡ tr ở t t ởt ỡ s ừ V
t Ui ổ ừ V s tỡ ởt tự i t
Ui ổ ố ợ f V = U1 .... Ur
ứ ự ừ ỵ t t
f End(V ) f ụ t õ t V t
tờ trỹ t ừ ổ tỡ ố ợ f
ợ ộ số s 1 t số ổ tỡ s ố ợ
f ử t
1


f s1 2f s + f s+1.
f tỹ ỗ ụ ừ f t V t ữủ t tờ
trỹ t ừ ổ ố ợ f tr ộ ổ
tỡ õ ồ ỡ s t tr ừ f s õ



q


s ồ tr t ừ tỹ ỗ ụ

A1

A2
O


.



.


O
.







,






Ak

tr õ ộ Ai tr ữớ õ


0
1


0

...

...
0

0
0
1

...
...
0

...
...
...
...
...
...

0
0
...
...
0
1


0
0

...

.
...

0
0


sỷ ởt tr r ừ f õ (f IdV )|R ởt tỹ
ỗ ụ õ tỗ t ởt ỡ s ừ R s tr ừ
(f IdV )|R ố ợ ỡ s õ õ ữ f = (f IdV )+IdV
t õ tr ỡ s tr t f |R õ tr







A,1

A,2
O


.



.


O
.







,






A,k

tr õ ộ A,i tr ữớ õ



1


0

...

...
0

0

1
...
...

0

...
...
...
...
...
...

0
0
...
...

1


0
0

...

.
...

0


ố s (f IdV )s1 2(f IdV )s + (f
IdV )s+1 ỵ q trồ s t t trú ừ ởt tỹ ỗ




tr ổ ỳ ỵ s r trỹ t tứ
t t tr

ỵ f ởt tỹ ỗ ừ ổ tỡ ỳ

V tr trữớ K tự trữ Pf (X) t ữủ t
tỷ t t
Pf (x) = (1)n (x 1 )s1 .(x 2 )s2 ...(x m )sm
i tứ ổ ởt t V tờ trỹ t ừ ổ
r s rở ừ f

V = R1 R2 ... Rm
õ V õ ỡ s tr ừ f tr ỡ s õ t ỳ
r


A1


A2
O




.





,


.




O
.
Ak
tr õ ộ Ai tr ổ si õ ữ ồ
ữớ ố r s ợ tỷ tr r
k (f k IdV )s1 2(f k IdV )s + (f k IdV )s+1
tr õ t f s s
r ồ ữớ ồ tr t r ừ
f

s t q tr t ữủ

q A ởt tr ổ n trữớ K tự
trữ PA (x) t ữủ t tỷ t t

Pf (x) = (1)n (x 1 )s1 .(x 2 )s2 ...(x m )sm
i tứ ổ ởt t tỗ t ởt tr ổ n
C s C 1 AC õ ữ


õ t t ồ tr tr C t ữủ ữ



✶✳✷✳ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ Cn
−
❚❛ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ✈❡❝tì →
x = (x1 , ..., xn ) ✈î✐ ♠❛ tr➟♥ ❝ët




x1
✳
x =  ✳ .
xn

tr♦♥❣ ✤â x(i) ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝✱ j = 1...n✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ Cn ❧➔ ❞↕♥❣ ❍❡❝♠✐t , ①→❝ ✤à♥❤
❞÷ì♥❣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿
✶✳ kx1 +lx2, y = k x1, y +l x2, y ✈î✐ ♠å✐ x1, x2, y ∈ Cn ✈➔ ♠å✐ k, l ∈ C✱
✷✳ x, y = y, x ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ Cn✱
✸✳ x, x > 0 ✈î✐ x = 0✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝ tr♦♥❣ Cn ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿
n

xj y j = xt y

(x, y) =
j=1


tr♦♥❣ ✤â yj ❧➔ sè ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ yj ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ❬✳✱✳❪ tø Cn × Cn ✈➔♦ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ
❤÷î♥❣ ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ Cn ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥✿
✶✳ ❚✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù ♥❤➜t✱ tù❝ ❧➔✿ [αx1 + βx2, y] = α[x1, y] +
β[x2 , y] ✈î✐ ♠å✐ x1 , x2 , y ∈ Cn ✈➔ ♠å✐ sè ♣❤ù❝ α, β
✷✳ P❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ tù❝ ❧➔✿ [x, y] = [y, x] ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ Cn
✸✳ ❑❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✿ ♥➳✉ [x, y] = 0 ✈î✐ ♠å✐ y ∈ Cn t❤➻ x = 0

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ [., .] ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ tç♥
t↕✐ ♠❛ tr➟♥ ❍❡❝♠✐t H ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ t❤ä❛ ♠➣♥ [x, y] = (Hx, y). H ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ [., .]✳

✶✶


❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ ❚r➯♥ Cn
✣➦t H t = (hij ) = ([εi, εj ])✳ ❚❛ ❝â

❧➜② ❝ì sð ❝❤➼♥❤ t➢❝ ε = {ε1, . . . , εn}✳

n

x=

x i εi
i=0
n

y=


yj εj .
j=0

❚ø ✤â
n

xi yj [εi , εj ]

[x, y] =
i,j=0
n

=

(hij )xi yj
i,j=0
t t

=x H y = (Hx, y).

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤÷ñ❝ ❦✐➸♠ tr❛ trü❝ t✐➳♣ ❜➡♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
❈❤♦ ❬✳✱✳❪ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ Cn ✈➔ H ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❍❡❝♠✐t
❧✐➯♥ ❦➳t t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❚ø ✤â✱ t❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿ [x, y] = (Hx, y) ✈î✐ x, y ∈ Cn✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ ✣➦t [x, y] = ni=1 xiyn+1−i✳ ❘ã r➔♥❣ ❬①✱②❪ ❧➔ ♠ët t➼❝❤ ✈æ
❤÷î♥❣ ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ❍❡❝♠✐t t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔✿

0
0


✳
✳

0
1

0 ...
0 ...
✳✳ . . .
1 ...
0 ...


0 1
1 0
✳✳ ✳✳  .

0 0
0 0

✭✶✳✷✳✹✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ❈❤♦ ❬✳✱✳❪ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ Cn ✈➔ M ❧➔ t➟♣ ❝♦♥
tò② þ tr♦♥❣ Cn✳ ❚❤➔♥❤ ♣❤➛♥ trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ M tr♦♥❣ Cn ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ M [⊥]
✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿
M[⊥] = {x ∈ Cn | [x, y] = 0, ∀y ∈ M}.

❈➛♥ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈î✐ ❦➼ ❤✐➺✉ M⊥ ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤➾ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ M
✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤ (., .)
M⊥ = {x ∈ Cn | (x, y) = 0, ∀y ∈ M}.

✶✷


❉➵ t❤➜②✱ M[⊥] ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ Cn✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ❈❤♦ [x, y] = (Hx, y)✱ tr♦♥❣ ✤â x, y ∈ Cn ✈➔ H ❧➔ ♠❛ tr➟♥

−
❝➜♣ n ❝❤♦ ❜ð✐ ✭✶✳✷✳✹✮✳ ◆➳✉ M ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ✈❡❝tì ✤ì♥ ✈à →
e1 t❤➻ M[⊥] ✤÷ñ❝
s✐♥❤ ❜ð✐ {e1 , e2 , ..., en−1 } ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M tr♦♥❣ Cn ✳

❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ s➩ ①➨t ✤➳♥ tæ♣æ tr➯♥ t➟♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥✳
❚❛ ①❡♠ t➟♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n M at(n, C) ♥❤÷ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✈❡❝tì tr➯♥ C ✈î✐ sè ❝❤✐➲✉ n2✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣
tr➯♥ M at(n, C) ♥❤÷ s❛✉✿
t

< A, B >= tr(AB )

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳ ❈❤♦ A ∈ M at(n, C)✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||A||

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ ||A|| = tr(A, At)✳
✣➙② ❧➔ ❝❤✉➞♥ s✐♥❤ ❜ð✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥
♥❣❤➽❛ ♠ët ♠❡tr✐❝ ρ tr➯♥ M at(n, C) ♥❤÷ s❛✉✿

M at(n, C)

❈❤ó♥❣ t❛ ✤à♥❤


ρ(A, B) = ||A − B||

❚æ♣æ s✐♥❤ ❜ð✐ ♠❡tr✐❝ ρ ❧➔ tæ♣æ tü ♥❤✐➯♥✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣ ♥➳✉
✈î✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ x, y ❜➜t ❦ý ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ f : [0, 1] → X s❛♦
❝❤♦ f (0) = x ✈➔ f (1) = y✳

✶✸


ữỡ
ởt số tr t
r ữỡ t s ỗ t ởt tr ổ n ự A ợ
tỹ ỗ tr A : Cn Cn ụ A = At

tr H tỹ ủ
t ổ ữợ ổ tr Cn t ồ tt t ổ
ữợ H tr t t tữỡ ự

ỵ ợ ộ tr ổ A tỗ t t tr

A[] s [Ax, y] = x, A[] y
ự

t
A[] =H 1 A H.



ứ õ t õ

x, A[] y =(Hx, A[] y)
[]

= xt H t A y
= xt H t H 1 A Hy.

H tr t tự H = H t t õ
x, A[] y = xt At H t y = (HAx)t y = (HAx, y) = [Ax, y] .

H tr t ổ s tr A[] t ữủ
t



❚ø ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ♠❛ tr➟♥ H−
tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ n
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ H − ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ A[∗]✱ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥✿
[Ax, y] = [x, A[∗] y]

✭✷✳✶✳✷✮

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ Cn✳
◆❣❤➽❛ ❧➔ ♥➳✉ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✭✷✳✶✳✷✮ t❤❡♦ ♥❣æ♥ ♥❣ú H t❤➻ t❛ ✤÷ñ❝
(HAx, y) = (Hx, A[∗] y)

❚ø ❝→❝❤ ✤➦t ✭✷✳✶✳✶✮✱ t❛ t❤➜②✿ (A[∗])[∗] = A✳
❑❤✐ H ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤
✈æ ❤÷î♥❣ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳


▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ A : Cn → Cn ✈➔ A[∗] ❧➔ H ✲ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♥â✳ ❑❤✐ ✤â✿
■♠ A[∗] = (❑❡r A)[⊥] ; ❑❡r A[∗] = (■♠ A)[⊥] .
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
z ∈ ❑❡r A✿

✭✷✳✶✳✸✮

▲➜② x ∈ ■♠ A[∗] tù❝ ❧➔ x = A[∗]y ✈î✐ y ∈ Cn✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐
[x, z] = [A[∗] y, z] = [y, Az] = 0,

✈➔ ✤✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❤➜②✿
■♠ A[∗] ⊆ (❑❡r A)[⊥].

✭✷✳✶✳✹✮

▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❝â✿ dim M + dim M [⊥] = n✳ ◆➯♥ tø ✭✷✳✶✳✶✮ s✉② r❛✿
dim(■♠ A[∗] ) = dim(■♠ A∗ ) = n − dim(❑❡r A) = dim(❑❡r A)[⊥] .

❱➟②■♠ A[∗] = (❑❡r A)[⊥]✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✷✳ ▼ët t➟♣ ❝♦♥ M ⊆ Cn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ✤è✐ ✈î✐ ♠❛
tr➟♥ A ✭❝♦✐ ❆ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ tø Cn ✈➔♦ Cn✮✱ ❤❛② A−
❜➜t ❜✐➳♥✱ ♥➳✉ x ∈ M ❦➨♦ t❤❡♦ Ax ∈ M✳
✶✺


A : Cn Cn t ổ ữợ tr Cn

õ ổ M A t ũ trỹ
M [] A[] t


ự

M A t x M y M[] õ
[A[] y, x] = [y, Ax] = 0,

tứ õ Ax tở M A[]y M[] M[] A[] t
ự ữủ t ử ự tr A[]
(A[] )[] = A ũ ợ t t (M[] )[] = M
A tr ổ n õ A ữủ ồ
ởt tr H tỹ ủ tỹ ủ ợ A = A[]

H1 H2 t ổ ữợ tr C n

H2 = SH1 S ợ S tr n õ A1 H1 tỹ
ủ tr A2 := (S )1 A1 S H2 tỹ ủ

ự ừ ự
tữỡ tỹ
sỷ r A1 H1 tỹ ủ tứ t õ H1A1 = A1H1
õ
ự

H2 A2 = (SH1 S )((S )1 A1 S )
= SH1 A1 S = SA1 H1 S
= (SA1 S 1 )(SH1 S ) = A2 H2 .

s r A2 H2 tỹ ủ
ởt t ổ ữợ tr C n t ởt tr
A ữủ ồ H tỹ ủ A = A[] õ
A = H 1 A H.




õ t tr H tỹ ủ A ụ ỗ ợ A



ú ỵ r t tt tr H tỹ ủ ổ
t t tỹ A B H tỹ ủ t A + B
H tỹ ủ ợ , số tỹ t
r trữớ ủ H 2 = I t t A H tỹ ủ
A H tỹ ủ ứ õ t õ ú ỵ H 2 = I
H t t A H tỹ ủ ỗ tớ
1
i(TA) = (A A ).
2

1
RA = (A + A ),
2



H tỹ ủ
ử ỡ H tỹ ủ
ử [x, y] = ( Snx, y) x, y C n tr õ Sn tr
ữủ tr ử tr r




0


J =

0
0

1 0 ...
1 ...
. . .
0 0
0 0 ...


0
0


1


r n ợ tr r tỹ tr ữủ
( Sn )J = J T ( Sn ) tứ õ J T = J õ õ J Sn tỹ
ủ
ử [x, y] = (Qx, y) x, y C 2n tr õ
Q=


K=


0 Sn
.
Sn 0
J 0
,
0 J

tr õ J r ợ tr r ổ tỹ J
r ợ tr r t QK = K Q K Q tỹ
ủ
ú t s ởt số t t ỡ ừ tr
H tỹ ủ



A tr H tỹ ủ õ t ờ (A)

ỗ tt tr r ừ A ố ự q trử tỹ tự 0 (A)
t 0 (A) ỡ ỳ ố ợ t r ừ
r ợ tr r 0 ừ r ợ tr
r 0
ự

ử t õ
I A = H 1 (I A) H.

I A s I A s tự 0 (A)
t 0 (A) r J r ừ A ợ tr T
s A = T 1JT

ú ỵ r J ỗ ợ J t ổ õ J = K 1JK ợ K
tr ứ õ s r
I A = T 1 (I J)T = H 1 {T 1 (I J)T } H.


I J = (T H 1 T )(I J )((T )1 HT 1 ) = S(I J)S 1 ,

tr õ S = T H 1T K 1 õ J J ỗ J õ t t ữủ
tứ J ởt r ừ õ
ữ ỵ r tr r ổ tỹ ừ H tỹ ủ t
tr tr ủ

ỵ A ởt tr H tỹ ủ , à (A) ợ

= à õ

R (A) (Rà (A))[] ,
tự ổ r s rở R (A) Rà (A) trỹ ố ợ
[., .] = (H., .)
ự x R (A) y Rà (A) s (A I)s x = 0
(A àI)t y = 0 ợ số ữỡ s, t ú t ự r

[x, y] = 0








tử ự ợ s + t ố ợ s = t = 1 t õ
õ

= x Ay = ày


ợ = à t t ữủ sỷ r ữủ ự
ợ ồ x R(A) y Rà(A) s (A I)s x = (A I)t y = 0
ợ s, t tọ s + t < s + t x, y ữ tr t x = (A I)x
y = (A àI)y õt tt q [x , y] = [x, y ] = 0 s r
[x, y] = [Ax, y] à[x, y] = [x.Ay] ử t õ ự

[x, y] =[Ax, y] = [x, Ay] = [x, ày] = à[x, y]

tr H t

A ởt tr ổ n õ A ữủ

ồ H t A A1 = A[] õ A
H t [Ax, y] = [x, A1 y] ợ ồ x, y Cn
A = H 1 (A )1 H; A HA
=H

t A ỗ ợ (A)1 ữủ ụ ú A
ỗ ợ (A)1 t t õ t ồ ởt tr t
ú ỵ r ợ ộ H ố t tt H t t õ
tự A, B H t t A1, B 1 AB ụ H t
ử [x, y] = ( Snx, y) x, y C n tr õ
sỷ r C || = 1



2i 2i2 . . . 2in2 2in1
0 2i . . . 2in3 2in2







A =
.

...




0 0
0 ...

2i
0 0
0 ...
0


t r A( Sn)A = Sn A Sn t
ử [x, y] = (Qx, y) ợ ồ x, y C n tr õ
Q=


0 Sn
.
Sn 0



❱î✐ λ ∈ C ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤♦ |λ| = 1 ✤➦t✿
A=

tr♦♥❣ ✤â✿



λ

0
✳
K1 = 
✳
✳
✳
0

λ−1

 0
 ✳
K2 = 
 ✳

 ✳
 ✳
0

K1 0
,
0 K2


k1 k2 . . . kn−1
✳ 
λ k1 . . . ✳ 
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳  ,

λ k1 
...
0
λ

k1 k2 . . . kn−1
✳✳ 
λ−1 k1 . . .
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳  .

λ−1 k1 
...
0 λ−1

✈➔ kr


= λq1r−1 (q1 − q2 )✱ kr = λ−1 q2r−1 (q2 − q1 ) ✈î✐ r = 1, 2, . . . , n − 1 ✈➔
q1 = 2i (1 + λ)✱ q2 = 2i (1 + λ−1 )✳
❚❛ t❤➜② ✤÷ñ❝ r➡♥❣✿ A∗QA = Q✱ ♥➯♥ A ❧➔ Q− ✉♥✐t❛✳ ▲÷✉ þ r➡♥❣✿ K2 =
K1−1 ✳
❚ê♥❣ q✉→t ❤ì♥✱ ♥➳✉ K1 ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ❚♦❡♣❧✐t③✱ tù❝ ❧➔
K1 ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❏♦r❞❛♥ ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✱ ✈➔ ♥➳✉
K2 = K1−1 ✱ t❤➻ ❦❤✐ ✤â
K1 0
0 K2

❧➔

0 Sn
− unita.
Sn 0

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ H1✱ H2 ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ C n ✈➔

H2 = SH1 S ∗ ✈î✐ S ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ❝➜♣ n✳ ❑❤✐ ✤â A1 ❧➔ H1 − ✉♥✐t❛
♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♠❛ tr➟♥ A2 := (S ∗ )−1 A1 S ∗ ❧➔ H2 ✲ ✉♥✐t❛✳
[∗]
−1
◆➳✉ A1 ❧➔ H1− ✉♥✐t❛ t❤➻ A−1
1 = A1 ✳ ▼➦t ❦❤→❝ tø ✭✷✳✶✳✶✮ t❛ ❝â✿ H1 A1 =

✷✵


A∗1 H1 ✳


❉♦ ✤â✿
∗
∗ −1 −1 ∗
H2 A−1
2 = (SH1 S )((S ) A1 S )
∗
∗
∗
= SH1 A−1
1 S = SA1 H1 S

= (SA∗1 S − 1)(SH1 S ∗ ) = A∗2 H2 .

❱➟② A2 ❧➔ H2− ✉♥✐t❛✳
▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ s➩ ❝❤♦ t❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ H− ✉♥✐t❛✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ H− ✉♥✐t❛✳ ❑❤✐ ✤â✱ σ(A) ✤è✐ ①ù♥❣

q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ì♥ ✈à✱ tù❝ ❧➔✿ λ0 ∈ σ(A) ❦➨♦ t❤❡♦ λ−1
0 ∈ σ(A)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱
tr♦♥❣ ❞↕♥❣ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❏♦r❞❛♥ ❝õ❛ A✱ ❝➜♣ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❏♦r❞❛♥ ✈î✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣
λ0 ✈➔ ❝➜♣ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❏♦r❞❛♥ ✈î✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λ−1
0 ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

◆❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣✿ ♥➳✉ |α| = 1 ✈➔ w = w t❤➻ →♥❤ ①↕ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿
f (z) =α(z − w)/(z − w)
✭✷✳✷✳✶✵✮
→♥❤ ①↕ tø ♥❤ú♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤ü❝ tr♦♥❣ z✲ ♣❤➥♥❣ ❧➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ì♥ ✈à
tr♦♥❣ ζ ✲ ♣❤➥♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â ζ = f (z)✳ ⑩♥❤ ①↕ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❧➔✿

z = (wζ − wα)/(ζ − α).
✭✷✳✷✳✶✶✮
◆➳✉ w ∈/ σ(A) t❤➻ ❤➔♠ f ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ σ(A) ✈➔ ♥➳✉ A ❧➔ H ✲ tü ❧✐➯♥
❤ñ♣ t❤➻ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ U = f (A) ❧➔ H− ✉♥✐t❛✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✸✳ ▲➜② A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ H ✲tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳ ▲➜② w ❧➔ ♠ët sè t❤✉➛♥

↔♦ ✈î✐ w ∈
/ σ(A) ✈➔ α ❧➔ sè ♣❤ù❝ ❝â ♠æ✤✉♥ ✤ì♥ ✈à✳ ❑❤✐ ✤â✱

U =α(A − wI)(A − wI)−1 .

✭✷✳✷✳✶✷✮

❧➔ H ✲ ✉♥✐t❛ ✈➔ α ∈
/ σ(U )✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ U ❧➔ H ✲ ✉♥✐t❛✱ |α| = 1 ✈➔ α ∈
/ σ(U )✱ t❤➻ ❦❤✐ ✤â ✈î✐ ❜➜t
❦➻ w = w t❤➻ ♠❛ tr➟♥✿

A =(wU − wαI)(U − αI)−1

✭✷✳✷✳✶✸✮

❧➔ H ✲ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈➔ w ∈
/ σ(A)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❤❛✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✳✶✷✮ ✈➔ ✭✷✳✷✳✶✸✮
❧➔ ♥❣÷ñ❝ ♥❤❛✉✳
✷✶



ự

A H tỹ ủ || = 1 t t ữủ

(A wI)H(A wI) = (A wI)H(A wI).

t tr ừ tữỡ ự ợ (A wI)1
(A wI)1 t r HU 1 = U H tr õ U ữủ
ữ tr tự U H t ỡ ỳ tứ t õ
(U I)(A wI) = (w w)I



õ t tt w số t s r U I

/ (U )
ứ s r
A = wI + (w w)(U I)1
= [w(U I) + (w w)I](U I)1
= (wU wI)(U I)1

ừ
sỷ r U H t A H tỹ ủ õ ổ
r s rở ừ U tữỡ ự ợ tr r 0 (U ) ụ ổ
r s rở ừ A tữỡ ự ợ tr r ừ õ
à0 = (w0 w)(0 )1




R0 (U ) = Rà0 (A).



õ
t q õ t s r trỹ t tứ t õ ụ
q ừ ờ tờ qt

ờ S, T tr n tọ S = f (T ) T = g(S)
ợ f, g t tr ừ (T ) (S) tữỡ ự
õ ợ ồ 0 (S) t õ

R0 (S) = Rg(0 ) (T ).





g tự õ t t g(0) = g(0) ợ 0 (S)
t g(S) = g(S) sỷ pj=0 j ( 0)j

ự

p

j (S 0 I)j 0 I = W (S 0 I),

T g(0 )I = g(S) g(0 )I =
j=0


tr õ W =

p
j=1 j (S

0 I)j1

tr ợ S õ

(T g(0 )I)s = W s (S 0 I)s ,

ợ s = 0, 1, . . . , t ổ s rở t õ
R (S) Rg( ) (T ) t t tữỡ ự S T T g(0 )
t õ tự
0

0

Rg(0 ) (T ) Rf (g(0 )) (f (T )) = R0 (S),

ữủ ự

q ổ r s rở R(U ) Rà(U ) ừ ởt
tr H t U H trỹ ợ = à1

ú t s t trữ tự ừ tr H t

ờ U AU

= A detA = 0 t õ ởt tr H ợ

H = H detH = 0 s U HU = H.
ự

sỷ H = zA + zA ợ z tọ |z| = 1 õ
U HU = U (zA + zA )U = zA + zA = H

H = H tr r detH = 0 t ú ỵ
H = zA + zA = zA(z 1 zI + A1 A )

t ồ z ợ |z| = 1 z1z = z2 / (A1A).

ỵ ởt tr U H t ợ H tọ H = H
detH = 0 U = A1 A ợ A tr ổ s




ự

U = A1A t
U AU = A(A )1 AA1 A = A

tứ ờ tr U H t
ữủ sỷ U H t A = i(I U )H tr õ || = 1

/ (U ) / = õ
AU =i(I U )HU = iH(U I)
=iH(U I) = iH(I U )
= iH(I U ) = A


U = A1A

ữỡ ữỡ t

sỷ A1 A2 ữủt H1 tỹ ủ H2

tỹ ủ n tr A1 A2 ữủ ồ tữỡ ữỡ t
A1 = T 1 A2 T tr õ T tr (H1 , H2 ) t tự
[T x, T y]H = [x, y]H ợ ồ x, y C n H1 = T H2T õ
A1 A2 tữỡ ữỡ t ú ỗ
tr ỗ t ố ợ t ổ ữợ t
ồ U t tt (A, H) tr õ A tr ự tũ
ỵ H ởt t ổ ữợ ổ tr C n tự H = H
detH = 0 (A1 , H1 ) (A2 , H2 ) tở U ữủ ồ tữỡ ữỡ t
ợ tr T t õ
A1 = T 1 A2 T H1 = T H2 T.
t q tữỡ ữỡ t tr U õ t t
ố ự tự q tữỡ ữỡ t q
tữỡ ữỡ tr U ợ tữỡ ữỡ tữỡ ự ữủ ồ ợ tữỡ
ữỡ t ừ U
2

1

ỵ ởt ợ tữỡ ữỡ t ừ tr tr U
tổ







❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû (A, H) ✈➔ (B, G) tr♦♥❣ U ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✉♥✐t❛✳ ❉♦
✤â✱ A = S −1BS ✱ H = S ∗GS ✱ ✈î✐ S ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳
▲➜② S(t), t ∈ [0, 1] ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈î✐
S(0) = I, S(1) = S ✳ ●✐↔ sû J ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ ❏♦r❞❛♥ ✤è✐ ✈î✐ S ✈➔ ♠é✐ ❦❤✉♥❣
❏♦r❞❛♥ Jp = λpI + K, λp = 0 ✭tr♦♥❣ ✤â K ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❧ô② ❧✐♥❤ ✈î✐ ♥❤ú♥❣

sè ✶ ♥➡♠ ♣❤➼❛ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ✈➔ ❜➡♥❣ ✵ ð ♥❤ú♥❣ ✈à tr➼ ❦❤→❝✮✱ ✤➦t
Jp (t) = λp (t)I + tK ✱ ✈î✐ λp (t) ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ sè ♣❤ù❝
❦❤→❝ ✵ s❛♦ ❝❤♦ λp(0) = 1, λp(1) = λp✳ ❚ø ✤â✱ ❧➜② J(t) ❧➔ ❦❤è✐ ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣
❝❤➨♦ ✤÷ñ❝ t↕♦ ♥➯♥ tø ♥❤ú♥❣ ❦❤è✐ Jp(t) ❝ô♥❣ ✤ó♥❣ ♥❤÷ ❝→❝❤ ♠➔ J ✤÷ñ❝ t↕♦
♥➯♥ tø ♥❤ú♥❣ ❦❤è✐ Jp✳ ❚ø sü ①➙② ❞ü♥❣ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ J(0) = I, J(1) = Jp✳ ❚❛
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ S(t) = T J(t)T −1✱ tr♦♥❣ ✤â T ❧➔ ♠❛ tr➟♥ t❤ä❛ ♠➣♥ S = T JT −1✳
❙û ❞ö♥❣ ✤÷í♥❣ S(t) ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❝➦♣ (B(t), G(t)) tr♦♥❣
❧î♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✉♥✐t❛ (G, B) ❜ð✐
B(t) = S(t)−1 BS(t), G(t) = S(t)∗ GS(t),

✈î✐ t ∈ [0, 1]✳ ❑❤✐ ✤â✱ (B(0), G(0)) = (B, G) ✈➔ (B(1), G(1)) = (A, H)✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû (A1, H1) ✈➔ (A2, H2) ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✉♥✐t❛✳ ❑❤✐

✤â✱ A1 ❧➔ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭✉♥✐t❛✮ ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ H1 ♥➳✉ ✈➔
❝❤➾ ♥➳✉ A2 ❧➔ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭✉♥✐t❛✮ ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ H2 ✳

❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✶✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ H− ❯♥✐t❛ ❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝✉♥❣✳

❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② t➟♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ H− tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❧➔
❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝✉♥❣ ✈➻ ✤â ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❇ê ✤➲
♥➔② ❞ü❛ ✈➔♦ ♥❤➟♥ ①➨t ♥➔②✳

●✐↔ sû U1, U2 ❧➔ ♠❛ tr➟♥ H− ✉♥✐t❛ ✈➔ ❧➜② a1, a2 ❧➔ sè ♣❤ù❝ ❝â ♠æ ✤✉♥
✤ì♥ ✈à s❛♦ ❝❤♦ U1 − a1I ✈➔ U2 − a2I ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ❱î✐ j = 1, 2✱ t❛ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ♠❛ tr➟♥ H− tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

Aj = (Uj − aj I)−1 (wUj − waj I),

tr♦♥❣ ✤â w ∈ C − R✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❤➜② w ∈/ σ(A1) ∪ σ(A2).
●✐↔ sû A(t)✱ t ∈ [0, 1] ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ H− tü
❧✐➯♥ ❤ñ♣ s❛♦ ❝❤♦ A(0) = A1, A(1) = A2✳ ▲➜② w(t), t ∈ [0, 1] ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣
✷✺