TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

VŨ THỊ KIM YẾN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực
tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình. Đồng
thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong
khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo
điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình
độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý
của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Kim Yến


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt
là sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về
hệ phương trình vi phân cấp một ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Kim Yến


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2

1.2. Đưa hệ PTVP cấp một về PTVP cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Phương pháp tổ hợp tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3. Hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16


1.5.1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Hệ thống bài tập hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Hệ PTVP giải bẳng phương pháp đưa về PTVP cấp cao . . . . . . . . . . .

18

2.2. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp tổ hợp tích phân . .

20

2.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng . . . . . .

22

2.4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

29

2.5. Ứng dụng của hệ PTVP để giải PTĐHR tuyến tính cấp một . . . . . . . .


33

2.5.1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một. . . . . . . . . . . . .

33

2.5.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một . . . . . .

34

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36


Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

37


MỞ ĐẦU
Hệ phương trình vi phân có thể coi là cầu nối giữa toán học ứng dụng và toán
học lý thuyết. Đã có rất nhiều hệ phương trình vi phân là mô hình toán học của bài
toán thực tế. Chẳng hạn cho hệ phương trình vi phân

dx1




dt = f 1 (t, x1 , x2 , ..., xn )



 dx2 = f2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
dt


.................................




 dxn = f (t, x , x , ..., x )
n
n
1 2
dt

(0.1)

Nếu ta coi t là biến độc lập, (x1 , x2 , ..., xn ) là một điểm trong không gian thì hệ (0.1)
là hệ phương trình chuyển động của điểm đó và
dxn
dx1 dx2
,
, ...,
dt dt

dt
là một vectơ vận tốc của điểm đó tại thời điểm t.
Và còn rất nhiều ứng dụng khác nữa.
Việc nghiên cứu định tính, định lượng của nghiệm của hệ phương trình vi phân
có ý nghĩa quan trọng trong việc quay trở lại áp dụng vào bài toán thực tế.
Để có thể làm tốt công tác nghiên cứu ứng dụng của bài toán vào thực tế trước hết
ta phải nắm được hệ thống bài tập và cách giải hệ phương trình vi phân.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định
hướng và chỉ bảo tận tình của TS. Trần Văn Bằng, em đã mạnh dạn nghiên cứu
đề tài:
"Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về hệ phương trình vi phân cấp
một"
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2
chương
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Hệ thống bài tập

1


Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Các khái niệm mở đầu
Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản của hệ phương trình
vi phân cấp một như dạng chuẩn tắc, khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng...
Đồng thời cũng đưa ra các phương pháp giải hệ như phương pháp đưa về phương
trình vi phân cấp cao, phương pháp tổ hợp...
Định nghĩa 1.1. Hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ có dạng


dy1



dx = f 1 (x, y1 , y2 , ...yn )



 dy2 = f2 (x, y1 , y2 , ...yn )
dx
(1.1)


.................................




 dyn = f (x, y , y , ...y )
dx

1

n

2

n

Ở đây x là biến số độc lập, y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), ..., yn = yn (x) là các hàm phải

tìm. Các hàm fi (i = 1, 2, ..., n) xác định trong miền G của không gian n + 1 chiều
Rn+1 .
Số n được gọi là bậc của hệ (1.1).
Hệ n hàm khả vi y1 (x), y2 (x) ,..., yn (x) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là
nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi x ∈ (a, b) điểm (x, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)) ∈ G và
khi thay chúng vào hệ (1.1) thì ta được đồng nhất thức theo x trên (a, b).
2


Tập hợp điểm
Γ = {(x, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)), x ∈ (a, b)},
được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm y1 (x), y2 (x), ..., yn (x).
Bài toán Côsi: Cho điểm (x0 , y01 , y02 , ..., y0n ). Tìm nghiệm (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x))
của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y1 (x0 ) = y01 , y2 (x0 ) = y02 , ..., yn (x0 ) = y0n .
Nói chung bài toán Côsi không phải bao giờ cũng có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng
nghiệm đó có thể không duy nhất. Tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nếu các
hàm f1 , f2 , ..., fn liên tục trong G thì bài toán Côsi luôn có nghiệm. Nếu ngoài các
điều kiện trên các hàm f1 , f2 , ..., fn còn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1 , y2 , ..., yn
trong G thì bài toán Côsi có nghiệm duy nhất.

Định nghĩa 1.2. (Nghiệm tổng quát) Tập hợp n hàm số


y1 = ϕ1 (x,C1 ,C2 , ...,Cn )






y2 = ϕ2 (x,C1 ,C2 , ...,Cn )


..................................




y = ϕ (x,C ,C , ...,C )
n
n
n
1 2

(1.2)

xác định trong miền biến thiên của x, C1 , C2 , ..., Cn có đạo hàm riêng liên tục theo
x gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.1) trong miền G (miền mà tại đó sự tồn tại và
duy nhất của bài toán Côsi được đảm bảo) nếu chúng có các tính chất sau
(i) Từ hệ (1.2) có thể giải ra được C1 ,C2 , ...,Cn


C1 = ψ1 (x, y1 , y2 , ..., yn )





C2 = ψ2 (x, y1 , y2 , ..., yn )



.................................




C = ψ (x, y , y , ..., y )
n
n
n
1 2

(1.3)

(ii) Hệ hàm (1.2) là nghiệm của hệ (1.1) với mọi giá trị của hằng số Ci (i = 1, 2, ..., n)
xác định từ (1.3) khi (x, y1 , y2 , ..., yn ) biến thiên trong G.
3


Định nghĩa 1.3. (Nghiệm riêng) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại mỗi điểm của nó tính
duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được bảo đảm gọi là nghiệm riêng. Nghiệm nhận
được từ nghiệm tổng quát với giá trị xác định của các hằng số Ci (i = 1, 2, ..., n) là
nghiệm riêng.

Định nghĩa 1.4. (Nghiệm kì dị) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại đó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Côsi bị phá vỡ gọi là nghiệm kì dị.

Định nghĩa 1.5. (Tích phân tổng quát) Hệ hàm



Φ1 (x, y1 , y2 , ..., yn ) = C1



 Φ (x, y , y , ..., y ) = C
2

1

2

n

2


.................................




Φn (x, y1 , y2 , ..., yn ) = Cn
được gọi là tích phân tổng quát của hệ (1.1) trong miền G nếu nó xác định nghiệm
tổng quát của hệ (1.1) trong G.

1.2. Đưa hệ phương trình vi phân cấp một về phương
trình vi phân cấp cao
Xét hệ phương trình vi phân cấp một

dx1




dt = f 1 (t, x1 , x2 , ..., xn )



 dx2 = f2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
dt


.................................




 dxn = f (t, x , x , ..., x )
n
n
1 2
dt

(1.4)

Ta giả thiết các hàm số fi (i = 1, 2, ..., n) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục đến
cấp n − 1 trong miền G ⊂ Rn theo tất cả các biến.
Giả sử x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) là một nghiệm nào đó của (1.4).

4



Thế vào (1.4) ta được đồng nhất thức theo t
Đặc biệt
dx1 (t)
≡ f1 (t, x1 (t), x2 (t), .., xn (t)),
dt
vi phân đồng nhất thức này theo t ta được

(1.21 )

n
n
d 2 x1 (t) ∂ f1
∂ f1 dxi
∂ f1
∂ f1
=
+
=
+
fi .
∑
∑
dt 2
∂t
∂
x
dt
∂t
∂

x
i
i
i=1
i=1

Đặt

n
∂ f1
∂ f1
+∑
fi = F2 (t, x1 , x2 , ..., xn ),
∂t
i=1 ∂ xi

suy ra
d 2 x1 (t)
= F2 (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)).
dt 2
Vi phân đồng nhất thức này theo t ta được

(1.22 )

n
n
d 3 x1 (t) ∂ F2
∂ F2 dxi
∂ F2
∂ F2

=
+
=
+
fi .
∑
∑
dt 3
∂t
∂t
i=1 ∂ xi dt
i=1 ∂ xi

Đặt

n
∂ F2
∂ F2
+∑
fi = F3 (t, x1 , x2 , ..., xn ),
∂t
∂
x
i
i=1

ta có

d 3 x1 (t)
= F3 (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)).

dt 3
Tiếp tục quá trình trên đến n − 2 lần ta được đồng nhất thức
d n−1 x1 (t)
= Fn−1 (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)).
dt n−1

(1.23 )

(1.2n−1 )

Vi phân một lần nữa theo t
n
n
d n x1 (t) ∂ Fn−1
∂ Fn−1 dxi
∂ Fn−1
∂ Fn−1
=
+
=
+
fi ,
∑
∑
n
dt
∂t
∂t
i=1 ∂ xi dt
i=1 ∂ xi


đặt

n
∂ Fn−1
∂ Fn−1
+∑
fi = Fn (t, x1 , x2 , .., xn ),
∂t
i=1 ∂ xi

khi đó

d n x1 (t)
= Fn (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)).
dt n
5

(1.2n )


Từ (1.21 ), (1.22 ),..., (1.2n−1 ) ta được hệ phương trình

dx1



dt = f 1 (t, x1 , x2 , ..., xn )




 d 2 x1 = F2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
dt 2


....................................




 d n−1 x1 = F (t, x , x , ..., x )
n
n−1
1 2
dt n−1

(1.5)

Giả sử trong miền đang xét của các biến (t, x1 , x2 , ..., xn ) định thức
D( f1 , F2 , ..., Fn−1 )
= 0.
D(x2 , x3 , ..., xn )
dx1 d 2 x1
d n−1 x1
,
,
...,
dt dt 2
dt n−1
Thay các giá trị này của x2 , x3 , ..., xn vào (1.2n ) ta đi đến phương trình

Khi đó từ hệ (1.5) ta có thể biểu diễn x2 , x3 ,..., xn qua t, x1 ,

dx1 d 2 x1
d n−1 x1
d n x1
= Φ(t, x1 ,
, ..., n−1 ).
,
dt n
dt dt 2
dt

(1.6)

Từ quá trình lí luận trên ta suy ra x1 (t) là nghiệm của phương trình (1.6).
Bây giờ giả sử x1 (t) là một nghiệm của phương trình (1.6), thế x1 (t) và các đạo
hàm của nó vào (1.5) rồi xác định x2 = x2 (t), x3 = x3 (t), ..., xn = xn (t) từ hệ thu
được ta có hệ hàm x1 (t), x2 (t), ..., xn (t). Hệ này chính là nghiệm của hệ (1.4).
Nhận xét 1.1. (a) Nếu hệ phương trình vi phân có dạng

dx1



dt = f 1 (t, x1 )



 dx2 = f2 (t, x2 )
dt



...................




 dxn = f (t, x )
n
n
dt
ta chỉ việc tích phân từng phương trình riêng biệt của hệ.

6

(1.7)


(b) Nếu hệ phương trình vi phân có dạng

dx1



dt = f 1 (t, x1 )



 dx2 = f2 (t, x1 , x2 )
dt



..........................




 dxn = f (t, x , x , ..., x )
n
n
1 2
dt

(1.8)

thì sau khi tích phân phương trình vi phân cấp một đầu ta thay x1 nhận được vào
phương trình thứ hai của hệ, tiếp tục tích phân phương trình vi phân cấp một thu
được đó. Tiếp đến ta lại thay x2 nhận được vào phương trình thứ ba và tích phân
phương trình thu được. Cứ tiếp tục quá trình trên n bước ta sẽ thu được nghiệm của
bài toán.

1.3. Phương pháp tổ hợp tích phân
Đối với hệ phương trình (1.4) trong một số trường hợp ta có thể lập các tổ hợp
khả tích, tức là lập nên các phương trình vi phân mới là hệ quả của hệ (1.4) sau
những phép biến đổi nhưng dễ tích phân hơn để từ đó đi đến các hệ thức dạng
φ (t, x1 , x2 , ..., xn ) = C.

(1.9)

Hệ thức (1.9) có tính chất là nếu thay x1 , x2 ,..., xn bằng nghiệm x1 (t), x2 (t),..., xn (t)

của hệ phương trình (1.4) thì vế trái của nó sẽ đồng nhất bằng C.
Hệ thức (1.9) được gọi là tích phân đầu của hệ (1.4).
Chú ý: Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ (1.4) dưới
dạng đối xứng sau đây
dx1
dx2
dxn
dt
=
= ··· =
=
ϕ1 (t, x1 , x2 , ..., xn ) ϕ2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
ϕn (t, x1 , x2 , ..., xn ) ϕ0 (t, x1 , x2 , ..., xn )
trong đó
ϕi (t, x1 , x2 , ..., xn )
= fi (t, x1 , x2 , ..., xn ), (i = 1, 2, ...n).
ϕ0 (t, x1 , x2 , ..., xn )

7


1.4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.4.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng










dy1
dx
dy2
dx

= p11 (x)y1 + p12 (x)y2 + ... + p1n (x)yn
= p21 (x)y1 + p22 (x)y2 + ... + p2n (x)yn

(1.10)



..........................................................




 dyn = p (x)y + p (x)y + ... + p (x)y
nn
n
n1
1
n2
2
dx
Ta giả thiết các hàm pi j (x)(i, j = 1, 2, ..., n) liên tục trên khoảng (a, b).
Khi đó với mọi x0 ∈ (a, b); (y01 , y02 , ..., y0n ) ∈ Rn tồn tại duy nhất nghiệm

y(x) = (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)) của hệ (1.10) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa
mãn điều kiện ban đầu
y1 (xo ) = y01 , y2 (xo ) = y02 , ..., yn (xo ) = y0n .
Đặt  
y1
 
y2 
 
y =  . ;
 .. 
 
yn





dy1
dx
 dy

 2
 dx 

dY
=  ;
dx  ... 
 




p11 (x)

 p21 (x)
P(x) = 
 ...


p22 (x) . . .

pn1 (x)

pn2 (x) · · ·

dyn
dx

p12 (x) . . .
...

...


p1n (x)

p2n (x)
.
... 

pnn (x)


Khi đó hệ (1.10) tương đương với phương trình
dY
= p(x)Y.
dx
Để xây dựng được nghiệm tổng quát của hệ (1.10) ta phải tìm được n nghiệm
độc lập tuyến tính của nó
(y11 (x) y12 (x) . . .

y1n (x)),

(y21 (x) y22 (x) . . .

y2n (x)),

...

...

...

(yn1 (x) yn2 (x) . . .
8

...
ynn (x)).


Hệ có tính chất như vậy gọi là hệ nghiệm cơ bản.
Khi đó nghiệm tổng quát có dạng

n

y1 =

n

∑ c j y j1 (x), y2 =

j=1

n

∑ c j y j2 (x), ..., yn =

j=1

∑ c j y jn (x).

j=1

Để một hệ nghiệm là hệ nghiệm cơ bản thì điều kiện cần và đủ là định thức Wrônski

W (x) =

y11

y12

...


y1n

y21

y22

...

y2n

...

...

...

...

yn1

yn2

...

ynn

,

khác không ít nhất tại một điểm của khoảng (a, b).


1.4.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là hệ có dạng

dy1



dx = p11 (x)y1 + p12 (x)y2 + · · · + p1n (x)yn + f 1 (x)



 dy2 = p21 (x)y1 + p22 (x)y2 + · · · + p1n (x)yn + f2 (x)
dx


.......................................................................




 dyn = p (x)y + p (x)y + · · · + p (x)y + f (x)
nn
n
n
1n
1
12
2
dx


(1.11)

Nếu ta kí hiệu



f1 (x)


 f2 (x)


F(x) =  .  ,
 .. 


fn (x)
P(x),

dY
,Y như trong mục 1.4.1 thì hệ (1.11) được viết dưới dạng vectơ như sau
dx
dY
= P(x)Y + F(x).
dx

Ta giả thiết các hàm pi j (x), fi (x), (i, j = 1, 2, ..., n) liên tục trên khoảng (a, b).

9



Khi đó với mỗi x0 ∈ (a, b), (y01 , y02 , ..., y0n ) ∈ Rn tồn tại duy nhất nghiệm
Y (x) = (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)) của hệ (1.11) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa
mãn điều kiện ban đầu
y1 (x0 ) = y01 , y2 (x0 ) = y02 , ..., yn (x0 ) = y0n .
Để tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ta đưa
về tìm nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng Y ∗ (x)
nào đấy của hệ tuyến tính không thuần nhất.
Trong một số trường hợp ta có thể tìm nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần
nhất dễ dàng, do đó việc tìm nghiệm riêng của tuyến tính không thuần nhất là rất
quan trọng.
Phương pháp biến thiên hằng số sẽ cho chúng ta cách tìm nghiệm riêng Y ∗ (x)
khi biết nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Giả sử


y11 (x)


y21 (x)


Y1 (x) =  .  ,
 .. 


yn1 (x)




y12 (x)


y22 (x)


Y2 (x) =  .  , . . . ,
 .. 


y2n (x)



y1n (x)


y2n (x)


Yn (x) =  .  ,
 .. 


ynn (x)

là hệ nghiệm cơ bản của phương
thuần nhất (1.10).
 trình
y∗ (x)

 1∗ 
y (x)
 2 
∗
Ta tìm nghiệm riêng Y (x) =  .  của hệ tuyến tính không thuần nhất (1.11)
 .. 


∗
yn (x)
dưới dạng
Y ∗ (x) = C1 (x)Y1 (x) +C2 (x)Y2 (x) + · · · +Cn (x)Yn (x).

(1.12)

Ở đây C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x) là các hàm ta cần xác định sao cho Y ∗ (x) thỏa mãn
hệ (1.11), tức là

dY ∗ (x)
≡ P(x)Y ∗ (x) + F(x).
dx

10


hay
C1 (x)Y1 (x)+C2 (x)Y2 (x)+· · ·+Cn (x)Yn (x)+C1 (x)
+Cn (x)

dYn (x)

≡ P(x) C1 (x)Y1 (x) +C2 (x)Y2 (x) + · · · +Cn (x)Yn (x) + F(x)
dx

Chú ý:
Suy ra

dY1 (x)
dY2 (x)
+C2 (x)
+· · ·+
dx
dx

dY j (x)
≡ P(x)Y j (x)
dx

j = 1, 2, ..., n.

C1 (x)Y1 (x) +C2 (x)Y2 (x) + · · · +Cn (x)Yn (x) ≡ F(x).
Hệ thức này tương đương với hệ phương trình sau


C1 (x)y11 (x) +C2 (x)y12 (x) + · · · +Cn (x)y1n (x) = f1 (x)





C (x)y21 (x) +C (x)y22 (x) + · · · +C (x)y2n (x) = f2 (x)

n
1
2


............................................................................




C (x)y (x) +C (x)y (x) + · · · +C (x)y (x) = f (x)
nn
n
n1
n2
n
1
2

(1.13)

Dễ thấy định thức Cramer của hệ (1.13) là định thức Wônski của n nghiệm độc lập
tuyến tính Y1 (x), Y2 (x), ..., Yn (x) và do đó khác không trên (a, b). Bởi vậy từ hệ
(1.13) ta xác định được các C j (x) = ψ j (x); j = 1, 2, ..., n và do đó
C j (x) =

ψ j (x)dx,

j = 1, 2, ..., n.


Thay các giá trị của C j (x)vào (1.12) ta được Y ∗ (x) phải tìm.

1.4.3. Hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng
Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng là hệ có dạng

dy1



dx = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + f 1 (x)



 dy2 = a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn + f2 (x)
dx


.........................................................




 dyn = a y + a y + · · · + a y + f (x)
nn n
n
n1 1
n2 2
dx

(1.14)


Ở đây ai j ; i, j = 1, 2, ..., n là các hằng số và fi (x), i = 1, 2, ..., n là các hàm liên tục
trên khoảng (a, b) nào đó.
11


Nếu dùng kí hiệu như ở mục trước thì hệ (1.14) có thể được viết dưới dạng vectơ
như sau

dY
= AY + F(x).
dx

Ở đây A là ma trận hằng số.
Ta có thể tích phân hệ (1.14) bằng cách đưa hệ về một phương trình vi phân
tuyến tính cấp n cùng với hệ số hằng. Tuy nhiên ta có thể trực tiếp tìm nghiệm tổng
quát của hệ phương trình bằng phương pháp sau đây
Trước hết ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

dy1



dx = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn



 dy2 = a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn
dx



..............................................




 dyn = a y + a y + · · · + a y
nn n
n1 1
n2 2
dx

(1.15)

Tìm nghiệm của hệ (1.14) dưới dạng


eλ x



α1
 λ x
α2 e 


Y (x) =  . 
 .. 



λ
x
αn e
và tìm cách chọn α1 , α2 , ..., αn , λ sao cho Y (x) là nghiệm của (1.15).
Thay vào hệ (1.15) và rút gọn ta được hệ phương trình sau


(a11 − λ )α1 + a12 α2 + · · · + a1n αn = 0





a21 α1 + (a22 − λ )α2 + · · · + a2n αn = 0


..................................................




a α + a α + · · · + (a − λ )α = 0
nn
n
n1 1
n2 2

(1.16)

Ta cần tìm nghiệm không tầm thường của hệ (1.16) tức là tìm tất cả α1 , α2 , ..., αn

không đồng thời bằng không.
Điều này xảy ra khi định thức Cramer của hệ (1.16) bằng không, tức là

12


a11 − λ

a12

...

a1n

a21

a22−λ

...

a2n

...

...

...

...


an1

an2

...

ann − λ

(1.17)

Phương trình (1.17) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (1.15).
Xảy ra các trường hợp sau
(a). Phương trình đặc trưng (1.17) có n nghiệm thực khác nhau λ1 , λ2 , ..., λn . Thay
mỗi λ j vào hệ (1.16) ta giải ra được các a1 j , a2 j , ..., an j không đồng thời bằng không
và khi đó ta có nghiệm không tầm thường của hệ (1.15)


a1 j eλ j x


a2 j eλ j x 


Y j (x) =  .  , j = 1, 2, ..., n.
 .. 


λ
x
j

an j e
khi đó các nghiệm Y1 (x), Y2 (x), ..., Yn (x) là độc lập tuyến tính.
Do đó hệ (1.14) có nghiệm tổng quát là
Y = C1Y1 (x) +C2Y2 (x) + · · · +CnYn (x).
(b). Phương trình đặc trưng(1.17) có cặp nghiệm phức liên hợp đơn
k j = p + iq
k j = p − iq
Khi đó chẳng hạn ứng với k j ta được nghiệm


α1 j e(p+iq)x


α2 j e(p+iq)x 


Yj = 
.
.
..




(p+iq)x
αn j e
Trong đó nói chung ai j là các số phức
αi j = ai j + ibi j
13



Bởi vậy




)e px (cos qx + i sin qx)

(a1 j + ib1 j


(a2 j + ib2 j )e px (cos qx + i sin qx)


Y j (x) = 

.
..




px
(an j + ibn j )e (cos qx + i sin qx)


 
px
px
e (b1 j cos qx + a1 j sin qx)

e (a1 j cos qx − b1 j sin qx)

 px
  px
e (a2 j cos qx − b2 j sin qx) e (b2 j cos qx + a2 j sin qx)


 
=
.
+i
.
.
..
..

 


 

px
px
e (bn j cos qx + an j sin qx)
e (an j cos qx − bn j sin qx)
Theo tính chất nghiệm của hệ phương trình tuyến thuần nhất ta suy ra rằng các vectơ
hàm


e px (a1 j cos qx − b1 j sin qx)


 px
e (a2 j cos qx − b2 j sin qx)


U j (x) = 
,
.
..




e px (an j cos qx − bn j sin qx)


e px (b1 j cos qx + a1 j sin qx)
 px

e (b2 j cos qx + a2 j sin qx)


V j (x) = 
.
.
..





px
e (bn j cos qx + an j sin qx)


là hai nghiệm thực ứng với cặp nghiệm phức liên hợp k j , k j của phương trình (1.15)
Dễ thấy U j (x), V j (x) độc lập tuyến tính.
Tiến hành tương tự với các cặp nghiệm phức liên hợp khác ta xác định được n
nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ (1.15) và do đó xác định được nghiệm tổng
quát của nó.
(c). Phương trình vi phân có nghiệm λ bội k.

14


Trong trường hợp này nghiệm của phương trình (1.15) có dạng


y1 = (α11 + α21 x + α31 x2 + · · · + αk1 xk−1 )eλ x





y2 = (α12 + α22 x + α32 x2 + · · · + α xk−1 )eλ x
k2


............................................................





y = (α + α x + α x2 + · · · + α xk−1 )eλ x
n
1n
2n
3n
kn
Thay vào (1.15) ta xác định được các αi j . Trog số các αi j có k số được chọn bất kì.
(d). Phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phức λ , λ bội k.
Ta tìm nghiệm của hệ (1.15) dưới dạng


y1 = (α11 + α21 x + α31 x2 + · · · + αk1 xk−1 )eλ x





y2 = (α12 + α22 x + α32 x2 + · · · + α xk−1 )eλ x
k2


..............................................................




y = (α + α x + α x2 + · · · + α xk−1 )eλ x
n

1n
2n
3n
kn
Khi xác định được αi j ta được các số phức. Tách phần thực và phần ảo ta được
nghiệm dưới dạng


y1 j = u1 j (x) + iv1 j (x)





y2 j = u2 j (x) + iv2 j (x)


..............................




y = u (x) + iv (x)
nj
nj
nj





u1 j (x)
v1 j (x)




u2 j (x)
v2 j (x)




Do đó ta được hai nghiệm thực U j =  .  , V j =  .  .
 .. 
 .. 




un j (x)
vn j (x)
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ (1.14).
Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên nói chung không
có phương pháp tổng quát để tích phân nó. Tuy vậy nếu hệ số của hệ (1.10) có dạng
pk j (x) = ak j ϕ(x) (k, j = 1, 2, ..., n).
thì bằng phép thế t = ϕ(x)dx ta đưa hệ (1.10) về hệ phương trình với hệ số hằng
và do đó có thể tìm được nghiệm tổng quát của hệ ban đầu (1.10).
15



1.5. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp một thuần nhất và không thuần nhất, cách xác định nghiệm của nó.
Định nghĩa 1.6. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một có dạng
X1 (x1 , x2 , ..., xn , u)

∂u
∂u
+ X2 (x1 , x2 , ..., xn , u)
+···+
∂ x1
∂ x2

+ Xn (x1 , x2 , ..., xn , u)

∂u
= R(x1 , x2 , ..., xn , u),
∂ xn

(1.18)

trong đó u(x1 , x2 , ..., xn ) là các hàm phải tìm X1 , X2 , ..., Xn , R là các hàm cho trước
của các biến số tương ứng.

1.5.1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một có dạng
X1 (x1 , x2 , ..., xn , u)

∂u
∂u

+ X2 (x1 , x2 , ..., xn , u)
+···+
∂ x1
∂ x2

+ Xn (x1 , x2 , ..., xn , u)

∂u
= 0.
∂ xn

(1.19)

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.19) ta tìm n − 1 tích phân đầu độc
lập của hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng
dx2
dxn
dx1
=
= ··· =
X1 (x1 , x2 , ..., xn ) X2 (x1 , x2 , ..., xn )
Xn (x1 , x2 , ..., xn )

(1.20)

Giả sử các tích phân đầu ấy là
ψ1 (x1 , x2 , ..., xn ), ψ2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., ψn−1 (x1 , x2 , ..., xn ),
khi đó hàm
u = F[ψ1 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., ψn−1 (x1 , x2 , ..., xn )],
trong đó F(ψ1 , ψ2 , ..., ψn−1 ) là các hàm khả vi liên tục bất kì, sẽ là nghiệm tổng

quát của phương trình (1.19).

16


1.5.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất
Giả sử trong phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất
X1 (x1 , x2 , ..., xn , u)

∂u
∂u
+ X2 (x1 , x2 , ..., xn , u)
+···+
∂ x1
∂ x2

+ Xn (x1 , x2 , ..., xn , u)

∂u
= R(x1 , x2 , ..., xn , u)
∂ xn

(1.21)

các hàm X1 , X2 , ..., Xn khả vi liên tục tại lân cận nào đó của điểm (x10 , x20 , ..., xn0 , u0 )
và chẳng hạn Xn (x10 , x20 , ..., xn0 , u0 ) = 0.
Để tìm nghiệm tổng (1.21) ta tìm n tích phân đầu độc lập
ψ1 (x1 , x2 , ..., xn , u), ψ2 (x1 , x2 , ..., xn , u), ..., ψn (x1 , x2 , ..., xn , u) của hệ phương trình
vi phân thường
dx1

dxn
du
= ··· =
=
X1 (x1 , x2 , ..., xn , u)
Xn (x1 , x2 , ..., xn , u) R(x1 , x2 , ..., xn , u)
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.21) sẽ được xác định từ hệ thức
Φ(ψ1 , ψ2 , ..., ψn ) = 0.
Trong đó Φ là hàm khả vi liên tục bất kì.

17


Chương 2

Hệ thống bài tập hệ phương
trình vi phân
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày hệ thống bài tập của hệ phương trình vi
phân và ứng dụng của hệ phương trình vi phân để giải phương trình đạo hàm riêng.

2.1. Hệ phương trình vi phân giải bằng phương pháp
đưa về phương trình vi phân cấp cao
Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình sau

 dy = z,
dx
 dz = z2 .
dx

y


Vi phân hai vế phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta được
d 2 y dz z2
=
= .
dx2
dx
y
Kết hợp với cả hai phương trình của hệ ta được

18


d 2 y 1 dy 2
= ( )
dx2
y dx

hay

d 2 y 1 dy 2
− ( ) = 0.
d 2 x y dx

Giải phương trình này ta được
y = C2 eC1 x ,
z=

dy
= C1C2 eC1 x .

dx

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là

y = C2 eC1 x ,
z = C C eC1 x .
1 2

Bài tập
Giải các hệ phương trình sau

 dy = y2 ,
dx
z
1.
 dz = 1 y.
dx

2


 dy = y,
dx
2.
 dz = −x.
dx


 dy = y + z,
dx

3.
 dz = (− 2 + 2 − 1)y + ( 2 − 1)z.
dx

x2

x

x

Đáp số
1. y =

2C1
−1
,
z
=
.
(C1 x +C2 )2
(C1 x +C2 )

2. x = C1 sint −C2 cost, y = C1 cost +C2 sint.
3. x = C1 x +C2 x2 , y = C1 (1 − x) +C2 (2x − x2 ).

19


2.2. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp
tổ hợp tích phân

Ví dụ 2.2. Giải hệ phương trình vi phân sau

 dy = ex−y ,
dx
 dz = 2z .
dx
2x − z2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình
dy ex
= .
dx ey
Đưa phương trình trên về dạng biến số phân ly và tích phân hai vế ta được
ex − ey = C1 .
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình sau
2zdx + (z2 − 2x)dz = 0.
Nhân hai vế phương trình này với

1
ta được
z2

2
2x
dx + (1 − 2 )dz = 0.
z
z
Đây là phương trình vi phân toàn phần giải ra ta được nghiệm là
z
x = z(C2 − ).
2

Vậy tích phân tổng quát của hệ phương trình là
z
ex − ey = C1 , x = z(C2 − ).
2
Ví dụ 2.3. Tích phân hệ phương trình

x−y

dy

,
 dx =
x+y
y2 − 2xy − x2

dz

=
.
 dx
z(x + y)
20