TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
——————————o0o——————————

VŨ THỊ ĐỊNH

TÍNH COMPACT VÀ SỰ HỘI TỤ TRONG
KHÔNG GIAN CÁC HÀM GIẢI TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
Th.S. HOÀNG NGỌC TUẤN

HÀ NỘI, 5/2014


Lời Cảm Ơn
Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình
của thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn
sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa
Toán trường ĐHSP Hà Nội II đã giúp đỡ em trong quá trình học tập
để thuận lợi cho việc nghiên cứu. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn người đã dành cho em sự
hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình
học tập nghiên cứu và thực hiện khóa luận.
Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với
việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh
khỏi những sai sót. Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
của quí thầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Vũ Thị Định

i


Lời Cam Đoan
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc
Tuấn em đã hoàn thành bài khóa luận của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng
với sự hướng dẫn của thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn không hề
trùng với bất cứ đề tài nào.
Hà nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Vũ Thị Định

ii


Mục lục
Lời Mở Đầu

iv

1 Kiến Thức Chuẩn Bị
1.1 Hệ thống số phức . . . . . .
1.2 Topo trong mặt phẳng phức

1.3 Hàm giải tích . . . . . . . .
1.4 Hàm phân hình . . . . . . .
1.5 Tích phân phức . . . . . . .
1.6 Nguyên lí modun cực đại . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Tính Compact Và Sự Hội Tụ Trong Không Gian

Hàm Giải Tích
2.1 Không gian của hàm liên tục C(G,Ω) . . . . . . .
2.2 Không gian hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Không gian các hàm phân hình . . . . . . . . . . .
2.4 Định lý của ánh xạ Riemann . . . . . . . . . . . .
2.5 Định lý thừa số Weierstrass . . . . . . . . . . . . .
2.6 Nhân tử hóa của hàm sin . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

1
1
2
4
5
6

9

Các
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

11
11
20
23
26
30
39
40
52

iii



Lời Mở Đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm có tầm quan trọng đối với toán học cơ bản và ứng
dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng. Do kiến thức trên
lớp với thời lượng eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên cứu một vấn
đề nào đó của giải tích. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ
môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi
của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo Th.S.
Hoàng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày những kiến thức của
mình về đề tài Tính compact và sự hội tụ trong không gian các hàm
giải tích.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng : Tính compact và sự hội tụ.
Phạm vi : Những kiến thức liên quan đến tính compact và hội tụ
trong không gian các hàm giải tích.

3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của bài khóa luận này là tìm hiểu về tính compact và sự hội tụ trong không gian các hàm giải tích.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu tham khảo, tổng hợp kiến thức, vận
dụng cho mục đích nghiên cứu.

iv


Chương 1

Kiến Thức Chuẩn Bị
1.1

Hệ thống số phức

Định nghĩa 1.1 Định nghĩa C, số phức là tập tất cả các cặp có thứ
tự (a, b) trong đó a và b là các số thực và ở đó phép cộng và phép
nhân được định nghĩa bằng:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad).
Dễ dàng kiểm tra được định nghĩa C thỏa mãn các tiên đề về trường
số phức. Đó là, C thỏa mãn các tính chất kết hợp, giao hoán, luật
phân phối của phép nhân và phép cộng; (0, 0) và (1, 0) là đồng nhất
thức lần lượt cho phép cộng và phép nhân, và có tính cộng và nhân
ứng với mỗi phần tử khác không trong C.
Số phức này được viết (a, 0). Ánh xạ từ a → (a, 0) xác định phép
đẳng cấu trường của R vào C nên ta có thể xét R như là tập con của
C. Nếu ta đặt i = (0, 1) thì (a, b) = a + bi. Từ điểm trên ta bỏ cặp
kí hiệu đặt nó là số phức.
Chú ý i2 = −1, do đó phương trình z 2 + 1 = 0 có căn trong C. Thực
ra, với mỗi z ∈ C, z 2 + 1 = (z + i)(z − i). Khái quát hơn, nếu z và ω
là số phức ta được

z 2 + ω 2 = (z + iω)(z − iω).
Cho z và ω là các số thực; a và b cùng là các số thực, ta có

1
a − ib
a

b
= 2
=
−
i
,
a + ib a + b2
a2 + b2
a2 + b 2
1


Khóa luận tốt nghiệp

nên đây là công thức với phần tử nghịch đảo của số phức. Khi đó ta
viết z = a + ib (a, b ∈ R), ta gọi a và b là phần thực và phần ảo của
z và kí hiệu a = Rez, b = Imz .
Ta kết thúc phần này bằng cách giới thiệu hai phép toán trên C
không là phép toán trên trường. Nếu z = x + iy (x, y ∈ R) thì ta
định nghĩa |z| = x2 + y 2 là giá trị tuyệt đối của z và z = x − iy là
liên hợp của z . Lưu ý
|z|2 = zz.
Đặc biệt, nếu z = 0 thì

z
1
= 2.
z
|z|
Sau đây là các tính chất cơ bản về giá trị tuyêt đối và liên hợp của số

phức:
1. Rez = 21 (z + z) và Imz = 12 (z − z),
2. z + w = z + w và zw = zw,
3. |zw| = |z||w|,
4.

z
w

=

|z|
|w| ,

5. |z| = |z|.

1.2

Topo trong mặt phẳng phức

Vì mặt phẳng phức C có thể đồng nhất với R qua ánh xạ z →
(Rez, Imz) nên topo của mặt phẳng phức C chính là topo của R. Vì
vậy, ta sẽ nêu một số kiến thức liên quan đến topo của R như sau.
Định nghĩa 1.2 Định nghĩa không gian metric
Không gian metric là một cặp (X, ρ), trong đó X là một tập và
ρ : X × X :→ R là một hàm số xác định trên X × X , được gọi là
một metric, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ρ(x, y) ≥ 0, với ∀x, y ∈ X ,
ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ,
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) với ∀x, y ∈ X ,

Vũ Thị Định

2

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) với ∀x, y, z ∈ X .
Mỗi phần tử của X gọi là một điểm của X ; ρ(x, y) là khoảng cách
giữa hai điểm x và y .
Định nghĩa 1.3 Nếu x ∈ X và r > 0 cố định thì định nghĩa

B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) < r},
B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.
B(x; r) và B(x; r) tương ứng được gọi là hình cầu mở và đóng, với
tâm x, bán kính r.
Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric (X, ρ). Tập G ⊂ X là tập
mở nếu với mọi x ∈ G có một ε > 0 sao cho B(x; ε) ⊂ G.
Mệnh đề 1.1 Cho (X, ρ) là không gian metric; thì
a) Tập X và ∅ là tập mở;
n

b) Nếu G1 , . . . , Gn là các tập mở trong X thì có

Gk ;
k=1

c) Nếu {Gj : j ∈ J} là tập các tập hợp mở trong X , J là tập hợp chỉ

số bất kì, thì G = {Gj : j ∈ J} cũng là mở.
Định nghĩa 1.5 Tập F ⊂ X là đóng nếu X \ F là mở.
Mệnh đề 1.2 Cho (X, ρ) là không gian metric. Thế thì
a) Tập X và ∅ là đóng;
n

Fk cũng là tập đóng;

b) Nếu F1 , . . . , Fn là các tập đóng trong X thì
k=1

c) Nếu {Fj : j ∈ J} là tập các tập hợp đóng bất kì trong X , J là tập
hợp chỉ số bất kì, thì F = {Fj : j ∈ J} cũng là đóng.
Định nghĩa 1.6 Cho A ⊂ X là tập hợp con của X thì phần trong
của A, là hợp của tất cả các tập mở trong A, kí hiệu là intA. Bao
đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A− .
Nếu A = {a + bi : a, b ∈ R} thì cùng một lúc A− = C và intA = ∅.
Bằng Mệnh đề 1.1 và 1.2 ta có A− là đóng và intA là mở. Biên của
A được xác định bằng ∂A và định nghĩa ∂A = A− (X \ A)− .
Vũ Thị Định

3

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 1.1 Cho (X, ρ) là một không gian metric; thì các phát biểu
sau đây là tương đương:

1. X là compact;
2. Mỗi tập vô hạn trong X có điểm giới hạn;
3. X là dãy compact;
4. X là đầy và với mỗi > 0 có một số hữu hạn các điểm x1 , . . . , xn
trong X sao cho
n

B(xk ; ).

X=
k=1

Định nghĩa 1.7 Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi > 0
có một số nguyên N sao cho d(xn , xm ) < với mọi n, m ≥ N .
Nếu không gian metric (X, ρ) có tính chất mà mỗi dãy Cauchy có
giới hạn trên X thì không gian metric (X, ρ) là đầy.

1.3

Hàm giải tích

Mệnh đề 1.3 Nếu

an hội tụ tuyệt đối thì

an hội tụ.

Định nghĩa 1.8 Nếu G là một tập mở trong C và f : G → C thì f
khả vi tại điểm a ∈ G nếu


f (a + h) − f (a)
h→0
h
lim

tồn tại; giá trị của giới hạn này được xác định bằng f (a) và được
gọi là đạo hàm của hàm f tại a. Nếu f khả vi tại mỗi điểm của G ta
nói f là khả vi trên G. Nếu f khả vi trên G thì hàm f (a) được định
nghĩa f : G → C. Nếu f liên tục thì ta nói f là khả vi liên tục.
Mệnh đề 1.4 Nếu f : G → C là khả vi tại điểm a ∈ G thì f là liên
tục tại a.
Định nghĩa 1.9 Hàm f : G → C là giải tích nếu f là khả vi và liên
tục trên G.

Vũ Thị Định

4

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
∞

an (z − an )n có bán kính hội tụ R > 0

Mệnh đề 1.5 Nếu chuỗi
∞

n=0


an (z − an )n là giải tích trong B(a; R).

thì f (z) =
n=0

Mệnh đề 1.6 Cho G và Ω là các tập con mở của C. Giả sử f : G →
C và g : Ω → C là hàm liên tục sao cho f (G) ⊂ Ω và g(f (z)) = z
với mọi z ∈ G. Nếu g là khả vi và g (z) = 0, f là khả vi và f (z) =
1
. Nếu g là giải tích thì f giải tích.
g (f (z))
Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa không gian C∞ ) Trong giải tích
phức ta sẽ quan tâm tới hàm trở nên vô hạn khi biến tiến đến một
điểm nhất định. Để thảo luận về vấn đề này ta đưa ra mặt phẳng mở
rộng đó là C ∪ {∞} ≡ C∞ . Ta cũng muốn đưa vào một hàm khoảng
cách trên C∞ nhằm thảo luận tính chất liên tục của hàm, giả sử hàm
này có giá trị vô hạn. Để thực hiện điều này và để cho ra một hình
ảnh cụ thể của C∞ , ta biểu diễn C∞ như là một hình cầu đơn vị trong
R3 ,
S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 2 + x2 2 + x3 2 = 1}.
Để tránh nhầm lẫn B(a; r) sẽ được dùng để chỉ một hình cầu trong
C và B∞ (a; r) để chỉ hình cầu trong C∞ .
Mệnh đề 1.7 (a) Nếu a ∈ C và r > 0 thì có số ρ > 0 sao cho
B∞ (a; ρ) ⊂ B(a; r).
(b) Ngược lại, nếu ρ > 0 và a ∈ C thì có số r > 0 sao cho B(a, r) ⊂
B∞ (a; ρ).
(c) Nếu ρ > 0 thì có tập compact K ⊂ C sao cho C∞ − K ⊂
B∞ (∞; ρ).
(d) Ngược lại, nếu tập compact K ⊂ C, thì có số ρ > 0 sao cho

B∞ (∞; ρ) ⊂ C∞ − K .

1.4

Hàm phân hình

Định nghĩa 1.11 Hàm f có điểm kì dị cô lập tại z = a nếu có R > 0
sao cho f xác định và giải tích trên B(a; R) − {a} nhưng không xác
Vũ Thị Định

5

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

định trên B(a; R). Điểm a được gọi là điểm kì dị bỏ được nếu có hàm
giải tích g : B(a; R) → C sao cho g(z) = f (z) với 0 < |z − a| < R.
Định nghĩa 1.12 Nếu z = a là điểm kì dị cô lập của f thì a được
gọi là cực điểm của f nếu lim |f (z)| = ∞. Tức là, với bất kì M > 0
z→a

có số

> 0 sao cho |f (z)| ≥ M trong đó 0 < |z − a| < .

Định nghĩa 1.13 Nếu f : G → C là giải tích và a thuộc G thỏa mãn
f (a) = 0 thì a được gọi là không điểm của f với bội m ≥ 1 nếu có
hàm giải tích g : G → C sao cho f (z) = (z − a)m g(z) ở đó g(a) = 0.

Định nghĩa 1.14 (Định nghĩa Hàm phân hình) Nếu G là mở, f
là hàm xác định và giải tích trong G ngoại trừ cực điểm, thì f được
gọi là phân hình trên G.
Định lý 1.2 (Định lý Rouché) Giả sử f và g là phân hình trong
lân cận của B(a; R) khác không điểm hoặc cực điểm trên đường tròn
γ = {z : |z − a| = R}. Nếu Zf , Zg (Pf , Pg ) là số các không điểm (cực
điểm) của f và g thì mặt trong γ đếm theo bội và nếu

|f (z) + g(z)| < |f (z)| + |g(z)|
trên γ ,thì

Z f − Pf = Z g − P g .

1.5

Tích phân phức

Định nghĩa 1.15 Hàm γ : [a, b] → C với [a, b] ⊂ R, có biến phân
bị chặn nếu có hằng số M > 0 sao cho với bất kì sự phân hoạch
P = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} của [a, b].
m

|γ(tk ) − γ( tk−1 )| ≤ M.

v(γ; P ) =
k=1

Biến phân toàn phần của γ , V (γ) được xác định bởi V (γ) = sup{v(γ, p) :
P là phân hoạch của[a, b]}, rõ ràng V (γ) ≤ M < ∞.
Mệnh đề 1.8 Nếu γ : [a, b] → C là trơn từng khúc thì γ có biến phân

bị chặn và
b

|γ (t)|dt.

V (γ) =
a

Vũ Thị Định

6

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 1.3 Cho γ : [a, b] → C có biến phân bị chặn và giả sử
f : [a, b] → C là liên tục. Thế thì có số phức I sao cho với mọi ε > 0
có δ > 0 sao cho khi P = {t0 < t1 < · · · < tm } là phân hoạch của
[a, b] với P = max{(tk − tk−1 ) : 1 ≤ k ≤ m} < δ thì
m

f (τk ) [γ(tk ) − γ(tk−1 )] < ε

I−
k=1

với mọi cách chọn các điểm τk , tk−1 < τk < tk .
Số I được gọi là tích phân của f đối với γ trên [a, b] và được kí

hiệu
b

b

f dγ =

I=

f (t)dγ(t).

a

a

Mệnh đề 1.9 Cho γ : [a, b] → C có biến phân bị chặn và cho f :
[a, b] → C là liên tục. Nếu a = t0 < t1 < · · · < tn = b thì
b

I=

n

b

f dγ =

f dγ.
k=1 a


a

Định lý 1.4 Nếu γ là trơn từng khúc và f : [a, b] → C là liên tục thì
b

b

f dγ =
a

f (t)γ (t)dt.
a

Định nghĩa 1.16 Nếu γ : [a, b] → C là đường cong khả trường và
hàm f xác định và liên tục trên vết của γ thì tích phân (đường) của
f dọc γ là
b

f (γ(t))dγ(t).
a

Tích phân đường này được xác định bởi

f=
γ

Vũ Thị Định

f (z)dz.
γ


7

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 1.10 Nếu γ : [a, b] → C là đường cong khả trường và
ϕ : [c, d] → [a, b] là hàm liên tục không giảm với ϕ(c) = a, ϕ(d) = b;
thì với bất kì hàm f liên tục trên {γ}

f=

f.

γ

γ◦ϕ

Định lý 1.5 Cho G là mở rộng trong C và cho γ là đường cong khả
trường trong G với điểm đầu và điểm cuối α và β tương ứng. Nếu
f : G → C là hàm liên tục với nguyên hàm

F : G → C,
thì

f = F (β) − F (γ)
γ


(trong đó F là nguyên hàm của f khi F = f ).
Mệnh đề 1.11 Cho ϕ : [a, b] × [c, d] → C là hàm liên tục và định
b

nghĩa g : [c, d] → C bởi g(t) =

ϕ(s, t)ds. Thế thì g là liên tục. Hơn
a

nữa, nếu

∂ϕ
tồn tại và liên tục trên [a, b] × [c, d] thì g khả vi liên tục
∂t
b

∂ϕ
(s, t)ds.
∂t

g (t) =
a

Mệnh đề 1.12 Cho f : G → C là giải tích và giả sử B(a; r) ⊂
G(r > 0). Nếu γ(t) = a + reit , 0 ≤ t ≤ 2π , thì

f (z) =

f (w)
dw

w−z

1
2πi
γ

với |z − a| < r.
Định lý 1.6 Cho f là giải tích trong B(a; R); thế thì
∞

an (z − a)n

f (z) =
n=0

với |z − a| < R, trong đó an =
tụ ≥ R.
Vũ Thị Định

1 (n)
(a)
n! f

8

và chuỗi này có bán kính hội

K36C SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 1.1 Nếu f : G → C là giải tích và a ∈ G thì
∞

an (z − a)n

f (z) =
n=0

với |z − a| < R trong đó R = d(a; ∂G).
Hệ quả 1.2 Nếu f : G → C là giải tích và B(a; r) ⊂ G thì

f (n) (a) =

n!
2πi

f (w)
dw
(w − a)n+1
γ

trong đó γ(t) = a + reit , 0 ≤ t ≤ 2π .
Định lý 1.7 Cho f là hàm giải tích trong B(a; R) và giả sử |f (z)| ≤
M với ∀z ∈ B(a; R) thì

|f (n) (a)| ≤

n!M

.
Rn

Mệnh đề 1.13 Cho f là giải tích trong hình cầu đóng B(a; R) và
giả sử γ là đường cong khả trường được đóng trong B(a, R) thì

f = 0.
γ

Định lý 1.8 (Định lý Morera) Cho G là một miền và cho f : G →
C là hàm liên tục sao cho T = 0 với mọi đường dẫn tam giác T ∈ G;
thế thì f là giải tích trong G.

1.6

Nguyên lí modun cực đại

Định lý 1.9 (Nguyên lí modul cực đại thứ nhất)
Nếu f là giải tích trong miền G và một điểm a ∈ G với |f (a)| ≥ |f (z)|
với ∀z ∈ G thì f phải là hàm hằng.
Định lý 1.10 (Nguyên lí modul cực đại thứ hai)
Cho G là tập mở bị chặn trong C và giả sử f là hàm liên tục trên G−
mà giải tích trong G. Thế thì

max{|f (z)| : z ∈ G− } = max{f (z) : z ∈ ∂G}.
Vũ Thị Định

9

K36C SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.17 Nếu f : G → C và a ∈ G− hoặc a = ∞ thì giới
hạn trên của f (z) khi z gần tới a, gọi là lim sup f (z), định nghĩa bằng
z→a

lim sup f (z) = lim+ sup{f (z) : z ∈ G

z→a

r→0

B(a; r)}.

(Nếu a = ∞, B(a; r) là hình cầu trong không gian metric của C∞ ).
Tương tự, giới hạn dưới của f (z) khi z gần tới a, gọi là lim inf f (z),
z→a

định nghĩa bằng

lim inf f (z) = lim+ inf{f (z) : z ∈ G

z→a

r→0

B(a; r)}.


Ta thấy lim f (z) tồn tại và bằng α khi và chỉ khi α = lim sup f (z) =
z→a

z→a

lim inf f . Nếu G ⊂ C thì ∂∞ G là biên của G trong C∞ .

z→a

Rõ ràng ∂∞ G = ∂G nếu G là bị chặn và ∂∞ G = ∂G
bị chặn.

{∞} nếu G là

Định lý 1.11 (Nguyên lí modun cực đại thứ ba)
Cho G là một miền trong C và f là hàm giải tích trên G. Giả sử có
hằng số M sao cho lim sup |f (z)| ≤ M với mọi a ∈ ∂∞ G. Thế thì
z→a

|f (z)| ≤ M với

∀a ∈ G.

Định lý 1.12 Cho f : D → D là ánh xạ của D vào chính nó và giả
sử f (a) = 0. Thế thì có một số phức c với |c| = 1 sao cho f = cϕα .

Vũ Thị Định

10


K36C SP Toán


Chương 2
Tính Compact và Sự Hội Tụ
Trong Không Gian Các Hàm Giải
Tích
Trong chương này một metric được đặt trên tập hợp của tất cả các
hàm giải tích trên miền G cố định, và tính compact và hội tụ trong
không gian metric này được thảo luận. Trong số những ứng dụng thu
được là chứng minh của Định lí ánh xạ Riemman.
Một số kết quả tổng quát thu được đó cho phép chúng ta nghiên
cứu không gian của hàm phân hình .

2.1

Không gian của hàm liên tục C(G,Ω)

Định nghĩa 2.1 Nếu G là tập mở trong C và (Ω, d) là một không
gian metric đầy đủ thì kí hiệu C(G, Ω) là tập của tất cả các hàm liên
tục từ G đến Ω.
Tập C(G, Ω) không bao giờ rỗng vì nó luôn chứa các hàm hằng.
Tuy nhiên có thể C(G, Ω) chỉ chứa các hàm hằng. Ví dụ giả sử G liên
thông và Ω = N = {1, 2, . . . }. Nếu f thuộc C(G, Ω) thì f (G) phải là
liên thông trong Ω và do đó suy biến thành một điểm.
Tuy nhiên, mối quan tâm chính là khi Ω là một trong hai tập C
hoặc C∞ . Hai trường hợp này của Ω đều dẫn đến C(G, Ω) có nhiều
phần tử không là hằng số.
Thực ra mỗi hàm giải tích trên G có trong C(G, C) và mỗi hàm
phân hình trên G ở trong C(G, C∞ ).


11


Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 2.1 Nếu G mở trong C thì có một dãy {Kn } các tập hợp
∞

con compact của G sao cho G =

Kn . Hơn nữa, có thể chọn tập
n=1

hợp Kn thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) Kn ⊂ intKn+1 ;
(b) K ⊂ G và K compact nghĩa là K ⊂ Kn với mỗi n;
(c) Mỗi một thành phần liên thông của C∞ − Kn chứa thành phần
liên thông của C∞ − G.
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương n đặt

Kn = {z : |z| ≤ n} ∩ z : d(z, C − G) ≥

1
n

nên rõ ràng Kn bị chặn và nó là giao của hai tập hợp con đóng của
C, Kn là compact. Hơn nữa, tập

{z : |z| < n + 1} ∩ {z : d(z, C − G) >


1
}
n+1

là mở, chứa Kn và chứa trong Kn+1 . Điều này suy ra rằng (a) là thỏa
∞

mãn. Dễ thấy G =

∞

Kn ta cũng thấy G =
n=1

intKn ; vì thế nếu
n=1

K là tập con compact của G thì tập {intKn } tạo thành một phủ mở
của K . Suy ra được phần (b).
Xem phần (c) ta thấy các thành phần liên thông không xác định
của C∞ − Kn (⊃ C∞ − G) phải chứa ∞ và do đó phải có các thành
phần liên thông của C∞ − G chứa ∞, còn thành phần liên thông
không xác định thì chứa {z : |z| > n}. Vì vậy nếu D là một thành
phần liên thông xác định của C∞ − Kn thì có chứa một điểm z với
1
d(z, C −G) < . Nhưng theo định nghĩa, điều này suy ra có một điểm
n
1
1

ω trong C − G với |ω − z| < . Nhưng thấy tiếp z ∈ B ω;
⊂
n
n
C∞ − Kn ; vì hình cầu này liên thông và z thuộc trong thành phần
1
liên thông D của C∞ − Kn , B ω;
⊂ D. Nếu D1 là thành phần
n
liên thông của C∞ − G có chứa ω thì D1 ⊂ D.
Vũ Thị Định

12

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
∞

Kn , ở đó mỗi Kn là compact và Kn ⊂ int Kn+1 , định

Nếu G =
n=1

nghĩa

ρn (f, g) = sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ Kn }

(2.1)


với mọi hàm f và g trong C(G, Ω). Cũng định nghĩa
∞

ρ(f, g) =
n=1

1
2

n

ρn (f, g)
;
1 + ρn (f, g)

(2.2)

Vì t(1 + t)−1 ≤ 1 với mọi t ≥ 0 nên chuỗi (2.2) là không vượt quá
∞
1 n
và phải hội tụ. Ta sẽ chứng tỏ rằng ρ là metric với C(G, Ω).
2
n=1
Đây là điều được thấy ở bổ đề sau.
Bổ đề 2.1 Nếu (S, d) là không gian metric thì

µ(s, t) =

d(s, t)

1 + d(s, t)

cũng là một metric trên S. Tập A là mở trong (S, d) nếu và chỉ nếu
nó là tập mở trong (S, µ). Một dãy là dãy Cauchy trong metric (S, d)
nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy trong (S, µ).
Mệnh đề 2.2 (C(G, Ω), ρ) là không gian metric.
Chứng minh. Dễ dàng có ρ(f, g) = ρ(g, f ). Vì mỗi ρn thỏa mãn bất
đẳng thức tam giác, nên bổ đề trước có thể dùng để chứng tỏ ρ thỏa
∞

mãn bất đẳng thức tam giác. Cuối cùng, từ G =

Kn suy ra f = g
n=1

trong đó ρ(f, g) = 0.
Bổ đề 2.2 Cho metric ρ được xác định trong (2.2). Nếu > 0 thì ta
có δ > 0 và tập compact K ⊂ G sao cho với f và g trong C(G, Ω),

sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ ⇒ ρ(f, g) < .
Ngược lại, nếu δ > 0 và tập compact K đã cho, có một
với f và g trong C(G, Ω),

> 0 sao cho

ρ(f, g) < ⇒ sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ.
Vũ Thị Định

13


(2.3)

(2.4)

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh. Cố định > 0. Cho p là một số nguyên dương sao cho
∞
1
1 n
<
và đặt K = Kp . Chọn δ > 0 sao cho 0
t <
2
2
n=p+1
t
1
δ ta được
<
. Giả sử f và g là các hàm trong C(G, Ω)
1+t
2
thỏa mãn sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ . Vì Kn ⊂ Kp = K với
1 ≤ n ≤ p, nên ρn (f, g) < δ với 1 ≤ n ≤ P . Điều này dẫn tới

1

ρn (f, g)
<
với 1 ≤ n ≤ p.
1 + ρn (f, g) 2
Do đó

∞

ρ(f, g) <
n=1

1
2

n

∞

1
1
+
2
2
n=p+1

Từ đây (2.3) được thỏa mãn.

n

<


∞

Bây giờ giả sử K và δ được cho. Vì G =

∞

Kn =
n=1

intKn và K
n=1

là compact nên có một số nguyên p ≥ 1 sao cho K ⊂ Kp ; suy ra

ρn (f, g) ≥ sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K}
s
> 0 được chọn sao cho 0 ≤ s ≤ 2p kéo theo
< δ.
1−s
t
Thế thì
< 2p kéo theo t < δ . Vì vậy nếu ρ(f, g) < thì
1+t
ρn (f, g)
< 2p và suy ra ρn (f, g) < δ . Từ đây suy ra (2.4) là
1 + ρn (f, g)
đúng.
Cho


Mệnh đề 2.3 (a) Tập O ⊂ (C(G, Ω), ρ) là mở khi và chỉ khi với
mỗi f ∈ O có một tập compact K và δ > 0 sao cho

O ⊃ {g : d(f (z), g(z)) < δ, z ∈ K}.
(b) Một dãy {fn } trong (C(G, Ω), ρ) hội tụ đến f khi và chỉ khi {fn }
hội tụ đều đến f trên tất cả tập con compact của G.
Chứng minh. Nếu O là mở và f ∈ O thì với ∀ > 0, O ⊃ {g :
ρ(f, g) < }. Nhưng do phần đầu của Bổ đề 2.2 nên có δ > 0 và tập
compact K với tính chất muốn có. Ngược lại, nếu O có những tính
chất vừa được nêu và f ∈ O thì từ phần hai của Bổ đề 2.2 có > 0
sao cho O ⊃ {g : ρ(f, g) < }; như vậy O là mở.
Vũ Thị Định

14

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 2.1 Tập các tập mở không phụ thuộc vào sự lựa chọn của
∞

tập hợp {Kn }. Tức là, nếu G =

Kn trong đó mỗi Kn là compact
n=1

và Kn ⊂ intKn+1 và nếu µ là một metric định nghĩa bởi tập {Kn }
thì tập hợp là mở trong (C(G, Ω), µ) khi và chỉ khi nó được mở trong

(C(G, Ω), ρ).
Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.3(a) tức là từ
các sự mô tả đặc điểm của tập mở không phụ thuộc vào sự lựa chọn
của tập {Kn }.
Như vậy, khi ta xét C(G, Ω) là một không gian metric giả dụ rằng
metric ρ được tính bởi công thức (2.2) đối với với một dãy {Kn } của
tập compact sao cho Kn ⊂ intKn+1 và G = ∞
n=1 Kn . Thực ra thì với
Kn ⊂ intKn+1 có thể được bỏ và kết quả ở trên sẽ vẫn có giá trị.
Mệnh đề 2.4 C(G, Ω) là không gian metric đầy.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2. Giả sử {fn } là một dãy Cauchy
trong C(G, Ω). Thế thì với mỗi tập compact K ⊂ G giới hạn của
hàm fn đến K là dãy Cauchy trong C(K, Ω). Tức là, với mỗi δ > 0
có một số nguyên N sao cho

sup{d(fn (z), fm (z)) : z ∈ K} < δ

(2.5)

với n, m ≥ N . Đặc biệt {fn (z)} là dãy Cauchy trong Ω; vì vây có điểm
f (z) trong Ω sao cho f (z) = lim fn (z). Ta nhận được hàm f : G → Ω;
ta sẽ chứng minh rằng f là liên tục và ρ(fn , g) → 0.
Cho K là compact và δ > 0 cố định; chọn N sao cho (2.5) đúng
với n, m ≥ N . Nếu z là điểm cố định tùy ý trong K thì có một số
nguyên m ≥ N sao cho d(f (z), fm (z)) < δ . Nhưng thế thì

d(f (z), fn (z)) < 2δ, ∀n ≥ N.
Vì N không phụ thuộc vào z nên

sup{d(f (z), fn (z)) : z ∈ K} → 0 khi n → ∞.

Tức là, {fn } hội tụ đến f đều trên mỗi tập compact trong G. Đặc
biệt, sự hội tụ là đều trên tất cả các hình cầu đóng chứa trong G. Suy
ra f là liên tục tại mỗi điểm của G. Hơn nữa, Mệnh đề 2.3(b) suy ra
ρ(fn , p) → 0.
Vũ Thị Định

15

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 2.2 Tập F ⊂ C(G, Ω) được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi
dãy trong F có dãy con hội tụ đến hàm f trong C(G, Ω).
Điều này tất nhiên trông giống như định nghĩa của tập compact
theo dãy, nhưng giới hạn của dãy con không cần thuộc vào tập F.
Mệnh đề 2.5 Tập F ⊂ C(G, Ω) là chuẩn tắc khi và chỉ khi bao đóng
của nó là compact.
Mệnh đề 2.6 Tập F ⊂ C(G, Ω) là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mỗi
tập compact K ⊂ G và δ > 0 có các hàm f1 , . . . , fn trong F sao cho
với f trong F có ít nhất một k, 1 ≤ k ≤ n, với

sup{d(f (z), fk (z)) : z ∈ K} < .
Chứng minh. Giả sử F là chuẩn tắc và cho K và δ > 0. Bằng Bổ đề
2.2 có > 0 sao cho (2.4) đúng. Nhưng từ F− là compact, F là hoàn
toàn bị chặn. Vậy là có f1 , . . . , fn trong F sao cho
n

F⊂


{f : ρ(f, fk ) < }
k=1

Nhưng từ cách chọn

suy ra
n

F⊂

{f : d(f (z), k(z)) < δ, z ∈ K};
k=1

tức là, F thỏa mãn điều kiện của mệnh đề.
Ngược lại, giả sử F có tính chất trên. Vì ta luôn thấy F− cũng thỏa
mãn điều kiện này, giả sử F là đóng. Nhưng vì C(G, Ω) là đầy đủ nên
F cũng phải đầy đủ. Và, lại dùng Bổ đề 2.2 nên ta thấy rằng F là
hoàn toàn bị chặn. Từ Định lí I.1.1 F là compact và do đó F chuẩn
tắc.
∞

Cho (Xn , dn ) là không gian metric với ∀n ≥ 1 và cho X =

Xn
n=1

là tích Đề các của chúng. Tức là, X = {ξ = {xn } : xn ∈ Xn , ∀n ≥ 1}.
Cho ξ = {xn } và η = {yn } trong X định nghĩa
∞


d(ξ, η) =
n=1

Vũ Thị Định

1
2

16

n

dn (xn , yn )
.
1 + dn (xn , yn )

(2.6)

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
∞

Xn , d , ở đó d được xác định bởi (2.6) là không

Mệnh đề 2.7
n=1
k


∞

gian metric. Nếu ξ =

{xkn }∞
n=1

Xn thì ξ k → ξ =

là trong X =
x=1

{xn } khi và chỉ khi xkn → xn với mọi n. Như vậy, nếu mỗi (Xn , dn )
là compact thì X là compact.
Chứng minh. Chứng minh d là metric. Giả sử d(ξ k , ξ) → 0. Vì

dn (xkn , xn )
≤ 2n d(ξ k , ξ),
k
1 + dn (xn , xn )
ta có

dn (xkn , xn )
= 0.
lim
k→ 1 + dn (xk
n , xn )

Điều này suy ra xkn → xn với ∀n ≥ 1.

Bây giờ giả sử với mỗi (Xn , dn ) là compact. Để chỉ ra (X, d) là
compact ta cần chứng tỏ rằng mọi dãy trong X có dãy con hội tụ; điều
này hoàn thành bởi quá trình chéo hóa Cantor. Cho ξ k = {xkn } ∈ X
với ∀k ≥ 1 và xét các dãy của các tọa độ thứ nhất của ξ k tức là,
xét {xk1 }∞
k=1 ⊂ X1 . Vì X1 là compact, có điểm x1 thuộc X và dãy
con của {xk1 } mà hôi tụ đến x1 . Kí hiệu dãy con hội tụ của {xk1 }
bằng {xk1 : k ∈ N1 }, ở đó N1 là tập con vô hạn của tập số nguyên
dương N. Xét dãy con của tọa độ thứ hai của {ξ k : k ∈ N1 }. Thế thì
có điểm x2 thuộc X2 và một tập hợp con vô hạn N2 ⊂ N1 sao cho
lim{xk2 : k ∈ N2 } = x2 . Tiếp tục quá trình này cho một dãy giảm của
các tập hợp con vô hạn của N, N1 ⊃ N2 . . . ; và điểm xn trong Xn sao
cho
lim{xkn : k ∈ Nn } = xn
(2.7)
Cho kj là số nguyên dương thứ j trong Nj và xét {ξ kj }; ta khẳng định
rằng ξ kj → ξ = {xn } khi k → ∞. Để chứng tỏ điều này ta chỉ cần
chỉ ra rằng
xn = lim xknj
(2.8)
kj →∞

k

với mọi n ≥ 1. Nhưng vì Nj ⊂ Nn với j ≥ n, nên {xnj : j ≥ n} là
dãy con của {xkn : k ∈ Nn }. Vậy (2.8) được suy ra từ (2.7).
Vũ Thị Định

17


K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 2.3 Tập F ⊂ C(G, Ω) được gọi là liên tục đồng bậc tại
điểm z0 ∈ G nếu với mọi > 0 có δ > 0 sao cho |z − z0 | < δ ,

d(f (z), f (z0 )) < , ∀f ∈ F.
F được gọi là liên tục đồng bậc trên tập E ⊂ G nếu với mọi
δ > 0 sao cho với z và z trong E và |z − z | < δ ,

> 0 có

d(f (z), f (z )) < , ∀f ∈ F.
Chú ý rằng nếu F gồm một hàm f thì phát biểu rằng F là liên tục
đồng bậc tại zo chính là sự kiện f liên tục tại z0 . Điều quan trọng về
liên tục đồng bậc là δ sẽ làm việc cho tất cả các hàm trong F. Hơn
nữa, với F={f } là liên tục đồng bậc trên E thì f liên tục đều trên E .
Để một họ F lớn hơn là liên tục đồng bậc phải có tính liên tục đều.
Mệnh đề 2.8 Giả sử F ⊂ C(G, Ω) là liên tục đồng bậc tại mỗi điểm
của G; thế thì F liên tục đồng bậc trên mỗi tập hợp con compact của
G.
Định lý 2.1 (Định lý Arzela-Ascoli) Tập F ⊂ C(G, Ω) là chuẩn
tắc khi và chỉ khi 2 điều kiện sau được thỏa mãn:
1. với mỗi z ∈ G, {f (z) : f ∈ F} có bao đóng compact trong Ω;
2. F là liên tục đồng bậc tại mọi điểm của G.
Chứng minh. Giả sử thứ nhất F là chuẩn tắc. Chú ý rằng với mỗi
z ∈ G có ánh xạ xác định bởi f → f (z) là liên tục; vì F − là compact
nên ảnh của nó cũng compact trong Ω và (a) được suy ra. Chứng

tỏ (b) cố định có điểm zo ∈ G và cho > 0. Nếu R > 0 ta chọn
K = B(zo ; R) ⊂ G thì K là compact và Mệnh đề 2.6 kéo theo có các
hàm f1 , . . . , fn trong F sao cho với mọi f ∈ F có ít nhất một fk với

sup{d(f (z), fk (z)) : z ∈ K} < .
3

(2.9)

Nhưng vì mỗi fk là liên tục có δ, 0 < δ < R, sao cho |z − zo | < δ kéo
theo
d(fk (z), fk (z0 )) <
3
Vũ Thị Định

18

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

với 1 ≤ k ≤ n. Do đó, nếu |z − z0 | < δ, f ∈ F , và k được chọn để
(2.9) đúng, thì

d(f (z), f (z0 )) ≤ d(f (z), fk (z)) + d(fk (z), fk (z0 )) + d(fk (z0 ), f (z0 ))
< .
Tức là, F là liên tục đồng bậc tại z0 .
Giờ giả sử F thỏa mãn điều kiện (a) và (b); ta cần chỉ ra rằng F
là chuẩn tắc. Cho {zn } là dãy của tất cả các điểm thuộc G với phần

thực và phần ảo ( vậy cho z ∈ G, δ > 0 có zn với |z − zn | < δ ). Với
mỗi n ≥ 1 có
Xn = {f (zn ) : f ∈ F}− ⊂ Ω;
Từ phần (a), (X, d) là không gian metric. Do đó, bằng Mệnh đề 2.7,
∞

Xn là không gian metric. Cho f ∈ F định nghĩa f˜ ∈ X bởi

X=
n=1

f˜ = {f (z1 ), f (z2 ), . . .}.
Cho {fk } là dãy trong F ; vì vậy {f˜k } là dãy compact trong không
gian metric X . Do đó có ξ ∈ X và dãy con của {f˜k } hội tụ đến ξ . Ta
dùng kí hiệu, giả dụ ξ = limf˜k . Trở lại Mệnh đề 2.7,

lim fk (zn ) = {ωn }

k=∞

(2.10)

ở đó ξ = {ωn }.
Ta sẽ chỉ ra rằng {fk } hội tụ đến hàm f trong C(G, Ω). Bằng
(2.10) hàm f này sẽ thõa mãn f (zn ) = ωn .
Để tìm hàm f và chứng tỏ {fk } hội tụ đến f ta cần chỉ ra rằng
{fk } là một dãy Cauchy. Cho K là tập compact trong G và cho > 0;
bằng Bổ đề 2.2 ta cần chỉ ra để tìm số nguyên J sao cho với k, j ≥ J ,

sup{d(fk (z), fj (z)) : z ∈ K} < .


(2.11)

Vì K là compact R = d(K, ∂G) > 0. Cho K1 = {z : d(z, K) ≤ 21 R};
thì K1 là compact và K ⊂ intK1 ⊂ K1 ⊂ G. Vì F là liên tục đồng
bậc tại mỗi điểm của G là liên tục đồng bậc trên K1 bởi Mệnh đề 2.8.
Vậy cho δ, 0 < δ < 21 R, sao cho

d(f (z), f (z)) <
Vũ Thị Định

19

3

(2.12)
K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

với mọi f ∈ F trong đó z và z thuộc K1 với |z − z | < δ . Bây giờ cho
D là tập hợp các điểm trong {zn } mà cũng là điểm thuộc K1 ; tức là

D = {zn : zn ∈ K1 }.
Nếu z ∈ K thì có zn với |z −zn | < δ ; nhưng δ < 21 R suy ra d(zn , K) <
1
2 R, hoặc zn ∈ K1 . Hơn nữa, {B(ω; δ) : ω ∈ D} là mở trên K . Cho
ω1 , . . . , ωn ∈ D sao cho
n


K⊂

B(ωi ; δ).
i=1

Vì lim fk (ωi ) tồn tại với 1 ≤ i ≤ n có số nguyên J sao cho với
R→∞

j, k ≥ J

d(fk (ωi ), fj (ωi )) <

3

(2.13)

với i = 1, . . . , n.
Cho z là điểm tùy ý trong K và cho ωi sao cho |ωi − z| < δ . Nếu
k, j lớn hơn J thì từ (2.12) và (2.13) suy ra

d(fk (z), fj (z)) ≤ d(fk (z), fk (ωi )) + d(fk (ωi ), fj (ωi )) + d(fj (ωi ), fj (z))
< .
Vì z là số tùy ý nên thiết lập được (2.11).

2.2

Không gian hàm giải tích

Định lý 2.2 Nếu {fn } là dãy trong H(G) và f ∈ C(G, C) sao cho

(k)
fn → f thì f là giải tích và fn → f (k) với mỗi số nguyên k ≥ 1.
Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ f giải tích bằng cách áp dụng Định
lí Morera. Vậy cho T là hình tam giác chứa bên trong hình tròn
D ⊂ G. Vì T là compact, {fn } là hội tụ đều đến f trên T . Do vậy
f = lim fn = 0 vì mỗi fn là giải tích. Do đó f phải giải tích trong
T

T

mỗi hình tròn D ⊂ G; nên suy ra f là giải tích trong G.
(k)
Để chứng tỏ fn → f (k) , cho D = B(a, r) ⊂ G; thế thì có một số
R > r sao cho B(a, R) ⊂ G. Nếu γ là đường tròn |z − a| = R thì

Vũ Thị Định

20

K36C SP Toán