TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
——————————o0o——————————

PHẠM THỊ HUYỀN THƯƠNG

C ∗-ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Giải Tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS. HOÀNG NGỌC TUẤN

HÀ NỘI-2014


LỜI CẢM ƠN
Với sự giúp đỡ của thầy cô, bạn bè cùng với sự cố gắng của bản
thân, sau một thời gian tìm hiểu, nghiên cứu em đã hoàn thành đề
tài.
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
thầy giáo ThS. Hoàng Ngọc Tuấn - Giảng viên trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 - người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và tạo mọi
điều kiện để em hoàn thành khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ bảo em suốt thời gian em
theo học tại trường.
Và em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Mặc dù đã cố gắng, xong thời gian và kinh nghiệm bản thân còn

nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để đề tài
của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thị Huyền Thương

i


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố
gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, đặc biệt cùng với sự
giúp đỡ tận tình của thầy giáo ThS. Hoàng Ngọc Tuấn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận em có tham
khảo một số tài liệu đã ghi ở mục Tài liệu tham khảo. Vì vậy, em
xin khẳng định kết quả của khóa luận này không trùng với kết quả
của bất kì tác giả nào khác.
Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thị Huyền Thương

ii



Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU

iv

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2

1

1.1
1.2

Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

1.3
1.4

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
15

C∗ − ĐẠI SỐ

2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . .
2.2 C ∗ − đại số giao hoán . . . . . . . . . . .
2.3 Các phần tử dương trong một C ∗ − đại số
2.4 Phép tính vị từ đối với toán tử chuẩn tắc
2.5 Hoán tập của một toán tử chuẩn tắc . . .
2.6 Lí thuyết bội . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

18
18

. . . . . . .
. . . . . . .

23
26

. . . . . . .
. . . . . . .

31
39

. . . . . . .

42

KẾT LUẬN


48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

49

iii


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

C∗ -đại số có nguồn gốc từ bộ môn giải tích hàm và có vị trí quan
trọng trong việc nghiên cứu các khái niệm giải tích. C∗ -đại số là
một lớp đặt biệt của đại số Banach. C∗ -đại số có một phép đối
hợp có các tính chất song song với các tính chất của phép liên
hợp các toán tử trong không gian Hilbert.
Tuy nhiên do thời gian học trên lớp còn hạn chế nên lĩnh vực
này chưa được nghiên cứu một cách cụ thể và chi tiết.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về nội dung của lớp C∗ đại số cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.s Hoàng
Ngọc Tuấn. Vì vậy, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của
mình về đề tài "C∗ -đại số".
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc Nghiên cứu khoa học và tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích hàm mà đặc biệt là tìm hiểu
về C∗ -đại số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất cơ bản của C∗ -đại số, C∗ -đại số giao
hoán, Phần tử dương trong C∗ -đại số, Phép tính vị từ đối với
toán tử chuẩn tắc, Hoán tập của một toán tử chuẩn tắc và Lí

thuyết bội.
4. Đối tượng nghiên cứu
C∗ -đại số.
iv


Khóa luận tốt nghiệp

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng
hợp, đánh giá.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: C∗ -đại số.

Phạm Thị Huyền Thương

v

K36C SP Toán


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Không gian Metric


Định nghĩa 1.1 Không gian metric là một cặp (X , d); trong đó X
là một tập, d : X × X → R là một hàm xác định trên X × X thoả
mãn các điều kiện sau
1. d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X ,
d(x, y) = 0 ⇔ x = y ,
2. d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X (tính đối xứng),
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X (bất đẳng thức
tam giác).

d được gọi là metric trong X . Mỗi phần tử của X gọi là một điểm
của X ; d(x, y) là khoảng cách giữa hai điểm x và y .
Định nghĩa 1.2 Nếu x và r > 0 cố định thì định nghĩa

B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) < r},
B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.
B(x; r) và B(x; r) tương ứng được gọi là hình cầu mở và đóng với
tâm x, bán kính r.
Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric (X , d), tập G ⊂ X là tập
mở nếu mọi x ∈ G có một ε > 0 sao cho B(x; ε) ⊂ G.
1


Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 1.1 Cho (X , d) là không gian metric. Ta có
(a) Tập X và ∅ là tập mở,
n

(b) Nếu G1 , ..., Gn là các tập mở trong X thì có


Gk ,
k=1

(c) Nếu {Gj : j ∈ J} là tập các tập mở trong X , J là tập hợp chỉ
số bất kì, thì G = ∪{Gj : j ∈ J} cũng là mở.
Định nghĩa 1.4 Tập F ∈ X là đóng nếu X \ F là mở.
Mệnh đề 1.2 Cho (X , d) là không gian metric thì
(a) Tập X và ∅ là đóng;
n

(b) Nếu F1 , ..., Fn là các tập đóng trong X thì

Fk cũng là tập
k=1

đóng;
(c) Nếu {Fj : j ∈ J} là tập các tập đóng bất kì trong X , J là tập
hợp chỉ số bất kì, thì F = ∩{Fj : j ∈ J} cũng là đóng.
Định nghĩa 1.5 Một dãy {xn } được gọi là một dãy Cauchy nếu với
mọi ε > 0, có một số nguyên N sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi

n, m ≥ N.
Định nghĩa 1.6 Một không gian metric là đầy khi mọi dãy Cauchy
hội tụ.
Định nghĩa 1.7 Cho không gian metric M = (X , d). Tập K ⊂ X
gọi là tập compact trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần
tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K .
Định nghĩa 1.8 Cho không gian metric M = (X , d), không gian M
là không gian compact, nếu tập X là tập compact trong M .
Định lý 1.1 Cho K là tập con đóng của một không gian metric


(X , d), thì các điều sau là tương đương
Phạm Thị Huyền Thương

2

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(a) K là compact.
(b) Nếu F là một tập hợp của tập con đóng K có tính chất nếu mọi
tập con hữu hạn có giao khác rỗng, thì F ∈F F = ∅.
(c) Mọi tập vô hạn trong K có một điểm giới hạn.
(d) Mọi dãy trong K có một dãy con hội tụ.
(e) (K, d) là không gian metric đầy, hoàn toàn bị chặn; nghĩa là, nếu
n

r > 0, thì có các điểm x1 , ..., xn sao cho X =

B(xk ; r).
k=1

1.2

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Cho X là một không gian vectơ trên F = R hoặc
C. Một chuẩn trên X là một hàm · : X → [0, ∞) có các tính chất

sau với mỗi số a ∈ F và các vectơ x, y ∈ X
(a) x = 0 ⇔ x = 0;
(b) ax = |a| x ;
(c) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác).
Một không gian định chuẩn là một cặp (X , · ) gồm một không gian
vectơ X và một chuẩn

· .

Ví dụ 1.1. Cho X = Fd với d là một số tự nhiên và x = (x1 , ..., xd ) ∈
d
1

|xk |2 ] 2 là một chuẩn. Khi đó (X , x ) là một

d

F xác định x = [
k=1

không gian định chuẩn.
Nếu X là một không gian định chuẩn, thì ta định nghĩa

ballX = {x ∈ X :

Phạm Thị Huyền Thương

3

x ≤ 1}.


K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.10 Một không gian Banach là một không gian định
chuẩn đầy với metric tương ứng. Tức là, mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Mệnh đề 1.3 Nếu X là một không gian định chuẩn và x, y ∈ X , thì

| x − y | ≤ x − y . Hơn nữa, nếu d : X × X → [0; ∞) được xác
định bởi d(x, y) = x − y , thì (X , d) là một không gian metric.
Định nghĩa 1.11 Một không gian metric (X , d) là một compact địa
phương nếu với mọi điểm x ∈ X có một bán kính r > 0 sao cho

B(x; r) có bao đóng compact.
Định nghĩa 1.12 Nếu X là một không gian metric compact địa
phương, ta nói một hàm liên tục f : X → F triệt tiêu ở vô cực
nếu với mọi ε > 0, tập {x ∈ X : |f (x)| ≥ ε} là compact. Gọi C0 (X )
là kí hiệu tập của tất cả các hàm liên tục trên X và triệt tiêu ở vô
cực. Đối với hàm liên tục bất kì f : X → F định nghĩa giá của f
là tập cl{x : f(x) = 0} và kí hiệu tập này bởi spt(f). Nói f có giá
compact nếu spt(f) là tập con compact của X . Gọi Cc (X ) là kí hiệu
tập hợp của tất cả các hàm liên tục f : X → F có giá compact.
Định nghĩa 1.13 C(X ) là kí hiệu không gian của tất cả các hàm liên
tục f : X → F và Cb (X ) là kí hiệu không gian của các hàm liên tục
bị chặn trong C(X ). Tức là, f ∈ Cb (X ) khi và chỉ khi f ∈ C(X ) và
có một số M sao cho |f (x)| ≤ M với mọi x ∈ X . Khi X là compact,
C(X ) = Cb (X ).
Định nghĩa 1.14 C(X ) có một cấu trúc đại số tự nhiên trong đó các

phép toán đại số được định nghĩa theo từng điểm. Nếu f, g ∈ C(X ,
(f + g) : X → F được định nghĩa bởi (f + g)(x) = f (x) + g(x). Và
định nghĩa (f g) : X → F bởi (f g)(x) = f (x)g(x). Tương tự, ta định
nghĩa af khi a ∈ F và f ∈ C(X ). Ta có f + g, f g, af thuộc C(X ).
Khi đó C(X ) là một đại số. Tức là, nó có một không gian vectơ trên
F có một cấu trúc nhân và phép phân phối. Ta cũng có Cb (X ) là một
đại số.
Kí hiệu 2X là tập hợp của các hàm X : X → {0, 1} .
Phạm Thị Huyền Thương

4

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.15 Nếu X là tập bất kì, thì một tập con A của 2X
được gọi là một σ−đại số nếu có các tính chất sau
(a) ∅ và X ∈ A,
(b) Nếu E, F ∈ A, thì E\F ∈ A,
(c) Nếu {E1 , E2 , . . .} ⊆ A, thì

∞
n=1 En

∈ A.

(d) Nếu {E1 , E2 , . . .} ⊆ A, thì


∞
n=1 En

∈ A.

Định nghĩa 1.16 Cho X là một không gian vectơ, một phiếm hàm
tuyến tính trên X là một hàm L : X → F thoả mãn

L(ax + by) = aL(x) + bL(y)
với mọi x, y ∈ X và mọi số a, b ∈ F. Nếu X là không gian định
chuẩn, ta nói rằng phiếm hàm tuyến tính L bị chặn nếu tồn tại một
hằng số M sao cho |L(x)| ≤ M x với mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.17 Một phiếm hàm tuyến tính dương trên C(X ) là
một phiếm hàm tuyến tính L : C(X ) → R sao cho L(f ) ≥ 0 với
f ≥ 0.
Khi L là một phiếm hàm tuyến tính dương, L(f ) ≤ L(g) với f ≤ g
hoặc L(g) − L(f ) = L(g − f ) ≥ 0.
Định lý 1.2 (Định lí Stone-Weierstrass) Nếu X là compact và

A là một đại số con đóng của C(X ) thì A = C(X ) khi và chỉ khi có
các điều kiện sau:
(a) 1 ∈ A;
(b) Nếu x, y ∈ X với x = y thì có f ∈ A với f (x) = f (y);
(c) Nếu f ∈ A thì f ∈ A.

Phạm Thị Huyền Thương

5

K36C SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.18 Nếu X và Y là các không gian định chuẩn trên
F, một toán tử tuyến tính hay toán tử T : X → Y là một phiếm
hàm thoả mãn T (a1 x1 + a2 x2 ) = a1 T x1 + a2 T x2 với mọi a1 , a2 ∈ F và

x1 , x2 ∈ X . T là bị chặn nếu có một hằng số M sao cho T x ≤ M x
với mọi x ∈ X . Ta kí hiệu tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X
lên Y bởi B(X , Y) và đặt B(X ) = B(X , X ).
Ví dụ 1.2. Mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn L trên X là một toán
tử tuyến tính bị chặn từ X lên F.
Định nghĩa 1.19 Nếu T ∈ B(X , Y),thì

T = sup{ T x : x ∈ ballX }
được gọi là chuẩn của T .
Định nghĩa 1.20 Cho X và Y là hai không gian vectơ và T : X →

Y là một phiếm hàm tuyến tính, ker T và ranT được xác định bởi
ker T = {x ∈ X : T x = 0}
ranT = {T x : x ∈ X }.
Mệnh đề 1.4 Nếu T ∈ B(X , Y) thì

T = sup{ T x / x : x ∈ X và x = 0}
= sup{ T x : x ∈ X và x = 1}.
và ta có T x ≤ T

x với mọi x ∈ X .


Định nghĩa 1.21 Một đa tạp tuyến tính là một không gian vectơ
của X mà không nhất thiết phải đóng.
Định nghĩa 1.22 Cho X là không gian định chuẩn trên trường F.
Ta gọi không gian X ∗ gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian X là không gian đối ngẫu của không gian X . Giả sử X , Y
là hai không gian định chuẩn, T là toán tử tuyến tính định chuẩn từ
Phạm Thị Huyền Thương

6

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

X → Y . Toán tử T ∗ : Y ∗ → X ∗ được xác định bởi: T ∗ y ∗ = y ∗ T ∗ với
y ∗ ∈ Y ∗ nghĩa là
x, T ∗ (y ∗ ) = T (x), y ∗

∀x ∈ X ,

gọi là toán tử tuyến tính bị chặn của T .
Định nghĩa 1.23 X là một không gian vectơ trên F, một nửa chuẩn
là một hàm P : X → [0, ∞) thỏa mãn
(a) P (x + y) ≤ P (x) + P (y) với mọi x, y ∈ X ,
(b) P (αx) = |α|P (x) với mọi x ∈ X và với mọi số α ∈ F.
Định nghĩa 1.24 Một không gian lồi địa phương hay LCS là một
không gian vectơ trên F cùng với một tập hợp các nửa chuẩn P thỏa
mãn


{P −1 (0) : p ∈ P } = {0}.
Định nghĩa 1.25 Giả sử X là một LCS. Với mỗi x∗ ∈ X ∗ xác định
một nửa chuẩn trên X ,

Px∗ (x) = | x, x∗ |
Topo xác định trên X bởi tập hợp các nửa chuẩn {Px∗ : x∗ ∈ X ∗ }
được gọi là topo yếu. Kí hiệu σ(X , X ∗ ) hoặc wk .
Với mọi x ∈ X xác định một nửa chuẩn trên X ∗

Px (x∗ ) = | x, x∗ |
Topo xác định trên X ∗ bởi tập hợp các nửa chuẩn {Px : x ∈ X } được
∗
∗
gọi là topo yếu . Kí hiệu σ(X ∗ , X ) yếu hoặc wk ∗ .
Định nghĩa 1.26 Nếu X là một tập và H là một σ -đại số các tập
con của X , thì một độ đo là một hàm µ : A → [0, ∞] thỏa mãn các
điều kiện sau
(a) µ(∅) = 0;
Phạm Thị Huyền Thương

7

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
∞

(b) Nếu dãy {E1 , E2 , . . . } ⊆ A thì µ


∞

En

≤

n=1

µ(En );
n=1

(c) Nếu dãy {E1 , E2 , . . . } là các tập đôi một rời nhau trong A, thì
∞

µ

∞

En

=

n=1

µ(En ).
n=1

Bộ ba (X , A, µ) được gọi là không gian độ đo. Nếu µ(X ) < ∞, thì
nó được gọi là không gian độ đo hữu hạn.
ˆ là tập R ∪ {±∞} = [∞, ∞]. R

ˆ gọi là là tập số thực
Ta kí hiệu R

ˆ như một không gian metric. Điều này giúp
mở rộng. Ta có thể coi R
ˆ đến một khoảng đóng [a, b] trong
ta thấy đựợc tính "liên tục", từ R
ˆ → [a, b], và định nghĩa d(x, y) = |φ(x) − φ(y)| với mọi
R, φ : R
ˆ sao cho φ(x) = arctan x, ánh xạ [−∞, ∞] dãy đơn điệu tăng
x, y ∈ R
π π
ˆ là bảo toàn.
đến − , . Vì vậy cấu trúc trên của R
2 2
Định nghĩa 1.27 Nếu X là một tập và A là một σ -đại số của các
ˆ là A -đo được, hay được hiểu là
tập con của X , thì hàm f : X → R
đo được khi A là một σ -đại số, với điều kiện f −1 B ∈ A với mọi tập
ˆ Khi X là một không gian metric và A là một tập hợp
Borel B của R.
của các tập con Borel của X , ta gọi các hàm A -đo được là các hàm
Borel. Kí hiệu các hàm đo được là M(X , A).
Định nghĩa 1.28 Mọi không gian metric (X , d) là compact địa phương
nếu với mọi x ∈ X , có một bán kính r > 0 sao cho B(x; r) có bao
đóng compact.
Định nghĩa 1.29 Nếu X là một tập và A là một σ -đại số của các
tập con của X , một độ đo có dấu trên (X , A) là một hàm µ : A →
[−∞, ∞] có các tính chất sau:
(a) Không tồn tại các tập E và F trong A sao cho µ(E) = ∞ và


µ(F ) = ∞;
(b) µ(∅) = 0;
Phạm Thị Huyền Thương

8

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(c) Nếu {En } là một dãy các tập trong A đôi một rời nhau, thì
∞

µ

∞

En

=

n=1

µ(En ).
n=1

Định nghĩa 1.30 Một độ đo phức hoặc độ đo có giá trị phức trên
(X , A) là một hàm µ : A → C sao cho Reµ và Imµ là các độ đo có

dấu hữu hạn.
Định nghĩa 1.31 Khi X là không gian metric compact địa phương,
ta nói rằng µ là một độ đo Borel chính qui trên X nếu µ hoặc là độ
đo (phức) hoặc là độ đo đơn được xác định trên một σ -đại số A chứa
tập Borel và thoả mãn các điều sau
(a) |µ|(K) < ∞ với mọi tập compact;
(b) Với mỗi E ∈ A, |µ|(E) = inf{|µ|(G) : E ⊆ G và G là mở};
(c) Với mỗi E ∈ A, |µ|(E) = sup{|µ|(K) : E ⊆ K và G là compact}.
Định lý 1.3 (Định lí biểu diễn Riesz) Nếu X là một không gian
metric compact và L : C(X ) → C là một phiếm hàm tuyến tính bị
chặn, thì có duy nhất một độ đo Borel chính qui µ sao cho

L(f ) =

f dµ

với mọi f ∈ (X ). Ngoài ra L = µ = |µ|(X ).
Định nghĩa 1.32 Một hàm đo được đơn giản là một hàm A -đo được

U : X → R chỉ lấy hữu hạn các giá trị. Tương đương, U là một hàm
đo được đơn giản nếu có các tập con đôi một rời nhau E1 , . . . , En
n

trong A và các số thực a2 , . . . , an sao cho U =

ak × Ek . Nếu thêm
k=1

vào đó các tập Ek có độ đo hữu hạn, ta nói rằng U là khả tích và kí
hiệu


n

dµ =

ak µ(Ek ).
k=1

Phạm Thị Huyền Thương

9

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Một hàm đơn giản là A đo đựơc khi và chỉ khi U −1 ∈ A với mọi
a ∈ R. Kí hiệu là L1s (µ) là tập tất cả các hàm đơn giản khả tích. Kí
hiệu không gian được làm đầy của L1s (µ) là L1 (µ).
Định nghĩa 1.33 Nếu 0 < p < ∞, Lp (µ) gồm tất cả các lớp tương
đương của các hàm A -đo được f sao cho |f | ∈ L1 (µ). Khi p = ∞
không gian L∞ (µ) gồm các lớp tương đương của các hàm A -đo được

f sao cho có một tập Z trong A và một hằng số M với M (Z) = 0 và
f (x) ≤ M với mọi x ∈ X \ Z . Các hàm trong L∞ (µ) được gọi là các
hàm bị chặn thiết yếu.
Với 1 ≤ p < ∞ thì chuẩn của Lp (µ) đươc định nghĩa
f


1

p

= (|f |p dµ) p

Với f ∈ L∞ (µ) xác định một chuẩn trong L∞ (µ)

f

∞

= inf{sup{|f (x)| : x ∈ X \ Z ∈ A} và M (Z) = 0}.

Định lý 1.4 Nếu 1 ≤ p ≤ ∞, thì Lp (µ) là một không gian Banach.
Hơn nữa, tập các hàm đo được đơn giản thuộc Lp (µ) là trù mật trong
Lp (µ).
Định lý 1.5 (Định lí sự hội tụ trội) Nếu {fn } là một dãy các hàm
khả tích, f (x) = limn fn (x) tồn tại a.e.[µ], và có một hàm khả tích
sao cho mỗi n ≥ 1, | fn (x) |≤ F (x) a.e.[µ], thì f là khả tích và

fn dµ →

1.3

f dµ.

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.34 Cho một không gian vectơ H trên trường F. Tích

vô hướng là một hàm ·, · : H × H → F thoả mãn các tiên đề dưới
đây với x, y, z ∈ H và a, b ∈ F
(a) ax + by, z = a x, z + b y, z ;
Phạm Thị Huyền Thương

10

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(b) x, ay + bz = a x, y + b x, z ;
(c) x, x ≥ 0 và x, x = 0 ⇔ x = 0;
(d) x, y = y, x .
Mệnh đề 1.5 Nếu ., . là tích vô hướng trong H, thì ||x|| =

x, x

với mỗi x ∈ H xác định một chuẩn trên H.
Định nghĩa 1.35 Một không gian Hilbert là một không gian vectơ
X với tích vô hướng sao cho ứng với chuẩn được định nghĩa bởi tích
vô hướng này cùng với X là một không gian metric đầy.
Do đó mọi không gian Hilbert là không gian Banach.
Định nghĩa 1.36 Một phép đẳng cấu giữa hai không gian Hilbert H
và K là một toàn ánh tuyến tính U : H → K sao cho

U x, U y = x, y
với mọi x, y ∈ H. Hai không gian này được gọi là đẳng cấu. Kí hiệu
H∼

= K.
Định nghĩa 1.37 Cho H và K là hai không gian Hilbert, ta gọi

H ⊕ K : {h ⊕ k : h ∈ H và k ∈ K} và định nghĩa phép cộng và phép
nhân với vô hướng trên H ⊕ K theo toạ độ :
h1 ⊕ k1 + h2 ⊕ k2 = (h1 + h2 ) ⊕ (k1 + k2 )
a(h ⊕ k) = (ah) ⊕ (ak)
Xác định một tích vô hướng trên không gian này bởi

h1 ⊕ k1 , h2 ⊕ k2 = h1 , k1 + h2 , k2 .
Định nghĩa 1.38 Nếu H và K là các không gian Hilbert, một hàm
u : H × K → F là một dạng bán song tuyến tính nếu bất cứ khi nào
ta có a, b ∈ F, h, g ∈ H và k, f ∈ K, thì
(a) u(ah + bg, k) = au(h, k) + bu(g, k);
Phạm Thị Huyền Thương

11

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(b) u(h, ak + bf ) = au(h, k) + bu(h, f ).
Một dạng bán song tuyến tính bị chặn nếu đối với một hằng số M
ta có |u(h, k)| ≤ M h

k với bất kì h ∈ H và k ∈ K.

Định lý 1.6 Nếu u : H × K → F là một dạng bán song tuyến tính

với hằng số bị chặn M , thì có toán tử duy nhất A trong B(H, K) và

B trong B(K, H) sao cho
u(h, k) = Ah, k = h, Bk
với mọi h ∈ H, mọi k ∈ K và cả A và B không vượt quá M .
Định nghĩa 1.39 Nếu x, y ∈ H, ta nói x, y trực giao nếu x, y = 0.
Kí hiệu x ⊥ y .
Nếu A ⊆ H và A = ∅, ta kí hiệu A⊥ = {x ∈ H : x ⊥ A}.
Định nghĩa 1.40 Nếu A ⊂ B(H) và M ≤ H, ta nói M là một
không gian con bất biến đối với A nếu Ah ∈ M với bất kì h ∈ M.
Ta nói M là không gian con suy biến đối với A nếu cả M và M⊥ là
bất biến.
Định nghĩa 1.41 Với M ≤ H, ta định nghĩa hàm P : H → H như
sau: Với bất kì x ∈ H; P x là vectơ duy nhất trong M với x−P x ⊥ M.
Khi x ∈ M thì P x = x. Hàm này gọi là hình chiếu vuông góc của H
trên M.
Hệ quả 1.1 Nếu M < H và P là hình chiếu vuông góc của H trên
M, thì các mệnh đề sau đây là đúng.
(a) P là toán tử tuyến tính.
(b) P x ≤ x với mọi x ∈ H.
(c) P 2 = P ở đây (P 2 = P ◦ P ).
(d) ker P = M⊥ và ranP = M.
Phạm Thị Huyền Thương

12

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp


Hệ quả 1.2 Nếu M ⊆ H thì M = M⊥

⊥

.

Định nghĩa 1.42 Nếu H là một không gian Hilbert, mọi tập con
trực chuẩn thực là tập con ε của H sao cho
(a) e = 1 với mọi e ∈ ε,
(b) e1 ⊥ e2 với e1 , e2 ∈ ε và e1 = e2 .
Một cơ sở trực chuẩn là tập con trực chuẩn lớn nhất (theo nghĩa bao
hàm).
∞

Mệnh đề 1.6 Nếu {en } là một dãy trực chuẩn và x ∈ H thì

x, en en
n=0

hội tụ trong H. Nếu M =

{en : n ≥ 1} và P là hình chiếu của H

trên M thì

∞

Px =


x, en en .
n−1

Bổ đề 1.1 Nếu {en : n ∈ N} là một dãy trực chuẩn và x ∈ H thì
∞

| x, en |2 ≤ x 2 .
n=1

Định lý 1.7 Nếu {en } là một dãy trực chuẩn trong H, thì các điều
kiện sau là tương đương
(a) {en } là cơ sở trực chuẩn.
(b) Nếu x ∈ H và x ⊥ en với mọi n ≥ 1 thì x = 0.
(c)

∞
n=1 {en }

= H.

(d) Nếu x ∈ H thì x =

∞
n=1

(e) Nếu x, y ∈ H, thì x, y =
(f) Nếu x ∈ H thì x

2


∞

=

x, en en .
x, en en , y .
| x, en |2 .

n=1

Phạm Thị Huyền Thương

13

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 1.7 Nếu T ∈ B(H), P là một phép chiếu trong B(H) và
M = ranP thì các điều sau là tương đương
(a) M là một không gian con bất biến đối với T.
(b) P T P = T P .
(c) Trong phép biểu diễn của ma trận T =

A B
tương ứng với
C D

H = M ⊕ M⊥ , C = 0.

Mệnh đề 1.8 Nếu T ∈ B(H), P là một phép chiếu trong B(H) và

M = ranP , thì các điều sau là tương đương
(a) M là suy biến theo T.
(b) P T = B = T P.
(c) Trong phép biểu diễn của ma trận T =

A B
tương ứng với
C D

H = M ⊕ M⊥ , C = 0 = B.
(d) M là một không gian con bất biến đối với cả T và T ∗ .
Định nghĩa 1.43 Một toán tử T trên H là dương nếu T h, h ≥ 0
với mọi h ∈ H. Ta kí hiệu T ≥ 0.
Định nghĩa 1.44 Nếu T ∈ B(H) và S ∈ B(K), ta nói rằng T và
S là tương đương unita nếu có một đẳng cấu U : H → K sao cho
U T U ∗ = S . Ta kí hiệu T ∼
= S.
Định nghĩa 1.45 Một toán tử A trong B(H) được gọi là hermitian
nếu A = A∗ . Toán tử A được gọi là unita nếu A∗ A = 1 = AA∗ . Toán
tử A được gọi là chuẩn tắc nếu A∗ A = AA∗ .
Mệnh đề 1.9 Nếu A là một toán tử hermitian thì

A = sup{| Ah, h | :

h = 1}.

Mệnh đề 1.10 Nếu H là C -không gian Hilbert và A ∈ B(H) thì A
là hemitian khi và chỉ khi Ah, h ∈ R với mọi h ∈ R.

Phạm Thị Huyền Thương

14

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.4

Đại số Banach

Định nghĩa 1.46 Một đại số Banach A là một đại số trên C rằng
có một chuẩn với A là một không gian Banach sao cho

ab ≤ a

b

với mọi a, b ∈ A. Nếu A có một phần tử đơn vị e thì e = 1.
Sau này ta sử dụng α để kí hiệu phần tử αe trong A, đặc biệt ta
viết 1 để kí hiệu phần tử đơn vị e.
Định nghĩa 1.47 Nếu A là một đại số, ideal trái là một không gian
con tuyến tính M sao cho nếu a ∈ A và x ∈ M thì ax ∈ M. Tương
tự, ideal phải là một không gian con tuyến tính sao cho nếu a ∈ A và

x ∈ M, thì xa ∈ M. Một ideal là một không gian con M nếu vừa là
ideal trái vừa là ideal phải.
Định nghĩa 1.48 Một phần tử a của một đại số A có phần tử đơn

vị là khả nghịch trái (khả nghịch phải) nếu có một phần tử x ∈ A
sao cho xa = 1 (ax = 1). Nếu a vừa là khả nghịch trái vừa là khả
nghịch phải thì a là khả nghịch.
Định lý 1.8 (Định lí Liouville) Một hàm bị chặn và giải tích trên
toàn bộ mặt phẳng là hàm hằng.
Định nghĩa 1.49 Nếu A là một đại số Banach có phần tử đơn vị và
a ∈ A thì phổ của a là tập

σ(a) = {λ ∈ C : a − λ là không khả nghịch}.
Phần bù ρ(a) = C \ σ(a) được gọi là tập giải thức của a. Tương tự
ta có thể định nghĩa phổ trái σ (a) và phổ phải của a là σr (a).
Ví dụ 1.3. Nếu H là không gian Hilbert và T ∈ B(H), thì

σ (T ) = {λ ∈ C : inf{ (T − λ)h :
Phạm Thị Huyền Thương

15

h = 1} = 0}.
K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 1.9 Nếu A là một đại số Banach, thì với mỗi a ∈ A phổ
của a là một tập compact khác rỗng trong C. Hơn nữa, nếu |λ| > a ,
thì λ ∈
/ σ(a) và hàm z → (z − a)−1 là một hàm giải tích có giá trị
trong A.
Định nghĩa 1.50 Nếu A là một đại số Banach và a ∈ A, thì bán

kính phổ của A được xác định như sau

r(a) = max{|λ| : λ ∈ σ(a)}.
Mệnh đề 1.11 Nếu a ∈ A, thì

r(a) = lim an

1
n

n→∞

.

Giới hạn này luôn tồn tại.
Mệnh đề 1.12 Nếu A và B là các đại số Banach có chung một phần
tử đơn vị và a ∈ A ⊆ B , thì σB (a) ⊆ σA (a) và ∂σA (a) = ∂σB (a).
Định nghĩa 1.51 Nếu T ∈ B(X ), phổ điểm xấp xỉ được kí hiệu bởi

σap (T ) và được định nghĩa bởi
σap (T ) = {λ : inf{ (T − λ)x :

x = 1} = 0},

chú ý σp (T ) ⊆ σap (T ).
Mệnh đề 1.13 Nếu T ∈ B(X ) và λ ∈ C thì các điều sau là tương
đương.
(a) λ ∈
/ σap (T );
(b) Có một hằng số c > 0 sao cho (T − λ)x


≥ c x với mọi

x ∈ X;
(c) ker(T − λ) = (0) và ran(T − λ) là đóng.
Định nghĩa 1.52 Nếu A là một đại số Banach giao hoán có phần
tử đơn vị, không gian ideal cực đại của A là tập hợp Σ của các đồng
∗
cấu khác không của A lên tập các số phức với quan hệ tôpô yếu khi
nó được xét như một tập con của A∗ .
Phạm Thị Huyền Thương

16

K36C SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.53 Nếu A là một đại số Banach giao hoán có phần tử
đơn vị và a ∈ A, định nghĩa a
ˆ:
→ C bởi

a
ˆ(h) = h(a).
a
ˆ được gọi là ánh xạ Gelfand của a.
Định nghĩa 1.54 Khi X và Y là các không gian compact và τ : Y →
X là ánh xạ liên tục, thì ta định nghĩa một đồng cấu co τ # : C(X ) →


C(Y) bởi τ # (f ) = f ◦ τ.
Định lý 1.10 Nếu A là một đại số Banach giao hoán có phần tử đơn
vị và A có một phần tử sinh a, thì ánh xạ τ : Σ → σ(a) được xác
định bởi τ (h) = h(a) = a(h) là một đồng cấu, nếu γ : A → C(
là ánh xạ Gelfand và p là một đa thức, thì γ(p(a)) = τ # (p).

Phạm Thị Huyền Thương

17

)

K36C SP Toán


Chương 2
C∗ − ĐẠI SỐ
2.1

Định nghĩa và tính chất cơ bản

Định nghĩa 2.1 Cho A là một đại số Banach. Một phép đối hợp
trên A là một ánh xạ a → a∗ mà a, b ∈ A và α ∈ C, thoả mãn
(i) (a∗ )∗ = a;
(ii) (ab)∗ = b∗ a∗ ;
(iii) (αa + b)∗ = αa∗ + b∗ .
Không khó để thấy rằng nếu A có một phần tử đơn vị thì 1∗ = 1.
Thật vậy, 1∗ a = (1∗ a)∗∗ = (a∗ 1)∗ = (a∗ )∗ = a vì vậy có 1∗ = 1 bởi
tính duy nhất của phần tử đơn vị.

Định nghĩa 2.2 Một C∗ − đại số A là một đại số Banach có một
phép đối hợp thoả mãn a∗ a = a
thường được gọi là C∗ − đồng nhất.

2

với mọi a ∈ A. Đẳng thức này

Ví dụ 2.1. (a) Nếu H là không gian Hilbert, thì B(H) là một C∗ −
đại số. Thực vậy, từ Mệnh đề 1.9 suy ra rằng với T bất kì trong

B(H),
T ∗T

= sup{| T ∗ T h, h | : h = 1}
= sup{| T h, T h | : h = 1}
= sup{ T h 2 : h = 1} = T
18

2

.


Khóa luận tốt nghiệp

(b) Nếu H là không gian Hilbert, thì B0 (H) là một C∗ − đại số.
(c) Nếu X là không gian compact, thì C(X) là một C∗ − đại số với
f thuộc C(X) ta có f ∗ (x) = f (x).
(d) Nếu X là không gian compact địa phương, thì C0 (X) là một

C∗ − đại số.
(e) Nếu (X, A, µ) là một σ − không gian độ đo hữu hạn, thì L∗ (µ)
là một C∗ − đại số với f ∗ được xác định bởi f ∗ (x) = f (x).
Mệnh đề 2.1 Nếu A là một C ∗ − đại số thì a∗
a ∈ A.

= a với mọi

= a∗ a ≤ a∗ a , nên a ≤ a∗ .
Thay thế a∗ cho a trong bất đẳng thức này ta được
a∗ ≤ (a∗ )∗ = a .
Chứng minh. Thật vậy, a

2

Bây giờ chúng ta bắt đầu quá trình chỉ ra nếu A là một C∗ − đại số
không có phần tử đơn vị, ta có thể bổ sung một phần tử đơn vị và
vẫn có một C∗ − đại số.
Mệnh đề 2.2 Nếu A là một C ∗ − đại số và a ∈ A, thì

a = sup{ ax : x ∈ ballA}
= sup{ xa : x ∈ ballA}.
Chứng minh. Ta giả sử rằng a = 0. Đặt

α = sup{ ax : x ∈ ballA}.
Vì ax ≤ a x , nên α ≤ a . Nếu ta lấy x = a −1 a∗ , thì
x ∈ ballA bởi mệnh đề trước. Sử dụng giá trị này của x trong định
nghĩa của α ta thấy rằng α = a . Việc chứng minh đẳng thức còn
lại là tương tự.


Phạm Thị Huyền Thương

19

K36C SP Toán