DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699

BÀI TOÁN VẬN DỤNG
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP
Bài 1. Cho hàm số
hàm số

y = f '( x)

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của

được cho như hình.

x
−∞

1
2

0

+∞

1

+∞
+∞

f '( x )

0

0
−

Hỏi hàm số

y = f (2 x − 1)

3
2

đồng biến và nghịch biến trên những khoảng nào?

Giải.
y = f (2 x − 1), y ' = 2 f '(2 x − 1)
1

x=
2 x − 1 = 0

y ' = 0 <=> 2 f '(2 x − 1) = 0 <=> f '(2 x − 1) = 0 <=> 
<=>
2

2 x − 1 = 1
x
=

1


Bảng biến thiên của hàm số

y = f (2 x − 1)

:

x

1
2

−∞

+∞

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

1

1


DUY KHANG (WILDCAT)
y'

+


01263792601 - 0888369699
0

-

0

+

y

Vậy hàm số
1 
 ;1÷
2 

y = f (2 x − 1)

1

 −∞, ÷
2


đồng biến trên

và

( 1, +∞ )


, nghịch biến trên

.

Bài 2. Cho hàm số

y = f ( x)

y = f '( x)

có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số

được cho như hình. Hỏi hàm số
biến trên những khoảng nào?

y = f (1 − 2 x) + 2 x

Giải.

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

2

đồng biến và nghịch


DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699


y = f (1 − 2 x) + 2 x, y ' = −2 f '(1 − 2 x) + 2
x = 0
1 − 2 x = 1

1

y ' = 0 <=> −2 f '(1 − 2 x) + 2 = 0 <=> f '(1 − 2 x) = 1 <=> 1 − 2 x = 0 <=>  x =
2

1 − 2 x = −1
x = 1


Bảng biến thiên của hàm số

y = f (1 − 2 x) + 2 x

:

x
−∞

0

+∞
y'

1
2


-

0

+

0

-

1
0

+

y

Vậy hàm số

( −∞;0 )

và

y = f (1 − 2 x ) + 2 x

1 
 ,1÷
2 

đồng biến trên


 1
 0, ÷
 2

và

( 1, +∞ )

.

Bài 3. (Đề minh họa 2018)
Cho hàm số

Hỏi hàm số

y = f ( x)

. Hàm số

y = f (2 − x )

y = f '( x)

có đồ thị như hình.

đồng biến trên khoảng nào?

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH


3

, nghịch biến trên


DUY KHANG (WILDCAT)

A.

( 1;3)

B.

( −∞; −2 )

01263792601 - 0888369699

( 2; +∞ )

C.

( −2;1)

D.

Giải.
y = f (2 − x), y ' = − f '(2 − x)
 2 − x = −1
x = 3


y ' = 0 <=> − f '(2 − x) = 0 <=> f '(2 − x) = 0 <=>  2 − x = 1 <=>  x = 1
 2 − x = 4
 x = −2

y = f (2 − x )

Bảng biến thiên của hàm số
−∞

x

:

-2

+∞
y'

-

0

1
+

0

-

3

0

+

y

Vậy hàm số

( −∞; −2 )

và

y = f (2 − x )

( 1,3)

đồng biến trên

( −2,1)

và

( 3, +∞ )

, nghịch biến trên

. Chọn đáp án C.

Bài 4. (Chuyên Đại học Vinh)
Cho hàm số

y = f '( x)

x

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số

được cho như hình.
−1

1

0

2

3

4
3
DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

4


DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699


f '( x)

2
1
-1

Hỏi hàm số
A.

 x
y = f 1 − ÷+ x
 2

( 2; 4 )

nghịch biến trên khoảng nào?

B.

( −4; −2 )

( 0; 2 )

C.

( −2;0 )

D.

Giải.

1  x
 x
y = f 1 − ÷+ x, y ' = − f ' 1 − ÷+ 1
2  2
 2
 x
1 − 2 = 2
 x = −2
1  x
 x
y ' = 0 <=> − f ' 1 − ÷+ 1 = 0 <=> f ' 1 − ÷ = 2 <=> 
<=> 
2  2
 2
 x = 2 − 2 x0 (2 < x < 4)
1 − x = x (−1 < x < 0)
0
0
 2

Bảng biến thiên của hàm số

 x
y = f 1 − ÷+ x
 2

:

x


-4
4
y'

-2
-

2 − 2x0

2

0

+

0

-

y

Vậy hàm số

y = f (1 − 2 x ) + 2 x

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

nghịch biến trên

5


( −4; −2 )

. Chọn đáp án D.


DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699

Bài 5. (Bến Tre)
Cho hàm số

y = f ( x)

h( x ) = f ( x ) −

Đặt
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

x2
2

y = h( x)

y = h( x )
y = h( x )


y = h( x )

. Đồ thị của hàm số

y = f '( x)

được cho như hình.

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
đồng biến trên khoảng

(−2;3)

nghịch biến trên khoảng
nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

Giải.
x2
h( x ) = f ( x) − , h '( x) = f '( x) − x
2
 x = −2
h '( x ) = 0 <=> f '( x ) − x = 0 <=> f '( x ) = x <=>  x = 2
 x = 4

Bảng biến thiên của hàm số

y = h( x )


DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

:
6

(0;1)

.
.

(2; 4)

(0; 4)

.

.


DUY KHANG (WILDCAT)
−∞

x

01263792601 - 0888369699
-2

+∞
y'


-

0

2
+

0

4

-

0

+

y

Vậy hàm số

( −∞; −2 )

và

y = h( x )

( 2, 4 )

đồng biến trên


( −2, 2 )

và

( 4, +∞ )

, nghịch biến trên

. Chọn đáp án C.

Bài 6. (Chuyên Chu Văn An – Lạng Sơn)
Cho hàm số
như hình.

y = f ( x)

g ( x) = f ( x ) −

Đặt

[ −3;1]

A.

xác định trên R. Đồ thị của hàm số

x3 3x 2 3x
−
+

+ 2018
3
4
2

y = f '( x)

. Điểm cực tiểu của hàm số

g ( x)

được cho

trên đoạn

là?

xCT = −1

xCT =

B.

1
2

C.

xCT = 0


DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

7

xCT = −2

D.


DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699

Giải.
g ( x) = f ( x) −

x3 3x 2 3x
3x 3
−
+ + 2018, g '( x) = f '( x) − x 2 − +
3 4
2
2 2

x = 1
3x 3
3x 3
2
g '( x) = 0 <=> f '( x) − x − + = 0 <=> f '( x) = x + − <=>  x = −1
2 2

2 2
 x = −3
2

Bảng biến thiên của hàm số
x

y = g ( x)

−∞

-3

+∞
y'

:

+

0

-1
-

0

1

+


0

-

y

Dựa vào bảng biến thiên, chọn đáp án A.
Bài 7. (Bình Phước)
Cho hàm số
y = f '( x)

y = f ( x)

trên đoạn

Hỏi hàm số

liên tục và có đạo hàm trên

[ 0; 6]

y = [ f ( x) ]

được cho như hình.

2

có tối đa bao nhiêu cực trị?


DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

8

[ 0;6]

. Đồ thị của hàm số


DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699

Giải.
y = [ f ( x) ] , y ' = 2 f ( x) f '( x)
2

 f ( x) = 0
y ' = 0 <=> 2 f ( x) f '( x) = 0 <=> 
 f '( x) = 0

Dựa vào đồ thị, ta thấy

f '( x ) = 0

Bảng biến thiên của hàm số
x

có 3 nghiệm


y = f ( x)

0
+

0

,

,

trên đoạn

[ 0; 6]

.

:

x1

y'

x1 x2 x3

x2

-

0


x3

+

0

6
-

y

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
Vậy hàm số

y = [ f ( x) ]

f ( x) = 0

có tối đa 4 nghiệm trên đoạn

[ 0; 6]

.

2

có tối đa 7 cực trị.

Bài 8. (THPT Trần Phú – Vĩnh Phúc)

Cho hàm số

y = f ( x)

y = f '( x − 2) + 2

Hàm số

f ( x)

có đạo hàm là hàm số

có đồ thị như hình vẽ dưới.

nghịch biến trên khoảng nào?

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

9

f '( x )

trên R. Biết rằng hàm số


DUY KHANG (WILDCAT)

A.

(−∞; 2)


B.

01263792601 - 0888369699

(−1;1)

C.

3 5
 ; ÷
2 2

D.

(2; +∞)

Giải.
x + 2 =1
 x = −1
f '( x) = 0 <=> f '[( x + 2) − 2] + 2 = 2 <=> 
<=> 
x + 2 = 3
x = 1

Bảng biến thiên của hàm số
x

y = f ( x)


−∞

:
-1

+∞
y'

+

0

1
-

0

+

y

y = f ( x)

Vậy hàm số
Chọn đáp án B.

đồng biến trên

( −∞, −1)


và

( 1, +∞ )

, nghịch biến trên

( −1;1) .

Bài 9. (THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng)
y = f ( x)

Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới.

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

10

y = f '( x)


DUY KHANG (WILDCAT)

Lập hàm số
A.
B.
C.
D.


01263792601 - 0888369699

g ( x) = f ( x ) − x 2 − x

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

g ( −1) > g (1).
g (−1) = g (1).

g (1) = g (2).
g (1) > g (2).

Giải.
g ( x ) = f ( x ) − x 2 − x, g '( x ) = f '( x) − 2 x − 1
 x = −1
g '( x) = 0 <=> f '( x) − 2 x − 1 = 0 <=> f '( x) = 2 x + 1 <=>  x = 1
 x = 2

Bảng biến thiên của hàm số
x

−∞

:

-1

+∞
y'


y = g ( x)

-

0

y

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

1
+

0
g (1)

11

-

2
0

+


DUY KHANG (WILDCAT)

01263792601 - 0888369699


g ( −1)

g (2)

Chọn đáp án D.
Bài 10. Cho hàm số
hàm số

Hàm số

y = f ( x)

x

y = f '  2 − ÷+ 3
2


f ( x)

có đạo hàm là hàm số

f '( x )

trên R. Biết rằng

có đồ thị như hình vẽ dưới.

đồng biến và nghịch biến trên những khoảng nào?


Giải.
4 − 2x = 0
x = 2
 4 − 2x 
f '( x ) = 0 <=> f '  2 −
+
3
=
3
<=>
<=>

x = 0
2 

4 − 2x = 4


Bảng biến thiên của hàm số
x
y'

y = f ( x)

−∞

+

0
0


:
-

y

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

12

2
0

+∞

+


DUY KHANG (WILDCAT)

Vậy hàm số

y = f ( x)

đồng biến trên

DẠY TOÁN CẤP 3 – LTĐH

01263792601 - 0888369699


( −∞, 0 )

13

và

( 2, +∞ )

, nghịch biến trên

( 0; 2 ) .