ÁP DỤNG CẤP SỐ ĐỂ XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ .
GV : CHÂU CHÍ TRUNG.

Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về DÃY SỐ là xác định số hạng tổng
quát của các dãy số được cho bởi công thức truy hồi và có nhiều phương pháp để giải quyết
yêu cầu đó. Nội dung của trọng tâm của chuyên đề này là giới thiệu kỹ thuật biến đổi để qui
về dãy số quen thuộc trong chương trình Toán cấp trung học : CẤP SỐ CỘNG , CẤP SỐ
NHÂN để giải quyết yêu cầu đặt ra.
Nội dung của chuyên đề được trình bày dưới dạng các BÀI TOÁN TỔNG QUÁT , theo trình
tự từ đơn giản đến phức tạp , có ví dụ để minh họa và một số bài tập áp dụng .

BÀI TOÁN 1:
u  c
Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) với  1
và a, b, c  R .
un 1  a.un  b

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì dãy ( un ) là một cấp số cộng , công sai b .
Trường hợp 2 :Nếu a ≠ 1 , ta qui dãy (u n) thành dãy (vn) là một cấp số nhân , công bội a như
sau:
b
Đặt vn = u n +
khi đó vn là một cấp số nhân .
a 1
b 
b
b

Thật vậy : vn+1 = un+1 +
= aun + b +

= a  un 
 = a.vn .
a 1
a 1
a 1 

b
Nên : vn+1 = a.vn là một cấp số nhân công bội a và v1 = u1 +
.
a 1
b
b
Từ đó số hạng vn = v1.an – 1 . Suy ra : un = vn –
= v1.a n – 1 –
.
a 1
a 1
b
b
Vậy số hạng tổng quát dãy số là : u n = v1.an – 1 –
với v1 = c +
.
a 1
a 1

VÍ DỤ 1:
un

un 1  2u  3 , n  1, n  N
n

Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : 
.
u  1
 1 2
GIẢI :
Ta có u 1 > 0 , qui nạp ta được u n > 0 .
1
3
Từ giả thiết suy ra :
 2 .
un1
un
1
Đặt vn =
, khi đó ta được : vn+1 = 3vn + 2 với v1 = 2 (*)
un

Download tài liệu học tập tại :

1


Đặt zn = vn + 1 , (*) trở thành : zn+1 = 3zn với z1 = 3.
Như vậy (zn) là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và z1 = 3 nên zn = z1.3 n – 1 = 3 n .
Suy ra : vn = zn – 1 = 3 n – 1 .
1
Vậy dãy số (un) có un = n
, n * .
3 1


BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1.Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được cho bởi
u1  2
u1  3


a. 
b. 
u n
un
u

;
n

1
 n 1 u  1
un 1  2u  1 ; n  1
n


n
u  2
2.Cho dãy số (u n) xác định bởi :  1
.
un 1  3un  1 , n  1
n

Tình tổng S   ui .
i 1


3.Cho n vòng tròn trong đó cứ hai vòng tròn thì giao nhau tại 2 điểm và không có ba vòng
tròn nào giao nhau tại 1 điểm .
Hỏi n vòng tròn đã cho chia mặt phẳng làm bao nhiêu phần?

BÀI TOÁN 2:
u  c
Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) với  1
và a, b, c  R và f(n) là
un 1  a.un  f (n )
một đa thức theo n .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un + f(n).
n

Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; …n thì ta được: un  u1   f (i )
i 1

n

Trong đó

n

n

n
2


 f (i) được tính thông qua các tổng  i ;  i ;  i
i 1

i 1

i 1

3

….

i 1

Trường hợp 2: a ≠ 1.
Đặt vn = un + g(n) với deg(g) = deg(f) và g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất
định dồng thời thỏa : vn+1 = avn .
Ta qui dãy (u n) thành dãy (vn) là một cấp số nhân có công bội q = a.
VÍ DỤ 2:

u  un  n3  2, n  1, n  N
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi :  n 1
.
u1  2
GIẢI:
Theo đề bài ta có u n +1 = u n + n3 + 2  u n + 1 – un = n3 + 2 .
Thay n lần lượt bằng 1, 2,…,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được:
Download tài liệu học tập tại :

2



2

n 1

un – u1 =

 n(n  1) 
(i 3  2) = 

 +2(n – 1) .
 2 
i 1
2

 n(n  1) 
Vậy u n = 
 +2n .
 2 
VÍ DỤ3:
2
u  3un  n  1, n  1, n  N
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi :  n 1
.
u1  2
GIẢI:

Đặt g(n) = an2 + bn + c và vn = un + g(n) ( a, b, c  R) với vn+1 = 3vn .
Khi đó : vn+1 = 3vn  u n+1 + g(n+1) = 3(un + g(n))
 3u n + n2 + 1 + g(n+1) = 3u n + 3g(n)

 n2 + 1 + a(n+1) 2 + b(n+1) + c = 3an2 + 3bn + 3c
 (a + 1)n2 + (2a + b)n + 1+ a + b + c = 3an2 + 3bn + 3c
 a  1  3a
1
1

Nên :  2a  b  3b
; b = ; c = 1.
 a=
2
2
1  a  b  c  3c

1
1
Do đó ta được : g(n) = n2 + n + 1 .
2
2
1 2 1
1
1
Như vậy khi vn = un +
n + n + 1  un = vn – ( n 2 + n + 1)
2
2
2
2
un 1  3un  n 2  1, n  1, n  N
v


3
v
,
n

1

n
thì 
.
  n 1
u1  2
v1  u1  g (1)  4
Suy ra : vn = 3n – 1.v1 = 4.3n – 1 .
1
1
Vậy : u n = 4.3 n – 1 – n2 –
n– 1
2
2
1
= 4.3 n – 1 – (n2 + n + 2) .
2

BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được xác định bởi các công thức sau:
u  4
4.  1
un 1  un  2n  1 , n  1
u1  2

5. 
3
2
un 1  4un  3n  3n  3n  1 , n  1
2

u1  3
6. 
(HSGQG-2001)
un
un 1 
,n 1
2(2n  1)un  1


Download tài liệu học tập tại :

3


u  
7.  1
un 1  un  cos(3n  2) , n  1

BÀI TOÁN 3:

u1  b
Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) với 
và a, b,   R,  >0 .
n

un 1  a.un   .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un +  .  n .
n 1

Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; …n – 1 thì ta được: un  u1     i
i 1

n

Trong đó



i

được tính thông qua các tổng cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội  .

i 1

Trường hợp 2: a ≠ 1.
Ta qui bài toán về bài toán 1 bằng cách đặt vn = u n + g(n) với vn+1 = avn , đồng thời g(n) là
hàm số thỏa :
+ Nếu a ≠  thì g(n) = A.  n .
+ Nếu a =  thì g(n) = A.n.  n
Trong đó A được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định.
Dãy số (vn) được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được (un).
VÍ DỤ 4:


u1  3
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy (un) được xác định : 
.
n
un 1  un  3.4
GIẢI:
Theo đề ta có : u n+1 = u n + 4n  un+1 – u n = 4n .
Thay n lần lượt bằng 1, 2,…,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được:
n 1
4n1  1
un – u1 = 3 4i = 3.4.
= 4n – 4 .
3
i 1
Vậy ta được : un = 4n – 1 .
VÍ DỤ 5:

u1  6
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy (un) được xác định: 
.
n
un 1  3un  5.3
GIẢI:
Ta thấy a =  = 3 nên ta đặt vn = un + An.3n với vn+1 = 3vn .
Với vn+1 = 3vn  u n+1 + A(n+1)3n+1 = 3(u n + An.3 n )
 3u n +5.3 n + A(n+1)3n+1 = 3(u n + An.3 n )
 5.3n + A(n+1)3n+1 = 3An.3 n
 5+ 3A(n+1) = 3An

Download tài liệu học tập tại :


4


Suy ra : A = 

5
.
3

5
5
Ta được : vn = un  n.3n  un = vn + n.3n .
3
3
u

6
 1
v  1
Khi đó 
1
.
n
un 1  3un  5.3
vn 1  3vn
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được vn = 3n – 1 .
5
Vậy ta được u n = 3n – 1+ n.3n = (1+5n)3 n – 1 .
3

VÍ DỤ 6:
u1  5
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy (un) được xác định: 
.
2
n
un 1  2un  n  3.2 , n  1
GIẢI:

Ta có giả thiết u n + 1 = 2un + n2 + 3.2 n
Đặt un  xn  yn
với xn1  2 xn  n 2 , n  1 ; yn1  2 yn  3.2 n , n  1 và u1 = x1 + y1 = 5 .
Suy ra : xn +1 + yn+1 = 2(xn + yn ) + n2 + 3.2n
Ta giải tương tự như ví dụ 3 và ví dụ 5 ta xác định được :
xn = (x1+6) 2n – 1 – (n2 + 2n + 3) và yn = (y1–3) 2 n – 1 + 3n.2 n– 1 .
ta được un = xn + yn = (x1+6).2 n – 1 – (n2 + 2n + 3) + (y1–3) 2 n – 1 + 3n.2 n– 1
= (x1+ y1+3).2 n – 1 + 3n.2n– 1 – (n2 + 2n + 3)
1
Vậy : u n = 2n + 2 + 3.2n – 1– (n2 + 2n + 3) .
2

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

u1  5
8.Xác định số hạng tổng quát u n của dãy số xác định bởi : 
n
un 1  4un  3.4
u1  32

9.Xác định số hạng tổng quát u n của dãy số xác định bởi :  un 1

 n2  2.un , n  1
2
u1  a
10.Tìm tất cả các giá trị a R sao cho dãy (un) xác định bởi 
là dãy
n
un 1  3un  2 ; n  1
số đồng biến .

BÀI TOÁN 4:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) với un1 

aun  b
; ad  bc  0 , n 1 theo u1 , a,
cun  c

b, c, d.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ax  b
Xét phương trình x 
(*) .
cx  d

Download tài liệu học tập tại :

5


Trường hợp 1: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 , khi đó ta tìm được 1 hằng số
u x

u x
k để cho n 1  k n1 1 .
un  x2
un 1  x2
au  b
au  b ax1  b
(ad  bc)(un 1  x1 )
Thật vậy : un  x1  n1
=
.
 x1  n 1

cun1  d
cun1  d cx1  d
(cun 1  d )(cx1  d )
(ad  bc)(un 1  x2 )
u n  x2 
.
(cun 1  d )(cx2  d )

 cx  d 
un  x1  cx2  d   u n1  x1 
un 1  x1
( với k =  2


=k
 )
un  x2  cx1  d   un1  x2 
u n1  x2

 cx1  d 
u x
Ta đặt vn = n 1  vn = kvn – 1 .
un  x2
Từ đó áp dụng cấp số nhân , tìm được vn , suy ra được u n
Trường hợp 2: phương trình (*) có 2 nghiệm kép : x0 .
1
1
Tương tự trên , ta tìm được k để có :

k
un  x0 un1  x0
1
Ta đặt vn =
 vn = vn – 1 + k.
un  x0
Áp dụng cấp số cộng tìm được vn và suy được u n .
Nên :

VÍ DỤ 7:
4un 1  2

;n 1
un 
un1  3
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy số (un) xác định bởi : 
.
u  3
 1
GIẢI:

4un1  2
5u  5
Ta có u n + 1 =
+ 1 = n1
un 1  3
un1  3
4u  2
2u  4
u n – 2 = n1
– 2 = n1
un 1  3
un1  3

Nên
Đặt

un  1 5  un 1  1 
 
.
un  2 2  un 1  2 
u 1
5
u 1
vn = n
thì có vn = vn – 1 và v1 = 1
 4.
un  2
2
u1  2


5
Áp dụng cấp số nhân ta có vn = 4.  
2

n1

.
n 1

5
8  1
u 1
1
2v  1
2
Từ vn = n
=1–
suy được un  n
.
   n 1
un  2
un  2
vn  1
5
4   1
2
n 1

5
8   1

2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : un    n1
5
4   1
2
Download tài liệu học tập tại :

6


VÍ DỤ 8:
5un1  1

;n 1
un 
un1  3
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy số (un) xác định bởi : 
.
u  2
 1
GIẢI:

Ta có un – 1 =

5un1  1
4u  4
 1 = n1
un1  3
un1  3


1
1 u 3 1
1
.
  n1
 
un  1 4  un 1  1  4 un 1  1
1
1
1
Đặt vn =
thì có vn = vn – 1 +
và v1 =
=1.
un  1
4
u1  1
1
n 1 n  3
Áp dụng cấp số cộng được vn = v1 +(n – 1) = 1 +
=
4
4
4
4
4
n7
Suy ra un – 1 =
hay un =
1 

.
n 3
n3
n3
n7
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un =
, với n * .
n3
BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Nên

u1  2

11.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
2un  1
u

,n 1
n

1

un  2

u1  3

12.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
un  6
un 1  u  2 , n  1

n


BÀI TOÁN 5

u ; u
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) với  1 2
un 1  (a  b )un  abun1; n  2
trong đó các số u1, u2 , a , b cho trước và a ,b ≠ 0 .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta có : un+1 = (a + b)un – abun – 1 , n  2  u n+1 –au n = b(un –aun – 1)
Đặt vn = un + 1 –aun với n  1 (*)
v  bvn ; n  1
Ta được :  n 1
; (vn ) là cấp số nhân công bội b với v1 = au 2 – u1 (**)
 v1  u2  au1
Từ (*) ta lần lượt thay n bằng n–1, n–2 , n–3 , …3, ,2 , 1 :

Download tài liệu học tập tại :

7


vn1  un  aun 1
vn1  un  au n1 

2
vn 2  un 1  aun 2 
 avn 2  aun 1  a un 2

 a 2 v  a 2 u  a 3u
vn3  un 2  au n3 
n 2
n 3
 n3

........................   ........................
( n – 1 đẳng thức)


n 4
n 4
n 3
v3  u4  au3

 a v3  a u4  a u3
v2  u3  au2

 a n3v2  a n3u3  a n 2u2

 n 2
v1  u2  au1

 a v1  a n 2u2  a n1u1
Cộng các đẳng thức trên cho ta :
un  a n1u1  a n 2 v1  a n3v2  ....  avn 2  vn 1
 a n 2v1  a n3b.v1  ......  ab n3 .v1  b n  2 .v1
 (a n 2  a n3b  ......  ab n3  b n 2 ).v1
 (a n 2  a n3b  ......  ab n3  b n 2 ).(u 2  au1 )


Suy ra :
un  ( a n 2  a n 3b  a n 4b 2  .....  ab n 3  b n  2 )u2  ab(a n 3  a n 4b  .....  ab n 4  b n 3 )u1
Nếu a ≠ b thì :
 a n 1  b n 1 
 a n 2  bn 2 
un  
 u 2  ab 
 u1 , với n  3 .
 a b 
 a b 
Nếu a = b thì :
un  (n  1)a n 2 .u2  (n  2)a n1.u1 , với n  3 .
VÍ DỤ 9:
u  2, u2  3
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy số (un) xác định bởi  1
un 1  3un  2un 1 ; n  2.

GIẢI:
(Áp dụng cách giải như bài toán 5 với a = 1 , b = 2)
Ta có un1  3un  2un1  un 1  un  2(un  un 1 )
Đặt vn = un + 1 –u n với n  1
v  2vn ; n  1
Ta được :  n 1
; (vn ) là cấp số nhân công bội 2 với v1 = 1
 v1  u2  u1  1
Suy ra :
un  (un  un 1 )  (un1  un 2 )  ....  (u2  u1 )  u1

 vn1  vn  2  vn 3  ....  v1  u1
1  2n 1

 u1  2 n1  1
1 2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : un = 2 n – 1 + 1 với n * .
 v1.

VÍ DỤ 10:

u  1, u2  2
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy số (un) xác định bởi  1
un  2  9un1  18un ; n  1.
Download tài liệu học tập tại :

8


GIẢI
Ta có : un+2 = 9u n+1 – 18un , n  1  un+2 –3un = 6(un+1 –3u n )
Đặt vn = un + 1 –3un với n  1 (*)
v  6vn ; n  1
Ta được :  n 1
; (vn ) là cấp số nhân công bội 6 với v1 = – 1 .
 v1  u2  3u1  1
Thay n lần lượt bởi n–1, n – 2 , n – 3 , ….3, 2, 1 vào (*)
Ta được :
un  3un 1  vn1
un  3un 1  vn1 

2

un1  3un 2  vn  2 

3un1  3 un 2  3vn 2
32 u  33 u  32 v
un 2  3un3  vn3 
n 3
n 3
 n 2

.......................   .......................
( n – 1) đẳng thức.

3n 4 u  3n3 u  3n  4 v
u4  3u3  v3
4
3
3


u3  3u2  v2

3n3 u3  3n  2 u2  3n 3 v2

 n 2
u2  3u1  v1

3 u2  3n1 u1  3n 2 v1
Cộng n – 1 đẳng thức trên suy ra:
un  3n1 u1  3n 2 v1  3n 3 v2  ....  3vn  2  vn 1
= (3n– 2 +3n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6n – 4 + 3.6n – 3 + 6 n – 2 )v1
n–1
Nên ta được : un = 3 .u1 + (3 n– 2 +3 n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 3 2.6 n – 4 + 3.6 n – 3 + 6n – 2 )v1

= 3n – 1 – (3 n– 2 +3 n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6 n – 4 + 3.6 n – 3 + 6 n – 2 )
Ta có S = 3 n– 2 +3n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6 n – 4 + 3.6n – 3 + 6 n – 2 là tổng của (n–1) số hạng
n 1
1
n 2 2
của cấp số nhân có công bội q = 2 nên S = 3 .
= 2.6 n – 2 – 3 n – 2 .
2 1
Vậy ta có : u n = 3n – 1 + 3n – 2 – 2.6n – 2 = 4.3 n – 2 – 2.6n – 2 .

VÍ DỤ 11:

u  2, u2  3
Tìm số hạng tổng quát u n của dãy số (un) xác định bởi  1
un 1  5un  6un 1 ; n  2.
GIẢI:
(Áp dụng cách giải như bài toán 5 với a = 2 , b = 3)
Ta có : un+1 = 5u n – 6un – 1 , n  2  u n+1 –2u n = 3(un –2un – 1)
Đặt vn = un + 1 –2un với n  1 (*)
v  3vn ; n  1
Ta được :  n 1
; (vn ) là cấp số nhân công bội 3 với v1 = – 1 .
 v1  u2  2u1  1
Đáp số : un = 3.2 n – 1 – 3n – 1 , với n  * .
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
u  2, u2  3
13.Cho dãy số (un) :  1
un  2  3un1  2un ; n  1.
Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy .
u  0, u2  1

14.Cho dãy số (un) :  1
un  2  4un1  3un ; n  1.
Download tài liệu học tập tại :

9


Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy .
15.Cho dãy số (un) thỏa điều kiện : u n+1 – 2u n + un – 1 = 1 khi n  2.
Hãy tính un theo u1 , u2 và n .
u  1, u2  0
16.Cho dãy số (un) :  1
un  2  2un 1  un  n  1; n  1.
Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy .
1
17.Cho dãy số (un) thỏa điều kiện : un 2  (un1  un ) khi n  1.
2
Hãy tính un theo u1 , u2 và n .
18.Cho a,b là hai số cho trước , các số hạng của dãy (un) được xác định bởi hệ thức :
un+1 = (a + b)u n –abun – 1 với mọi n  2 .
Hãy biểu diễn u n qua u1 , u 2 và n.
19.Cho a,b là hai số cho trước với a + b  0 và a + 2b  0 , các số hạng của dãy (u n) được xác
au  bun 1
định bởi hệ thức : un1  n
với mọi n  2 .
ab
Hãy biểu diễn u n qua u1 , u 2 và n.

Z Lời kết:
Với mục đích giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm mối liên hệ với

các kiến thức đã được học , từ đó áp dụng để giải quyết các nội dung có liên quan , gây sự
thích thú đối với môn học .
Một số ví dụ trên cũng có lời giải ngắn gọn hơn bằng cách sử dụng phương pháp sai
phân .

Tài liệu tham khảo:
+ Những bài toán sơ cấp – Tác giả Lê đình Thịnh
+ Dãy Số - Tác giả Phan huy Khải
+ Đề thi HSG QG các năm .
+ Báo Toán học & Tuổi trẻ.

Download tài liệu học tập tại :

10