Đề tài

Một số phương pháp xác định công
thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỤC LỤC
MỤC LỤC ..................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 2
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT..................................... 3
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23
III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH................................. 28
IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ .... 32
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP ......................................................................... 32
BÀI TậP ÁP DụNG ..................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-1-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần

quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng
quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số.
Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản
thân đúc rút được trong qua trình học tập.
Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :
I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng công thức truy hồi đặc biệt.
II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số
III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số
IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến
phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho
các em học sinh.
Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt
hơn.
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-2-



Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.
Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy
số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các
kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta
nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC .
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi số
nguyên n ³ 2 ta có: un = un -1 + d .

d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số

Định lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n - 1)d

(1).

Định lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có:

n
[2u + (n - 1)d ]
(2).
2 1
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un "n Î ¥ * gọi là cấp số nhân công
bội q

Sn =

n -1
Định lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q. Ta có: un = u1q
(3).

Định lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có:
Sn = u1

1 - qn
1 -q

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

(4).

-3-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt
Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi
u1 = 1, un = un -1 - 2

"n ³ 2 .

Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d = -2 . Áp dụng kết quả (1) ta có:
un = 1 - 2(n - 1) = -2n + 3 .


Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi
u1 = 3, un = 2un -1

"n ³ 2 .

Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q = 2 . Ta có: un = 3.2n -1 .

Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un ) được xác định bởi:
u1 = -2, un = 3un -1 - 1

"n ³ 2 .

Giải:
Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN!
Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VT. Ta tìm cách làm

mất -1 đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt un = k .vn + l ; k, l là
các hằng số và k ¹ 0 ( ta sẽ chọn k, l sau).
2l - 1
Khi đó, ta có: k .vn + l = 3k .vn -1 + 3l - 1 Û vn = 3vn +
.
k
ìk = 1
2l - 1
1
ï
Ta chọn k, l :
= 0 Û l = và k bất kì nên ta chọn í

1.
k
2
l
=
ï
î
2
ìvn = 3vn -1
ï
Þ (vn ) : í
5 . Dễ thấy dãy (vn ) là CSN với công bội q = 3
v
=
ï 1
î
2
1
5.3n -1 1
5
Þ vn = v1 .q n -1 = - .3n -1 . Suy ra: un = vn + = +
2
2
2
2
Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k = 1 .
Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong


-4-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x 0 , un = aun -1 + b "n ³ 2 ( a, b ¹ 0 là các hằng số) có
CTTQ là:
ìu1 + (n - 1)b
khi a = 1
ï
.
un = í
a n -1 - 1
n -1
+b
khi a ¹ 1
ïu1 .a
î
a -1
Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định bởi
u1 = 2; un +1 = 2un + 3n + 2 .

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không
phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n . Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước
cách giải ở trên làm mất 3n + 2 ở VP, ta đặt : un = k .vn + t.n + l ; k , t, l là các hằng số
k ¹ 0 . Khi đó ta có:
t+3
l -t +2
.
kvn + 1 + t(n + 1) + l = 2kvn + 2tn + 2l + 3n + 2 Û vn +1 = 2vn +

.n +
k
k
ìt + 3
ìt = -3
=0
ïï
ï
Ta chọn k , t, l sao cho: í k
Û íl = -1 , ta chọn k = 1 .
ïl - t + 2 = 0
ïk ¹ 0
ïî k
î
ìïv = 6
Þ (vn ) : í 1
Þ vn = 6.2n -1 = 3.2n . Vậy un = vn - 3n - 1 = 3.2n - 3n - 1 .
v = 2vn -1
îï n
Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn k = 1 .
ìïu = 2
Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : í 1
. Tìm CTTQ của dãy (un ) .
ïîun = un -1 + 2n + 1

Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì
2
1-t
sau khi đặt ta có : vn +1 = vn + .n +
dẫn đến ta không thể làm mất n được.

k
k
Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho
dưới dạng sau un - un -1 = 2n + 1 . Từ đây ta có:
un = (un - un -1 ) + (un -1 - un - 2 ) + ... + (u2 - u1 ) + u1

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-5-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

(

)

= 2n + 1 + 2(n - 1) + 1 + ... + 2.2 + 1 + 2 = 2 n + n - 1 + ... + 2 + 1 + n - 1

n(n + 1)
+ n - 1 = n 2 + 2n - 1 .
2
Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không
cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban
đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có
thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:
=2

Đặt un = vn + an 2 + bn + c . Khi đó, ta có:


vn + an 2 + bn + c = vn -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + c + 2n + 1

Û vn = vn -1 + 2(1 - a )n + a - b + 1 .

ìï1 - a = 0
ìïa = 1
Ta chọn í
, c bất kì nên ta chọn c = 0 .
Ûí
a
b
+
1
=
0
b
=
2
ïî
îï
ìïv = -1
Khi đó: (vn ) : í 1
Þ vn = vn -1 = vn - 2 = ... = v1 = -1
v
=
v
n -1
îï n

Vậy un = vn + n 2 + 2n = n 2 + 2n - 1 .


Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt un = vn + an 2 + bn = vn + n(an + b)
Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của
ìïu = x 0
dãy (un ) được xác định bởi: í 1
, trong đó f (n ) là một đa thức bậc k
u
=
a
.
u
+
f
(
n
)
n -1
îï n
theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau:
* Nếu a = 1 , ta đặt un = vn + n.g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n bậc k , thay vào
công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g(n ) : ng(n ) - (n - 1)g(n - 1) = f (n ) ta có được

( )

( )

dãy vn là CSN với công bội q = 1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn suy ra ta có
CTTQ của dãy (un ) .

* Nếu a ¹ 1 , ta đặt un = vn + h(n ) với h(n ) là một đa thức theo n bậc k . Thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n ) : h(n ) - ah(n - 1) = f (n ) ta có được dãy

(vn ) là CSN với công bội q = a

CTTQ của dãy (un ) .

( )

từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn . Suy ra ta có

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-6-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ìïu1 = 1
Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : í
.Tìm CTTQ của dãy (un ) .
n
u
=
3
u
+
2
;
n
=

2,
3,...
ïî n
n -1

Giải:
Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: un = vn + a.2n .

Ta có: vn + a.2n = 3(vn -1 + a.2n -1 ) + 2n Û vn = 3vn -1 + 2n (a + 2)
Ta chọn a = -2 Þ vn = 3vn -1 = v1.3n -1 = 5.3n -1
Vậy un = 5.3n -1 - 2n + 1 .

Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un -1 + b.a n , ta đặt
un = x n + y.a n . Khi đó , ta có: x n + y.a n = a.xn -1 + ay.a n -1 + b.a n

ba
Þ xn = a.x n -1 + éëy(a - a ) + ba ùû a n -1 . Do đó, nếu a ¹ a , ta chọn y =
a -a

ba 2 n -1
ba
Þ un = (u1 )a
+
.a n
Þ xn = a.xn -1 Þ x n = x1.a
a -a
a -a
Trường hợp a = a Þ un - a.un -1 = b.a n
n -1


Þ un = (un - a.un -1 ) + a(un -1 - un - 2 ) + ... + a n - 2 (u2 - au1 ) + u1 .a n -1
Þ un = b(n - 1)a n + u1a n -1 . Vậy ta có kết quả sau.

ìïu1 = p
Dạng 3: Cho dãy (un ) : í
. Khi đó ta có:
n
u
=
a
.
u
+
b
.
a
"
n
³
2
ïî n
n -1
· Nếu a = a Þ un = éëab(n - 1) + u1 ùû a n -1 .

ba 2 n -1
ba
)a
+
.a n .
a -a

a -a
Chú ý : Trong trường hợp a = a ta có thể tìm CTTQ của dãy (un ) như sau:

· Nếu a ¹ a Þ un = (u1 -

Đặt un = x n + y.n.a n . Khi đó ta có: x n + y.n.a n = a.x n -1 + ay(n - 1).a n -1 + b.a n

Þ xn = a.xn -1 + (-y + b).a n nên ta chọn y = b

Þ xn = x1.a n -1 Þ un = (u1 - ab)a n -1 + bn.a n = éëab(n - 1) + u1 ùû a n -1 .

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-7-


Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s

ỡùu1 = -2
Vớ d 1.7: Tỡm CTTQ ca dóy (un ) : ớ
.
n
n
u
=
5
u
+
2.3
6.7

+
12
;
n
=
2,
3,...
ùợ n
n -1

Gii: t un = vn + a.3n + b.7n + c . Khi ú , ta cú:

vn + a.3n + b.7n + c = 5(vn -1 + a.3n -1 + b.7n -1 + c) + 2.3n - 6.7n + 12
vn = 5vn -1 + 3n -1(2a + 6) - 7n -1(2b + 42) + 4c + 12 .

ỡ2a + 6 = 0
ỡa = -3
ù
ù
Ta chn a, b, c : ớ2b + 42 = 0 ớb = -21 .
ù4c + 12 = 0
ùc = -3
ợ
ợ

Khi ú: vn = 5vn -1 ị vn = v1.5n -1 = 157.5n -1

Vy un = vn - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 = 157.5n -1 - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 .
Qua vớ d trờn ta cú kt qu sau:
ỡùu1 = p

Dng 4: tỡm CTTQ ca dóy s (un ) : ớ
,
n
n
ùợun = a.un -1 + b.a + c.b + d ; "n 2
( trong ú a,b, c ạ 0; a , b ạ 1; a .b ạ a ) ta lm nh sau:

ã Nu a = 1 ị un - un -1 = b.a n + c.b n + d
ị un = u1 +
= u1 +

n -2

ồ (un -i - un -i -1 )

i =0
n -2

ồ (b.a

i =0

n -i

+ c.b

n -i

n -2


+ d ) = u1 + b ồ a
i =0

n -i

n -2

+ c ồ b n - i + d .(n - 1)
i =0

ổ 1 - an
ử
ổ1 - bn
ử
ị un = u1 + b.a . ỗ
- 1 ữ + c.b . ỗ
- 1 ữ + d .(n - 1) .
ỗ 1-a
ữ
ỗ 1- b
ữ
ố
ứ
ố
ứ
ã Nu a ạ 1 , ta t un = vn + x .a n + y.b n + z

Ta cú: vn = a.vn -1 + (ax - xa + ab)a n -1 + (by - y b + b c)b n -1 + z (a - 1) + d
Ta chn : x =


ab
bc
d
.
;y =
;z =
a -a
b -b
1-a

Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong

-8-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Khi đó: vn = a.vn -1 Þ vn = v1 .a

n -1

æ
a 2b
b 2c
d ö n -1
= ç u1 ÷a
ç
÷
a
a

b
b
1
a
è
ø

æ
a 2b
b 2c
d ö n -1
b
c
d
un = ç u1 +
an +
bn +
÷a
.
ç
÷
a
a
b
b
1
a
a
a
b

b
1
a
è
ø

Chú ý : Nếu a = a hoặc b = a thì khi đặt un theo vn thì ta nhân thêm n vào trước a n
hoặc b n .

ìïu1 = 1
Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í
.
n
u
=
2
u
+
3
n
;
"
n
³
2
ïî n
n -1

( )


Giải: Để tìm CTTQ của dãy un ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3
Đặt un = vn + a.3n + bn + c .

(

)

Ta có: vn + a.3n + bn + c = 2 vn -1 + a.3n -1 + b(n - 1) + c + 3n - n
Û vn = 2vn -1 + (-a + 1)3n -1 + (b - 1)n - 2b + c .

Ta chọn a = b = 1;c = 2 . Khi đó: vn = 2vn -1 Þ vn = v1.2n -1 = -5.2n -1
Vậy un = -5.2n -1 + 3n + n + 2 .

ìïu1 = p
Dạng 5: Nếu dãy số (un ) : í
, trong đó f (n ) là đa
n
u
=
a
.
u
+
b
.
a
+
f
(
n

);
"
n
³
2
ïî n
n -1
thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu a ¹ 1 ta đặt un = vn + x .a n + g(n ) , với g(n ) là đa thức theo n bậc k . Ta sẽ

chọn sao cho dãy (vn ) là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy (vn ) từ đó ta
có CTTQ dãy (un ) .

* Nếu a = 1 thì ta tìm được un theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3.

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-9-