NGUYÊN HàMTíCH PHÂN Và ứng dụng
Bảng CÔNG ThứC

đạO hàm nguyên hàm

Cỏc quy tc ly o hm
( u + v w) = u + v w
'

'

'



k.dx = k.x + C

'

( u.v) = uv + uv



( au) = a.u' ( a l hng s )



'

'

'

'

'

'
'
u ữ = uv uv

v



2

v

Cụng thc o hm

( )
( u ) = .u

x = .x1
1

.u '

'


1
1
ữ = 2
x
x
'
1
x =
2 x

( )

2

1
dx = + C
x

1

x dx = ln x + C
1
x

dx = 2 x + C

xn+1
+C
n+ 1
1

1
n dx =
+C
x
(n 1).xn 1



'

'

1

x

'

1
1
ữ = 2 u '
u
u
'
1 '
u
u =
2 u

( )


( sin x ) = cos x
'

( sin u ) ' = u 'cos u

n
x dx =

1 (ax + b)n+1
n
(
ax
+
b
)
.
dx
=
.
+ C (n 1)

a n+ 1



1

1
+C

a(n 1)(ax + b) n 1
1
1
dx = ln ax + b + C

(ax + b)
a


(ax + b)



sin x.dx = cos x + C

n

dx =

( cos x ) = sin x

cos x.dx = sin x + C

( cos u ) = u 'sin u



sin(ax + b)dx = a cos(ax + b) + C




cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C



cos



sin

'

'



( tan x )

'

=

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

u'
= u '(1 + tan 2 u )

cos 2 u
1
'
( cot x ) = 2 = (1 + cot 2 x)
sin x
u'
'
( cot u ) = 2 = u '(1 + cot 2 u )
sin u

( tan u ) ' =

LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng



-1-

1

1

1
2

x

dx = (1+ tan2 x).dx = tan x + C


x

dx = 1+ cot2 x dx = cot x + C

1
2

(

)


• (e x ) ' = e x
•

• (e u ) ' = u ' e u
•

( a x ) ' = a x .ln a

• ( ln u ) ' = u '

• ( ln x ) ' = 1
x

•

( log a x )

'


(a u )' = u '.au .ln a

1

ac

x+

1

' '

bc

n

a

+C

1 ( ax +b )
e
+C
a

∫ f (x).dx = F (x) + C ⇒ ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C

∫x


1

1
1
x−a
[ln x − a + ln x − b ] + C =
ln
+C
a−b
a−b x−b

am

+C

x
• a x dx = a + C
∫
ln a
akx+ b
• ∫ akx+ bdx =
+C
k.lna

∫ ( x − a)( x − b) = a − b ∫ [ x − a − x − b ]dx

•

x


−x

∫

ac
b' c'
 ax + bx + c  a b
=
 ' 2 '
' ÷
2
 a x +b x+c 
( a' x2 + b' x + c' )
dx

1

• e ( ax +b ) dx =

x2 + 2

' '

x

−x

u ln a

ab

2

1

2

∫ e dx = e
• e dx = − e
∫

 ax 2 + bx + c  amx 2 + 2anx + bn − cm
•
÷=
2
( mx + n )
 mx + n 



∫ sin (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C

2

•

ad − bc
 ax + b 
• 
÷' =
2

 cx + d  ( cx + d )

=

•

• log u ' = u '
( a )

1
x ln a

1

∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C

u

=

1

•

=

2

dx
dx

1
1
1
=∫
= ∫[
−
]dx
2
−a
( x − a)( x + a) 2a x − a x + a

1
1 x− a
[ln x − a + ln x + a ] + C = ln
+C
2a
2a x + a

Các công thức lượng giác thường dùng trong khi tính
nguyên hàm
= am−n

•

1
n

a

= a−n


2

2

•

n

2

m

am = a n

−

• a
2

m
n

=

1
n

am


• cos2a = cos a − sin a = 2cos a-1=1-2sin a • sin 2a=sin a.cosa

( nhâ
n đô
i)

1− cos2a
1+ cos2a
• sin2 a =
• cos2a =
( hạbậ
c 2)
2
2
1
1
• cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a − b)] • sina.sinb = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
2
1
• sin a.cosb = [sin(a + b) + sin(a − b)] ( tích thà
nh tổ
ng )
2
1
• sin3a = 3sin a − 4sin3 a ⇒ sin3 a= (3sina-sin3a) ( nhâ
n ba → hạbậ
c3)
4
1

• cos3a = 4cos3 a − 3cosa ⇒ cos3a= (3cosa+cos3a)
4
LT§H2011
-2GV:NgunV¨nNh¬ng


Bi 1

PHƯƠNG PHáP TíNH Nguyên hàm
: Tính nguyên hàm bằng công thức , định nghĩa :

(1)

1 3
2
( 3 x 2x + 3x 2)dx (2)

(4)

(

(7)

x3 + 2x2 + x 4
x2 + 2x + 1 dx

)(

)


x + 1 x x + 1 dx (5)

3

x2 4 x
dx
x

(1
0



(1
3)
(1
6)
(1
9)

( 2sin2x + 3cos3x) dx
sin 2xdx
3

e 2x -1+2 x
ex dx
sin 2 x.dx
1 + cos x

(2

2)
(2
5)

(8)

x x3ex + x2
dx (6)
x3





(3)

( 1 x)

dx

x x

x
dx
2

2sin

(1
4)

(1
7)
(2
0)

cos3xcosxdx
(sinx + cosx) dx

(2
3)

2 3

2

2

( e

x

2x2 + 2x + 5
x + 1 dx

(x

2

2


(1
1)

+ 1) dx
3

x 2 x 3x

5 dx

(9)



2)3 dx

(1+ x )

3

dx

3

x

2

2xdx


(1
2)

cot

(1
5)
(1
8)
(2
1)

sin4xcos2xdx
(tanx + cot x) dx

(2
4)



e 3x + 1
(2
(2
x 4 + x 4 + 2
dx
dx
x
3
6)
7)

e +1
x
: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số





Bi 2

2x 1
x + 1 dx

2

dx

dx

1-cosx ; 1+sinx
1
1
1
+ 3 4 ữdx
x
x
x
dx
x +1 x


2x + 1
cosx
với F(0) = 0
3. f(x) =
với F() = 1
x+ 1
1+ sinx
1
1
x2 2x + 2
3 với F(1) = 1
2. f(x) =
. Nếu đồ thị 4.f(x) =
x
x
x 2
1. f(x) =

hàm số




9
2

v y = F(x) đi qua điểm 3; ữ
Bi 3

5.f(x) = 2xln2 + 3xln3 với F(0) = 0

6.f(x) = 6sin2xsinx với F(0) = 1

: Tớnh nguyờn hm bng phng phỏp i bin s :

LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng

-3-




Đặt t = u(x) , lấy vi phân 2 vế dt = u’dx . Thế vào

∫ f (x)dx = ∫ g(t).dt = G(t) + C = F(x) + C
xdx
2
−1

(1)

∫ (x

(4)

∫

(7)

x2 − 2x

∫ x3 − 3x2 + 1dx

(8)

(1
0)

∫ (2 x − 3) .dx

(1
1)

(1
3)

∫x

(1
4)

(1
6)

∫

dx
− 4x + 3
x3dx

x3

∫ (x 4 +1)2 dx
dx
∫ (3x − 1)5
xdx
∫ x4 − 1

(1
7)

∫ sinxcos

(1
9)

∫ (tan x + tan

(2
0)

∫ tan xdx

(2
1)

(2
2)

e x .dx
∫ x
sin 2x

∫ 1 + cos 2x dx

(2
3)

∫2

(2
4)

3

+ 1)5.x2dx

xdx

(2)
(5)

x2 + 1

4

2

x +2
2

3


x)dx

∫x
∫x

(3)

2x − 1
dx
− x+1

(6)

2

4

(9)
(1
2)
(1
5)

xdx

sin x

.cos xdx

(1

8)

3

sin x
(2
(2
(2
dx
5)
6)
7)
1 + cos x
Bài 4 : Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :

∫

xdx

∫ 1− x

2

∫ (2x − 1).e

x2 − x

dx
+x
dx

∫ x2 − 4
dx

∫x

2

∫x

x2 + 1
cosx
∫ sin3 x dx
dx
∫ sinx.cosx
sin 2x.dx

∫

1 + cos 2 x
ecot x dx
∫ sin 2 x

(1)

ex
∫ ex − 1dx

(2)

∫ (sinx + 1)cos x.dx


(3)

∫ sin

(4)

ln3 x.dx
∫ x

(5)

(2 + 3ln x)3
dx
∫
x

(6)

∫x

(7)

∫ x(1− x)

(1
0)

∫ (2 x − 3) .dx


20

LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

4

dx

2

(8)

∫ tg xdx

(1
1)

∫ (3x − 1)

3

(9)

dx

5

-4-


(12
)

dx

2

x.cos4 x.dx

dx
ln x

dx
∫ cos4 x
dx
∫ x2 − 4


dx
∫ x2 − 4x + 3
x3dx

(1
3)
(1
6)

∫

(1

9)

x +2
2

∫e

cos2x

(2
2)

∫ x.

(2
5)

dx
∫ x2 − 4

3

xdx
∫ x4 − 1

(15
)

∫x


(1
7)

lnx.3 1+ ln2 x
dx
∫
x
cos2x
∫ sinx + cosx dx
x 5 .dx

(18
)

∫

(21
)

∫ 1+

(2
0)

sinxcosxdx

(23
)

1 − xdx


3

7+x

3

dx
∫ x2 + 4

(26
)

(1)

cos2x.dx
∫ (sinx + cosx)2

(2)

(4)

∫ cosx x.dx

(5)

(1
0)

∫


x2 + 1

cosx − cos3 xdx
dx

(24
)

∫ 1+
∫x

(27
)

2

x
x .dx
3

3

x4 + 1

dx
− 4x + 4

: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :


Bài 5

(7)

dx

(1
4)

5

sin 2 x + sin x
∫ 1 + 3cos x dx
sin x + cos x
∫ 3 sin x − cos x dx

(1
3)

∫ (e

(1
6)

∫

6

e x dx
x


+ 1) e x + 1

(8)
(1
1)
(1
4)

1 − cos3 x .sin x.cos5 x.dx (q)

∫

sin 2xdx

3sin2 x + 4cos2 x + 1
cos x.dx
∫ 6 − 5 sin x + sin 2 x
sin 2 x.cos x
∫ 1 + cos x dx
sin 2 x
∫ cos x + 1 dx

∫

e 2 x dx
ex −1

dx


∫ 1 + sin x + cos x

(3)

tan4 x
∫ cos2x .dx
3

sin 3 x − sin x
cot x.dx
sin 3 x

(6)

∫

(9)

1 − 2 sin 2 x
∫ 1 + sin 2x dx

(12)

∫ cos

sin xdx

x 1 + cos 2 x
x5 + 2 x3
dx

(15) ∫
x2 + 1
sin x.cos 3 xdx
(18) ∫ 1 + cos 2 x
2

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

• Đặt u = u(x) , lấy vi phân 2 vế
, du = u’dx
dv = v’.dx , lấy nguyên hàm 2 vế (C=0) , v = v(x)
LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-5-


Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần
Bài 6
(1)

Phương pháp nguyên hàm từng phần loại 1 : ( Đặt dv = sinx , cosx, ex)

∫ x.sin2xdx

(4)

∫x

(7)


∫ x.2 dx
∫ e .dx

(1
0)
(1
3)
(1
6)
(1
9)

∫ u.dv = uv− ∫ v.du

2

cosxdx
x

xdx
2
x

∫ cos

∫ ( x + sin x) cos x.dx
3

x2


.dx

∫ (2x − 1)cos2x.dx

(5)

∫ x.sin

(8)

∫ (sin x + x).cos xdx
∫ sin x.dx

(11
)
(14
)

x

∫ x .e

(2)

2

xdx

3


∫ x.tan

2

x.dx

(17
x
∫ (e + sin x).sin x.dx
)
(20
2
2x
∫ (4 x − 2 x − 1).e .dx
)

(3)

∫ x.e

2x

dx

(6)

∫ x .e

(9)


∫ x(.e + e )dx
∫ e .sin2x.dx

(12
)
(15
)
(18
)

−x

2

x

.dx

2

x

x

∫ (x

∫

2


− x).e x dx

( x + sin x) dx
cos 2 x

Phương pháp nguyên hàm từng phần loại 2 : ( Đặt u = lnx , ln(ax+b) )
(1)

∫ x.lnxdx

(2)

∫x

(4)

∫

lnx
dx
x2

(5)

∫

(7)

∫ xln( 1− x)dx


(8)

∫ sin

1+ x

(1
0)
(1
3)

∫ ln( x +

(1
6)

∫x

(1
9)

∫ ln( x

x 2 + 1).dx

∫ cos(ln x).dx
2

1

ln(1 + ).dx
x
2

− x)dx

(3)

∫ x.ln(x + 1)dx

(6)

∫ ln

ln(sin x)dx

(9)

∫

(11
)
(14
)

∫ cosx.ln(1+ cosx).dx

∫e

∫ sin(ln x).dx


(12
)
(15
)

(17
)

∫

ln(ln x)
dx
x

(18
)

∫ (1-x

(20
)

x2 + 1
∫ x ln x.dx

(21
)

∫


3

lnx.dx

lnx
3

x

dx

1
2

x

ph¦¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-6-

2

x.dx

x .ln xdx
x


ln(1 + e x ).dx

ln x.dx

∫ ( x + 1)
2

2

).lnx.dx

ln(1 + x)
.dx
x2


Công thức Newton-Leibniz
b

I = f ( x ).dx = F ( x ) a = F (b ) F (a )
b

a

Tính các tích phân sau bằng định nghĩa :
1

2.

0

4

5.

/2

8

4
1. ( x + 1) dx



3

xdx

3.
1



xdx



6.

1 cos2xdx


e2x 2ex + 1dx
/4

1
0 2x + 1dx

7.



2



8

.

0

2x + 4dx

10.

0

x2 x + 1
x 1 dx
1
/2


1

x
0 x + 1dx .



dx
1 x2 + x
3





x
2

16. cos2 dx
0

x2 2x dx

2
0 3

x 2x + x + 1
dx
( x 1) 2

1
2



( 1+ sinx) 2 dx +

( 1+ cosx)

dx

0

1

1

x2
14. 2
dx
x +1
0
/2

18.



tan2 xdx


0

/2

21.



0

Phơng pháp đổi biến số
t t = u(x) , ly vi phõn 2 v dt = u(x) .dx
i cn : + Cn trờn
: x = b t= u(b)
+ Cn di : x = a t = u(a)
-7-

x3
15. 3
dx
x +1
0
2

19.

1+ sinxdx 23).

0


cos3xcos5xdx

LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng

2

.

/2




/2

0

x3 x2 + 1
dx 13.
12.
1 x
3
2



11.

0


20.



sin 4 xữ dx

0

5

17.

4.

1

1

2

9.



/2

1

sin 2xdx

2

0
/2



/2

sin2xsin7xdx


Thế vào
•
b

I = ∫ f ( x).dx =
a

u (b)

∫

u (b )

g (t ).dt = G (t ) u ( a ) = G[u (b )] − G[u (a )]

u(a)

TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

e2

e

ln5 x
dx
1. ∫
x
1
1

2.

5. x3 ( x4 + 1) dx 6.
4

∫

π /2

5

cot2xdx

tan4xdx

1
dx
7. ∫ 2
x + 2x + 4

0

10.
13.

0

∫ sin

3

π /2

∫

cos5 xdx

∫

1
dx
cos4 x

0
π /4

0

∫


3
2
11. x 1− x dx

xdx

∫x

1

18.

15.

0

12.

4 − x2

dx

16.

1

x3
∫0 1+ x8 dx

sin3 xcos2 xdx 22


0
3

1

19.

1

∫ 1+ e

x

dx

20.

0

25.

π /2

π /2

sin3 xcos3 xdx 26.

0


1

∫x

2

−1

∫

esinx cosxdx

2

esin x sin2xdx 30.

0

LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

x+1
dx
+ 2x + 2
0

23.

0


∫

1

∫

0

cos x
∫π/6 sin2 x dx

29.

1− x2 dx

0

π /2

π /2

∫

1− x2 dx

2

1
∫π/4 sin4 x dx


π /2

8.

0

1

π /2

∫

1

1

0

21.

dx

2

π /2

17.

4.


0

π /12

∫

1

dx

1

∫

14.

x2 + 1

0

1

0

π /12

∫

4x


∫

3.

∫ sin xcosxdx ∫ 1+ x

0
π /4

9.

3

1
∫e xln5 x dx

π /4

∫x

−1
tanx

e

∫ cos

2

0


-8-

5x + 4
dx
+ x−2

2

x

dx

24.


π /2

∫

0

4

sinx
dx
1+ 3cosx
π /2

2


0
π /4

∫

37.

1

sin2x

∫ 1+ cos

33.

x

x
dx
1+ x4
0

dx 34. ∫

∫

1

41.


35.

0

1

0

sinx − cosx

32.

1+ lnx
dx
x
π /6

tan4 xdx

2

0

∫

38.

x


∫

x
28. xe dx

dx

∫ sinx + cosx dx

31.
e

tan3 xdx

1

ex

1
π /4

3

0

π /4

∫

27.


∫

1+ 4sinx.cosxdx

36.

0

3

1

∫ 1+
0

1

∫

x

dx

23

45. x

∫ x 1+ x dx
2


42.

0

1− x dx
4

46.

π /2

39.

cosx

∫ 1+ sin

2

x

dx

40.

ln3

sin( lnx)
∫1 x dx

e

1
∫1 x( 1+ lnx) dx 50

∫

0

0

e

ln( 2 − x)
dx
2
−
x
0

1

49.
ln8

∫

ex − 1
∫ln2 ex + 1dx
e2


ex + 1.e2xdx

43.

∫

e

ln3

lnx
dx 44.
x

π /2

cotx.3 sin3 x − sinxdx
∫
sin3 x
π /3
π /2

48

∫

sin2x
2


cos x + 4sin2 x

0

π /2

47.

π /3

dx

ln5

dx
dx
x
−x
51.
e
+
2e
−
3
ln3

∫

(1)Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc vµ lÎ trªn ®o¹n [-a; a] chøng minh
a


∫ f ( x) dx = 0

−a

LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-9-

dx

∫ sinx


a

f ( x) dx =

(2)Cho f(x) là hsliên tục và chẵn trên [-a; a] chứng minh

a
a



2 f (x )dx
0

Phơng pháp tích phân từng phần

Phng phỏp tớnh tớch phõn tng phn


t

u = u(x) , ly vi phõn 2 v
, du = udx
dv = v.dx , ly nguyờn hm 2 v (C=0) , v = v(x)
a

a

u.dv = [ u.v] v.du

p dng cụng thc tớch phõn tng phn

b
a

b

b

Tích các tích phân
/2

1.






/2



xsinxdx

2. xcos2xdx

0
1

3.

0





0





/2

9.




x2 sinxdx

0

e

( 4x + 1) lnxdx
1

e



10. x e dx
13.

e
0



2
12. ln xdx

1

xsin


sinx

e

5

11. x lnxdx

2

xdx

1

15 xln( x2 + 1) dx 16.



14.

0

/2

8.

0

2 x


0
/2

1

7. x2exdx

6.

x
dx
cos2 x
1



0

0



e

4. lnxdx

1

2x

5. xe dx
/2

( 2x 1) cosxdx

0

1

3
sin2xdx 17 x5ex dx

1

19 xln( x + 1) dx 20



0

0

1

x
18. ( 2x + 1) e dx



0


/2

cosx.ln( sinx) dx

/6

Bi Tp b sung
. Tớch phõn cỏc hm a thc
LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng

-10-

1

1

e cosxdx
x

0


1

a)

1


∫ (1− x − x )

2 2

dx

0
1

c)

∫ x (1− x)

b)

∫ ( 1 + 3x ) ( 1 + 2 x + 3x )

2 10

19

dx

0
2

dx

d)


0

∫x

2

− x dx

0

Tích phân hàm hữu tỉ ( với mẫu là tam thức bậc
2)
b
dx

Dạng 1 : I =
đặt x = k.tan t
2
x + k2
a

∫

3

Ví dụ (a)

∫
0


4

dx
2
x +3

(b)

3 3

dx
∫0 x 2 + 16

dx
x +9

∫

(c)

2

3

b

dx
Xét tam thức
ax + bx + c
a

ax2+bx+c và tính ∆g có 3 trường hợp :
∆ > 0 : phân tích thành 2 tích phân
1
A
B
=
+
2
ax + bx + c x − x1 x − x2
I =∫

 Dạng 2 :
•

2

g(x) =

a

b

dx
−1
= 0 : I =∫
=
2
a( x − α )
a( x − α ) b
a


•

∆

•

∆ <0

b

:

I=

1
dx
∫
a a ( x + α )2 + k 2

Đặt x + α = k. tant

Tích phân các hàm hữu tỉ
1

a)

1

3x + 1


∫ ( x + 3)

dx
3

b)

0

4

dx

∫ x ( 1+ x)

d)

2

1

1

dx
g) ∫ 2
x −x−2
0
LT§H2011
GV:NgunV¨nNh¬ng


x

∫ ( x + 1)

2

dx
3

c)

0

2

e)

∫x
1

1

3

2

2

x dx

− 7 x + 12

f)

-11-

dx

∫ x+ x

3

1

2

dx
h) ∫ 2
x −6x +9
0

dx
5
+ 1)

∫ x( x

1

(i)


∫x
0

2

dx
+ 5x + 6


2

1

( 2x + 3 )dx
∫0 x2 + 2x + 4

j)

1

( 4x + 11 )dx
∫0 x 2 + 5x + 6

(k)

∫x

(l)


4

0

dx
+ 4x 2 + 3

. Tích phân các hàm vơ tỉ
•
Chú ý : Nếu trong tích phân có chứa biểu
thức :
+
đặt x = a sint ( hay x = acost )
a2 − x2
+
a2 + x2
acot )
+

( hoặc a2+ x2) đặt x = a tant
đặt x =

x2 − a2

2

2 2

a)


∫

x x 2 + 1.dx

b)

∫

2

2

d)

xdx
∫1 1 + x − 1
1

g)

∫
0

e)
7/3

x2 −1
.dx
x +1


0

1

l)

∫

2 /2

1 − x 2 .dx

m)

−1/2

∫
0

10

∫

2
3

1
x x −1
2


a
)
sint
6

c)

dx

∫ 2x +1+

4x +1

2

2 3

.dx

f)

∫

5

dx
x x2 + 4

1


x +1
.dx
3
3x + 1

∫

h)

( hay x =

dx
x +1 + x −1

1

0

a
cost

( hay x =

∫

k) x 1 − x .dx
0
4

x 2 dx


n)

1 − x2

dx

∫ x 1+

(

1

x

)

3

dx
o) ∫
5 x − 2 x −1

p)

∫

x 3 − 2 x 2 + x .dx

0


Tích phân các hàm vơ tỉ
(1)

Tính các tích phân sau :
1

(a) ∫

3

(a)

∫

4/ 3

2 /2

dx
2
( x + 4) 2
0

(b) ∫

x2 4 − x2
4

(2)


2

dx

x 2 − 4dx
x

LT§H2011
GV:NgunV¨nNh¬ng

(c )

∫

0

3

x 2 dx

(d)

1 − x2

3

1

(b)


x 2dx
∫0 (1 + x 2 )3
-12-

∫

5

(c)

∫

5/2

dx
( x 2 + 9)3

(25 − x 2 )3 dx
x4


(3)
ĐS:

(a)

3/2

∫


(3 − x ) .dx

(b)

0

[16-1] ( a ) −

36π+81 3
64

(b)

∫

3 /3

3
6

(b)

2 3π
- )
3 6

(b)

8

(16 − 2 )
7

(c) 4-π

[B16-2] (a)2(
(a)

1

2 3

(1 + x 2 )5 dx
x8

1
(π + 2 )
64

π
32

π
(c)

3

ln 5

∫


(c )

0

(c)

π −2
8

ex ex −1
ex + 3

(d)

2 −1
18

[B16-3]

b

Tích phân hàm lượng giác :

I=

∫ sin

n


x.cos x m x.dx

a



Nếu m và n chẳn dương dùng công thức hạ bậc
đối với sin và cos
sin2x =

1
1
(1–-cos2x) và cos2x = (1– cos2x)
2
2

 Nếu m lẻ và dương


đặt t = sinx
∎ Nếu n lẻ
và dương
đặt t = cosx
Nếu m và n lẻ âm
đặt t = tanx hay t = cot x

Chó ý: C¸c c«ng thøc lỵng gi¸c
TÝch thµnh tỉng :

 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x

2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x
 2sinax.sinbx = cos(a-b)x – cos(a+b)x

H¹ bËc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin2ax =1- cos2ax; 2cos2ax = 1+
cos2ax.
BiĨu diƠn theo t = tan
F

F

x
2t
2t
1− t2
; sinx =
;
cosx
=
; tanx =
2
2
2
1+ t
1− t2
1+ t

C¸c vi ph©n: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx;
d(tanx) =

dx

=(1+tan2x)dx
2
cos x

Tích phân các hàm lượng giác
LT§H2011
GV:NgunV¨nNh¬ng

-13-


π
2

(

∫

a) sin 2 x 1 + sin 2 x
0

π /4

∫

d)

0

)


3

3π
8

1 + sin 2 x
dx
cos 2 x

∫( e
0

sinx

e)

p)

∫

∫ sin

π
8

2

π
4


x + cos3 x ) dx

∫

c) cos 2 x.cos4 x.dx
0
π
2

dx
x.cos 2 x

f)

π
4

2
k) 1 − 2sin x dx

2 cos x
h)
∫0 3 + 2s inx dx

+ cos x ) cos x.dx

m)

∫ 1 + sin 2 x

0

π
2

cos x
∫0 1 + cos x dx

o)

0

π
2

π
2

s) sin 2 x.cos x dx
∫0 1 + cos x

∫

1 + 3cos x

0

∫

∫


u) cos x

2

w)

π
4

s inx.dx

0

0

dx
v) ∫
π

π
s inx.sin  x + ÷
6
6


1 + cos 2 x

π


t) sin x.t anx.dx

π
3

4sin 3 x
∫0 1 + cos x dx

3
2
r) s inx.cos x .dx

sin 2 x +s inx
dx
1 − cos3 x .s inx.cos 5 x.dx q) ∫
2

0

π
2

π

π

6

1 + sin 2 x + cos2 x
dx

s inx + cos x
π

∫
6

π
4

π
2

3

0

sin 2 x
dx
g) ∫
6
π cos x
l)

∫ ( sin

b)

dx

π

3

4
π
2

π
2

cos x + 2s inx

∫ 4 cos x + 3s inx dx
0

Tích phân từng phần:
e −1

a)

∫ ln ( x + 1) dx

3

∫ (

)

b) ln x − x dx

1


LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

2

2

1

∫

(

)

c) x.ln x + 1 dx
0

-14-

2

2

d)

∫ ( x.ln x )
1


2

dx


e

( x + 1)

e)

f)

2

1/2

l)


2

( x

2

0


2


1

ln x.dx


0


3


4

x.dx
k) x + s inx dx
0 cos2 x
1 + cos2 x
0

x 2 + 1.dx g) x.cos 2 x.dx h)


0


4

2


+ 1) s inx.dx m) x ( 2cos 2 x 1) dx

sin

n)



1



4

p) x.l o g xdx

x .dx o) x .sin x .dx

1

0

10

2

2

1



2

3 x
q) 5e x sin 2 xdx r) x e dx s) e x .cos 2 x.dx

2

1

0

0


0

Tớch phõn cỏc hm m v logarit
1

x x
a) ( 2 x 1) e dx
2

0

e

1 + 3ln x .ln x
.dx

x



e)

1
1

g)


0

ln 5



f)

ln 2

h)

2x + 1

0

b)


1

1 ex
dx
1 + ex

2

dx



ln 2


1

1

dx
c) 2 x
e + ex
0



x
d) e dx
0


2x

e dx
ex 1

2 + log 2 x
dx
2x
2

3x

x
1
+5
k) 5 +
ữdx
2
sin ( 2 x +1)
4 x +1 ữ
1

1/9

l)

( 10

x /4


2

sin x ) dx

Tớch phaõn haứm soỏ muừ:
1

1

e x dx
1) x
e +1
0
4)
7)

dx
2) x
e +1
0

1

dx
0 e2 x + e x

5)

dx
ln 3 e x + 2e x 3

ln 2

ln 2



ln 5

e 1.dx
x

0

8)


0

1

10) ( x + 1)e dx
2

2 x

0

LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng



2

e 2 x dx
ex + 1

1

ex + 3
0 2e x + 1 dx

3)

ln 5

6)



ln 2

ln 2

9)


0

11) sin xe dx


0

-15-

12)


0

ex 1

e 2 x + 3e x
dx
e 2 x + 3e x + 2

ln 3
2x

(e x + 1)e x dx

ex
(e x + 1)3


1

1

0




sin x.e

16)

x2

1

3 x +3
14) x e dx

x
13) e dx

2

15)

0

x e
5

3

1+ x3

dx


0



dx



x .e
3

17)

cos x

dx



Tớch phaõn haứm soỏ logarit :
e

1) ( x + 1).ln xdx
2

e

1


e

e

1

e

1

e

x3 + 1
.ln xdx
6)
x
1

dx
1 ln 2 x

1

3

9)

8) x 3 .ln x 2 + 1dx
1


e8

11)
/6



14)

/ 6
/3

1
/4

ln(tan x)
dx
4
/6 cos x





12)

e

13) cos(ln x) dx


x ln( x + 1 + x )

0

3

ln x
dx
10)
x
1

16)

x

5)

1 + 3ln x .ln x
dx
x

7)

ln x. 3 1 + ln 2 x
dx
x
2

3)


1

2

ln( x + 1)
dx
4)
x2
1

e

3
x ln xdx

2)

17)

e3
1

sin x ln( x 2 + 1)dx 15) ln
0

1 + x2

dx


1 + ln x .
dx
x ln x

x2 + 1
dx
x2 + 3

ln(tan x)
dx
/4 sin 2 x



Tớch phõn 2 cn i

2

a)






2

s inx.sin 2 x.cos5 x
.dx c)
ex + 1



2






2

1

1
x + cos x
x4
.
dx
.
dx
1 x2 dx
d)
e)
2
x


4 sin x
1+ 2
1

0

DIệN TíCH HìNH PHẳNG
LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng

-16-



Bài Tốn ÙNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH
PHẲNG:
Công thức:

1

∫ 1− x dx
2

0

x=a
(H )

O

x=b
(C1 ) : y = f ( x)

(C 2 ) : y = g ( x)


(C1 ) : y = f ( x)
(C ) : yb= g ( x )
 2
(H ) : 
∆1 : x = a

∆ 2 : x = b

a

x

1

∫ 1− x dx
2

0

(C 2 ) : x = g ( y)
y=b

b

a

(H )

O


S = ∫ [ f ( x ) − g ( x )] dx
a
yC1
y C2
b
S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )] dy

xC1

a

(1)

DiƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng
y = sinx, y = 0, x = 0, x = π

y = cosx, y = 0, x = 0, x = π
(2)
2
(3) y = x2 - 2x vµ trơc hoµnh
(4) y = x2 - x vµ trơc Ox, vµ x = 0, x = 2
(5) y = x4 - x2 vµ trơc hoµnh
(6) y = x(3 - x)2 vµ trơc hoµnh
(7) y = x2 - x vµ y = 3x
( 8) y = x3 - x vµ y = 3x
LT§H2011
GV:NgunV¨nNh¬ng

x


(C1 ) : x = f ( y )

b

Bài 1

y=a

(C1 ) : x = f ( y )
(C ) : x = g ( y )
 2
(H ) : 
∆1 : y = a

∆2 : y = b

-17-

xC 2


(9) y = x3 - 3x vµ y = -3x + 1, x = 0,x=2
(10) y = x4 - 2x2 vµ y = -1 4
(11) y = x3 vµ y = 0, x = -1, x = 2
(12) y = lnx vµ y = 0, x = e x = y3 vµ y = 1, x = 8
(13) y2 = x vµ y = x
(14) y = ex , y = e-x, x = 1
(15) y = x2 - 2x + 2, tiÕp tun cđa (P) t¹i ®iĨm M(3; 5) vµ trơc
tung

(16) y = x2 - 2x + 2, tiÕp tun cđa (P) t¹i ®iĨm M(2; 2) vµ ®êng
th¼ng x = 1

x
vµ y = 0, x = 0, x = 1
x+1
x2 + x
(18) y =
vµ trơc hoµnh
x− 1
2x + 1
(19) y =
tiƯm cËn ngang cđa (C) vµ c¸c ®êng th¼ng x = 1,
x+ 1
(17) y =

x=3

(20) (C): y =

x2
, tiƯm cËn xiªn cđa (C) vµ c¸c ®êng th¼ng x = 2,
x−1

x=3
(21) xy = 4 , y = 0, x = a, x = 3a (a > 0)
(22) y = x , y = 1 vµ y =

x2
trong miỊn x ≥ 0, y ≤ 1

4

(23) x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong y =

1
x ( x3 + 1)

(24) y = x2 − 4x + 3 vày = x + 3
(25) x + y = 0 ; x2 – 2x + y = 0
(26) y = xlnx , y = 0 , x = e.
(27) y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ
bằng 3.
(28) y =

−x2 + 4x − 4
, tiệm cận xiên của (C) và hai đường
x −1

thẳng x = 2, x = 5
LT§H2011
GV:NgunV¨nNh¬ng

-18-


Thể tích vật thể TRòN XOAY

Cụng thc:
y
x=a


O

a

y

x=b
(C ) : y = f ( x)

y=0

b
x=0

x

O
2

b

y=a

a

x

b


y=b
(C ) : x = f ( y )

b

2

V = [ f ( y )] dy

V = [ f ( x)] dx
a

a

Bi 2 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi đồ thị hàm số quay xung quanh trục Ox :
(1) y = x 1, trục Ox và các đờng thẳng x = 1, x = 4.
và hai trục toạ độ

(2) y =
0 x

cosx




ữ
2


(3)y = 0, y = x - x2. (4) y = cosx, y = 0, x = 0, x =
y = 0, x = 0, x = . (6)

y=

x

xe2 , y = 0, x = 0, x = 1.

x

(7) y= x.e2 , y = 0, x = 0, x = 1.
= 1, x = e .
(i) quay quanh trục Ox
(9) y =
(11)

2

x
, y = 2, y = 4, x = 0
2


(5) y = sin2x,
4

(8)

y=lnx, y = 0, x


(ii) quay quanh trục Oy
(10 y =

x2 y2
+
=1
a2 b2

x
, x = 0, x = 1
x+1

Bi 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng (H)
giới hạn bởi đồ thị hàm số quay xung quanh trục Oy :
x(y + 1) = 2 và các đờng thẳng x = 0,y = 0, y = 3.
(1)
LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng

-19-


(2) y = 2 vµ c¸c ®êng th¼ng y = 1, y = 4, x = 0.

x

(3) y = x3, y = 0, x = 1
(4) y = x2 vµ y = 2x
(5) y = x;y = 2 − x;y = 0


Các đề thi Tích phân
(1).

I=

π /2

0

ln 5

(2).

sin 2 x
4 − cos 2 x

∫

I=

(e x + 1)e x dx

∫

e −1

I=

π /2


sin 2 x.dx

∫
0

∫e

I=

x

ln 3

2

dx
+ 5e − x − 3

( B 2006)

1

0

∎

(6).

2


(CĐSPLongAn)

I = ∫ xe − x dx
I=

(7).

1
π /2

∫ sin 2 x(1 + sin

2

x)3 .dx (Cao Thắng)

0

7/3

(8).

(D2006)

I = ∫ ( x − 2)e 2 x .dx

(5).

( A2006)


cos x + 4sin x
2

ln 5

(4).

( Phân ban KHTN)

x

ln 2

(3).

(TNPT2006

I=

(9).

∫
0

I=

x +1
.dx (CĐ Điện Lực)
3x + 1


π /4

∫ (cos
0

(a)
(10).

3

∎

I=

π /4

∫
0

π /4

4

x − sin x).dx ; J= ∫

xdx
cos 2 x

4


0

cos2x
1+2sin2x

(CĐKT)

(b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y = x 2 và
y = x3 (Cao Đẳng2006)
LT§H2011
GV:NgunV¨nNh¬ng

-20-


Caực ủe Cao ng
1

dx
0 1 + 1 + 3x

I =

(11).

I=

(12).


/2


0

(CẹỏCanThụ)

sin 2 x.dx
(2 + sin x) 2

(CẹSPTPHCM)

I =

/ 2

cos x.dx

5 2 sin x
0

2

(13).

J= (2 x +7) ln( x +1).dx (CẹGTVT3)

(14).

I=


0

e

ln x.dx
x
1

I=

(15).

I=

x ln(1 + x ).dx
2

I=

0

/3

ln(tgx)
.dx
sin
2
x
/4





sin x cos x
.dx
1 + sin 2 x
/4



x x 1
I=
.dx
x5
1

0

dx
I =
I= 2
x + 2x + 2
1

/2

(17).

sin 3 x.dx

2 cos 3 x + 1

/3

2

(16).


0

1

I=

/2

I = (1 + 2sin x)3 cos xdx

/4

(1 tg x)dx
5

0

(TNPTPhaõn Ban)

0


Tớnh din tớch ca hỡnh phng gii hn bi cỏc ng:
(18).
(a) y=72x2, y=x2+4
(b) : y = (e+1)x, y=(1+ex) x
J=

(TNPT2007)

(19).
I=

(Naõngcao 2008)

(20).
J=

(Cụ baỷn 2008)

(21).
LTĐH2011
GV:NguyễnVănNhơng

( A2007)

-21-


1

(TNPTKPB)


I = ∫ (1 + e x ) xdx

(22).

0

π /4

∫

(23).
J=

π
).dx
4
sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x)
sin( x −

0
π /6

∫

(24).

0

tan 4 x.dx

cos 2x

(KB2008)

2

ln x
dx
x3
1

(KA2008)

∫

K

D_2008)

(TNPT2009
π

(25).

∫

(26).

(KA2009)


∫ (cos x − 1).cos x.dx
3

2

0

0

I=



π /2

J= x(1 + cos x).dx
3

3 + ln x
∫1 ( x + 1)2 dx

(KB_2008)

J=

3

∫e
1


dx
−1

x

(KD)

Naêm 2010
1

I = ∫ x 2 (x − 1) 2 dx
0

1

I=∫
0

e

I=

1

(TNPT)

x 2 + e x + 2x 2e x
dx
1 + 2e x
ln x


∫ x(2 + ln x)

2

dx

2x − 1
dx
x +1
0

I=∫

(CaoĐẳng)

e

( KA_2010)

3

I = ∫  2 x − ÷ln xdx
x
1

(D-2010)

(KB_2010)


1

Đề Thi tuyển sinh Đại học ra như thế nào?
Môn Toán: không quá khó
TuổiTrẻ - Thông thường, thang điểm môn toán của đề thi tuyển sinh ĐH được
phân bố như sau: phần khảo sát hàm và những vấn đề liên quan (2
điểm); phần hình học giải tích (2 điểm) và phần hình học cổ điển (1
điểm); phần đại số và lượng giác (3 điểm); phần tích phân và giải tích tổ
hợp(2 điểm).
Nhìn lại 27 đề thi môn toán trong ba năm (từ 2002 - 2004 gồm chín đề thi
chính thức và 18 đề dự trữ) chúng ta thấy những vấn đề thường xuất hiện
trong đề thi như sau:
LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-22-


1) Toàn bộ các đề thi đều có câu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (100%).
2) Biện luận về sự tương giao của đồ thị bằng kiến thức tam thức bậc 2
(40%). Thật ra, hơn 90% các đề thi đều đòi hỏi biết sử dụng kiến thức về
tam thức bậc 2.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (25%).
4) Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (23%).
5) Viết phương trình tiếp tuyến (15%).
6) Tìm giới hạn của hàm số bằng cách khử dạng vô định (14%).
7) Viết phương trình đường thẳng; xác định tọa độ các điểm đặc biệt như
tâm đường tròn,trực tâm tam giác… (40%).
8) Các câu hỏi về đường tròn (30%).
9) Các câu hỏi về elip (15%).

10) Các câu hỏi về parabol (6%).
11) Các câu hỏi về tọa độ điểm, đoạn vuông góc chung, phương trình
đường thẳng, mặt phẳng trong không gian (60%).
12) Những câu hỏi liên quan đến mặt cầu (30%).
13) Các bài toán liên quan đến tích phân (75%).
14) Các bài toán liên quan đến giải tích tổ hợp (76%).
15) Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa logarit (60%).
16) Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa căn (27%).
17) Chứng minh các bất đẳng thức bằng các phép biến đổi tương đương
và dùng bất đẳng thức Cauchy (28%).
18) Các hệ phương trình đối xứng (13%).
19) Những bài toán thuần túy là hình học cổ điển thường có tỉ lệ là 1 điểm.
Để chắc chắn đậu đại học, các em nên học thật chăm từ năm lớp 10, cần
hiểu kỹ những điều căn bản trong sách giáo khoa và chỉ cần làm bài tập
với độ khó ở mức trung bình và trung bình khá.
Thạc sĩ PHẠM HỒNG DANH (GV toánTrườngĐHKinh tế TPHCM)

Những điều cần nhớ khi làm đề Toán
Thạc sĩ Nguyễn Anh Dũng, giáo viên khối phổ thông chuyên
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - người nhiều năm kinh nghiệm ra
đề và chấm thi ĐH - đưa ra những lời khuyên cho thí sinh khi làm đề
Toán.
Những dạng câu hỏi trong đề Toán
Trong một đề thi tuyển sinh ĐH thường được chia thành ba mức kiến thức.
Khoảng 30 - 40% bài tập có yêu cầu trung bình. Khoảng 30 - 40% bài tập có
LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-23-



yêu cầu cho học sinh khá và khoảng 20% bài tập nâng cao chủ yếu để
phân loại những học sinh giỏi.
Đề thi môn toán không có câu hỏi về lý thuyết, tất cả câu hỏi được ra dưới
dạng bài tập.
Cụ thể, một đề thi tuyển sinh ĐH sẽ có bao gồm các bài tập về các phần
kiến thức cơ bản khác nhau. Thông thường sẽ có một bài tập về hàm số, nếu
làm trọn vẹn sẽ được 2 điểm.
Đây gần như là phần kiến thức không thiếu trong đề thi đại học môn toán
(cả khối A, B, D) trong nhiều năm lại đây. Bài tập về hàm số thường được ra
dưới dạng một bài toán khảo sát hàm số và một câu hỏi phụ. Câu hỏi khảo
sát hàm số cũng thường được ra một trong các loại sau: hàm nghịch biến,
hàm đồng biến, hàm cực trị...
Một phần bài tập khác thường gặp trong các đề thi ĐH là bài tập tích phân. Có
thể đề bài sẽ bắt thí sinh phải tính tích phân của một bài toán cụ thể hoặc một
bài toán có ứng dụng tích phân.
Từ khi Bộ GD-ĐT ra đề chung đến nay, chủ yếu phần tích phân được hỏi
dưới dạng giải một bài toán có ứng dụng tích phân. Phần bài tập tích phân
thường chỉ chiếm 1 điểm trong đề thi.
Tổ hợp cũng là một dạng toán rất quen thuộc trong các đề thi ĐH. Phần
này cũng thường chỉ chiếm 1 điểm. Các bài toán về tổ hợp thường gặp là:
Tạo dãy số, phân chia đối tượng, nhị thức Newton...
Câu thứ tư trong các đề thi đại học thường là một câu hỏi về lượng giác.
Phần này cũng thường chỉ chiếm 1 điểm. Dạng bài tập thường gặp nhất là
giải phương trình lượng giác.
Phần hình học trong các đề thi đại học thường được ra các phần sau:
Phần hình học phẳng chủ yếu là về đường thẳng, đường tròn, ba đường côníc; phần hình học không gian thường được ra bài tập theo dạng lập phương
trình về đường thẳng, đường thẳng chéo nhau, mặt phẳng.
Phần bài tập về mặt cầu thường ít được ra hơn nhưng cũng thuộc
dạng bài tập "quen thuộc" của đề thi đại học.

Năm 2005, trong đề chính thức không có phần mặt cầu nhưng trong
đề dự bị lại có.
Và cuối cùng là một câu nâng cao dành cho học sinh khá giỏi. Phần
này thường được ra bất kỳ vào phần kiến thức nào của lớp 11 và 12. Năm
2005 câu hỏi 5a chính là câu dành học sinh khá giỏi nên nhiều học sinh không
làm được.
Tuy nhiên, đối với môn toán ở bậc phổ thông thì phần đại số lớp 11
thường là phần kiến thức được các giáo viên ra đề "ưa thích" để thử tài
những học sinh khá (kể cả học sinh giỏi).
LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-24-


Câu hỏi thường được ra là bất đẳng thức, các bài toán tính giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất. Tuy nhiên, phần bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu sâu
về kiến thức và vận dụng linh hoạt mới có thể giải quyết được bài toán.

F

10 điều cần nhớ khi làm đề toán

1. Định hướng đề
Khi được phát đề thi, thí sinh nhất thiết phải đọc qua một lượt tất cả các bài
tập trong đề để phân loại các câu hỏi, xác định được những bài nào dễ, bài
nào khó.
Thông thường từ câu 1 cho đến câu 4 là những câu dành cho học sinh đại trà,
câu số 5 (câu cuối cùng) thường là câu nâng cao.
Thí sinh nên dùng bút phân loại ra mức độ khó dễ của từng bài. Khi làm bài

phải làm từ những bài dễ nhất đến khó nhất. Như vậy thí sinh sẽ nắm chắc
điểm của những bài đó và tạo sự tự tin để làm tiếp những bài khó hơn.
Tạo được sự thoải mái, có cảm giác "sẽ làm được" trong phòng thi là một yếu
tố rất quan trọng để giúp thí sinh hoàn thành tốt nhất bài thi.
Thí sinh phải luôn tâm niệm "Mình đang đi thi chứ không phải đang làm bài
tập trên lớp", do đó làm được bài nào phải chắc điểm bài đó.
Không nên làm ngay những bài khó vì sẽ chiếm mất thời gian của những bài
khác. Điều này cũng đồng nghĩa với việc chỉ vì một (hoặc hai điểm) của bài
toán đó mà mất tám chín điểm ở những bài khác.
2. Không làm tắt
Nhiều học sinh khá, giỏi thường mất điểm ở những bài toán dễ chỉ vì tính tài
tử. Khi giải các bài toán, thí sinh nên viết tất cả những bước cơ bản để thực
hiện bài toán đó trong bài làm.
Vì khi chấm, cán bộ sẽ theo ba-rem có sẵn để chấm. Nếu thí sinh bỏ qua một
vài phép toán, nhiều khi sẽ không được chấm mức điểm tối đa cho bài đó
mặc dù kết quả cuối cùng chính xác.
3. Nhận dạng bài tập
Khi đứng trước một bài toán cụ thể, thí sinh cần phân biệt chính xác thuộc
dạng toán nào. Các bài tập trong đề thi tuyển sinh ĐH thường được ra theo
các dạng bài tập cơ bản đã có trong SGK, tuy nhiên có thể hình thức câu hỏi
sẽ khác.
Ví dụ: Trong SGK thường có dạng bài tập tìm nghiệm của một hệ phương
trình nào đó. Nhưng trong đề thi có thể lại được ra là tìm điều kiện để một số
hệ phương trình có chung một nghiệm. Thực ra hai bài toán này đều có cách
giải như nhau.
4. Không nên làm trước vào giấy nháp
LT§H2011
GV:NguyÔnV¨nNh¬ng

-25-