KiÕn thøc c¬ b¶n Gi¶I tÝch 11

Phần 1 : Bảng đạo hàm cần nhớ
Nhóm
Đạo hàm hàm số
Đạo hàm của
sơ cấp
hàm số hợp u =
thường gặp
u(x)

 x  '   .x


 1

,

Lũy Thừa

'

 u

'

 x

'

 u

'

1



2 x
1


'
'

n

n. n x n 1



 cos x

 sin u 

  sin x

 cos u 
 tan u 

e 

a 

e 
a 

'



x '

 ex

x '

 a x .ln a


1
x

 log a x 



 ln x 

'

'


'

n. n u n 1

 u '.cos u
'

 u '.sin u

u'
cos 2 u
u'
'
 cot u    2
sin u
'



u '

 u '.eu

u '

 u '.a u .ln a


u'

u

 log a u 



 ln u 
1
x.ln a

u'
2 u
u'



1
cos 2 x
1
'
 cot x    2
sin x

 tan x 

.u '

'

 x


 cos x 

Logarit

 1

1�
u'
�
� �  2
u�
u
�

 sin x 

Mũ



1�
1
�
� �  2
x
�x �

n


Lượng Giác

 u  '   .u

'

'

u
u ' v  uv '
u'
Qui ta�
c t�
nh �
a�
o ha�
m�(u.v)'=u'v+uv' �( ) ' 
�( u ) ' 
2
v
v
2 u

u'
u.ln a
1
u '
�( ) '  2
u
u


Ghi Chú : Đạo hàm của hàm số mũ – logarit sử dụng khi
học chương 2 GT12
Giải Tích 12

- 1-

GV Nguyễn Văn Nhương


Phần 2 : Phương Trình Tiếp Tuyến
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thò hàm số y
= f ( x) tại điểm M(x0 ; y0 ) là:

y – y0 = y’ (x0) . ( x – x0 )

Trong phương trình trên có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0)
.Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số
còn lại nhờ hệ thức :
y0 = f (x0) ; y’(x0)= f ’(x0)
Chú ý : y’ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C )
tại điểm M ( x0 ; y0 )
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì

y’ (x0) = a
Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b

thì y’ (x0) = 

1

a

 Các dạng thường gặp
1/ Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại đđiểm
M0(x0 ; y0)  (C )
y = y’(x0)(x – x0) + y0
2./ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp
tuyến có hệ số góc k. Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp
tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0
Giải phương trình
y’(x0) = k tìm x0 và y0
3./Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp
tuyến đđi qua
A(xA ; yA)
 Gọi ∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k : y =
k(x-xA)+yA (*)
 ∆ là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình hoành độ
�f ( x)  k  x  xA   yA (1)
tiếp điểm sau có nghiệm : �
.
(2)
�f '( x)  k
Thế (2) vào (1) giải ra tìm x 0 ⟶ thế x0 vào (2) suy ra k ⟶
thế k vào (*) được phương trình tiếp tuyến Δ
Giải Tích 12

- 2-

GV Nguyễn Văn Nhương



 Bài tập ôn
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =

(1)

x2
tại giao điểm của nó với trục hoành
x 1
x3
(2) Cho hàm số y =
 2 x 2  3x  1 có đồ thò ( C ) .Viết
3
phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại điểm có hoành độ x0 =

1
2

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y =
3x – 1
(3) Cho hàm số y = x 4  2 x 2  3 có đồ thò ( C ) .Viết
phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung .
b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = 24 x +1
(4)
Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) :
a) Tại điểm uốn của (C).

b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.
d) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.

(5)

Cho (C) : y =
a)
b)
c)
d)

(6)

(7)

x 2
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
x2

Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
Vng góc với đường thẳng d2: y = -x.
Tại giao điểm của hai tiệm cận.

.Cho (C ) : y =

x2  x  1
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):
x 1


a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
c) Vng góc với tiệm cận xiên.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
b) y =

Giải Tích 12

1 4
3
3
x  3 x 2  đi qua điểm A(0 ; ) .
2
2
2
- 3-

GV Nguyễn Văn Nhương


x2
đi qua điểm A(-6 ; 5)
x 2
x 2  4x  5
d) y =
đi qua điểm A(2 ; 1).
x 2
c) y =


Gi¶i TÝch 12

Ch¬ng 1

øng dơng ®¹o hµm ®Ĩ kh¶o s¸t vµ vÏ ®åthÞ hµmsè

§1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f/(x) > 0 x � I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I
b) Nếu f/(x) < 0 x � I thì hàm số f nghòch biến trên khoảng
I
c) Nếu f/(x) = 0 x � I thì hàm số f lấy giá trò không đổi
trên khoảng I
 Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số
:
 Tìm tập xác đònh D ⊂ R
 Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x)
 Giải phương trình f ’(x) = 0 . suy ra các nghiệm (nếu có) .
Nếu phương trình vô nghiệm thường là f ’(x) sẽ luôn
đồng biến (hay nghòch biến) trên các khoảng thuộc D
mà hàm số xác đònh
 Lập bảng biến thiên ( xét dấu đạo hàm bật nhất ) .
Thường là các tình huống sau đây :
 Xét dấu nhòthức bậc 1 ; tam thức bậc 2 ; hay tích, thương
các biểu thức trên
 Nếu là biểu thức bậc 3 thì khi x→ + ∞ f’(x) cùng dấu
với ax3
 Đôi khi dùng phương pháp đònh dấu f ’(x) trên khoảng

(a;b)
 Chú ý rằng đa thức không đổi dấu khi đi qua nghiệm
kép
 Kết luận khoảng đồng biến và nghòch biến trên các
khoảng
 Nâng cao :
Giải Tích 12

- 4-

GV Nguyễn Văn Nhương


Loại 1 : Tìm m để hàm số luôn đồng biến hay nghich biến
trên các khoảng xác đònh
Nếu y’= g(x) = ax2+ bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức
g(x)
Hàm
số
luôn
đồng
biến
trên
R

�
a 0
�
۳��
g(x) 0 , x R

�
 g(x) �0
�
Hàm
số
luôn
nghòch
biến
trên
R

�
a 0
�

ۣۣ
�g(x)
�
0, x R
�
 g(x) �0
�
Loại 2 : Tìm m để hàm số đồng biến hay nghich biến trên
khoảng (x0 ; +∞) hay (–∞ ; x0)
 Đổi biến số t = x–x0 ta có f(x) =g(t)ï
 Tìm điều kiện đề g’(t) > 0 ( hay < 0) khi t >0 (hay t <0)

 Phụ Lục Nhắc lại một số kiến thức về so sánh
1 số cho trước với nghiệm số của tam thức
bậc 2 : f(x) = ax 2 +bx + c

x1 <  < x2  a.f( ) < 0



af( ) �0
�
x1 �   �x2 � �
af( ) �0
�
�
�
0
�
۳ �
a. f ( ) 0
�S
�   0
�2
  x1 < x 2


x1   < x 2  


a. f ( ) �0
�
��
a. f ( )  0
�
Giải Tích 12


�
�
0
�
۳ �
a. f ( ) 0
�S
�   0
�2
 x1 < x 2  

a. f ( ) �0
�
��
a. f ( ) �0
�

- 5-



 1  x1 <  < x 2

GV Nguyễn Văn Nhương


f(x)có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm 



( ;)  f().f() <0

 < x1 < x2 < 

�  0
�a. f ( )  0
�
�
� �a. f ( )  0
�
S
�
  
� 2


Bài 1:

 Bài Tập Cơ bản
Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây

:
(1) y = x3 – 6x2 + 9x – 4
(2) y = x4 – 6x2 + 5
2
2x  3
x  2x  2
(3) y =
(4) y =
(5) y = x2  3x  2

x 2
x1
(6) y =x + 8 x2
(7) y = 3x +sin2x
(8) y =

x  2  4 x
x1
(9) y =
x2  1

(10) y = =

1
2 x

(11) y =

x  x2  x  1
Bài 2: Chứng minh rằng các hàm số sau :
x2  x  1
(1) y 
luôn đồng biến trên các khoảng xác đònh
x1
(2) y   x3  (m  1)x2  (m2  2)x  m luôn nghòch biến trên R

mx  1
luôn đồng biến trên các khoảng xác đònh
x m
(4) y  cosx  x nghòch biến trên ( 0 ; π )

(3) y 

(5) y  x  x2  6x  5 nghòch biến trên (– ∞; 1) và đồng biến
trên ( 5; +∞)
 Bài Tập Nâng cao
Bài 3: Tìm m để hàm số thỏa điều kiện

Giải Tích 12

- 6-

GV Nguyễn Văn Nhương


x3
 mx2  mx  1 đồng biến trên R
3
x3
(2) y  (m2  1)  (m 1)x2  3x  5 nghòch biến trên R
3
x m
(3) y 
đồng biến trên các khoảng xác đònh
x1
x2  mx  1
(4) y 
đồng biến trên các khoảng xác đònh
x1
2x2  (1 m)x  1 m
(5) y 

nghòch biến trên các khoảng xác
m x
đònh

(1) y 

(6) y  x  x2  x  m luôn nghòch biến trên R
x2  2mx  3m2
đồng biến trên ( 1 ; +∞)
x  2m
Bài 4: Cho hàm số y  x3  3(2m  1)x2  (2m  5)x  2 . Tìm m
để hàm số
(1) Đồng biến trên R
(2) Đồng biến
trên ( 2 ; +∞)
(3) Đồng biến trên khoảng (–∞;– 1) và (2 ;+∞)
mx2  6x  2
Bài 5: Cho hàm số y 
. Tìm m để hàm
x 2
số :
(1) Đồng biến trên các khoảng xác đònh
(2) Nghòch
biến trên (1 ; +∞)
(3) Nghòch biến trên khoảng ( 0 ; 1)
Bài 6: Tùy theo m xét sự biến thiên của hàm số
:
mx  4
(1) y  x3  3mx2  4mx
(2) y 

(3) y  x4  mx2  1
2x  m
x  3m  1
Bài 7: Tìm m để hsố y =
nghòch biến trên
x m
khoảng (1; + �)
Bài 8: p dụng tính đơn điệu của hàm số .
Chứng minh các bất đảng thức

(7) y 

(1) sin x < x
Giải Tích 12

(∀x >0)
- 7-

(2) cosx > 1–

x2
(∀x >0)
2

GV Nguyễn Văn Nhương


x2

x2 x4

(4) cosx < x –
(∀x >0)
, x �(0; )

3
2
2! 4!
§2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Đònh Lý 1: Nếu hàm số đạt cực trò tại x0 thì f ’(x0) = 0
 Đònh Lý 2 : Hàm số f có tập xác đònh D và x0 � D . Nếu
f ’(x) đổi dấu khi qua x0 thì x0 là điểm cực trò của hàm số
f
( x0 )  0 va�f ''(x0 ) �0 thì x0 là
 Đònh Lý 3 : Hàm số f có f �
điểm cực trò của hàm số f
 Cách gọi :
 x0 là điểm CĐ hay CT của hàm số (Kí hiệu
xCĐ; xCT)
 f(x0) là CĐ hay CT của hàm số ( kí hiệu y CĐ ,
yCT)
 Điểm M(xCĐ;yCĐ) là điểm CĐ của đồ thò hàm
số ( hay CT)
 Phương pháp tìm điểm cực đại và cực tiểu của
hàm số .
 Tìm tập xác đònh D ⊂ R
 Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x)
 Giải phương trình f ’(x) = 0 . suy ra các nghiệm x 0
 Qui tắc 1: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến
thiên để kết luận .
 Qui tắc 2: Tính đạo hàm bậc hai f ‘’(x) tại các điểm

nghiệm f’(x) = 0
 Nếu f//(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại
 Nếu f//(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
Chú ý : Nếu hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến )
trên các khoảng xác đònh thì hàm số không có cực trò

(3) tanx > x+

 Đặc biệt :
 Cực trò của hàm hửu tỉ : Nếu hàm số hữu tỉ :
u(x)
y  f(x) 
đạt cực trò tại x1 thì giá trò cực trò tương ứng là
v(x)

u'(x1)
.(1) Ta có thể thế x vào (1) để tính giá trò cực
v'(x1)
trò của hàm số
f(x1) 

Giải Tích 12

- 8-

GV Nguyễn Văn Nhương


 Cực trò của hàm bậc 3 : Nếu hàm số bậc 3 : y =
ax3 +bx 2 +cx + d có 2 điểm cực trò x1 và x2 .

 Thực hiện phép chia đa thức bậc 3 là y = ax 3+ bx2 + cx
+ d cho đạo hàm y’= 3ax2+2bx +c được thương q (x) và phần dư
r(x)= kx+ m
 Ta viết : y = y’. q(x) + r(x) .
 Nếu hàm số đạt cực trò tại x1 thì y’(x1) = 0  y1 = r(x1)
và tương tự cho y2 =r(x2)
 Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò
của đồ thò hàm số bậc 3 là phần dư : y = r(x) = kx + m
Chú ý : Nếu y’= g(x) = ax2+ bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc
�
a �0
�
tam thức g(x) . Điều kiện hàm số có cực trò � �
 g(x)  0
�
Phương pháp tìm tham số m để hàm số đạt cực trò tại x 0
�
f '(x )  0
�
� � 0
f ''(x0 ) �0
�
 Hàm số đạt cực trò tại x0
�
f '(x )  0
�
� � 0
f ''(x0 )  0
�
 Hàm số đạt cực đại tại x0

�
�f '(x )  0
� � 0
�f ''(x0 )  0
 Hàm số đạt cực tiểu tại x0

 Chú ý : Khi tìm được giá trò m sẽ thử lại

để thỏa

yêu cầu đề bài
 Bài Tập Cơ bản
Bài 9:
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trò của
các hàm số sau :
(1) y  2x3  3x2  12x  5
(2) y  x4  2x2  3
(3)
1
y  x5  x4  x3  1
3

(4) y 
(7)

2x  1
x1

y  3  2x  x2


Giải Tích 12

( 5) y 

x2  2x  3
x1

(8) y  x2  4x  3
- 9-

(6) y 

x3
x2  6

(9) y  x2  4x  3

GV Nguyễn Văn Nhương


Bài 10: Dựa vào qui tắc 2 (dùng đạo hàm bậc 2) ,

tìm cực trò các hàm số :
1
2

1 sinx
cosx

(1)


y  (1 cosx).sinx

(2) y  cosx  cos2x

(4)


y  cos3x tre�
n [0; ]
2

n [0;]
(5) y  2sin3x  3sin2x  12sinx tre�

(3)

y

1
y  x3  mx2  (m2  4)x  2
3
(2) Đạt cực đại tại x0 =1 (3) Điểm cực trò

Bài 11: Tìm m để hàm số :

(1) Có cực trò
x1 , x2 > 0
Bài 12:


Tìm m để hàm số

x =2

y

x2  mx  1
có cực tiểu tại
x m

Tìm m để hàm số y  x4  2mx2  2 có (i) ba cực
trò (i) một cực trò
 Bài Tập Nâng cao
Bài 14:
Tìm khoảng đơn điệu và cực trò của hàm
số
x1
x1
x2  x  1
(1) y  2
(2) y  2
(3) y 
x 1
x 3
x  x1
2x  3

(4) y  x 1 x2
(5) y  3sinx  cosx 
x �(0; )

2
2
Bài 13:

(6) y 

1 sinx
1 sinx

(7) y  2x  3 x2  1

Chứng
minh
rằng
hàm
2
3
y  x  3mx  3(m  1)x  m  m luôn luôn có CĐ và CT

Bài 15:

3

số

2

x2  (m  1)x  1
x  m 1
(1) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 0 = 2

(2) Tính tọa độ 2 điểm cực trò theo m
x2  ax  b
Bài 17:
Cho hàm số
. Tìm a , b để hàm số
y
x1
có giá trò cực trò bằng – 1 khi x = 1. Nói rõ đây là CĐ
hay CT
1
Bài 18:
Cho hàm số y  x4  ax2  b
2
Bài 16:

Giải Tích 12

Cho hàm số

y

- 10 -

GV Nguyễn Văn Nhương


(1) Tìm a , b để hàm số có giá trò cực trò bằng – 2 khi x
=1
(2) Với a ,b vừa tìm được , hãy xác đònh khoảng đơn
điệu và các cực trò của hàm số

1
1
Bài 19:
Cho hàm số y  mx3  (m  1)x2  3(m  2)x  . Tìm m
3
3
để hàm số
(1) Có cực trò
(2) (2) Có CĐ,CT tại x1, x2 thỏa mản x1+2x2 = 1
(3) Có CĐ , CT và xCĐ < xCT
(4) Đạt CĐ tại x = 0
2
x  mx  m 2
Bài 20:
Cho hàm số y 
x  m 1
(1) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trò ∀ m
(2) Tìm m để giá trò CĐ và giá trò CT cùng dấu
(3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm CĐ và CT
của đồ thò hsố
Bài 21:
Cho hàm số y  x3  mx2  7x  3 . Tìm m để :
(1) Hàm số
có CĐ và CT . Lập phương trình đường
thẳng (d) qua 2 điểm CĐ và CT của đồ thò hàm số
(2) Tìm m để (d) song song đường thẳng y = 2x +1
x2  2mx  m
Bài 22:
Cho hàm số : y 
Tìm m để đường

x m
thẳng qua 2 điểm CĐ và CT của đồ thò tạo với 2 trục tọa
độ một tam giác có diện tích bằng 1
Bài 23: Tìm m để hàm số có cực trò thỏa điều
kiện
(1) y  x3  3mx2  (m2  2m 3)x  4 có hai điểm cực trò nằm 2
phía của trục tung
1
(2) y  x3  3(m 1)x2  3(2  m)x  1 có 2 điểm cực trò có hoành
3
độ dương
(3) Tìm m để đồ thị hàm số y 

x4 m 2
 x  4 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam
m 2

giác có diện tích bằng 8.
(4) y  x4  2mx2  2m  m4 có 3 điểm cực trò tạo thành một tam
giác đều . Tính diện tích tam giác theo m .

Giải Tích 12

- 11 -

GV Nguyễn Văn Nhương


(5) y  x3  3mx2  4m3 có 2 điểm cực trò đối xứng qua đường
thẳng y = x

(6) Tìm m để hàm số y 

x 2  mx  m  3
có CĐ, CT đồng thời điểm CĐ , điểm CT
x 1

và gốc tọa độ O tạo thành tam giác vng tại O.
(7) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 – 3mx2 + 2m2 có hai điểm cực trị A,B đồng thời
tam giác OAB có trọng tâm G(2;- 24)

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
 Đònh nghóa : Giả sử hàm số f(x) xác đònh trên tập
hợp số thực D.
a) Nếu tồn tại một điểm x0 � D sao cho f(x) � f(x0 ) ,∀ x0 �
D ; thì số M=f(x0 ) được gọi là GTLN của hàm số f trên
tập D
Kí hiệu: M = maxf(x)
x�D

b) Nếu tồn tại một điểm x0 �D sao cho f(x) �f(x0 ),∀ x0 �D ;
thì số m = f(x0 ) được gọi là GTNN của hàm số f trên tập
D .
Kí hiệu: m = minf(x)
x�D

 Chú ý: Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên
khoảng (trên đoạn ) ta lập bảng biến thiên trên khoảng
( trên đoạn tính các giá trò đầu mút ) đó . Dựa vào bảng
biến thiên để kết luận .
 Phương pháp giải toán :

 Tìm GTLN và GTNN trên đoạn [ a;b ] :
+ Giải phương trình f’(x)= 0 . Suy ra các điểm x 1 , x2 , . . xn
trên đoạn [a,b]
+ Tính f(a) , f(x1) , f(x1) , . . . . . , f(xn) , f(b) .
+ So sánh các giá trò trên và tìm số lớn nhất M=max f(x)
và số nhỏ nhất
m = min f(x)
 Tìm GTLN và NN trên khoảng ( a;b ) hoặc nửa
khoảng : với a có thể là – và b có thể là +
Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a , b ) .
Nếu f(x) là hàm số liên tục trên (a ; b ) chỉ có 1 cực trò
duy nhất :
+ Là cực đại thì Max f(x) = y CĐ và không có Min f(x)
Giải Tích 12

- 12 -

GV Nguyễn Văn Nhương


+ Là cực tiểu thì Min f(x) = y CT và không có Max
f(x)
 Nếu bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mà
không chỉ ra tập X thì ta tìm trên toàn tập xác đònh D
 Chú Ý : Ngoài phương pháp ứng dụng đạo hàm như
trên để tìm Max và Min . Ta có thể dùng phương pháp tìm
miền giá trò của hàm số hay dùng bất đẳng thức
 Bài Tập Cơ bản
Bài 24: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
(1) f(x)  x3  3x2  9x trên đoạn [ –3 ; 0 ]

(2)

f(x)  x4  2x2

(3)

f(x) 

trên đoạn [ –2 ; 2 ]

(4)

x1
x1
f(x)  x  1 x

trên đoạn [– 1 ; 0 ]

(5)

f(x)  x  2  x2

trên đoạn [– 1 ; 0 ]

(6)

f(x)  x2  3x  2

trên đoạn [–10 ; 10 ]


(7) f(x) 

x1
x2  1

(8) f(x) = sin2x – x

trên đoạn [ 2 ; 3 ]

trên đoạn [–1 ; 2]
 
2 2

trên đoạn [ ; ]

Bài 25: Tìm GTLN và GTNN của hàm số ( nếu có )

(1)

f(x)  x2  3x  1

(2) f(x)  x3  3x  1

( x<0 )

2

2
x  x1
( x >0)

(4) f(x) 
trên (–1 ; +∞)
x
x1
1
(x  2)2
(5) f(x)  x 
trên (0 ; 3]
(6) f(x) 
(x > 0 )
x
x
Bài 26: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
(1) f(x) = 2 – cos2x + cosx
(2) f(x) =cosx – sinx– sin
2x +1
4
(3) f(x) = 2sinx – sin3x trên [0;π]
(4) f(x) =sin2x+2sinx
3
3
trên [0;
]
2
(5) f(x)= – cos2x+4sinx+3
(6) f(x) = 3sinx + 4cosx
+1
(3)

f(x)  x2 


Giải Tích 12

- 13 -

GV Nguyễn Văn Nhương


 Bài Tập Nâng cao
Bài 27: Tìm Max f(x) và Minf(x) :

(1) f(x) 

x2  x  1

trên (–1;+∞ )
(2)
x2  x  1
x
f(x)  2sin  sinx tre�
n( 0 ;)
2
1
1
 
(3) f(x) 

tre�
n ( 0 ;)
(4)f(x)  sin3 x  cos3 x tre�

n(- ; )
sinx cosx
2 2
(5) f(x)  (x  2) 4  x2
(7) f(x)  sin2010 x  cos2010 x
Bài 28:

(6) f(x) = sinx +

2  sin2 x


tre�
n (0; )
2

Chứng minh rằng

5 3x2  10x  20
� 2
�7
2
x  2x  3

Cho phương trình : x  1  3 x  m
(1) Giải PT khi m = 2
(2) Tìm m để phương trình có
nghiệm
Bài 30: Tìm m để phương trình x3  3x2  m có 3 nghiệm
phân biệt

Bài 31: Tìm m để phương trình x+3 x  3  m x2  1 có
nghiệm
Bài 32: (1) Giải phương trình sin2x + 2sinx = m khi m = 0
Bài 29:

(2) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0 ;

5
]
4

 Phụ Lục ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Giải PT : f//(x0) = 0 = > x0 Thì điểm I(x0 ;y0) làø điểm
uốn của (C)
 Điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu
Bài 33: Tìm điểm uốn của các đồ thò hàm số
sau :
(1) y = 2x3 – 6x2 + 2x . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
uốn .


(2) y =

1 4
5
x  3x 2 
2
2

(3) y =


x2  x  4
x

(4) y = x3 +

6x – 4

Giải Tích 12

- 14 -

GV Nguyễn Văn Nhương


(5) y =

x4 x2

 2
4
2

(6) y = 3x5 – 5x4 + 3x – 2

Tìm a và b để đồ thò của hàm số y = x 3 – ax2
+ x + b nhận điểm
I ( 1; 1 ) làm điểm uốn .
Bài 35: Tìm a để đồ thò của hàm số y = x 4 – ax2 + 3
a) Có hai điểm uốn

b) Không có điểm uốn
Bài 34:

Bài 36:

Chứng minh rằng đường cong y =

x 1
có 3
x2 1

điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng .
1
Bài 37: Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y  x3  2x2  3x
3
tại điểm uốn và chứng minh rằng tại điểm uốn hệ
số góc tiếp tuyến là nhỏ nhất
Bài 38: Tìm m để đồ thò (C) : y  x3  3mx2  9x  1 có điểm
uốn thuộc đường thẳng y = x+1
Bài 39: Tìm m để tiếp tuyến đồ thò (C) tại điểm uốn :
(1) y  x3  3x2  mx  2 song song đường thẳng y = x+1
(2) y  x3  3mx2  2mx  3 vuông góc đường thẳng x– y +3
=0

§4 ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ
(Chương trình 12 Nângcao)
Trong hệ trục tọa Oxy cho điểm I(x0;y0) . Đổi trục Oxy thành
uur
hệ trục tọa độ mới IXY bằng phép tònh tiến theo vectơ OI .
Ta có công thức đổi trục :

�
x  X  x0
�
.
�
y  Y  y0
�

Cho hàm số y =f(x) có đồ thò (C) .

Phương trình (C) đối với hệ trục tọa độ mới là : Y = F(X)
 M � (C) � y = f(x)
đối với hệ toạ độ Oxy
 M � (C) � Y + y0 = f( X + x0 ) đối với hệ toạ độ IXY
 Chú ý : Nếu Y=F(X) là hàm số lẻ thì (C) nhận I làm
tâm đối xứng
 Nếu Y=F(X) là hàm số chẵn thì (C) nhận x=x 0
làm trục đối xứng

Giải Tích 12

- 15 -

GV Nguyễn Văn Nhương


3x  2
và điểm I( –1 ; 3 )
x1
(1) Viết công thức chuyển hệ trục trong phép tònh tiến

uur
vectơ OI và viết phương trình (C) đối với hệ tọc độ IXY
(2) Chứng minh I là tâm đối xứng của (C)
Bài 41: Chứng minh rằng đồ thò hàm số :
(1) y  x3  3x2  1 nhận điểm uốn I (1 ; – 1) làm tâm đối
xứng
x2  2x  3
(2) y 
nhận điểm I (1 ; 4) làm tâm đối xứng
x1
Bài 42: Tìm m để đồ thò hàm số
:
3
2
(1) y  x  3mx  2mx  1 nha�
n�
ie�
m I(1 ; 1) la�
m ta�
m�
o�
i x�
�
ng
1
(2) y   x3  3mx2  2 nha�
n�
ie�
m I(1 ; 0) la�
m ta�

m�
o�
i x�
�
ng
m
2x2  (m 4)x  2m 1
(3) y 
nha�
n�
ie�
m I(2 ;1) la�
m ta�
m�
o�
i x�
�
ng
x 2

Bài 40: Cho đường cong (C) : y 

§5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 Đònh nghóa
1) Đường thẳng y = y0 được gọi là
đường tiệm cận
ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang ) của đồ thò hàm số y =
f(x) nếu
lim f(x)  y0 hoặc


x��

lim f(x)  y0

x��

2) Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận
đứng (gọi tắc là tiệm cận đứng ) của đồ thò hàm số y =
f(x) nếu :
lim f(x)  � (hay  �) hoặc lim f(x)  � ( hay -�)
x�x

x�x0

0

 Chú ý: Cách tìm các tiệm cận
1) Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số
bằng không tìm nghiệm

Giải Tích 12

- 16 -

GV Nguyễn Văn Nhương


( VD: đồ thò hàm so y =

2x2  5x  4

có tiệm cận đứng x =–
x 2

2)
2)  Hàm số có bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang y =
hệ số bậc cao nhất chia nhau ( VD: hàm số y =

1 x
có
2 x

tiệm cận ngang y = – 1 )
 Hàm số có bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = 0
 Hàm số có bậc tử > bậc mẫu thì không có tiệm
cận ngang
 Tiệm cận xiên (Chương trình 12 Nâng cao)
ĐN : Đường thẳng y =ax +b là tiệm cận xiên của đồ
thò hàm số y = f(x) nếu
lim[f(x)  (ax  b)]  0 hoa�
c lim[f(x)  (ax  b)]  0

x��

x��

 Cách tìm tiệm cận xiên
f(x)
 a  lim
; b=lim[f(x)  ax]  0 hoặc
x�� x

x� �
f(x)
 a  lim
; b=lim[f(x)  ax]  0
x�� x
x��
 Chú ý : Nếu f(x) =

P ( x)
là hàm hữu tỉ với P(x) và
Q(x)

Q(x) là 2 đa thức :
Tìm nghiệm x0 của Q(x) = 0
 (C) có tiệm cận

đứng : x = x0
Nếu bậc P(x)  bậc Q(x)
 (C) có tiệm

cân ngang
Nếu bậc P(x) > bậc Q(x) đúng 1 bậc  (C) có tiệm

cận xiên
 Nếu hàm số f(x) có thể được viết dưới dạng f(x) = ax+b +
(x) trong đó lim (x)  0  Tiệm cận xiên y = ax +b
x��

 Minh họa


Giải Tích 12

- 17 -

GV Nguyễn Văn Nhương


Tiệm cận
đứng

Tiệm cận
ngang

Tiệm cận
xiên

Bài tập cơ bản

Bài 43: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
các đồ thò hàm số sau:
1
2x  3
1
(1) y =
(2) y =
(3) y = 1 –
1 x
x1
x
1

1
(4) y = 1 + 2
(5) y =
(6) y=
x
4  x2

 3x
x2  3
(7) y=

x2  2
x 1

(8) y=

x
2

x 9

Bài 44: Tìm các đường tiệm cận các đồ thò hàm

số sau: (Nâng cao)
x2  3x  4
x2
(1) y 
(2) y 
x 2
1 x

Giải Tích 12

- 18 -

(3) y 

x2  3x  4
x2  1

GV Nguyễn Văn Nhương


(4) y 

x3  2

(7) y=
(10) y=
y

2x
2
6 x  11x  10
1
(8) y=
 2 x  3 2
(5) y =

x2  1


1
2

x  5x  6
2

x x 1

(11) y=

x2

(6) y=

5  3x 2
1 x2

(9) y  x2  x  1
(12)

2

x 4

x
x2  x  1
Bài 45: Tìm m để đồ thò hàm số y 

x2  2mx  m 4
có

x1

tiệm cận xiên đi qua điểm M (1 ; 2 )
2x2  (m  1)x  3
Bài 46:
Cho hàm số y 
(Cm)
x m
(1) Tìm m để tiệm cận xiên qua A (1 ; 1 )
(2) Tìm m để giao điểm 2 tiệm cận xiên thuộc (P) : y
=x2+3
Bài 47: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thò hàm số
x2  (m 2)x  2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác
y
x1
có diện tích bằng 4
Bài 48: Tùy theo m tìm các tiệm cận của đồ thò :
mx  1
x2  2x  m2
mx3  1
(1) y 
(2) y 
(3) y  2
(4)y  x2  4x  m2
x m
x 2
x  3x  2



§6 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ
CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SO Á .
Bước 1: Tìm tập xác đònh và xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn
của hàm số
( nếu có ) ; để thu hẹp pham vi khảo sát và tính đối xứng của
đồ thò
Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số
 Tìm giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận của hàm số
( nếu có )
Giải Tích 12

- 19 -

GV Nguyễn Văn Nhương


 Lập bảng biến thiên của hàm số . từ đó suy ra hàm số
đồng biến , nghòch biến , cực đại, cực tiểu , điểm uốn ( nếu
có )
Bước 3: Vẽ đồ thò hàm số
 Vẽ các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có )
 Tìm giao điểm với các trục toạ độ ( nếu đồ thò không cắt các
trục toạ độ hoặc giao điểm phức tạp thì bỏ qua )
 Tìm một số điểm phụ , ngoài các điểm cực đại , cực tiểu,
điểm uốn để vẽ đồ thò chính xác hơn
 Khi vẽ đồ thò phải thể hiện sự đối xứng qua tâm , trục đối
xứng
 Kết luận về giao điểm với 2 trục ; tính đối xứng


Hàm số Bậc ba

(a  0)

y = ax3 + bx2 + cx + d



Tập xác đònh :

D=R



Đạo hàm bậc 1 : y‘ = 3ax2 + 2bx + c

;

 ‘ = b2 – 3ac

 Nếu  ‘ > 0 : hàm số có 2 cực trò
 Nếu  ‘ 0 hàm số đơn điệu trên R
Đạo hàm bậc 2 y‘’=6ax + b ; y” = 0 � x  



(hoành độ điểm uốn)

b
3a


�� ne�
u a>0
�



Giới hạn : lim y  �



Bảng biến thiên : có 2 trường hợp

m� ne�
u a<0
�

x���

(1)

Phương trình y ‘ =0 có 2 nghiệm phân biệt

a>0,>0
x -
x1
x2
+
y’
+ 0

– 0
y
CĐ
+
– Z
] CT Z

x
y’
y

+

a<0,>0
x1
x2

-
+
–

0

+

]

CT Z

+


0
CĐ

–

]

–


 Đồ thò có 2 điểm cực trò , 1 điểm uốn là tâm đối
xứng .
Giải Tích 12

- 20 -

GV Nguyễn Văn Nhương


(2)

x

Phương trình y ‘ = 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép

a>0,0
-

y’

y

a<0,0
x

+

+

y’
y

+
–

-
+
–
+
–

Hàm số luôn đồng biến
nghòch biến

Hàm số luôn

 Hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghòch biến không
có cực trò , có 1 điểm uốn .



Chú ý : Đồ thò hàm số bậc 3 luôn luôn có 1 điểm
uốn I và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng .



Khi vẽ đồ thò hàm số bậc 3 , chú ý tính đối xứng của
đồ thò và tìm giao điểm của đồ thò đối với hai trục tọa
độ ( nếu cần )



Hai điểm Cực đại và Cực tiểu đối xứng qua điểm uốn I
nghóa làđiểm uốn nằm trên đường thẳng qua 2 điểm
cực trò

Giải Tích 12

- 21 -

GV Nguyễn Văn Nhương


Hàm số Trùng Phương : y = ax4 + bx2 + c
(a0)



Tập xác đònh :

D=R


Đạo hàm : y‘ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b ) ; y” = 12ax2 +
2b
Nếu a.b < 0 ( a,b trái dấu) : hàm số có 3 cực


trò  x  0 v x  � 
độ x = �

b
2a

và có 2 điểm uốn có hoành

b
6a

Nếu a.b  0 ( a,b cùng dấu ) : hàm số có 1 cực

trò  x = 0 không có điểm uốn
Giới hạn :


� ne�
u a >0
�
lim y  �
x��
�
� ne�

u a <0
�

Bảng biến thiên

a > 0 , b< 0
x -
x1
0
x1
+
y’
– 0 + 0 – 0
+
y +
CD
+
] CT Z
] CT Z

x

a<0,b>0
x1
0
x1

-
+


y’

+

0 –

0

+

0

–
y

CD
– Z


]

CD
CT Z

]

 Đồ thò có 3 điểm cực trò , 2 điểm uốn

Giải Tích 12


- 22 -

GV Nguyễn Văn Nhương


a > 0 , b> 0
a<0,b<0
x -
x -
0
0
+
+
y’
–
0
+
y’
+
0
–
y +
y
CD
– Z
+
] +
] CT
Z
 Đồ thò có 1 điểm cực trò tại x = 0 , không có điểm

uốn



Chú ý : Hàm số trùng phương là hàm chẵn nên đồ
thò nhận trục tung làm trục đối xứng

Hàm số nhất biến : y =
Tập xác đònh :

ax  b
cx  d

(c  0 , ad– bc  0)

D = R \ � d�

� �
�c



�
ad  bc  0 HS �
o�
ng bie�
n
Đạo hàm y‘ = ad  bc
trên
��

2

(cx  d)
ad

bc
<
0
HS
ngh�
ch
bie�
n
�
từng khoảng xác đònh
Giới hạn :  lim y  �  Tiệm cận đứng x = d
d

x�

c
c

 limy 
x��

a
a
 Tiệm cận ngang y =
c

c

Bảng biến thiên :

a d – bc> 0
Giải Tích 12

a d – bc<0
- 23 -

GV Nguyễn Văn Nhương


x

-
+

y
’

– d/c

P

+

-
+


x
+

P

–

y’

+ P

– d/c
–

P+
-– P

a/c

y

a/c
y
P-
a/c
a/c
 Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghòch biến

Chú ý : Đồ thò hàm số nhất biến nhận giao điểm 2
đường tiệm cận I ( 


d a
; ) làm tâm đối xứng
c c

ax2  bx  c
Hàm số hữu tỉ (2/1)y =
a' x  b'

(aa’  0 , tử không

chia hết mẫu )
(Chương trình 12 nâng cao )
 Tập xác đònh :

D = R \ {

b'
}
a'

mx2  nx  p
g(x)

Dấu ý tùy thuộc
2
(a' x  b')
(a' x  b')2
tamthứcbậchai g(x)


 y’=



Nếu  g( x) > 0 : hàm số có 2 cực trò  Nếu  g( x)  0 : hàm

số đơn điệu
Giới hạn : +


Giải Tích 12

lim y  � :  Tiệm cận đứng x =

x�

b'
a'

- 24 -



b'
a'

GV Nguyễn Văn Nhương


+ Chia tử cho mẫu ta có y  Ax  B 


C
0 
x�� a' x  b'

lim

C
và
a' x  b'

Tiệm cận xiên là y = Ax + B

Bảng biến thiên + Trường hợp 1

aa’> 0 ,  g( x) >0
-
+
+
+

x
y
’

x1
0

y


-b’/a’



x

x2

P –

–

] - P

]

-
+

y’

0

P+

CĐ
+
- Z

aa’<0 ,  g( x) >0


y

–
–
+



CT Z

]

0

-b’/a’
+

x2

P +

+ P
P-  Z
CT Z

0
CD

]


–

Đồ thò có 2 điểm cực trò đối xứng qua giao điểm 2
tiệm cận

F

Trường hợp 2

aa’> 0 ,  g( x)  0
x

x1

-
+

Giải Tích 12

aa’< 0 ,  g( x)  0
x

– b’/a’

- 25 -

-
+


–b’/a’

GV Nguyễn Văn Nhương