SỬ DỤNG điều KIỆN cần và điều KIỆN đủ TRONG bài TOÁN CHỨA THAM số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.54 KB, 6 trang )
Sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ để giải phơng
trình, bất phơng trình, hệ phơng trình chứa tham số.
Bài1: Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x 4;6
4 x 6 x x 2
2x m
Lời giải.
1. Điều kiện cần: Giả sử bất phơng trình đúng với mọi x 4;6 ,
nói riêng nó phải đúng với x=1, tức là ta phải có: m 1 5 m 6
Vậy điều kiện cần là : m 6
2. Điều kiện đủ: Giả sử m 6 . Theo bđt côsi, ta có với mọi x 4;6 :
4 x 6 x 4 x 6 x 5
2
2
Mặt khác x 2 x m x 1 2 m 1 5; (do : m 6)
4 x 6 x x 2 2 x m
Vậy với mọi x 4;6 ta luôn có
Tóm lại các giá trị cần tìm của m là m 6 .
x 2 (2a 1) x a 2 3 y
Bài 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất?
(ĐS:
2
y (2a 1) y a 2 3 x
a = - 2)
HD: 1. Đkc: Giả sử hệ có nhiệm duy nhất ( x0; y0), suy ra (y0; x0) cũng là
nghiệmcủa hệ.
Do tính duy nhất nên x0=y0. Mặt khác x0 là nghiệm của phơng
trình :
x02 (2a 1) x0 a 2 3 x0 x02 2( a 1) x0 a 2 3 0(*)
(*) cần phải có nghiệm duy nhất , suy ra
2
'
0 a 1 (a 2 3) 0 a 2
2. Đkđ: Khi a 2 thì hệ có dạng
x 2 3 x 1 y
x 2 2 x 1 y 2 2 y 1 0
2
y 3 y 1 x
x 1 y 1 0 x y 1
Vậy với a 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất:
4
x 4 1 x x 1 x m, (1)
1. Đkc: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x0 suy ra (1- x0) cũng là nghiệm.
Vì nghiệm là duy nhất nên x0= 1-x0 suy ra x0=1/ 2.
Thay x0=1/ 2 vào (1) ta có m 2 4 8
Vậy Đkc để phơng trình có nghiệm duy nhất là m 2 4 8
2. Đkđ: Giả sử m 2 4 8 khi đó (1) có dạng:
2
4
2
x 4 1 x x 1 x 2 4 8 , (2)
Theo BĐT Bunhiacôpxki thì:
4
x 1 x 2,(" " x 1 x)
x 4 1 x 4 8,(" " x 1 x)
1
2
Tóm lại, điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là m 2 4 8
Vậy (2) x 1 x x
Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
4 x x 5 m(1)
1. Đkc: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x0 nên ta có
4 x0 x 0 5 m
4 ( 1 x 0 ) ( 1 x0 ) 5 m
Điều đó có nghĩa là (-1-x0) cũng là nghiệm của (1).
Do x0 là nghiệm duy nhất nên x0=-1-x0 suy ra x0=-1/ 2
Thay x0=-1/ 2 vào (1) ta có: m 3 2
2. Điều kiện đủ: Giả sử m 3 2 khi đó (1) có dạng: 4 x x 5 3 2
Theo BĐT Bunhiacỗpki ta có: 4 x x 5 2(4 x x 5) 3 2
Dấu = khi 4-x=x+5 hay x=-1/ 2
Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là: m 3 2
x 1 y 2 a
x y 3a
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0).
Do (x0,y0) là nghiệm nên (y0+1,x0-1) cũng là nghiệm của hệ.
Do tính duy nhất nên x0=y0+1. Thay váo hệ ta có:
2 y0 2 a
a 2 2(2 y0 4) 2(3a 1 4)
2 y0 1 3a
a 2 6a 6 0, (a 0) a 3 15
Bài 5: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là a 3 15
2. Điều kiện đủ: Giả sử a 3 15
khi đó hệ có dạng:
u x 1 0
x 1 y 2 3 15
(*),
v y 2 0
x y 9 3 15
u v 3 15
12 3 15
(*)
uv
2
2
2
u v 12 3 15
Theo định lí Viét thì u,v là hai nghiệm của phơng trình
12 3 15
3 15
t 2 (3 15)t
0 u v
( 0)
2
2
2
3 15
10 3 15
x 1
x
2
2
2
3 15 y 8 3 15
y
2
2
2
Tóm lại Với a 3 15 thì hệ có nghiệm duy nhất.
x y xy m
Bài 6: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
2
2
x y m
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0) suy ra (y0,x0)
cũng là nghiệm.
Do tính duy nhất nên x0=y0.
2
x0 0
x0 2 x0 m
x02 2 x0 0
Thay vào hệ ta có: 2
x0 2
2 x0 m
Nếu x0= 0 thì m= 0, nếu x0= 2 thì m = 8
Vậy điều kiện cần là: m= 0 hoặc m = 8
2. Điều kiện đủ: a) Giả sử m= 0. Khi đó hệ trở thành
x y xy 0
x y0
2
2
x
y
0
Vậy m= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
b) Giả sử m=8 khi đó hệ trở thành:
x y xy 8 x y xy 8
x y 4; x y 6
2
2
( x y )2 2( x y ) 24 0
x y 8
i)
Nếu x+y = 4 ta có: x+y=4 và xy= 4 suy ra x,y là nghiệm của phơng trình:
t2 - 4t +4 = 0 suy ra t=2 hay x=y=2
ii)
Nếu x+y = -6 ta có: x+y=-6 và xy= 14 suy ra x,y là nghiệm của
phơng trình: t2 + 6t +14 = 0 vô nghiệm (vì 32-14=-5<0)
Vậy m= 8 thì hệ có nghiệm duy nhất
Tóm lại m = 0 hoặc m = 8 thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 7: Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất:
3 x 6 x (3 x)(6 x) m
1.Đkc: Giả s (1) có nghiệm duy nhất x0 suy ra x=3-x0 cũng là nghiệm, do
tính duy nhất nên x0=3-x0 hay x0=3/2.Thay vào (1) m 2
9 9 6 2 9
2 2
2
6 2 9
khi đó (1) có dạng:
2
6 2 9
3 x 6 x (3 x)(6 x)
2
6 2 9
u 3 x 0
u v uv
(u v) 2 9 6 2 9
(u v)
2
2
2
v 6 x 0 2
2
u v 9; u 0, v 0
2. Đkđ: Giả sử m
(u v) 2 2(u v) 6 2 18 0 u v 3 2; u v 2 3 2
(u v) 2 u 2 v 2 ;(u , v 0) u v 3 u v 3 2
uv 3 2
uv 3 2
3 2
3
2
uv
x
9
2
2
2
u.v
u v 9
2
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : m
Bài 8: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
6 2 9
2
3 y a x 2 1 1
1
a 2
x y
2
x x 1
3 y a x2 1 1
Viết lại hệ đã cho dới dạng tơng sau:
2
2
y x 1 a
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0) suy ra (-x0,y0)
cũng là nghiệm, do tính duy nhất nên x0=-x0 suy ra x0= 0. Thay vào
hệ ta có:
a 1
3 y0 a 1
2
3a a 4 0
4
2
a
y0 a 1
3
Đó là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
2. Đkđ: i) Nếu a=-1, hệ trở thành:
3 y x2 1 1
y x 2 1 1
x y0
2
2
y
0
y x 1 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a=-1
4
ii)
Nếu a hệ có dạng
3
4 2
3y
x 1 1
9 y 4 x2 1 3
9 y 4 x2 1 3
9
3
x 0, y
2
2
16
7
y x 2 1
9 y 9 x 1 16
x 1 1
9
4
hệ có nghiệm duy nhất
3
4
Tóm lại với a=-1 và a thì hệ có nghiệm duy nhất
3
Bài 9: a) Tìm a,b,c sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất?
x a x b c ( x0 là nghiệm thì - x0 +a+b cũng là
nghiệm)
b) Tìm m sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất?
x m2 x 1 m 1
Vậy a
Giải:1.Đkc: Giả sử phơng trình có nghiệm duy nhất x=x0,ta có
x0 a x0 b c (a b x0 ) a (a b x0 ) b c
Suy ra a+b-x0 cũng là nghiệm của phơng trình, do tính duy nhất nên ta
a b
có: x0=a+b-x0, suy ra x 0
. Thay vào (*) ta có a b c
2
Vậy điều kiện cần để (*) có nghiệm duy nhất là: a b c
2. Điều kiện đủ: Giả sử a b c
khi đó (*) có dạng:
x a x b a b x a x b ( x b) ( x a )
( x a ) 2 ( x b) 2 2 x a x b ( x a ) 2 ( x b) 2 2( x a )(x b)
x a x b ( x a )( x b) ( x a )( x b) 0(**)
a) Nếu a b khi đó giả sử a
b)Nếu a=b, thì (**) ( x a ) 2 0 x a suy ra (**) có nghiệm duy nhất.
Khi a=b thì c= 0.
Tóm lại điều kiện cần và đủ để (*) có nghiệm duy nhất là : a=b và c= 0.
2
b) Xét phơng trình (*) x ( m ) x ( 1) m 1
áp dụng câu a) ta có phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ
sau thỏa mãn:
m 2 1
m2 1
m 1
m 1
m 1 0
Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=-1.
1
3
3
2
x ay (a 1)
2
Bài 10: Tìm a để hệ
x 3 ax 2 y xy 2 1
có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều thỏa mãn x + y = 0?
1. Đkc: Giả sử thỏa mãn mọi yêu cầu đề bài và gọi (x0,y0) là một nghiệm
bất kì của hệ, ta có:
1
3
3
2
x0 ay0 2 (a 1)
1
3
2
3
x0 (a 1) (a 1)
2
2
x
ax
y
x
y
1
2
0
0 0
0 0
x y 0 y x
x 3 (2 a ) 1
0
0
0
0
0
a 1 1
(a 1) 2 a 0; a 1
2a 2
Vậy điều kiện cần là a= 0;a=1;a=-1.
x
3 1
x
2. Đkđ: i) Với a= 0 ta có hệ phơng trình : 2
x3 xy 2 1
x
Nghiệm thứ nhất x+y0 suy ra a= 0 loại.
ii) Với a= 1 ta có hệ phơng trình
x 3 y: 3 2
3
x x 2 y xy 2 1
1
1
,y 3
2
2
1
1
,y 3
3
2
2
3
x 3 y 3 2
( x y )( x 2 xy y 2 ) 0
iii)
Với a= -1 ta có hệ phơng trình :
1
x 3
y x
3
3
x y 0
2
1
3
2
2
x x y xy 1 x 3
y 1
2
3
2
Vậy a= -1 và a=1thỏa mãn.
Bài 11. Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất
x 1 y 1 a
x y 2a 1
Lời giải.
(1)
x 1
y 1
Đkc: Giả sử hệ có ngiệm x0 ; y0 y0 2; x0 2 cũng là nghiệm của hệ phơng trình Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là: y0= x0 +2.
Khi đó hệ (1) có dạng
x0 1 x0 1 a
2 x 1 a
0
2 2a 1 4 a
x
x
2
2
a
1
2
x
2
a
1
0
0
0
a 0
a 2 6
2
4
a
2
a
Vậy a 2 6 là điều kiện cần để hẹ có nghiệm duy nhất.
Đkđ: Với a 2 6 hệ (1) có dạng
x 1 y 1 2 6
x 1 y 1 2 6
x y 2 2 6 1
x 1 y 1 5 2 6
u x 1
Đặt
v
y 1
, u , v 0 ta đợc
u v 2 6
u v 2 6
2 6
uv
2
5
2
6
2
u v2 5 2 6
uv
2
3 2 6
2 6
x 1
x
2
2
y 1 2 6
y 7 2 6
2
2
là ngiệm duy nhất
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi a 2 6
Cách giải khác.
x 1 0
x 1
x 1 y 1 a
Điều kiện:
, viết lại hệ dới dạng
x 1 y 1 2a 1
y 1 0
y 1
uv a
, u , v 0 ta đợc 2
u v 2 2a 1
y 1
u x 1
Đặt
v
1
2
Cách 1. ( phơng pháp đồ thị)
Gọi S1, S2 lần lợt là tập nghiệm của (1) và (2).
S1 là tập các điểm trên đờng thẳng (d): u + v a = 0
S2 là tập các điểm trên đờng tròn (C) tâm O bán kính R 2a 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (d) tiếp xúc với đờng tròn (C) trong
cung phần t
thứ nhất. a 4a 2 a 2 6
Cách 2. ( chuyển về hệ đại số )
uv a
a 2 2a 1
uv
2
uv a
2
u v 2 2a 1
u , v là nghiệm phơng trình
t 2 at
1 2
a 2a 1 0 3
2
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phơng trình (3) có nghiệm kép
không âm.
' 0
a 2 4a 2 0
S
a
a 2 6
0
0
2
2
Bài 12: Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
y x y 2 x 2 y a
(I)
x y x 2 3 y 2 x a
x 2 y 2 2 xy x 3 y a 0(1)
Lời giải
(I) 2
x y 2 2 xy x 3 y a 0(2)
1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất (x0;y0) suy ra (x0;y0) cũng là nghiệm. Do tính duy nhất suy ra x0 = - x0 hay x0 = 0.
Thay vào hệ đã cho ta có bất phơng trình : y 02 3 y 0 a 0(*)
Vì hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất ,suy ra (*) có nghiệm duy nhất
9
9 4a 0 a
4
9
2) Điều kiện đủ: Khi a thì (1)(2)
4
9
2
2
x y 2 xy x 3 y 4 0
9
x 2 y 2 3 y 0
4
x 2 y 2 2 xy x 3 y 9 0
4
2
3
3
x y 0 x 0, y
2
2
2
x = 0,y =3/2 thỏa mãn hệ đã cho.Vậy với a
9
hệ có nghiệm duy
4
nhất.
x 2 y 1 2 a
Bài 13: Cho hệ phơng trình :
Tìm a để hệ có nghiệm
( x 1) 2 y 2 a
duy nhất?
HD: 1. Đkc: Giả sử hệ có nhiệm duy nhất ( x0; y0), suy ra (y0; x0) cũng là
nghiệm của hệ.
Do tính duy nhất nên x0=y0. Mặt khác x0 là nghiệm của bất phơng
trình :
2
x02 x0 1 a 2 x02 2 x0 1 a 0 (3)
1
'
(3) cần phải có nghiệm duy nhất , suy ra 0 2a 1 0 a
2
2. §k®: Khi a
1
th× hÖ cã d¹ng
2
1
2
�2
x y 1 �
�
�
2 � x 2 y 1 2 ( x 1) 2 y 2 1 �0
�
1
�
( x 1) 2 y 2 �
�
2
2
2
�
2� �
2�
1
� � 2x
� � 2 y
� �0 � x y
2 � �
2 �
2
�
1
VËy víi a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
2
Nếu thấy hữu ích cho một chấm nhé!
