LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới
thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt
thời gian tập dượt nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong tổ giải tích,
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, và toàn bộ thầy cô trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã hết lòng dạy dỗ tôi trong suốt thời
gian qua.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của gia
đình, bạn bè trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Xuân Hòa, ngày 20 tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Bùi Thị Thủy


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, do chính
sức lực của bản thân tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức
đã được học và các tài liệu tham khảo.
Khóa luận này không trùng với kết quả của bất kỳ người nào khác
đã có trước đó.
Xuân Hòa, ngày 20 tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Bùi Thị Thủy

Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1.Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Metric trên một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Lân cận, tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


1.1.4. Phần trong, bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.5. Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.Đa thức Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.Chuỗi Fourier, tổng Dirichlet và tổng Fejer. . . . . . .

14

1.4.Một số kiến thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1. Biến ngẫu nhiên nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16

Chương 2.Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass . . .
18
2.1.Định lý xấp xỉ Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

18


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

2.2.Chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass bằng cách sử
dụng đa thức Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.Chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass bằng toán tử
tích phân sử dụng chuỗi Fourier cho hàm tuần hoàn . .
26
2.4.Chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass bằng phương
pháp xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.5.Ứng dụng của định lý xấp xỉ Weierstrass. . . . . . . . .

32


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Bùi Thị Thủy

4

K36A - Sư phạm Toán


MỞ ĐẦU
Định lý xấp xỉ Weierstrass, được Weierstrass công bố năm 1885 là
một trong những định lý quan trọng của Giải tích Toán học. Định lý
cho chúng ta thấy mọi hàm số liên tục xác định trên một khoảng đóng
có thể xấp xỉ đều bởi một hàm đa thức, tức là "Cho hàm f : [a, b] → R
là hàm liên tục, khi đó với mỗi > 0 ta đều có đa thức P (x) sao cho
sup |f (x) − P (x)| < ."
x∈[a,b]

Từ định lý xấp xỉ Weierstrass và khái niệm hội tụ đều, Weierstrass
đã chứng minh được một số định lý mà trước đó chưa được chứng minh
như: "Định lý giá trị trung bình", "Định lý Bolzano - Weierstrass",
"Định lý Heine - Borel".
Cho đến ngày nay, có rất nhiều tài liệu đề cập đến định lý xấp
xỉ Weierstrass, và có nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra

nhiều cách chứng minh khác nhau cho định lý xấp xỉ Weierstrass
như: Sử dụng đa thức Bernstein, sử dụng lý thuyết chuỗi Fourier và
lý thuyết xác suất. Với mục đích là tìm hiểu sâu hơn nữa về định lí
xấp xỉ Weierstrass, và hiểu rõ hơn được tầm quan trọng của định lý
này trong Toán học. Cũng là để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân
phục vụ công tác giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho các bạn
sinh viên có cái nhìn tổng quan hơn về định lý xấp xỉ Weierstrass. Vì
những lý do trên cộng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ của
Quý các thầy cô, đặc biệt là thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, cùng với
sự đam mê của bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
"Các cách chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass"
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo khóa
5


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

luận của tôi gồm 2 chương
Chương 1. Một số kiến thức liên quan
Chương này, trình bày một số khái niệm trong không gian metric,
đa thức Bernstein, chuỗi Fourier, và một số kiến thức xác suất.
Chương 2. Các cách chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass
Chương này, nghiên cứu định lý xấp xỉ Weierstrass và các cách
chứng minh của định lý.
Mặc dù khóa luận đã hoàn thành với sự đam mê và cố gắng của
bản thân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới của
bản thân tôi, nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình in
ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong Quý
các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn
thành khóa luận của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Th.S Nguyễn
Quốc Tuấn đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện tối nhất để
giúp tôi hoàn thành khóa luận này.

Bùi Thị Thủy

6

K36A - Sư phạm Toán


Chương 1
Một số kiến thức liên quan
1.1.

Không gian metric

1.1.1.

Metric trên một tập hợp

Trong Toán học, một không gian metric là một tập hợp mà trong
đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử đã được định nghĩa.
Không gian metric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người là
không gian Euclide ba chiều R3 . Metric Euclide (khoảng cách) giữa
hai điểm trong không gian Euclide R3 là độ dài đoạn thẳng nối chúng.
Bây giờ ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể hơn về khái niệm này.
Định nghĩa 1.1.1. (xem [1]).
Không gian metric là một tập hợp X , sao cho với mọi x, y ∈ X

xác định một số d(x, y), gọi là khoảng cách giữa x và y thỏa mãn ba
tiên đề sau:
i) Xác định dương, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0.
Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x = y .
ii) Đối xứng, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x).
iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x, y, z ∈ X,

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Ta kí hiệu không gian Metric (X, d) với tập nền X và metric (khoảng
cách) d.
7


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Ví dụ 1.1 (Các không gian metric thông thường).
i) Không gian R là không gian metric với metric

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R.
ii) Không gian Rn là không gian metric với metric
n

(xi − yi )2 ,

d(x, y) =
i=1

với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn .
iii) Cho X là một tập bất kỳ. Đặt




1, x = y
d(x, y) =


0, x = y,
xác định một metric trên X và được gọi là metric rời rạc.
∞

|xn |p < ∞} với metric

iv) Xét lp = {x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) :
n=1
∞

|xn − yn |

dp (x, y) =

p

1
p

n=1

x = (x1 , x2 , ..., xn ), và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ lp . Khi đó không gian
(X, dp ) là một không gian metric.
v) Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Trên X ta xác định một metric
d∞ (x, y) = max |x(t) − y(t)|, x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] .
a≤t≤b

Khi đó, không gian (C[a,b] , d∞ ) lập thành một không gian metric.

1.1.2.

Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.1.2. (xem [1])
Bùi Thị Thủy

8

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Cho (X, d) là một không gian metric. Phần tử x ∈ X được gọi
là giới hạn của dãy các phần tử {xn } ⊂ X (kí hiệu: xn → x, hoặc
lim xn = x), nếu d(xn , x) → 0 khi n → ∞, có nghĩa là với mọi > 0
n→∞

nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên n0 > 0 sao cho với mọi n > n0 ta đều
có d(xn , x) < .

Một số tính chất đơn giản
i) Giả sử dãy {xn } là dãy các phần tử trong không gian metric X .

Nếu dãy {xn } hội tụ thì nó hội tụ đến một phần tử duy nhất. Thật
vậy, nếu xn → x và xn → y thì

0 ≤ d(x, y) ≤ d(xn , x) + d(xn , y) → 0, n → ∞.
Do đó d(x, y) = 0 hay x = y.
ii) Metric d(., .) là hàm liên tục theo cả hai biến. Thật vậy, với mọi
x, y, z, u ∈ X , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ d(x, z) + d(z, u) + d(u, y).
Suy ra d(x, y)−d(z, u) ≤ d(u, y)+d(x, z). Đổi vai trò của x, y, z, u ta
có d(z, u) − d(x, y) ≤ d(u, y) + d(x, z). Như vậy |d(z, u) − d(x, y)| ≤
d(u, y) + d(x, z). Từ đó, nếu z → x, u → y thì |d(z, u) − d(x, y)| ≤
d(u, y) + d(x, z) → 0 khi (n → ∞).
iii) Giả sử dãy {xn } là dãy các phần tử trong không gian metric
X , hội tụ đến x trong (X, d), và {xnk } là dãy con của dãy {xn }. Khi
đó, dãy {xnk } cũng hội tụ đến x trong (X, d). Thật vậy, d(xnk , x) ≤
d(xnk , xn )+d(xn , x). Ta có lim d(xnk , xn ) = 0 và lim d(xn , x) = 0.
nk ,n→∞

n→∞

Suy ra, xnk → x khi nk → ∞.

1.1.3.

Lân cận, tập đóng, tập mở

Định nghĩa 1.1.3. (xem [1]). Cho (X, d) là một không gian metric,
x0 ∈ X và cho số thực dương r. Tập hợp tất cả các phần tử trong X
cách x0 một khoảng nhỏ hơn r, được gọi là hình cầu mở tâm x0 bán
kính r, kí hiệu S(x0 , r), hay


S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}.
Bùi Thị Thủy

9

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Tương tự, tập hợp tất cả các phần tử trong X cách x0 một khoảng
không lớn hơn r, được gọi là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r, kí
hiệu S(x0 , r), hay

S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r}.
Định nghĩa 1.1.4. (xem [1]).
Cho A là tập con của không gian metric (X, d). Tập A được gọi là
lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại số ε > 0 sao cho S(x, ε) ⊂ A.
Định nghĩa 1.1.5. (xem [1]).
Cho không gian metric (X, d), x ∈ X và A là tập con của X.
i) Điểm x được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại một lân
cận mở của x nằm trong A, hay tồn tại số ε > 0 sao cho S(x, ε) ⊂ A.
ii) Điểm x được gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại một lân
cận của x không chứa điểm nào thuộc A, hay tồn tại số ε > 0 sao cho
S(x, ε) ⊂ X\A.
iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của
x đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A, hay
với mọi số ε > 0 ta có S(x, ε) ∩ A = ∅, S(x, ε) ∩ (X\A) = ∅.
iv) Điểm x được gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cận
của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A, hay với mọi số ε > 0 ta có

S(x, ε) ∩ A = ∅.
v) Điểm x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu với mọi lân
cận của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A khác x, hay với mọi số
ε > 0 ta có S(x, ∅) ∩ (A\x) = ∅.
vi) Điểm x được gọi là điểm cô lập của tập A nếu x thuộc A và
tồn tại một lân cận của x không chứa bất kỳ điểm nào của A khác x,
hay tồn tại ε > 0 sao cho S(x, ε) ∩ A = x.
Định nghĩa 1.1.6. (xem [1]).
Cho không gian metric (X, d) và tập A là tập con của X .
i) Tập A được gọi là tập mở trong không gian (X, d), nếu mọi điểm
thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A
thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.
Bùi Thị Thủy

10

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

ii) Tập A được gọi là tập đóng trong không gian (X, d), nếu mọi
điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu
điểm x không thuộc A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm
nào thuộc tập A.
Hệ quả 1.1.1. (xem [1]). Trong không gian metric bất kỳ (X, d),
phần bù của tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở.
Các tập X, ∅ vừa là tập đóng, vừa là tập mở.

1.1.4.


Phần trong, bao đóng

Định nghĩa 1.1.7. (xem [1]).
Cho không gian metric (X, d) và tập A là tập con của X .
i) Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của
A, kí hiệu intA.
ii) Giao của tất cả các tập đóng chứa trong A gọi là bao đóng của
A, kí hiệu A.
Chú ý 1.1.1. Cho không gian metric (X, d) và tập A, B là tập con
của X . Khi đó
i) int∅ = ∅, ∅ = ∅.
ii) intX = X, X = X .
iii) Nếu A là tập con của B thì phần trong của A là phần trong
của B , và bao đóng của A là bao đóng của B .
iv) int(A ∩ B) = intA ∩ intB, A ∪ B = A ∪ B.
v) Tập A là tập mở trong X nếu và chỉ nếu phần trong của A là
tập A.
vi) Tập A là tập đóng trong X nếu và chỉ nếu bao đóng của A là
tập A.
Định lý 1.1.1. (xem [1]). Cho không gian metric (X, d) và tập A là
tập con của X .
Phần trong intA của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, và int
A là tập mở trong X .
Bao đóng A của tập A là tập tất cả các điểm tụ của tập A, và A là
tập đóng trong X.
Bùi Thị Thủy

11


K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Định lý 1.1.2. (xem [1]). Cho không gian metric bất kỳ (X, d) và A
là tập con của X . Khi đó phần trong của A intA = X \ (X \ A).
Định nghĩa 1.1.8. (xem [1]).
Cho không gian metric (X, d), tập A, B là tập con của X
i) Tập A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A.
ii) Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X .
Chú ý 1.1.2. Bao đóng của tập A là tập X nếu và chỉ nếu với mọi
x ∈ X , với mọi > 0 tồn tại a ∈ A sao cho d(x, a) < .

1.1.5.

Không gian metric compact

Định nghĩa 1.1.9. (xem [1]). Cho không gian metric (X, d). Tập
K ⊂ X được gọi là tập compact trong không gian (X, d), nếu mọi
dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa một dãy con hội tụ tới
phần tử thuộc tập K . Tập K được gọi là tập compact tương đối trong
không gian (X, d), nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa
một dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X ).
Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric compact,
nếu tập X là tập compact.
Định nghĩa 1.1.10. (xem [1]). Cho không gian metric (X, d). Tập
A ⊂ X được gọi là tập hoàn toàn bị chặn, nếu với mọi số dương cho
trước tùy ý, ta đều tìm được một số hữu hạn các hình cầu S1 , S2 , ..., Sk
(k là số dương nào đó) với bán kính sao cho

k

A⊂

Sj .
j=1

Khi đó, ta cũng nói các hình cầu S1 , S2 , ..., Sk phủ tập A.
Định lý 1.1.3 (Tiêu chuẩn compact Hausdoff, xem [1]). Không gian
metric (X, d) là không gian compact nếu và chỉ nếu (X, d) là không
gian đầy và tập X hoàn toàn bị chặn.

Bùi Thị Thủy

12

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Định lý 1.1.4 (Định lý về ánh xạ liên tục trên tập compact, [1]).
Cho hai không gian metric (X, d1 ), (Y, d2 ) và ánh xạ f ánh xạ X vào
Y . Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K là tập con của X , thì
i) Ánh xạ f liên tục đều trên K .
ii) Tập f (K) là tập compact trong không gian Y .

1.2.

Đa thức Bernstein


Trong giải tích, đa thức Bernstein, được đặt tên theo nhà toán học nổi
tiếng Sergei Natarovich Bernstein. Đa thức này là một tổ hợp tuyến
tính của các đa thức Bernstein cơ sở. Ta thường sử dụng thuật toán
Descaste để tìm các đa thức dạng Bernstein.
Đa thức dưới dạng Bernstein được sử dụng lần đầu tiên bởi Bernstein trong một chứng minh có tính chất xây dựng của định lý Weierstrass.
Định nghĩa 1.2.1 (Đa thức Bernstein). Các đa thức Bernstein cơ sở
bậc n được định nghĩa như sau

bv,n (x) =

Trong đó

n
ν

n ν
x (1 − x)n−ν với v = 0, 1, ..., n.
ν

là hệ số nhị thức.

Nhận xét 1.2.1. Ta có (n + 1) đa thức Bernstein cơ sở bậc n, lập
thành một cơ sở cho không gian vector n các đa thức bậc n.
Một tổ hợp tuyến tính B(.) của các đa thức Bernstein cơ sở, B(x) =
n

βν bν,n (x), được gọi là một đa thức Bernstein hoặc là đa thức dưới
v=0


dạng Bernstein với bậc n. Các hệ số βν được gọi là các hệ số Bernstein.
Một số đa thức Bernstein cơ sở đầu tiên là

1.B0,0 = 1.
4.B0,2 = (1 − x)2 .
Bùi Thị Thủy

2.B0,1 = 1 − x.

3.B1,1 = x.

5.B1,2 = 2x(1 − x). 6.B2,2 = x2 .
13

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

1.3.

Chuỗi Fourier, tổng Dirichlet và tổng Fejer.

Chuỗi Fourier của một hàm khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π]
là chuỗi lượng giác
∞

a0
+
[an cos(nx) + bn sin(nx)].

2
n=1
Trong đó các hệ số được tính bằng các công thức sau đây
π

1
an =
π

f (x) cos(nx) dx với n = 0, 1, 2, 3, ...

(1.3.1)

f (x) sin(nx) dx với n = 0, 1, 2, 3, ...

(1.3.2)

−π
π

1
bn =
π
−π

Chuỗi có tổng riêng là
n

a0
Sn (x) =

+
[ak cos(kx) + bk sin(kx)
2
k=1
π

1
=
2π

n

[1 + 2
k=1

−π
π

1
=
2π

(cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx))]f (t)dt
n

cos(k(t − x))]f (t)dt.

[1 + 2
k=1


−π

Chú ý
n

sin[(2n + 1) u2 ]
, khi u = 2mπ, m ∈ Z.
1+2
cos(ku) =
u
sin(
)
2
k=1
Ta suy ra

π

1
Sn (x) =
2π
Trong đó Dn (u) =

Dn (t − x)f (t)dt.

−π
2n+1
sin( 2 u)
được
sin( u2 )


(1.3.3)

gọi là hạch Dirichlet. Còn tích

phân ở vế phải của biểu thức (1.3.3) được gọi là tích phân Dirichlet,
Bùi Thị Thủy

14

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

dễ dàng thấy rằng hạch Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục tuần hoàn
với chu kỳ 2π và
π

1
π

Dn (u)du = 1.
0

1.4.

Một số kiến thức xác suất

1.4.1.


Biến ngẫu nhiên nhị thức

Biến ngẫu nhiên X được gọi là nhị thức B(n, p) trong đó p ∈ [0, 1]
(có nghĩa là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p)) nếu như
phân bố xác suất của nó có dạng

P rdw = Ckn pk (1 − p)n−k ,

P r(X = k) =
{w:X(w)=k}

trong đó k = 0, 1, 2, ..., n.

1.4.2.

Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức

Định nghĩa 1.4.1 (Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức,
xem [5]). Cho X là biến ngẫu nhiên nhị thức, hàm đặc trưng ϕ(.) của
X được định nghĩa như sau: ϕ(t) = E[eitX ] trong đó t ∈ R, với E là
kì vọng lấy theo độ đo xác suất P r.
Xét E là kì vọng theo xác suất P r với X ta có
n

ϕ(t) = E[e

itX

eitk P r(X = k)


]=
k=0
n

eitk

=
k=0
n

=
k=0

n k
p (1 − p)n−k
k

n
(peit )k (1 − p)n−k
k

= [peit + (1 − p)]n .
Bùi Thị Thủy

15

K36A - Sư phạm Toán



Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Vậy hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức là

ϕ(t) = [peit + q]n với q := 1 − p.
Nếu X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối
n

nhị thức B(1, p) thì

Xk là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
k=1

n

B(n, p). Thật vậy, ta đặt Sn =

Xk . Khi đó, ta có hàm đặc trưng
k=1

của Sn là
n
itSn

ϕSn (t) = E[e

] = E[e

it


Xk ]
k=1

= E[eitX1 ...eitXn ] = E[eitX1 ]....E[eitXn ]
= [peit + (1 − p)]n .
(biến đổi sau cùng ở trên là do các Xi độc lập và có cùng phân phối).
Từ đó suy ra Sn có phân phối nhị thức B(n, p).

1.4.3.

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức

Cho X là biến ngẫu nhiên nhị thức B(n, p), ta có

ϕ(t) = E[eitX ] = (peit + q)n ≡ ϕn (t),
ϕ (t) = E[iXeitX ] = npieit (peit + q)n−1
= npieit ϕn−1 (t).
Suy ra

ϕ (0) = iE[X] = inp
nên

E[X] = np.
Tiếp tục lấy đạo hàm cấp hai, ta được

ϕ (t) = E[(iX)2 eitX ] = −npeit [ϕn−1 (t) + (n − 1)peit ϕn−2 (t)].
Bùi Thị Thủy

16


K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Do đó

ϕ (0) = −E[x2 ] = −np[1 + (n − 1)p].
Suy ra

E[X 2 ] = np + n(n − 1)p2 .
Từ đó, phương sai của X là
Var[X] = E[X 2 ] − [EX]2

= np + n(n − 1)p2 − (np)2 = np(1 − p)
= npq.
Vậy kì vọng và phương sai của X là E[X] = np, và Var[X] = npq.
Tất nhiên, ta cũng có thể tính trực tiếp từ công thức trên theo định
nghĩa kỳ vọng và phương sai.

Bùi Thị Thủy

17

K36A - Sư phạm Toán


Chương 2
Các cách chứng minh định lý xấp
xỉ Weierstrass

2.1.

Định lý xấp xỉ Weierstrass

Trong giải tích cổ điển, nếu f là một hàm số thực f (.) có đạo hàm
mọi cấp trong lân cận của điểm x = 0 thì có thể biểu diễn nó thành
∞

chuỗi lũy thừa dạng

an xn . Gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi lũy

n=0

thừa này thì chuỗi đó hội tụ với mọi |x| ≤ K (0 < K < R). Do đó,
với mọi > 0 cho trước, ta có thể lấy một tổng riêng đủ lớn của chuỗi
∞

n=0

an xn là Pn (x) =

∞

ak xk (là một đa thức bậc n) sao cho

k=0

|Pn (x) − f (x) | < , |x| ≤ K.
Khi f không có đạo hàm mọi cấp thì f không có biểu diễn xấp xỉ

bởi đa thức như trên. Yếu hơn nữa, nếu f chỉ là một hàm liên tục thì
ta có thể xấp xỉ hàm f bởi một đa thức nào đó hay không (với sai
số nhỏ cho trước)?. Để trả lời câu hỏi đó, năm 1885 Weierstrass đã
công bố và chứng minh định lý (2.1.1)
Định lý 2.1.1 (xem [11]). Cho I là tập đóng và bị chặn. Giả sử
f : I → R là hàm liên tục, với mỗi > 0, tồn tại một hàm đa thức

18


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

P : I → R sao cho
|f (x) − P (x)| <

với mọi x ∈ I.

hay tương đương với

sup{|f (x) − P (x)| : x ∈ I} < .
Hai mươi năm sau, một chứng minh khác đã được đưa ra bởi Fejer.
Có nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra nhiều cách chứng
minh khác nhau. Nhưng trong khuôn khổ của một bài khóa luận, tôi
chỉ xin trình bày ba cách chứng minh định lý xấp xỉ này.

2.2.

Chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass
bằng cách sử dụng đa thức Bernstein


Đầu tiên, ta đi chứng minh trường hợp đặc biệt của định lý (2.1.1),
khi I = [0, 1], là định lý (2.2.1)
Định lý 2.2.1 (xem [11]). Giả sử f : [0, 1] → R là một hàm liên tục,
khi đó với mỗi > 0, tồn tại một hàm P : I → R sao cho

sup{|f (x) − P (x)| : x ∈ I} < .
Trước tiên, ta định nghĩa đa thức Bernstein của một hàm f bất
kỳ.
Định nghĩa 2.2.1. Cho f : [0, 1] → R xác định trên [0, 1], Với mỗi
số nguyên n ≥ 0, đa thức B bậc n, kí hiệu Bn (f )(x) được xác định
bởi
n
k
n k
Bn (f )(x) =
f
x (1 − x)n−k .
n
k
k=0

Ta gọi đa thức Bn (f )(x) là đa thức Bernstein của hàm f .
Cụ thể hơn, dãy các đa thức Bernstein {Bn (f )} được xác định
trong định nghĩa (2.2.1) hội tụ đều đến f .
Bùi Thị Thủy

19

K36A - Sư phạm Toán



Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Để chứng minh định lí (2.2.1) , ta sử dụng các đồng nhất thức sau
n

n k n−k
x y .
k

n

(x + y) =
k=0

(2.2.1)

Từ (2.2.1), cho số nguyên n ≥ 1,
n
n−1

(x + y)

n − 1 k n−k−1
x y
.
k

=
k=0


(2.2.2)

Nhân cả 2 vế của (2.2.2) với nx, ta có
n
n−1

nx(x + y)

n − 1 k+1 n−k−1
x y
.
k

n

=
k=0

(2.2.3)

Ta có

n

n−1
k

=n


(n − 1)!
k!(n − 1 − k)!

= (k + 1)

n!
(k + 1!)(n − 1 − k)!
n
.
k+1

= (k + 1)
Từ (2.2.3), ta có
n
n−1

nx(x + y)

=

n
k=1
n

=

n − 1 k+1 n−k−1
x y
k


(k + 1)
k=1
n

=

k
k=1

n
xk+1 y n−k−1
k+1

n k n−k
x y
k

Rõ ràng, đẳng thức trên đúng khi n = 0, vì vậy ta có thể chọn bất kỳ
số nguyên n ≥ 0 sao cho
n
n−1

nx(x + y)

=

k
k=1

Bùi Thị Thủy


20

n k n−k
x y .
k

(2.2.4)

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Từ (2.2.4), cho số nguyên n ≥ 1
n
n−2

(n − 1)x(x + y)

n − 1 k n−k−1
x y
.
k

k

=
k=1


(2.2.5)

Nhân hai vế của (2.2.5) với nx, ta được
n
2

n−2

n(n − 1)x (x + y)

kn

=
k=2
n

n − 1 k+1 n−k−1
x y
k

k(k + 1)

n
xk+1 y n−k−1
k+1

(k − 1)k

n k n−k
x y

k

(k − 1)k

n k n−k
x y .
k

=
k=2
n

=
k=2
n

=
k=2

Dễ thấy đẳng thức trên cũng đúng với n = 0, vì vậy
n
2

n−2

n(n − 1)x (x + y)

(k − 1)k

=

k=2

n k n−k
x y .
k

(2.2.6)

Đồng nhất thức (2.2.1), (2.2.4) và (2.2.6) ta thấy đều có cùng hệ số
n k n−k
x y ,
k
ta đặt
n k n−k
rk (x) =
x y .
k
Bây giờ, chọn y để được (1 − x) sao cho x + y = 1, ta giả sử

rk (x) =

n k n−k
x y
=
k

n k
x (1 − x)n−k .
k
n


Ta có từ (2.2.1), suy ra 1 = (x + y)n =

rk (x).
k=0

Vậy với mọi số nguyên bất kỳ n ≥ 0, thì
n

1=

rk (x).

(2.2.7)

k=0

Bùi Thị Thủy

21

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Tương tự, từ (2.2.4) ta cũng có với mọi số nguyên bất kỳ n ≥ 0, thì
n

krk (x).


nx =

(2.2.8)

k=1

Và từ (2.2.6), với bất kỳ số nguyên dương n ≥ 0 thì
n
2

k(k − 1)rk (x).

n(n − 1)x =

(2.2.9)

k=2

Kết hợp (2.2.7), (2.2.8) và (2.2.9) suy ra
n

n
2

(k − nx) rk (x) =
k=0

n
2 2


n x rk (x) − 2nx
k=0

k 2 rk (x)

krk (x) +
k=1
n

n

= n2 x2

n

rk (x) − 2nx
k=0

k=2
n

[(k − 1)k + k]rk (x)

krk (x) +
k=1

k=2

= n2 x2 − 2nx.nx + n(n − 1)x2

= nx(1 − x), ∀n = 1, 2, . . .
Như vậy, với bất kỳ số nguyên n ≥ 0 ta có
n

(k − nx)2 rk (x) = nx(1 − x).

(2.2.10)

k=0

Chứng minh định lý 2.1.2
Vì f là hàm liên tục và đoạn [0, 1] là đoạn compact, ta đã biết, ảnh
liên tục của một tập compact là tập compact. Áp dụng định lí Heine
- Borel, thì f [0, 1] là đóng và bị chặn. Do đó, tồn tại một số thực
M > 0 sao cho

|f (x)| ≤ M với mọi x ∈ [0, 1].
Cho > 0, vì f là liên tục đều trên [0, 1] nên sẽ tồn tại δ > 0 sao cho
với mọi x, y ∈ [0, 1] thỏa mãn

|x − y| < δ suy ra |f (x) − f (y)| < .
2
Bùi Thị Thủy

22

(2.2.11)

K36A - Sư phạm Toán



Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Ước lượng đa thức Bernstein Bn (f ) là từ f với số nguyên n ≥ 1
n

|f (x) − Bn (f )(x)| = f (x) −

f

f

k
rk (x)
n

k=0
n

= f (x) −
k=0
n

n

rk (x) −

= f (x)

f


k=0

k=0

f (x) − f

k
n

n

=
k=0

k

k
n

n
k

(1 − x)n−k

k
rk (x)
n
(2.2.12)


rk (x) .

Kiểm tra tổng trong hai vế của (2.2.12) theo x −

k
n

< δ hoặc

k
k
≥ δ , trong đó δ được đưa ra trong (2.2.2). Nếu x −
< δ,
n
n
thì với (2.2.11)
ε
k
< .
(2.2.13)
f (x) − f
n
2
k
Bây giờ giả sử x −
≥ δ thì |nx − k| ≥ nδ, do đó
n
x−

f (x) − f


k
n

= |f (x)| + f

k
n

≤ 2M
(nx − k)2
,
≤ 2M
n2 δ 2

vì

(2.2.14)

|nx − k|
≥ 1. Do đó, với mọi x ∈ [0, 1] và với 0 ≤ k ≤ n
nδ
f (x) − f

Bùi Thị Thủy

k
n

2M

k
≤ + 2 x−
2
δ
n

23

2

.

(2.2.15)

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Từ (2.2.12) và với rk (x) ≥ 0, với mọi x ∈ [0, 1], 0 ≤ k ≤ n, ta có
n

|f (x) − Bn (f )(x)| =

k
n

f (x) − f
k=0
n


≤

k
n

f (x) − f
k=0
n

≤
k=0
n

rk (x)

2

+

2

2M
k
+ 2 x−
2
δ
n

rk (x)


n

2M
rk (x) + 2
=
2 k=0
δ
=

rk (x)

k
x−
n

k=0

2

rk (x)

n

2M
δ 2 n2

(nx − k)2 rk (x)
k=0


2M
nx(1 − x)
2 δ 2 n2
2M
= + 2 x(1 − x)
2 δ n
2M
< + 2 .
2 δ n
Vì x(1 − x) < 1, với mọi x ∈ [0, 1]. Do đó, với mọi x ∈ [0, 1] và với
mọi số nguyên n ≥ 1 thì
=

+

|f (x) − Bn (f )(x)| <
Khi

2

+

2M
.
δ2n

(2.2.16)

2M
→ 0, tồn tại một số nguyên N sao cho

δ2n
2M
∀n ≥ N ⇒ 2 < .
δ n
4

Từ (2.2.16), ta có

n ≥ N ⇒ |f (x) − Bn (f )(x)| <

2

+

4

=

3
, với mọi x ∈ [0, 1]
4

Vậy,

n ≥ N ⇒ sup |f (x) − Bn (f )(x)| : x ∈ [0, 1] ≤
Bùi Thị Thủy

24

3

< .
4

K36A - Sư phạm Toán


Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

Điều này cho thấy BN (f ) → f đều trên [0, 1]. Ta có thể lấy hàm đa
thức p để được Bn (f ) và sup |f (x) − p(x)| : x ∈ [0, 1] < . Vậy định
lý 2.1.2 đã được chứng minh.
Chứng minh định lý 2.1.1
Cho I = [a, b] là đóng và bị chặn khoảng và hàm f : I → R là
hàm liên tục, giả sử g : [0, 1] → [a, b] là song ánh và được xác định
bởi g(t) = a + t(b − a) với t ∈ [0, 1]. Khi đó g là liên tục, g(0) = a
và g(1) = b. Vì f liên tục nên f ◦ g : [0, 1] → R cũng liên tục. Theo
định lý 2.1.2, với bất kỳ > 0 tồn tại số nguyên N sao cho n ≥ N .
Đa thức Bernstein Bn (f ◦ g) thỏa mãn

|f ◦ g(x) − Bn (f ◦ g)(x)| < , với mọi x ∈ [0, 1].

(2.2.17)

Bây giờ, g là ánh xạ liên tục và g có hàm ngược liên tục. Nghịch
(t − a)
đảo g −1 : [a, b] → [0, 1] được cho bởi g −1 (t) =
với t ∈ [a, b].
(b − a)
Như vậy, từ (2.2.17) với mọi t ∈ [a, b] ta có


|f (t) − BN (f ◦ g)(g −1 (t))| < .
Khi đó, f (t) − BN (f ◦ g)

t−a
b−a

< với mọi t ∈ [a, b].

t−a
b−a
hàm đa thức trong t và |f (t) − P (t)| < với mọi x ∈ I .
t−a
Nếu đặt qn (t) = Bn (f ◦ g)
thì ta có
b−a
Vì Bn (f ◦ g) là một hàm đa thức, P (t) = BN (f ◦ g)

t−a
qn (t) = Bn (f ◦ g)
b−a
 
n
k
=
f ◦ g 
n
k=0
 
n
k

=
f ◦ g 
n
k=0
Bùi Thị Thủy

n



 t−a
b−a
k

n
 t−a
b−a
k
25

k

1−
k

b−t
b−a

t−a
b−a


là một

n−k

n−k

K36A - Sư phạm Toán