- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
HSG toán 9 tỉnh trà vinh 2017 2018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (292.07 KB, 3 trang )
SỞ GD & ĐT TRÀ VINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây:
Bài 1. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình
y 2 − x2
= 2 y − x −1(1)
x
−
1
x 2 + y 2 = 3x −1(2)
GIẢI
ĐKXĐ: x>1
Từ (1) ⇔ y 2 − x 2 = 2 y x − 1 − ( x − 1) 2 ⇔ ( y − x − 1) 2 = x 2 ⇔ y = ± x + x − 1
*Thế y = x + x − 1 vào (2), ta được: x − 1( x − 1 + 1) = 0 ⇔ x = 1 (loại)
*Thế y = − x + x − 1 vào (2), ta được: x − 1( x − 1 − 1) = 0 ⇔ x=1 (loại) hoặc x=2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1)
Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới. Ngưới ta dự đoán sau hai
năm dân số xã A là 10404 người. Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao
nhiêu phấn trăm ?
GIẢI
Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0)
Số dân sau một năm: 10000(x+1)
Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1)
Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1) 2 =10404
Hay x 2 +2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02)
Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2%
Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1. Tính giá trị
(1 + y 2 )(1 + z 2 )
(1 + z 2 )(1 + x 2 )
(1 + x 2 )(1 + y 2 )
của biểu thức A= x
+y
+z
1 + x2
1+ y2
1+ z2
GIẢI
1 + x 2 = xy + yz + zx + x 2 = ( x + y )( x + z )
Ta có:
Tương tự : 1 + y 2 = xy + yz + zx + y 2 = ( y + x)( y + z )
1 + z 2 = xy + yz + zx + x 2 = ( z + x)( z + y )
Do đó: A=x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx)=2.1=2
Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất
của
P=
ab
bc
ca
+
+
c + ab
a + bc
b + ca
GIẢI
Theo điều đề bài ta có: 1-a>0 ; 1-b>0 ; 1-c>0. Nên theo BĐT Cô-si, ta có:
a
b
ab
+
≥2
1− b 1− a
(1 − b)(1 − a )
b
c
bc
+
≥2
1− c 1− b
(1 − c)(1 − b)
c
a
ca
+
≥2
1− a 1− c
(1 − a )(1 − c)
⇒
a+c b+c a+b
ab
bc
ca
+
+
≥ 2(
+
+
)
1− b 1− a 1− c
c + ab
a + bc
b + ca
hay1 + 1 + 1 ≥ 2(
ab
bc
ca
+
+
)
c + ab
a + bc
b + ca
3
ab
bc
ca
≥
+
+
2
c + ab
a + bc
b + ca
3
1
Vậy maxP = tại a = b = c =
2
3
⇔
Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x 2 + 2 y 2 + 3xy + 3x + 5 y = 15
(*)
GIẢI
(*) ⇔ x 2 + 3( y + 1) x + 2 y 2 + 5 y − 15 = 0
∆ = [3( y + 1)]2 − 4.1.(2 y 2 + 5 y − 15) = ( y − 1) 2 + 68 > 0
Để phương trình có nghiệm nguyên thì ( y − 1)2 + 68 = m2 ⇔ (m + y − 1)(m − y + 1) = 68
Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17
*Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30
*Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36
Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17)
Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2. Chứng minh:
x3 y 3 ( x3 + y 3 ) ≤ 2
GIẢI
Do x, y>0 và x+y=2 nên
( x + y )3 = x3 + y 3 + 3xy ( x + y ) = x 3 + y 3 + 6 xy
Theo BĐT Cô-si ta có:
2 xy + 2 xy + 2 xy +
2
≥ 4 4 24 = 8 = ( x + y )3
3
x y
3
2
≥ x 3 + y 3 + 6 xy
x y3
Hay ⇔ 2 ≥ x3 + y 3
x3 y 3
6 xy +
3
⇔ 2 ≥ x3 y 3 ( x3 + y 3 )
Vậy 2 ≥ x3 y 3 ( x 3 + y 3 ) Dấu = xảy ra khi x=y=1
Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và
có AB
K thuộc AC, I thuộc AB). Chứng minh:
BC
AC AB
=
+
MH MK MI
GIẢI
AC AB AK + KC AI − BI AK KC AI BI
+
=
+
=
+
+
−
(1)
MK MI
MK
MI
MK MK MI MI
ˆ = MBH
ˆ , MKA
ˆ = MHB
ˆ ⇒ ∆MAK : ∆MBH ⇒ AK = BH (2)
MAK
MK MH
ˆ = MCH
ˆ , MIA
ˆ : ∆MCH
ˆ ⇒ AI = CH (3)
ˆ = MHC
ˆ ⇒ ∆MAI
Mà: MAI
MI MH
ˆ , MIB
ˆ = MCK
ˆ = MKC
ˆ ⇒ ∆MBI : ∆MCK ⇒ BI = CK (4)
MBI
MI MK
AC AB BH CH
BC
+
=
+
=
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra:
MK MI MH MH MH
Ta có:
/>…………………………..Hết…………………………
