Phần I. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1. Lý do về mặt lý luận:
Dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình lớp 8, lớp 9
trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó với học sinh. Do đặc trưng của loại toán
này có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ
thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý )
Hầu hết các bài toán có dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinh
phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập trình
hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phương trình.
2. Lý do về mặt thực tiễn:
Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì tới lớp 8 học sinh
mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi phương trình. Nhưng việc
giải phương trình đã có trong chương trình toán cấp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo
từng đối tượng học sinh.
Một đặc thù riêng của loại toán này là các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực
tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những số liệu liên quan đến thực tế. Do đó khi
giải toán học sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế, dẫn đến quên điều kiện hoặc điều
kiện sai, thiếu; học sinh không khai thác hết được những mối liên hệ ràng buộc của thực
tế Từ những lý do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này. Mặt khác cũng có thể
trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở
mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa khi chưa biết phân loại toán, chưa khái
quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu
trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán dẫn đến lúng túng
trong giải toán loại này.
Chính vì vậy muốn giải toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng là
phải biết cách diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những mối quan hệ toán
học.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình học sinh
còn lúng túng, không biết bắt đầu làm từ bước nào nên sẽ dẫn đến làm nhầm.

III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Các dạng toán về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Học sinh lớp 9 Trường THCS Trần Hưng Đạo


V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận
– Phương pháp khảo sát thực tiễn
– Phương pháp phân tích
– Phương pháp tổng hợp
– Phương pháp khái quát hóa
– Phương pháp quan sát
– Phương pháp kiểm tra
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Kinh nghiệm “Các dạng toán và phương pháp giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình – áp dụng tại trường THCS Trần Hưng Đạo ” đã được
vận dụng trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9 ở trường THCS Trần Hưng Đạo và
bước đầu đã giúp cho học sinh hứng thú hơn trong việc học Toán.
Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối với học sinh
lớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn Toán, yêu
thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác.
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với học
sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình, hệ

phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh
phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối
quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các
hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá trình giải học
sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Một đặc thù


riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế.
Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó
khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần
phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và
tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng,
tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm
thấy dễ dàng hơn trong việc “Các dạng toán và phương pháp giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh
cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách
kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ GỒM:
1. Phương pháp chung
2. Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình
3. Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình
3.1 . Dạng toán chuyển động
3.2 . Dạng toán năng suất
3.3 . Dạng toán công việc
3.4 . Dạng toán hình học

3.5. Dạng toán vật lý, hóa học
3.6 . Dạng toán về quan hệ giữa các số

II. NỘI DUNG CỤ THỂ


1. Phương pháp chung
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù
hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm của hệ
phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng bài toán
là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất quyết định nhất.
Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị và điều kiện của
ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2. Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần đảm
bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học sinh
tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài,
đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho những
gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình giải
không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền đề

quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặt
điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với
điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn
số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho
Phân tích :
Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:
+ số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a  b


Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số
cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số
có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : 0  x �9 )
chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : 0  y �9 )
Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là : xy  10 x  y
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx  10 y  x
Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
�
 10 y  x    10 x  y   63 � x  y  7
�
��
�
 10 x  y    10 y  x   99 �x  y  9
�
�x  1

�y  8

Giải hệ ta được : �

Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
�x  1
, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu
�y  8

Sau khi tìm ra �

của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận
phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải đều liên
quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán. Do đó giáo viên cần phải giúp học
sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ đó dựa vào
những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để lập luận và lập
nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập
phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương pháp biểu diễn sự
tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho một
đại lượng nào đó chưa biết. Học sinh có thể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài giấy
nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan
hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày,
phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm
xong đoạn đường đó trong bao lâu ?



Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là
xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung

1
công việc. Tương
24

tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn
thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :

Công việc

Năng suất

Thời gian

Đội A

1

1
x

x ngày (x > 0)


Đội B

1

1
y

y ngày (y > 0)

Cả hai
đội

1

1 1 1
 
x y 24

24 ngày

Hệ PT

1
�1 1


�
�x y 24
�
�1  3 . 1

�
�x 2 y

Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác :
Nếu gọi :
+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A
+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B
Ta có bảng sau :


Công việc

Năng suất

Thời gian

Đội A

1

x

1
ngày (x > 0)
x

Đội B

1


y

1
ngày (y > 0)
y

Cả hai đội

1

x y

Hệ PT

1
24

24 ngày

1
�
x y 
�
�
24
�
�x  3 . y
� 2

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn

so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính
toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không thừa
cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sót
một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán,
lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếu
kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết luận bài toán cho
chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h
thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm
hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại
A.
Hướng dẫn giải :
Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)
thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)
Ta có bảng sau :


Quãng đường (km)

Vận tốc (km/h)

Thời gian (giờ)

Dự định

x (x > 0)


-

y (y > 0)

Đi chậm

x

35 km/h

x
giờ
35

Đi nhanh

x

50 km/h

x
giờ
50

Hệ PT

�x
2 y
�
�35

�
�x  1  y
�50
�x  350
�y  8

Giải hệ ta được : �

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính
toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được
Ví dụ: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :
Gọi số con gà cần tìm là x ( x �Z  , 0  x  36 )
và số con chó cần tìm là y ( y �Z  ,0  y  36 )
�x  y  36
2 x  4 y  100
�

Theo đề ra ta có hệ phương trình : �

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương trình
dễ giải hơn
Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :



Gọi số chân gà là x ( x �Z  ,0  x  100 ) và số chân chó là y ( y �Z  ,0  y  100 )
�x  y  100
�
Theo đề ra ta có hệ phương trình : �x y
  36
�
�2 4

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm
hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập
luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có
thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước lập luận
biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự
kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối. Không nên
diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc nhắc nhở học
sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm
vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập,
nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do người giáo viên. Để học
sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáo
viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc
nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ
mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập
mẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập
khác. Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một

nhóm trưởng tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu
được bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho
các em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lập
phương trình. Từ đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn. Do vậy
giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải
phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để
từ đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
3. Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình
3.1 Dạng bài toán về chuyển động
- Phương pháp giải
Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
S = v.t

quãng đường = vận tốc � thời gian


S
thời gian = quãng đường : vận tốc
v
S
v=
vận tốc = quãng đường : thời gian
t

t=

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;

Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 1: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên
bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Đk: x > 0

S(km)

v(km/h)

t(h)

Bác Hiệp (nhanh)

30

x

30
x

Cô Liên (chậm)

30

x3


30
x3

Phương trình

30
30 1


x3 x 2

+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.
vxuôi = vthực + vdòng
vdòng = (vxuôi - vngược ) : 2

vngược = vthực - vdòng
vthực = (vxuôi + vngược ) : 2.

Ví dụ 2: Bài 52 /Trang 60 (SGK)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40
phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy
tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.

Đk: x > 3

S(km)

v(km/h)


t(h)


x

Ca nô đi khi nước đứng yên
Khi xuôi dòng

30

x3

30
x3

Khi ngược dòng

30

x3

30
x3

Phương trình

30
30
2


 6
x3 x3 3

+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 3: Bài 43/Trang 58 (SGK).
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài
120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo
đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5
km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Đk: x >0

S(km)

v(km/h)

t(h)

Lúc đi (nhanh)

120

x

120
x

Lúc về (chậm)

125


x5

125
x 5

Phương trình

120
125
1 
x
x 5

Bài tập đề nghị:

Bài 1. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm 20
km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời
gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
ĐS: 40 km/h; 3 giờ.
Bài 2. Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km. Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng thừ A đến
B và một canô đi ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận
tốc thật của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi
ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canô
không đổi).
ĐS: 27 km/h; 24 km/h.
Bài 3. Quãng đường AB dài 200 km. Cùng lúc một xe máy đi từ A đến B và một ô tô đi từ
B đến A. Xe máy và ô tô gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe máy khởi



hành sau ô tô 1 giờ thì gặp nhau tại điểm D cách C 24 km. Tính vận tốc của ô tô và
xe máy.
ĐS: 60 km/h; 40 km/h.
Bài 4. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc
của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đó xe du lịch đến B trước
xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km.
Bài 5. Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định
là 45 phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đó
dự định đi, biết quãng đờng AB dài 90 km.
3.2 Loại toán “lao động sản xuất”
- Phương pháp giải
Tổng số lượng công việc = số đối tượng  lượng c.việc của mỗi đối tượng
Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)
Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,…
Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
Thường chọn số đối tượng làm ẩn.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ
trồng 56 cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số
cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc
đầu. Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều
bằng nhau.
Đk: x

Số cây

Số h/s

Số cây của mỗi h/s


(cây)

(nguời)

(cây/ người)

Lúc đầu

56

x



56
x



Lúc sau

56

x 1



56
x 1




Phương trình

56 56

1
x 1 x

3.3 Loại toán “công việc”
- Phương pháp giải


Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian � năng suất
� Năng suất = lượng công việc : thời gian

Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
Thường chọn thời gian làm ẩn.
“Công việc” = 1
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;
làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
công việc = thời gian  năng suất
Năng suất = công việc : thời gian
Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” cùng làm
chung trong 4 giờ thì xong công việc đã được phân công. Nếu để mỗi đội làm một mình
thì đội I làm nhanh hơn đội II là 6 giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao

nhiêu thời gian mới xong công việc.
(Đáp số: 6 giờ và 12 giờ)
Đk : x > 4

Công việc

Thời gian (giờ)

Năng suất ( cv/giờ)

Đội I (nhanh)

1

x



1
x

Đội II (chậm)

1

x6



1

x6

Cả hai đội

1

Phương trình

1
1
1


x x6 4

4




1
4

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy
trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được

3
bể. Tính thời gian để
4



mỗi vòi chảy riêng một mình đầy bể.
ĐS: 8 giờ và 12 giờ.
Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm
chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại
trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.
ĐS:
Bài 3. Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được
hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời
gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời
gian.
3.4 Loại toán “liên quan đến hình học”
- Phương pháp giải
Nên vẽ hình (ngoài nháp cũng được).
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để vận
dụng vào bài toán.
Đối với hình chữ nhật:
chu vi = ( dài + rộng). 2 ;
� Dài =

chu vi
2

- rộng ;

diện tích = dài � rộng
Rộng =


chu vi
2

- dài

Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:

chu vi
2

.

chu vi
chu vi
< dài <
:
4
2

Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =

�
a�
y �cao
2

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém
nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó.


Giải
Gọi độ dài của cạnh góc vuông nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 );
Độ dài của cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m)
Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102
Ví dụ 2 : Bài 48/Trang 59 (SGK)n Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc
bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích
1500 dm3. Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi
chiều rộng.
Giải

5 dm

Gọi chiều rộng miếng tôn là x (dm), (x > 10)

5 dm

5 dm

Chiều dài miếng tôn là 2x (dm)

x

Chiều rộng của thùng là x – 10 (dm)
Chiều dài của thùng là 2x – 10 (dm)

5 dm


Vì thể tích của thùng = dài � rộng � cao nên ta có phương trình:
1500 = (2x – 10).(x – 10). 5

2x

(ĐS: rộng= 20dm và dài =40 cm).

3.5 Loại toán “liên quan vật lí, hóa học”
- Phương pháp giải
Cần nắm vững các công thức vật lý, hóa học cũng như các công thức suy ra
để vận dụng vào bài toán.
D=

M
V

�
D: la�kho�
i l�
�
�
ng rie�
ng (kg/m3)
�
�
�
�
M : la�
kho�

i l�
�
�
ng (kg)
�
�
�
�
V : la�
the�
t�
ch (m3) :
�

V=

M
và
D

M = V. D

Ví dụ về dung dịch:
Nồng độ dung dịch muối là 12 % thì ta nên hiểu:
Trong 100 gam dung dịch có 12 gam muối.
mdd  mct  mH 2O

C% 

mct

.100%
mdd

Nếu các đơn vị đo của cùng một đại lượng chưa cùng đơn vị thì phải đổi về cùng
một đơn vị.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Bài 50/Trang 59 (SGK)


Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích
của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối lượng riêng
của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3. Tìm khối
lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Đk: x >

Khối lượng (M)

Thể tích (V)

Khối lượng riêng (D)

(cm3)

(g/cm3)

(g)

Miếng thứ nhất


880

880
x

x

Miếng thứ hai

858

858
x 1

x 1

Phương trình

858 880

 10
x 1
x

Ví dụ 2 : Bài 51/Trang 59(SGK)
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ của dung
dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?

Đk: x > 0


Số gam nước

Số gam muối

Nồng độ dung dịch

Lúc đầu

x

40

40
x  40

Lúc sau

x + 200

40

40
40

x  200  40 x  240

Phương trình

40
40

10


x  40 x  240 100

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và
4

cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 . Tính chiều cao và
cạnh đáy của tam giác.
ĐS: Cạnh đáy 20 dm, chiều cao 15 dm.
Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần
và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của
khu vườn ban đầu.


Bài 3. Người ta muốn làm một chiếc thùng tôn hình trụ không nắp có bán kính đáy là 25
cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép
nối). Thùng tôn đó khi chứa đầy nước thì thể tích nước chứa trong thùng là bao
nhiêu.
Bài 4. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m 2. Tính độ dài các cạnh của
thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều
dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2.
3.6 Loại toán “Quan hệ giữa các số”
- Phương pháp giải
Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng.

+ Tổng các bình phương của hai số a và b là a2 + b2
+ Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)2.
a
b
1
và là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là .
b
a
x

Phân tích một số ra hai thừa số là biến đổi số đó thành hai số khác nhân với nhau.
Ví dụ: 6 = 2 . 3
Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ nhất là x, thì số thứ hai là: Tổng – x
Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn là x, thì số nhỏ là : x – hiệu .
Nếu gọi số nhỏ là x, thì số lớn là : x + hiệu.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một
số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn
Minh và Lan phải chọn những số nào ? (ĐS: 10 và 15 hoặc: – 10 và –15).
Giải
Gọi số nhỏ mà một bạn đã chọn là x
Số lớn bạn kia chọn là x + 5
Theo bài ra ta có phương trình x(x + 5) = 150.

(HS tự giải tiếp)

Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK)
Đố. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với
một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. (ĐS: 2 hoặc –1).



Giải :
Gọi số phải tìm là x thì một nửa của nó là

x
2

Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là

x 1
2 2

�
�x 1
x 1�
- �
. =
Theo bài ra ta có phương trình �
�
�
�
�
2 2�2 2

Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó. (ĐS: 11 và 12).
Giải
Gọi số tự nhiên bé là x , (x � N, x > 0)

Số tự nhiên liền sau là: x + 1
Tích của chúng là: x.(x + 1) = x2 + x
Tổng của chúng là: x + (x + 1) = 2x + 1
Theo bài ra ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn
vị.
ĐS: 47.
Bài 2. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng
chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó
giảm đi 99 đơn vị.
ĐS: 746.
Bài 3. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11
thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.
ĐS: 198.
Bài 4. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm
3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị.
ĐS: 12 và 5 hoặc 4 và 13.


CHƯƠNG III: ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao. Nó rèn luyện cho học sinh tư duy
logic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học, … Do đó khi
giải dạng toán này ở lớp 8, lớp 9 giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm được các mối
quan hệ đã biết và chưa biết giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình.
Các bài toán, ví dụ được nêu lên đều chủ yếu là toán bậc nhất, nghĩa là các bài toán dẫn
đến phương trình có thể quy về bậc nhất. Lên đến lớp 9 thì việc giải bài toán bằng cách lập
phương trình cũng tuân theo các bước như ở lớp 8 nhưng phương trình có thể quy về phương

trình bậc hai hoặc hệ phương trình. Vì thế giáo viên cần phân tích kỹ các bước giải, cũng như
lưu ý rõ cho học sinh các yêu cầu trong khi giải và từng dạng toán cơ bản để học sinh có được
kiến thức vững chắc phục vụ cho việc giải toán.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong quá trình giảng dạy, ôn tập cho học sinh khi áp dụng kinh nghiệm của mình để
soạn giảng và vận dụng vào thực tế tôi nhận thấy có sự thay đổi đáng mừng:
-

Học sinh đã có thái độ học tập tích cực, thích thú hơn trong tiết học, chủ động nêu
lên những thắc mắc. Học sinh đã không còn sợ hãi khi gặp dạng toán về giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

-

Phần lớn học sinh đã làm được các bài toán về giải các bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình trong các tập đề tự luyện.

Do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm và đề tài nghiên cứu là một đề tài rộng. Mặt
khác mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh lớp 9 và ôn thi vào lớp 10. Vì
thế đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng
để chuyên đề của tối có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Chũ, tháng 4 năm 2018
Người thực hiện

Nguyễn Văn Đức


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
................................................................................................................................................

................................................................................................................................................
.........................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.........................................................................................................
Tổng điểm: ...................

Xếp loại :.........................
Chũ, ngày .... tháng ..... năm 2018
TM HĐKH CẤP TRƯỜNG

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP HUYỆN
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.........................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.........................................................................................................
Tổng điểm: .....................

Xếp loại :..............................
Chũ, ngày...... tháng....... năm 2018
TM HĐKH CẤP HUYỆN


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN
TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ÁP DỤNG TẠI TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO

Giáo viên: Nguyễn Văn Đức
Năm sinh: 1985
Tổ: Khoa học tự nhiên
Trường: THCS Trần Hưng Đạo

Năm học 2017 - 2018