PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN DUY TIÊN
Trường: THCS DUY HẢI
----------

ĐỀ TÀI: “RÈN KĨ NĂNG VẼ HÌNH VÀ PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI
HÌNH HỌC 9”
NĂM HỌC: 2015 – 2016

Môn: Toán
Mã số: 05
Người thực hiện: Duy Cao
Chức vụ: Tổ trưởng tổ Khoa học tự nhiên

Có đính kèm các sản phẩm không thể hiện trong bản in
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác

Duy Hải, tháng …03… năm 2016

1


I. Lí DO CHON ấ TAI:
1.1 lý do chn ti
Toỏn hoc co vai tro quan trong trong i sụng, trong khoa hoc va cụng
ngh hin ai, nhõt la trong nhng nm chuõn bi bc sang thờ ky XXI ky
nguyờn cua cụng ngh hin ai va thụng tin, vic nm vng cỏc kiờn thc
toỏn hoc giup cho hoc sinh co c s nghiờn cu cỏc bụ mụn khoa hoc khỏc
ụng thi co thờ hoat ụng co hiu qu trong moi lnh vc cua i sụng.
Trong nha trng THCS co thờ noi mụn toỏn la mụt trong nhng mụn hoc
gi mụt vi tri hờt sc quan trong. Bi le Toỏn hoc la mụt bụ mụn khoa hoc t

nhiờn mang tinh tru tng cao, tinh logic ụng thi mụn toỏn con la bụ mụn
cụng c h tr cho cỏc mụn hoc khỏc, co tinh thc tiờn ph dng. Nhng tri
thc va ky nng toỏn hoc cung vi nhng phng phỏp lam vic trong toỏn
hoc tr thanh cụng c ờ hoc tp nhng mụn khoa hoc khỏc va nó là cầu
nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực
tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. Mụn
toỏn co kh nng t duy lụgic, phỏt huy tinh linh hoat, sỏng tao trong hoc tp
va mụn toỏn la mụt trong nhng mụn hoc kho nhõt. Trong chng trỡnh toỏn
THCS, mụn hỡnh hoc la rõt quan trong va rõt cõn thiờt cõu thanh nờn chng
trỡnh toỏn hoc THCS cung vi mụn sụ hoc va ai sụ. Hỡnh hoc la mụt bụ
phn c bit cua toỏn hoc. Phõn mụn hỡnh hoc nay co tinh tru tng cao
,hoc sinh luụn coi la mụn hoc kho. Vi mụn hỡnh hoc la mụn khoa hoc rốn
luyn cho hoc sinh kh nng o ac, tinh toỏn, suy lun logic, phỏt triờn t
duy sỏng tao cho hoc sinh. c bit la rốn luyn cua hoc sinh khỏ, gii nõng
cao c nng lc t duy, tinh ục lp, sỏng tao linh hoat trong cỏch tỡm li
gii bai tp toỏn. Vỡ vy muụn hoc tụt mụn hoc nay khụng nhng oi hi hoc
sinh phi co cỏc k nng o ac va tinh toỏn nh cỏc mụn hoc khỏc, ma con
phi co k nng ve hỡnh, kh nng t duy hỡnh khụi, kh nng phõn tich tỡm li
gii bai toỏn va kh nng khai thỏc cỏc cỏch gii va phỏt triờn bai toỏn. Lp 9
la lp hoc lõn th ba lam quen vi vic vn dng cỏc kiờn thc ly thuyờt cn
bn vao vic gii mụt bai toỏn hỡnh hoc c thờ, do o vic rốn cho hoc sinh cỏc
k nng ve hỡnh, kh nng phõn tich tỡm li gii va kh nng khai thỏc cỏc
cỏch gii va phỏt triờn bai toỏn hỡnh hoc la iờu hờt sc cõn thiờt.
Vi tõm quan trong nh vy thỡ vic ci tiờn phng phỏp day hoc noi
chung va phng phỏp ren ky nng ve hinh v phõn tich tim li giai bi
toỏn hinh hc 9 noi riờng vua la mụt yờu cõu cõn thiờt va la nhim v
thng xuyờn ụi vi giỏo viờn day toỏn. Vỡ vy ngi thõy phi tao cho hoc
sinh hng suy ngh, tỡm toi khỏm phỏ ra nhng hng chng minh cho mụi
bai toỏn hỡnh hoc t o hoc sinh hng thu say mờ, yờu thich mụn hoc va vn
dng sỏng tao kiờn thc mụn hoc vao thc tiờn va cuục sụng.

Vi vic nhỡn nhn c tõm quan trong cua võn ờ va ng trc thc
trang trờn tụi quyờt inh chon nghiờn cu ờ tai sỏng kiờn kinh nghim. ờ tai
mang tờn la: Ren ky nng ve hinh v kha nng phõn tich tim li giai hinh
hc 9 Vi mong muụn gop phõn nõng cao hiu qu, chõt lng trong day hoc
2


môn hình học lớp 9 của trường THCS Duy Hải theo tinh thần đổi mới. Củng
cố thêm nghiệp vụ giảng dạy của mình ,đồng thời mong được đóng góp một
phần nhỏ bé của mình với các bạn đồng nghiệp và giúp cho sự nghiệp giáo
dục của đơn vị cũng như của huyện được nâng lên.
I.2 Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực trạng dạy học phân môn hình học
lớp 9 của Trường THCS Duy Hải, sáng kiến kinh nghiệm này đã đề ra được
các giải pháp để rèn kỹ năng vẽ hình và khả năng phân tích tìm lời giải,khai
thác bài toán hình học 9 cho học sinh ở trường THCS Duy Hải, từ đó giúp
học sinh nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản, nhìn nhận một bài toán
hình dưới nhiều khía cạnh khác nhau ,có kỹ năng vận dụng các kiến thức vào
bài tập và thực tiễn. Cung cấp cho các em phương pháp tự học từ đó các em
chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán và có hứng thú học tập bộ môn hơn
Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc
và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy môn toán hình. Đặc biệt đây là
kinh nghiệm giúp cho GV tham khảo khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn
tập, luyện thi trong quá trình dạy học của mình.
Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực
hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập
của học sinh THCS
I.3 Đối tượng nghiên cứu
a, Đối với học sinh :
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học môn hình học của học sinh

còn thấp. Khi nói đến môn hình học thì học sinh thường ngại học đặc biệt là
quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, quá trình làm
bài tập đôi khi còn gặp nhiều bế tắc, vẽ hình còn không đúng, không biết bắt
đầu từ đâu, không biết nhìn nhận phân tích hình vẽ để làm bài, quá trình giải
thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện. Đa số học
sinh chỉ làm những bài toán chứng minh hình học đơn giản. Song thực tế nội
dung của bài toán hình thì rất phong phú và có nhiều cách giải khác nhau. Hơn
nữa học sinh khai thác và phát triển bài toán thì rất hạn chế, ngay cả những
học sinh khá giỏi cũng rất lúng túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến
thức để giải bài toán hình học. Vì thế, tỷ lệ học sinh yếu kém chưa được giảm
nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao.
b, Đối với giáo viên:
Phần lớn giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy học giải
toán. Còn nhiều giáo viên chưa cho học sinh thực sự làm toán mà chủ yếu giải
toán cho học sinh và chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình
dạy học giải toán giáo viên ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy
và phương pháp suy luận. Thông thường giáo viên thường giải đến đâu vấn
đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều giáo viên
3


còn coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động, giáo viên chưa thấy
được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ
năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ xung nguồn kiến
thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được
Năm học 2015 – 2016 là năm học thứ mười sáu tôi được phân công giảng
dạy bộ môn toán THCS và là năm thứ tám tôi được phân công giảng dạy và
bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 nên phần nào tôi đã có kinh nghiệm
trong dạy học bộ môn. Qua thực tế bản thân cũng nhận thấy trong quá trình
dạy học môn toán giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm

hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các kiến thức đã học
trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình phương pháp giải quyết
vấn đề của bài toán. Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học
sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện
dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một
vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi sử lý một tình huống. Hơn
nữa tôi cũng nhận thấy rằng để gây hứng thú cho học sinh học tập bộ môn,
kích thích sự tìm tòi ,sáng tạo khám phá kiến thức của học sinh, người thầy
với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp học sinh rèn kỹ năng vẽ hình, khả
năng phân tích tìm lời giải và nhìn nhận bài toán hình dưới nhiều khía cạnh
khác nhau.
c. Đối với nhà trường :
Khi đặt vấn đề nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm trước Hội đồng sư
phạm của nhà trường tôi đã được sự nhất trí đồng thuận của Ban giám hiệu
nhà trường và của đồng nghiệp và được sự quan tâm giúp đỡ của nhà trường
về cơ sở vật chất và tinh thần, được đồng nghiệp đóng góp nhiều kinh nghiệm
quý báu trước khi tôi thực hiện nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm sư phạm
này.
I.4 Phương pháp nghiên cứu
Tiến hành sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng các nhóm phương pháp
sau :
a)Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết :
Đọc và phân tích tài liệu về phương pháp dạy học môn toán, đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của HS, Chương
trình, SGK và SBT tài liệu tham khảo của bộ môn toán hình 9.
b)Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn :
- Quan sát theo dõi HS và học hỏi đồng nghiệp .
- Phương pháp điều tra sư phạm: Phỏng vấn, trao đổi; khảo sát điều tra số
liệu theo phiếu; thống kê và phân tích số liệu điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Giảng dạy thực nghiệm tại trường.

-Tổng kết kinh nghiệm và đánh giá kết quả.
4


1.5 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
a . Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm:
- Phạm vi nội dung: Biện pháp rèn kỹ năng vẽ hình và phân tích tìm lời giải
hình học 9
- Phạm vi không gian: Khối lớp 9 Trường THCS Duy Hải .
b . Thời gian nghiên cứu:
-Nghiên cứu trong 3 năm học: Năm học: 2003-2014; 2014-2015; 2015-2016
-Kế hoạch nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm :
+)Năm học 2013-2014: Thảo luận, tìm kiếm vấn đề nghiên cứu và nghiên cứu
lí thuyết; xây dựng đề cương sáng kiến kinh nghiệm, hoàn chỉnh các biểu mẫu
điều tra
+)Năm học 2014-2015: Tiến hành điều tra HS, sử lí số liệu, cho vận dụng vào
thực tế giảng dạy môn hình học lớp 9 và tiếp tục được vận dụng vào giảng
dạy môn hình học lớp 9 tại trường trong các năm học tiếp theo.
+)Trong năm học 2015-2016: Điều chỉnh lại và viết chính thức các nội dung
của sáng kiến kinh nghiệm, in ấn đóng quyển và nộp.
c. Nhiệm vụ nghiên cứu :
Tiến hành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiêm này, tô thực hiện qua 6 nhiệm
vụ sau:
+) Nghiên cứu cơ sở lí luận của biện pháp rèn kỹ năng vẽ hình và phân tích
tìm lời giải hình học 9.
+) Nghiên cứu phương pháp dạy học , đổi mới phương pháp dạy học môn
toán ở trường THCS, Nghiên cứu chương trình và SGK, SBT. Các tài liệu
tham khảo và nâng cao của môn hình học 9.
+) Phân tích thực trạng và kết quả giảng dạy môn hình học 9 ở trường THCS
Duy Hải trong các năm học 2013 – 2014; 2014-2015; 2015-2016

+) Đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng vẽ hình, phân tích tìm lời giải và khai
thác bài toán hình học 9.
+) Vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong công tác giảng dạy môn hình
học 9 tại đơn vị nhà trường.
+) Rút kinh nghiệm và đánh giá kết quả đạt và chưa đạt trong quá trình vận
dụng thực tế của sáng kiến kinh nghiệm .
II.

NỘI DUNG

1. Cơ sở lý luận
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp
thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải
pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách
5


quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm. Vấn đề trên
không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn
lịch sử hiện nay.
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại khoa học kĩ thuật phát triển như vũ bão
hiện nay. Tại nghị quyết hội nghị lần thứ 2 của ban chấp hành Trung ương
khóa VIII về những giải pháp chủ yếu trong giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “
Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ
một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp
dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Chính vì vậy đòi
hỏi từng bộ môn trong nhà trường THCS phải có cách nhìn nhận cải tiến
phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Một trong
những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo

hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng
dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết
nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã
học vào bài tập và thực tiễn.
Quá trình học sinh nắm vững kiến thức không phải là tự phát mà là một
quá trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, một quá trình nỗ
lực tư duy trong đó học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác của mình dưới
sự chỉ đạo của giáo viên. Trong quá trình ấy mức độ tự lực của học sinh càng
cao thì việc nắm kiến thức càng sâu sắc, tư duy độc lập sáng tạo càng phát
triển cao, kết quả học tập càng tốt.Trên thực tế quá trình dạy học là quá trình
thống nhất bao gồm quá trình dạy và quá trình học, nó là một hệ thống tác
động lẫn nhau giữa giáo viên và học sinh, trong đó mỗi chủ thể tác động lẫn
nhau có vai trò và chức năng của mình.Trong quá trình dạy học lấy học sinh
làm trung tâm, không có nghĩa là hạ thấp vai trò của giáo viên mà trong đó vai
trò của giáo viên quyết định đến quá trình nhận biết - học - dạy và đặc trưng
cho việc định hướng giáo dục. Trong quá trình dạy học: Giáo viên đồng thời là
người hướng dẫn, người cố vấn, người mẫu mực cho học sinh , điều đó có
nghĩa là hoạt động dạy là xây dựng những quy trình, các thao tác chỉ đạo hoạt
động nhận thức của học sinh, hình thành cho học sinh nhu cầu thường xuyên
học tập, tìm tòi kiến thức, kích thích năng lực sáng tạo, hình thành cho các em
tự kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của mình, rèn luyện phương pháp học
tập, phương pháp suy nghĩ. Điều quan trọng là hình thành cho các em cách
học có hiệu quả nhất, đáp ứng được nhu cầu kiến thức bộ môn.
Việc đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi mới dạy học môn
toán, Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với
học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực
tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến
thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.

6


Vì vậy trong công tác đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi
mới phương pháp dạy môn toán nói riêng, đòi hỏi giáo viên phải vận dụng
sáng tạo các phương pháp dạy học phù với môn học, đặc biệt cần phải tổ chức
dạy học sao cho học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học nói riêng và các
bộ môn học khác nói chung, qua đó hình thành kiến thức, kĩ năng và nhận
thức của học sinh. Nhiệm vụ cơ bản của bộ môn là đảm bảo cho học sinh nắm
vững những kiến thức và vận dụng sáng tạo vào thực tiễn.
2 Cơ sở thực tiễn
Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh (HS) rất ngán học môn
toán và “sợ” môn hình học. HS “sợ”môn hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ
các em cho rằng hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối vời học sinh
bậc THCS và bởi đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận
tốt. Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi HS phải có trí tưởng tượng, óc suy xét
và tư duy logic. Do vây học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn, bởi vì các
em chưa biết vẽ hình, lúng túng khi phân tích một đề toán hình, đặc biệt một
số bài toán mà khi giải cần có thêm một sáng tạo vẽ thêm đường phụ. Bởi vậy
chất lượng học tập môn hình của các em còn thấp. Qua kinh nghiệm của bản
thân và một số đồng nghiệp tôi rút ra được một số nguyên nhân sau:
- Các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác
- Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch
giải bài toán hình học còn khó khăn.
- Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác,chưa khoa học, còn
lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ ,không chặt chẽ:
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ môn hình nên càng làm cho bài
toán từ dễ trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế nào?
cách trình bày, lập luận ra sao ở một bài toán hình?
- Trong sách giáo khoa (SGK) bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy

đủ nên khó tiếp thu. Hơn nữa khối lượng kiến thức, bài tập trong SGK khá
nhiều đôi khi thầy và trò không làm hết trong thời gian qui định.
- Kết quả điều tra thực trạng cho thấy. Thực tế, học sinh học phân môn hình
học còn yếu về mọi mặt, tỉ lệ học sinh khá giỏi bộ môn toán hình trong các
trường còn hạn chế, khả năng vẽ hình và tư duy sáng tạo của học sinh còn yếu
nên số học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ cao, số HS yêu thích môn hình còn ít.
-Kết quả điều tra qua 60 bài kiểm tra một tiết môn hình học lớp 9 của trường
THCS Duy Hải trong năm học 2013-2014 cho thấy:
Điều tra
60 bài
kiểm tra

Giỏi
SL

Khá
%

SL

%

Trung
bình
S
L

%

Yếu

S
L

%

kém
S
L

%
7


5

8,3%

12

20
%

25

41,7
%

10

16,7

%

8

13,3%

-Kết quả điều tra qua 60 HS lớp 9 của trờng THCS Duy Hải trong năm học
2013-2014 về kĩ năng vẽ hình của môn hình học cho thấy.
Thành thạo

Chưa thành thạo

Điều tra
60 HS

Không làm
được

SL

%

SL

%

SL

%


15

25%

30

50%

15

25%

-Kết quả điều tra qua 60 HS lớp 9 của trờng THCS Duy Hải trong năm học
2013-2014 về thái độ đối với môn hình học cho thấy:

Điều tra
60 HS

Yêu thích môn
học

Bình thường

Không thích học

SL

%

SL


%

SL

%

15

25%

25

41,7%

20

33,3%

3:NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
3.1. MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG HÌNH HỌC :
a. Vẽ hình bài toán :
Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học
là vẽ hình chính xác. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài
toán là tương đối khó khăn với học sinh, các em còn yếu trong việc vẽ hình
hay vẽ hình thiếu chính xác, một số bài toán vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận
kết quả,cũng có một số bài toán với cách vẽ hình khác nhau thì việc chứng
minh theo con đường khác nhau. Nguyên nhân do chưa đọc kĩ bài, chưa biết
xác định bài cho gì (GT), yêu cầu làm gì (KL) hoặc sử dụng các dụng cụ, thao
tác chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thả ... dẫn đến gây trở ngại cho việc

định hướng chứng minh
VD: + Khi vẽ AB = AC, AB //DC vẽ tia phân giác của một góc, trung điểm
của đoạn thẳng, trung trực của đoạn thẳng, đường trung tuyến, đường cao của
tam giác, dựng tam giác biết độ dài ba cạnh, dựng một góc bằng góc cho trước
,dụng tiếp tuyến của đường tròn, vẽ đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
tam giác ... học sinh chưa thành thạo thậm chí nhiều em không vẽ được.
+ Không biết kí hiệu một cách hợp lí trên hình vẽ (GT cho) để hỗ trợ trong
việc chứng minh.

8


- Đôi khi vẽ hình học sinh còn vẽ vào trường hợp đặc biệt, dẫn đến ngộ
nhận làm cho việc xây dựng hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh
được hay chứng minh sai.
VD: Khi bài toán cho tam giác bất kì thì học sinh thường vẽ vào các
trường hợp là: tam giác cân, tam giác vuông ,tam giác đều.Hoặc bài toán “cho
d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, trên d lấy 2 điểm C & D khác phía
đối với bờ AB. Tìm tất cả các tia phân giác của các góc trong hình vẽ”. Nếu
trong bài này học sinh vẽ vào trường hợp C, D đối xứng với nhau qua AB thì
sẽ có đến 4 tia phân giác.
b. Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế
hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn:
Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài toán là khó khăn nhất.
Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các
em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình
vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục
vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết
luận. Việc liên hệ các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp ...
của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học

sinh còn khó khăn khi giải.
c. Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác,chưa khoa học ,
còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ ,không chặt
chẽ:
Học sinh lớp 9 cũng đã được tập dượt chứng minh ở lớp 7 và lớp 8.
Tuy nhiên đã được làm quen với các bài toán chứng minh hình học, nhưng
khi trình bày bài giải vẫn còn lủng củng thiếu lôgic không chặt chẽ, sử dụng
các kí hiệu không đúng quy định có khi còn bỏ qua như kí hiệu góc, kí hiệu
cung kí hiệu của tam giác, kí hiệu của đường tròn, kí hiệu về đỉnh đôi khi còn
viết chữ thường, kí hiệu của điểm còn viết chữ thường ...
Từ những thực tế trên, người thầy phải tìm ra những biện pháp hữu hiệu
để khắc phục những nhược điểm của học sinh, gây hứng thú học tập ở học
sinh, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cách
trình bày cho khoa học.
3.2 . BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC :
a. Hướng dẫn vẽ hình :
So với sách giáo khoa Toán 9 cũ thì sách giáo khoa Toán 9 mới đã giảm
nhiều về lí thuyết, tăng cường nhiều thời gian cho thực hành, luyện tập. Qua
việc đo đạc, vẽ hình học sinh nắm được những thao tác vẽ bài bản hơn. Song
thực tế cho thấy trong bài toán hình học vẽ hình là công việc khó đối với học
sinh, thậm chí ngay ở những bài mà hình vẽ không khó, học sinh vẫn có thể
mắc sai lầm. Đối với học sinh lớp 9 rèn luyện cách vẽ hình cũng là rất quan
trọng. Do vậy người thầy cần phải khai thác tốt giờ luyện tập để học sinh biết
9


sử dụng dụng cụ vẽ hình , kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ ,vẽ hình xuôi ngược
để rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Cần tập cho học sinh thói quen: muốn vẽ hình
chính xác trước hết phải nắm thật chắc đề bài, bài cho gì và yêu cầu làm gì,
tức phải phân biệt được rõ ràng giả thiết và kết luận. Khi vẽ, nên xét xem nên

vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ để cho hình vẽ chính xác đơn giản hơn và
những gì giả thiết đã cho cần phải thể hiện kí hiệu quy ước trên hình vẽ.
Ví dụ1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA  R 2 . Từ A kẻ hai tiếp
tuyến AM và AN.
a)Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông.
b)Gọi H là trung điểm của dây MN, chứng minh rằng ba điểm A, H, O thẳng
hàng.

*Hướng dẫn học sinh vẽ hình:
? Ta vẽ gì trước? Dùng dụng cụ gì?(HS dễ dàng vẽ được đường tròn (O;R))
? Tiếp theo em cần làm gì? (Vẽ điểm A sao cho OA  R 2 )
Tuy nhiên để xác định chính xác điểm A sao cho OA  R 2 đối với học sinh
không phải là rễ.
GV:HD OA  R 2 là đường chéo của hình vuông cạnh R do vậy cần phải
�
vẽ góc vuông MON
 900 (M,N thuộc (O;R)) OM=ON=R => Từ M kẻ Mx 
OM, Từ N kẻ Ny  NO => Điểm A là giao của Ny và Mx => ta được hình
vuông AMON có OM=ON=R và OA  R 2 .Và ta cũng được AM,AN là hai
tiếp tuyến cần vẽ của (O;R)
? Vẽ điểm H như thế nào dễ hơn?(HS dễ dàng xác định được H là giao điểm
của hai đường chéo AO và MN của tam giác vuông AMON)
GV: cho HS lên bảng vẽ hình theo HD trên.
Trong chương trình hình học nhiều bài toán điều có thể vẽ hình chính xác
ngay khi đọc từng câu.Song có những bài học sinh phải đọc hết toàn bộ bài
thậm chí phải dựa vào cả kết luận mới vẽ được chính xác, có khi vẽ lần đầu
chỉ là phác hoạ, không đảm bảo sự chính xác của nội dung bài, từ hình phác
hoạ đó phải tiến hành phân tích các số liệu đã cho trên hình rồi từ đó có cách
vẽ lần sau trọn vẹn.
10



Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD
vuông góc với AB ( D và C nằm khác phía đối với AB),
AD =AB. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B
nằm khác phía đối với AC), AE vuông góc với AC. Biết
rằng DE=BC. Tính góc BAC
*Hướng dẫn HS vẽ hình:(Hình 2)
Để vẽ được chính xác hình bài này cần phải vẽ
phác hoạ. Thực tế khi dạy bài này cho học sinh chỉ một số ít học sinh vẽ đúng
được hình, một số em không vẽ được hình từ đó không làm được bài. Mấu
chốt để vẽ hình chính xác là phải tính góc BAC=900 (KL bài)
Thật vậy từ hình vẽ phác hoạ ta có ngay:  ABC =  ADE (c.c.c). Mà
Â2=Â4=900.Từ đó ta vẽ tam giác ABC có Â=900
Thực tế còn có những bài toán mà có thể có nhiều hình vẽ, mỗi một hình
cho ta một đáp số. Với loại bài này phải cho học sinh thấy cần vẽ tất cả các
trường hợp có thể xảy ra.
b. Xây dựng kế hoạch giải:
b.1) Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải :
Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể hiện đày
đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước). Trên cơ sở
phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh sẽ định hướng
được việc giải bài toán dưới sự dẫn dắt của thầy giáo bằng hệ thống câu hỏi.
Ví dụ 3:: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp
tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm
thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE
cắt By ở D.
�  1V ; Từ đó suy ra CE.ED = R2
1. Chứng minh COD


2. Chứng minh  AEB và  COD đồng dạng.
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I)

Hướng dân bằng hệ thống câu hỏi:
2
�
1.Chứng minh: COD
 1V ; Từ đó suy ra CE.ED =R

Hình 3
11


�
�1  D
�1  1V
?Ch/minh COD
 1V , ta chứng minh HS:Cách 1:  COD có C
điều gì ?
Cách 2: cm cho OC và OD là tia
� ,
phân giác của hai góc kề bù ( AOE
� )
EOB

Với cách 1 GV hỏi tiếp:
�1 liên hệ với các góc nào ?
?Góc C�1 , D

�� 1 �

C1  DCA
�
�
2
�
�
HS: DCA và BDC : �
�1  1 BDC
�
�
D
�
2

HS: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
?Vận dụng yếu tố nào của đề bài để => CO,DO là hai tia phân giác của
� và BDE
�
hai góc ACE
�1 ?
tìm C�1 , D
0
�
�
� và BDC
� là bao HS: DCA = BDC  180 (2 góc trong
?Tổng hai góc DCA
cùng phía của AC//BD)
nhiêu? Vì sao ?
HS: CE.ED = OE2

?Hệ thức nào trong  vCOD có chứa
HS: OE có độ dài bằng R và có liên
tích CE.ED?
hệ với CE, ED
?Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và
có liên hệ với CE, ED ?
2. Chứng minh  AEB ~  COD :
? Trước hết cho học sinh nhận xét hình HS: Hai tam giác cần chứng minh
vẽ. Hai tam giác học sinh chứng minh đồng dạng là tam giác vuông nên có
đồng dạng là tam giác gì ?
thêm đk
?Với giả thiết đã cho để chứng minh
hai tam giác vuông  AEB và  COD
�1  D
�
HS: B
đồng dạng ta cần chỉ ra được yếu tố
nào?

1

?Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến
�1  D
� 2 ; Vậy để chứng
cắt nhau ta có D
�1  D
�2
HS: B
�
�

minh B1  D ta phải ch/minh điều gì?
1

�1  D
� 2 bằng cách nào?
? c/m B

GV:Gợi ý:BE và DO có quan hệ gì? Từ
đó suy ra điều gì?

�1  D
� 2 (góc có hai
HS: BE  DO => B
cạnh tương ứng vuông góc)

�1  D
� 2 (do cùng phụ với DOB
� hoặc DBE
� )
*Học sinh có thể chứng minh B
�
� nên đồng
*Cũng có thể chứng minh  vAEB và  vCOD có EAB
 OCD
dạng bằng cách vận dụng góc nội tiếp, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

12


3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) :

?Muốn chứng minhAB là tiếp tuyến HS: AB  IO tại O  (I) ? (định lý
của (I) ta phải chứng minh điều gì
đảo)
?AC  AB, BD  AB, vậy để IO  AB
thì phải thoả điều kiện gì ?

 OI // AC // BD
 OA OB

HS: 

?Yếu tố nào của đề bài giúp ta chứng
minh IO là đường trung bình của hình
thang vuông ABDC.

=>OI là đường trung bình
của hình thang vuông ABDC
 IC  ID
(giả thiết)
 OA OB

*Có thể hướng dẫn học sinh chứng
minh O AB và OI là bán kính của (I)

HS: 

H :-Tính chất về tổng các góc trong
tam giác.
? Các kiến thức cơ bản đã vận dụng
- - Các tính chất trong tam giác

trong bài toán trên là gì?
vuông.
GV: nêu câu hỏi củng cố:

-H-Hệ thức lượng trong tam giác
vuông.
-T

tam giác đồng dạng.
-Tính chất đường trung bình
trong hình thang .

-C Các tính chất của tiếp tuyến.
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và
(O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với
AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C
và D. Lấy điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng
MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
Hướng dẫn HS bằng hệ thống câu hỏi:
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
�  ANB
�
(?1) Chứng minh ΔAMN cân HS: AMB
bằng cách nào?
- HS dự đoán thông qua quan sát:
(?2) Chứng minh như thế nào để (ΔAMN cân tại A)
�  ANB
� ?

có AMB
�  1 sdAmB
�
�  1 sdAnB
�
�  AnB
�
AMB
ANB
và
và AmB
2
2




13




(Góc nội tiếp)( Góc nội tiếp) ((O) bằng
b) Chứng minh tứ giác ACPD (O’))
nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
�  ADP
�  1800
(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD HS: ACP
nội tiếp cần chứng minh điều gì ?


(?4) Góc ADP cộng với góc nào
�  ADP
�  1800 (hai góc kề bù)
HS: ADN
bằng 1800 ? ta cần chứng minh
�  ADN
� (Góc nội tiếp chắn hai
điều gì ?
ACP
cung bằng nhau)
�  ADN
�
(?5) Muốn chứng minh ACP
cần chứng minh được điều gì ?
�  AN
�
(?6) Muốn chứng minh AM
cần chứng minh được điều gì ?
�  AN
�
HS: AM
(?7) Chứng minh AM = AN bằng
cách nào ?
HS: AM = AN

HS: ΔAMN cân tại A (c/câu a)
b.2)Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài:
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình THCS, giải bài tập
hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu,

có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên
kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong
khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi
tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.Vậy
thế nào là phương pháp phân tích đi lên? Có thể khái niệm rằng, đây là
phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã
cho trong một bài toán. Thường thì chứng minh trong một bài toán ta phải suy
xuôi theo sơ đồ:
A = A0  A1  A2  ...  An = B
Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên có thể được khái quát
như sau:
(1)

(2)

(3)

(n)

Cần chứng minh vấn đề A= A0  A1  A2  ...  An.Trong mỗi bước suy
luận (1), (2), (3), ...(n) đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ
thể có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2đúng...
14


đến An là một điều đã biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả
thiết.
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích đi
lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của HS (bao gồm tư
duy phân tích và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được

các kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em
vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà
có khi không nhớ hết.Có thể nói trong khi giải bài tập bằng phương pháp phân
tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành công được một nửa,
phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo một
trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng .
Ví dụ5: Bài 13( SGK Toán 9 tập I – Trang 106)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt
nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung
điểm của AB và CD. chứng minh rằng:
a, EH = EK

b, EA = EC.

Giải:
(O); A, B, C, D  (O)
GT AB = CD
AB  CD =  E
AH = HB; CK = KD
KL

a, EH = EK
b, EA = EC
Lập sơ đồ chứng minh

a, Chứng minh:EH = EK

a, Kẻ OH, OK
Ta có: AH = HB (gt)



ΔOEK = Δ OEK

OH=OK


AB = CD (gt)

CK = KD (gt)
nên OH  AB; OK  CD


�  OKE
�  900
OHE

chứng minh:

OE chung

(Đ. lý 3 – quan hệ vuông góc giữa
đường kính và dây)
Vì AB = CD (gt) nên OH = OK
(Đ. lý liên hệ giữa dây và khoảng
cách từ tâm đến dây)
Xét ΔOEK và Δ OEK có:
�  OKE
�  900
OHE


( c/m trên)
15


OH = OK ( c/m trên)
OE cạnh chung
� ΔOEK = Δ OEK (cạnh huyền –

cạnh góc vuông)
� EH = EK ( 2 cạnh tương ứng)

(đpcm)
b, Chứng minh: EA = EC

b,Vì AB = CD (gt)
AB
Mà AH = HB (gt) � AH =



2

AH + EH = CK + EK

CK = KD (gt) � CK =



AH=CK


EH = EK(c/m ở phần a)


AB=CD(gt) AH=1/2AB(gt)
CK=1/2CD(gt)

CD
2

� AH=CK (1)

Mặt khác: EH = EK(c/m ở phần a)
(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2)
� AH + EH = CK + EK
� EA = EC (đpcm)

Ví dụ 6: Bài 30 (SGK Toán 9 tập I – Trang 116)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một
đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đương tròn). gọi Ax, By là các
tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp
tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh
rằng:
�
a, COD
 900

b, CD = AC + BD
c, Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Giải:
(O; AB/2);
GT

Ax  AB  A
By  AB  B
M  (O; AB/2)
OM  CD  M
CD  Ax =  C
16


CD  By =  D
�
KL a, COD
 900

b, CD = AC + BD
c, AC.BD = cosnt khi M di
�
chuyển AB
Lập sơ đồ chứng minh
�
a, chứng minh: COD
 900


OC  OD

Oˆ 2  Oˆ 3 = 900


Oˆ 2 Oˆ 1 ; Oˆ 3 Oˆ 4

Chứng minh
a, CD  Ax =  C
� Oˆ 2 Oˆ 1 (tính chất 2 tiếp tuyến

cát nhau)
Tương tự: CD  By =  D

�

Oˆ 3 Oˆ 4 (tính chất 2 tiếp tuyến

cát nhau)
Oˆ 1  Oˆ 2  Oˆ 3  Oˆ 4 2(Oˆ 2  Oˆ 3 ) 180 0
 Oˆ  Oˆ 90 0
2

3



AC, DC là các tiếp tuyến
BD, DC là các tiếp tuyến.
b, chứng minh:CD = AC + BD


CD = CM + DM



CM = AC; DM = DB


CA, CM là 2 tiếp tuyến của

b)Vì CA, CM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại C (gt)
� CM = AC (1)

*)Vì DB, DM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
� DM = DB (2)

Mà CD = CM + DM (3)

(O; AB/2) cắt nhau tại C (gt) Từ (1), (2) và (3)
DB, DM là 2 tiếp tuyến của

� CD = AC + BD (đpcm)

(O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
c)chứng minh:AC.BD = cosnt


c) ΔCOD vuông tại O(c/m ởphần a)
OM  CD (gt)

CM.MD = cosnt (do AC = CM; BD =
MD)


� CM. MD = OM2 = AB/2



Mà CM = CA (c/m phần b)

� CM.MD = cosnt

17


CM. MD = OM2 = AB/2

ΔCOD vuông tại O (c/m ở phần a)

OM  CD (gt)

MD = BD (c/m phần b)
� CM.MD = AC.BD = const.
� AC.BD = cosnt

Vậy tích AC. BD không đổi khi
điểm M di chuyển trên nửa đường
tròn đường kính AB.(đpcm)

*) Chú ý: Có nhiều cách để lập sơ đồ chứng minh một bài toán hình, do đó có
nhiều cách để trình bày lời giải một bài toán hình. Ở nội dung đề tài này chỉ
trình bày một cách.
Ví dụ 7:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến

Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia
Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By ở
D.
�  1V ; Từ đó suy ra CE.ED = R2
1. Chứng minh COD

2. Chứng minh  AEB và  COD đồng dạng.
Hướng dẫn lập Sơ đồ chứng minh:
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích
cho từng câu của bài toán đi từ kết luận  giả thiết; học
sinh tự chứng minh ngược lại. Hệ thống câu hỏi nêu vấn
đề từ dưới lên.
1.Chứng minh:

; Từ đó suy ra CE.ED =R
�
2
COD
 1V

Câu hỏi gợi ý:

Sơ đồ:

? Vận dụng yếu tố nào của đề bài để
�1 ?
tìm C�1 , D

CE.ED = R2


� và BDC
� là bao
?Tổng hai góc DCA
nhiêu ? Vì sao ?

CE.ED = OE2

�1 liên hệ với các góc nào ? (
? Góc C�1 , D
� và BDC
� )
DCA
�
? Ch/minh COD
 1V , ta chứng minh
�1  D
�1  1V ).
điều gì ? ( C

? Áp dụng hệ thức lượng trong  vCOD
với OE là đường cao.




�
 COD vuông ( COD
 1V )

�1  D

�1  1V
 COD có C

�� 1 �
C1  DCA
�
�
2
�
�1  1 BDC
�
�
D
�
2

18


? Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và
có liên hệ với CE, ED ?


�
�
( DCA
 BDC
 2V )

*Với cách phân tích tương tự như trên có thể cho học sinh chứng minh cách

khác như sau:
Cách 2:-Vì CA,CE là hai tiếp tuyến của nửa (O) nên tia OC là tia phân giác
� .
của AOE
-Tương tự OD là tia phân giác của

�
EOB

�
�
�
- AOE
và EOB
là hai góc kề bù nên OC  OD tại O hay COD
 1V
 OE2 = CE.ED hay CE.ED = R2
�
� (do CA, CE là hai tiếp tuyến)
Cách 3:Ta có : AOC
 COE
�
� (do DB, DE là hai tiếp tuyến)
BOD
 DOE
�
�
�
�
 BOD

 COE
 DOE
Suy ra : AOC
�
�
�
Mặt khác : AOC
�
BOD  COE
 DOE
 2V
�
� ) = 2V
2( COE
 DOE
�
� = 1V
COE
 DOE

2
2
�
hay COD
 1V  OE = CE.ED  R =

CE.ED
*Học sinh có thể phát hiện ra cách chứng minh khác. Giáo viên hướng
dẫn học sinh phân tích bằng sơ đồ chi tiết, về nhà các em sẽ giải được ngay.
2. Chứng minh  AEB ~  COD :

Trước hết cho học sinh nhận xét hình vẽ. Hai tam giác học sinh chứng
minh đồng dạng là tam giác gì ? Cần có thêm điều kiện nào ?
Câu hỏi gợi ý:

Sơ đồ:
 AEB ~  COD

?Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến
�1  D
� 2 ; Vậy phải
cắt nhau ta có D
�1  D
� 2 bằng cách nào? (góc
ch/minh B
có cạnh tương ứng vuông góc)


 AEB vuông (vì AEB = 1V)
 COD vuông (cmt)
�1  D
�1
B


?Chứng minh hai tam giác vuông đồng
dạng phải có thêm điều kiện gì?

�1  D
�2
�

�B
�
(t/c tiếp tuyến)
�1  D
�2
�D


19


DB  AB và DO  EB
(tính chất của tiếp tuyến)
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) :
Câu hỏi gợi ý:

Sơ đồ:

?Yếu tố nào của đề bài giúp ta
chứng minh IO là đường trung bình
của hình thang vuông ABDC.

AB là tiếp tuyến của (I)


AB  IO tại O  (I)


?AC  AB, BD  AB, vậy để IO
 AB thì phải thoả điều kiện gì ?


 OI // AC // BD

 OA OB


?Muốn chứng minhAB là tiếp tuyến
của (I) ta phải chứng minh điều gì ?
(định lý đảo)

OI là đường trung bình
của hình thang vuông ABDC

 IC  ID

(giả thiết)
 OA OB

*Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh O  AB và OI là bán kính của (I)
Ví dụ 8: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và
(O’)cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với
AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C
và D. Lấy điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng
MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
Hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh:

chứng minh:


a) a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?

a) ΔAMN là tam giác gì? tại
- HS dự đoán thông qua quan sát: sao?
(ΔAMN cân tại A)
�  1 sdAmB
�
AMB
(Gócnộitiếp)(1)
Chứng minh: ΔAMN cân tại A
(?1)


�  ANB
�
AMB

2

�  1 sdAnB
�
ANB
2

(Gócnội tiếp) (2)

(O) bằng (O’) nên ta có:
20



(?2)

Từ (1), (2) và (3)



�  1 sdAmB
� và ANB
�  1 sdAnB
�
�  AnB
�
AMB
và AmB
2
2



�  ANB
�  ΔAMNcân
 AMB
tại A.




(Góc nội tiếp)
( Góc

( (O) bằng (O’))

nội

tiếp)

(?1) Chứng minh ΔAMN cân bằng cách
nào?

b) Chứng minh tứ giác
(?2) Chứng minh như thế nào để có ACPD nội tiếp
�  ANB
� ?
ΔAMN cân tại A
AMB
 AM = AN
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
�  AN
�  ACP
�  ADN
� ( Góc
 AM

(?3) (?4) 
�  ADP
�  1800
ACP

�  ADP
�  ADN

�  ADP
�  1800 (kề bù)
ACP


nội tiếp chắn hai cung bằng
nhau)
�  ADP
�  ADN
�  ADP
�  1800
 ACP
�  ADP
�  1800 
(kề bù)  ACP

tứ giác ACPD nội tiếp.

�  ADN
� (Góc nội tiếp chắn hai cung
ACP

bằng nhau)
(?5)



�  AN
�
AM


(?6)



AM = AN
(?7) 
ΔAMN cân tại A
(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội
tiếp cần chứng minh điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng
1800 ? ta cần chứng minh điều gì ?
�  ADN
�
(?5) Muốn chứng minh ACP
cần
chứng minh được điều gì ?
�  AN
�
(?6) Muốn chứng minh AM
cần
chứng minh được điều gì ?

(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách
nào ?
21


c. Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )

Để chứng minh BCPQ là hình thang
(?8)



BQ // CP
�  APC
�
AQB
( ở vị trí đồng vị )
�  ADC
�
�  ADC
�
AQB
và APC

(?12)

�  ADC
� (= 1 sđ AC
� ) (4)
APC
2



1
�  ADC
�

�
AQB
(= sđ AmB
) (5)
2

Từ (4) và (5)

(?10) 

1
�
( = sđ AmB
)
2

Tứ giác ACPD nội tiếp 

Mặt khác lại có:
(?9) 

(? 11)

c. Tứ giác BCPQ là hình gì? tại
sao?


1
� )
(= sđ AC

2

�  APC
�
( ở vị trí đồng
 AQB

vị )
 BQ // CP
 Tứ giác BCPQ là hình thang.



(Tứ giác ACPD nội tiếp )
(?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là
hình thang cần chứng minh được điều gì ?
(?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần
chứng minh được điều gì ?
(?10) Sử dụng phương pháp nào để
�  APC
�
chứng minh AQB
?
(?11) Sử dụng phương pháp nào để
�  ADC
�
chứng minh AQB
?
(?12) Sử dụng phương pháp nào để chứng
�  ADC

� ?
minh APC
Sau khi giải xong Gv cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh
mục đích:
* Củng cố kiến thức:
+ Trong hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng
nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
+ PP chứng minh tam giác cân.
+ PP chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để chỉ ra
tổng hai góc đối bằng 1800.
22


+ PP chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
+ PP chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc ở vị
trí đồng vị bằng nhau.
Ví dụ 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx’ , gọi C, D
là hai điểm nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB,
Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx’ tại N. (Hình 9)
a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn.
Hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh:

Chứng minh

Khai thác giả thiết:
-Ta có: �

ACB  �
ADB  �
ABM  900
a) Chứng minh AC.AM=AD.AN
(?1)



AC
AD

AN AM

(?2) 
Δ ADC ~ Δ AMN
(?3) 
�  AMN
�
Góc A chung và ADC

(?4)



�  CB)
�
�
sd(AB
sdAC
�  1 sđ � và �

ADC

AC AMN 
2
2
2



Học sinh căn cứ đường lối
trình bày lời giải
� �
�
�  sd(AB  CB)  sdAC (Góc
AMN
2
2

(Góc nội tiếp) (Góc có đỉnh bên ngoài
đường tròn)
có đỉnh bên ngoài đường tròn)
(1)
Câu hỏi dẫn dắt

�  1 sđ � (Góc nội tiếp)
(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần ADC
AC
2
chứng minh tỷ lệ thức nào ?
(2)

AC
AD

(?2) Để có
cần chứng minh điều Từ (1) và (2)  ADC
�  AMN
�
AN

AM

gì ?

Xét ADC và AMN có:

(?3) Để chứng minh Δ ADC ~ Δ AMN cần
chỉ ra các điều kiện nào ?
23


(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng
�  AMN
� ?
kiến thức nào để chứng minh ADC
b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
(?5)



�  CDN

�  1800
CMN

� chung
�
A
�
��
�
�
ADC  AMN(cmt) �

ΔADC~ΔAMN



AC
AD

AN AM
 AC.AM=AD.AN.

(?6) 
�  CDN
�  ADC
�  CDN
�  1800 (Kề
CMN

bù)

(?7) 
�
�
CMN
 ADC

�  AMN
�
ADC

Câu hỏi dẫn dắt
(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
ta sử dụng phương pháp nào ? và cần chỉ ra
điều gì ?
(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng minh
�  CDN
�  1800
CMN

(?7)

Muốn

�  CDN
�  ADC
�  CDN
�  180
CMN

0


có
cần chứng

minh được điều gì ?
Đối với học sinh yếu GV có thể đưa ra
bài tập điền khuyết bảng phụ
�  AMN
�
�  .... 
 CMN
ADC
�  CDN
�  ....  ....  1800 (.......) 
CMN
�  CDN
�  ......
CMN
 …………………………..

c) Chỉ cần cho học sinh quan sát và dự đoán các yếu tố không đổi khi C, D
di động mối quan hệ giữa tích cần chứng minh và các yếu tố không đổi theo
kiến thức nào đã học .
GV cho học sinh đọc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh và từ đó củng
cố
+ Phần a là dạng toán có quy trình riêng có thể vận dụng cho nhiều bài khi
đi tìm lời giải bài toán đó ?
24



+Củng cố, khắc sâu kiến thức về góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài
đường tròn.
+ Khắc sâu PP chứng minh tứ giác nội tiếp theo hướng sử dụng góc kề bù
để chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800.
GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
b.3) Kẻ thêm đường phụ :
Khi giải một bài toán chứng minh hình học, trừ một số bài dễ còn lại phần
lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được . Vậy
vẽ đường phụ như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người
học cần phải biết được đối với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có một phương
pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học.
Ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau
tuỳ thuộc vào cách giải bài toán.
* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ :
-Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tuỳ tiện. Phải nắm thật vững đề
bài , định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ
cho mục đích chứng minh của mình.
-Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ
bản .
-Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh
cũng khác nhau .
*Một số loại đường phụ thường vẽ như sau :
- Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn
thẳng bằng đoạn thẳng cho trước .
- Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một
điểm cho trước .
- Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho
trước
- Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho
trước .

- Dựng đường phân giác của một góc cho trước .
- Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước
-Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước .
- Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường
tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
*các ví dụ minh họa
25