TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
---------- 
 

                                                                             
 
 
 
 
 

 

 

 
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO
HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 
 
 
 
 
Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

ThS. Nguyễn Văn Sáng

Nguyễn Thành Khoa
Lớp: Sư Phạm Toán K34
MSSV: 1080050

 
 
CẦN THƠ 04/2012


Mục lục 
PHẦN MỞ ĐẦU .....................................................................................................1 
Chương 1: KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY ....................................................................3 
1.1 Khái niệm về tư duy.......................................................................................3 
1.2 Đặc điểm của tư duy ......................................................................................3 
1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy .......................................................................3 
1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy.........................................................................4 
1.2.3 Tính khái quát của tư duy........................................................................4 
1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ....................................................5 
1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính....................................5 
1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy .............................................................5 
1.3.1 Các giai đoạn của tư duy.........................................................................5 
1.3.2 Các thao tác tư duy..................................................................................8 
1.4 Vai trò của tư duy ........................................................................................10 
1.5 Tư duy trong học tập toán học......................................................................10 
Chương 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG 
DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG...............................................12 
2.1. Đường thẳng và mặt phẳng .........................................................................12 

2.2 Đường thẳng song song ...............................................................................13 
2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng ........................................................14 
2.4 Mặt phẳng song song ...................................................................................14 
2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng........................................................15 
2.6 Đường vuông góc và đường xiên .................................................................16 
2.7 Mặt phẳng vuông góc ..................................................................................18 
2.8 Thể tích khối đa diện ...................................................................................20 
Chương 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG 
QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ............................................21 
3.1 Vận dụng từng thao tác tư duy giải toán.......................................................21 
3.1.1. Phát triển năng lực phân tích bài toán...................................................21 
3.1.2 Phát triển năng lực so sánh....................................................................28 
3.1.3. Phát triển khả năng trừu tượng và khái quát .........................................29 
3.2 Áp dụng các thao tác tư duy vào bài toán cụ thể...........................................33 
Chương 4: MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHỌN LỌC ............40 
Chương 5: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...............................................................64 
5.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm .............................................................64 
5.1.1 Mục đích thực nghiệm ..........................................................................64 
5.1.2 Nội dung thực nghiệm...........................................................................64 
5.2 Tường thuật các hoạt động phát triển tư duy cho học sinh thông qua các tiết 
dạy thực nghiệm: ...............................................................................................64 
5.3 Kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm ..........................................................70 
5.3.1 Bài kiểm tra 1........................................................................................70 
5.3.2 Bài kiểm tra 2........................................................................................70 
PHẦN KẾT LUẬN...................................................................................................71 


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 


Hình học không gian là một mảng kiến thức rất khó. Với học sinh, khi đứng 

trước  những  khái  niệm  mới,  những  dạng  Toán  hoàn  toàn  xa  lạ  các  em  không thể 
tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài gặp vô vàng những 
khó khăn. Còn đối với giáo viên, việc tìm ra cách dạy phù hợp với dạng kiến thức 
này cũng là một vấn đề lớn. 
 

Toán học gắn liền với tư duy, việc giải một bài toán hay ghi nhớ những kiến 

thức mới không nằm ngoài những thao tác tư duy. Để học tốt được môn Toán, không 
cách nào khác là phải nắm vững và vận dụng các thao tác này một cách hợp lý. 
 

Trong đề  thi đại  học những năm  vừa qua, luôn  có mặt một  bài  thuộc dạng 

toán  hình  không  gian.  Hơn  nữa,  dạng  toán  về  thể  tích  của  khối  đa  diện  thường 
xuyên được đưa vào. 
 

Đứng  trước  những  lý  do  trên,  tôi  quyết  định  chọn  đề  tài  cho  luận  văn  của 

mình là “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG
QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Thông qua đề tài này tôi 
muốn thống kê lại một số phương pháp để giải các dạng toán hình học không gian 
cơ bản. Bên cạnh đó luận văn sẽ phân tích một số bài toán theo các thao tác của tư 
duy, làm nền cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới. Ngoài ra 
tôi  cũng đưa  vào  luận  văn  một  số  bài  tập  chọn  lọc  thuộc  chủ  đề  thể  tích  khối đa 
diện. Hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho các giáo viên cũng như học sinh 

phổ thông.  
2. Những chữ viết tắt sử dụng trong đề tài
- SGK: Sách giáo khoa. 
- THPT: Trung học phổ thông. 
- HHKG : Hình học không gian. 
3. Mục đích nghiên cứu
 

Nghiên cứu nhằm hệ thống kê lại một số phương pháp giải toán hình không 

gian cũng như các thao tác tư duy. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình 
học không gian. 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 

Nhắc lại kiến thức về tư duy, các thao tác của tư duy. 
1 
 


 

Trình bày các phương pháp thường dùng để giải toán hình không gian. 

 

Phân tích tìm cách giải theo các thao tác tư duy và tím ra cách giảng dạy phù 

hợp theo hệ thống này.  
 


Hệ thống và giải một số bài tập điển hình chủ đề thể tích khối đa diện. 

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết:
+ Nội dung của khái niệm tư duy trong giáo trình lí luận dạy học toán. 
+ Nội dung những kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12. 
+ Các phương pháp dạy toán hiệu quả. 
+ Các dạng bài tập có áp dụng thao tác tư duy để giải. 
6. Đối tượng nghiên cứu
 

Hoạt động dạy và học của GV và HS trong nhà trường THPT. 

7. Phạm vi nghiên cứu
 

Sách giáo khoa (hình học 11 và 12 cả cơ bản và nâng cao), sách giáo viên, 

các loại sách tham khảo có liên quan. 
 

Các sách về phương pháp và lí luận dạy học môn toán. 

8. Cấu trúc về nội dung của luận văn
 

Luận văn gồm 5 chương: 
 Chương 1: Khái niệm về tư duy. 
 Chương 2: Các phương pháp giải toán hình học không gian thường dùng trong 


chương trình phổ thông. 
 Chương 3: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán 
hình học không gian. 
 Chương 4: Một số bài toán hình học không gian chọn lọc. 
 Chương 5: Thực nghiệm sư phạm. 
 

2 
 


Chương 1

 KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY

 
1.1 Khái niệm về tư duy
 

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những 

mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong thực tại 
khách quan mà trước đó ta chưa biết. 
 

Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về 

chất so với cảm giác, tri giác. Hay nói cách khác tư duy là nhận thức lý tính phản 
ánh những thuộc  tính bản  chất bên  trong, những mối quan hệ  liên hệ  có  tính chất 

quy luật của sự vật, hiện tượng. 
 

Ví dụ: Khi gặp hình lập phương thì nhận thức cảm tính cho ta biết ngay đó là 

hình có dạng hộp có đáy và các mặt xung quanh đều là hình vuông, … đó là nhận 
thức dựa vào định nghĩa, tính chất đã học. Còn tư duy sẽ cho ta biết tính chất mặt 
chéo của nó, hay thể tích của nó tính thế nào? ... đó là những cái bản chất bên trong 
của hình lập phương. 
 

Tuy  rằng  tư  duy  phản  ánh  thuộc  tính  bản  chất  bên  trong  của  sự  vật  hiện 

tượng, nhưng tư duy không phải bao giờ cũng đi đến cái đúng mà nó còn phụ thuộc 
vào chiến thuật và phương pháp tư duy. 
1.2 Đặc điểm của tư duy
1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy
 

Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhưng không 

phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy. 
 

Hoàn  cảnh  có  vấn đề là những  tình huống mà  bằng vốn  kiến  thức, phương 

pháp cũ không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để 
giải quyết vấn đề, tức là phải tư duy. Nhưng không phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề 
nào cũng xuất hiện tư duy ở bản thân. Vậy để kích thích được tư duy thì hoàn cảnh 
có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và có nhu cầu chuyển thành nhiệm 

vụ của tư duy để giải quyết vấn đề đó. 
Ví dụ: Khi dạy bài “Đường thẳng và mặt phẳng song song” trong chương trình 
toán hình học 10 cơ bản, ta hướng dẫn học sinh giải bài sau: “Cho tứ diện ABCD. 
3 
 


Lấy M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi      là mặt phẳng đi qua M và 
song song  với các  đường thẳng AB  và  CD.  Xác  định  thiết  diện  tạo bởi     và  tứ 
diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?” 
(Ví dụ trang 61 SGK hình học 10 cơ bản) 
A

H
E
M
B

D
G
F
C

 

 
Khi gặp bài toán này học sinh sẽ lúng túng. Theo kiến thức đã biết, các em đi 

tìm  xem  có thể  xác định được đường thẳng nào nằm trong       để từ đó tìm  giao 
điểm với các cạnh của tứ diện. Nhưng theo giả thuyết bài toán, không thể tìm được 

cạnh nào thuộc vào      theo cách thông thường   Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề. 
 

Như vậy học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề, mà ở 

đây là định lý 2 các em vừa học. 
1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy
 

Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, 

ngôn ngữ, công cụ, … tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhận thức thế giới 
khách quan sâu sắc, đầy đủ đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết của con người, 
của chủ thể tư duy. 
Ví dụ: Bằng các phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, ta dễ dàng minh 
họa và hướng dẫn cho học sinh: thể tích của khối đa diện là phần nào?, thiết diện 
tạo thành khi mặt phẳng cắt hình nón là như thế nào?... 
1.2.3 Tính khái quát của tư duy
 

Tức là tư duy có khả năng trừu suất khỏi sự vật hiện tượng những thuộc tính,          

những  dấu  hiệu  cụ  thể,  cá  biệt  chỉ  giữ  lại  những  bản  chất  thuộc  tính  nhất,  chung 
nhiều sự vật hiện tượng cùng loại. 
4 
 


Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập về tứ diện đều, ta có thể gợi ý cho 
các em tìm hiểu cách tính vừa tìm ra có còn đúng khi áp dụng vào tứ diện bất kỳ 

hay không. 
1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
 

Đặc  điểm này  nói  lên mối quan hệ  giữa nội dung và hình  thức của  tư  duy. 

Trong đó ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy. Nhờ đó người khác và 
chủ thể tư duy tiếp nhận kết quả tư duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác ngôn 
ngữ là phương tiện tư duy. 
1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
 

Trong  học  tập  toán  học  đặc  điểm  này  thể  hiện  để  tìm  hiểu  nội  dung  hay 

chứng minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả 
thuyết  (thử  hướng  này,  hướng  khác)  đi  đến  nhận  xét,  kiểm  tra  bằng  những  hoạt 
động tư duy đi đến kết quả. 
Ví  dụ:  Cho  tứ  diện  ABCD.  Gọi  M,  N  lần  lượt  là  trung  điểm  của  BC  và  BD; 

CD  a ,  AB  2a . Mặt phẳng      cắt AD, AC lần lượt tại P, Q. Thiết diện của (  ) 
với tứ diện là hình gì? 
 

Với các dữ liệu của bài toán: M, N là trung điểm của BC & BD. 

 MN // CD, (  ) qua MN // AB. (Các dữ liệu đều nói đến quan hệ song song) 
 Ta có thể đoán được rằng thiết diện là hình bình hành. 
1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy
1.3.1 Các giai đoạn của tư duy
 


Các giai đoạn của tư duy thể hiện bằng sơ đồ sau: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 


 

Nhận thức vấn  đề 

 
 

Xuất hiện các liên tưởng 

 
 

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết 


   
 

Kiểm tra giả thuyết 

 
 

Chính xác hóa 

Khẳng định 

Phủ định 

 
 
 

Giải quyết vấn đề 

Hoạt động tư duy mới 

* Nhận thức vấn đề: 
 

Tức là xác định vấn đề đòi hỏi họ giải quyết, chính vấn đề được xác định này 

quyết định toàn bộ việc cải biến sau đó những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và 
việc  biểu  đạt  vấn đề  dưới dạng nhiệm  vụ  giải  quyết  sau  đó  của  quá  trình  tư  duy, 

quyết định chiến lược tư duy. Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tư duy. 
* Huy động tri thức và kinh nghiệm 
 

Tùy thuộc vào nhiệm vụ đã xác định ta huy động những tri thức phù hợp. 

* Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thiết 
 

Các  tri  thức,  kinh nghiệm  và  các  liên  tưởng còn mang tính  rộng  rãi  và bao 

trùm. Vì thế phải sàng lọc để phù hợp với nhiệm vụ và hình thành giả thiết. 
* Kiểm tra giả thiết 
 

Sự đa dạng của các giả thiết không phải là mục đích tự thân nên phải kiểm 

tra  xem  các  giả  thiết  nào  là  tương  ứng  với  các  điều  kiện  và  vấn  đề  đặt  ra.  Chính 
bước này có thể xuất hiện nhiệm vụ mới và bắt đầu hoạt động tư duy mới. 
* Giải quyết nhiệm vụ 
 

Khi giả thiết đã được kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ thực hiện giải quyết 

nhiệm  vụ,  tức là đi đến  câu  trả  lời  cho  vấn đề  đặt  ra.  Quá  trình tư duy  giải  quyết 
nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do 3 nguyên nhân thường gặp sau: 
- Chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện cho bài toán. 
- Chủ thể dựa vào bài toán điều kiện thừa. 
6 
 



- Tình khuôn sáo, cứng nhắc của tư duy. 
 

Trong giải toán, nhận thức vấn đề có thể chỉ đơn giản là xác định giả thuyết 

và kết luận. 
Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là hai tam giác cân, có 
chung đáy BC. Chứng minh rằng  BC  AD .    
A

B

D
E
C

 

* Nhận thức vấn đề 
Giả thiết   ABC cân tại A,   BCD cân tại D   
 
Kết luận  BC    AD 
 
* Xuất hiện liên tưởng 
 

Để chứng minh các đường thẳng này vuông góc với nhau, có các cách sau: 
- Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng chứa AD. 

- Chứng minh BC vuông góc với đường thẳng song song AD. 
- Vuông với hai cạnh của tam giác chứa AD. 

* Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết 
 

Cách 2  không phù hợp, đối  với 2  cách  còn  lại, nhận  xét rằng  tam  giác hay 

mặt phẳng chứa  AD  không  thể là  (ABD)  hay  (ACD)  vì  BC  không thể  vuông góc 
với AB hay AC    Tìm mặt phẳng hay tam giác khác. 
 

Trong   ABC ta kẻ thêm đường thẳng mà đường thẳng này phải vuông góc 

BC, suy ra đường cao AE ( E  BC ). Do   ABC cân tại A nên E là trung điểm BC. 
* Kiểm tra giả thuyết 
Với E là trung điểm BC  AE  BC 

 BC   AD (theo cách 3)    

        Mà tam giác DBC cân tại   DE   BC             
                                             
7 
 


 

Với giả thuyết được kiểm tra, bước cuối cùng là ta trình bày lại với lời giải. 


 

Giai đoạn sàng lọc và liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt 

động  tư  duy  tích  cực  nhất,  chủ  đề  tư  duy  phải  tiến  hành,  phân  tích  tổng  hợp,  so 
sánh, ... còn là các thao tác của tư duy. 
1.3.2 Các thao tác tư duy
 

Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí 

tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. 
* Phân tích và tổng hợp 
 

Khi một đối tượng chứa nhiều thành phần, bộ phận trong đó mỗi bộ phận có 

một mối quan hệ khác. Để nhận thức được toàn diện bộ phận đó, ta tiến hành nhận 
thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức được tương đối hoàn thiện hơn, quá trình 
đó gọi là phân tích. Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả đã nhận thức ở từng bộ phận 
thành một chính thể. 
Ví dụ: Bài toán cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc 
với nhau. Kẽ OH   (ABC), H nằm trên (ABC). (H là trực tâm của tam giác ABC). 
Chứng minh: 

1
1
1
1




 
2
2
2
OH
OA OB OC2
O

A
H

C

B

 

 
Ta đã biết trong tam giác vuông, h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông, b và c 

là hai cạnh góc vuông thì:  
 

1
1 1
 2 2 
2
h

b c

Để  chứng  minh  đẳng  thức  trên  ta  lần  lược  xét  2  tam  giác  vuông  OAM  và 

OBC (phân tích thành 2 tam giác). 
 

Xét tam giác vuông OAM ta có: 

1
1
1


   (1) 
2
2
OH
OA OM 2

8 
 


1
1
1


 (2) 

2
2
OM
OB OC2

 

Trong tam giác vuông OBC ta có: 

 

Tổng hợp hai kết quả từ (1) và (2) ta được: 

1
1
1
1



.    (đpcm) 
2
2
2
OH
OA OB OC2

* So sánh 
 


So sánh tức là tìm ra những điểm giống nhau và khác nhau, sự đồng nhất hay 

không đồng nhất của sự vật hiện tượng. 
 

Xét mối quan hệ giữa song song và vuông góc trong mặt phẳng, không gian. 

 

Trong mặt phẳng 

Trong không gian 

a / /b
 c  b 
+ Giống nhau:  
c  a

a / /b
 c  b 
+ Giống nhau:  
c  a

a  b
 b / /c  
+ Khác nhau:  
a  c

a  b
 chưa được  b / /c  

+ Khác nhau:  
a  c

 

 

So sánh góp một phần quan trọng vào hoạt động học tập lĩnh hội tri thức hay 

nói cách khác so sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy. Vì so sánh giúp cho 
ta hiểu biết sâu sát hơn và có hệ thống hơn về sự vật hiện tượng. 
 

Hơn nữa so sánh cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân 

tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp xem 
có gì giống nhau và khác nhau. 
* Trừu tượng hóa và khái quát hóa 
 

Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hóa, trừu tượng là 

gạt bỏ đối tượng những bộ phận, thuộc tính không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố 
cần thiết để tư duy. 
Ví dụ: Khi nói đến tam diện vuông ta phải liên tưởng ngay đến hình ảnh thực tế 
như: góc tường, đỉnh của một hình hộp, … 
 

Khái quát hóa trên cơ sở thuộc tính chung giống nhau về bản chất của nhiều 


đối tượng mà ta hợp nhất các đối tượng thành một nhóm. 
Ví dụ:  Sau  khi  tìm  đoạn  vuông  góc  chung  của  hai  đường  thẳng  a, b  trong  các 
trường hợp 

9 
 


a

a

a

b

b

b

a'

(b)

(a)

(c)

ta khái quát lên: Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b 
ta làm như sau: 

1. Xác định mặt phẳng (P) qua b và song song với a. 
2. Xác định hình chiếu a’ của a lên (P). 
3. Xác định giao điểm M của a’ và b. 
4. Xác định đường thẳng d qua M và vuông góc với a. 
5. Xác định giao điểm N của a và d. 
Khi đó đoạn MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b. 
 

Trừu tượng vá khái quát có mối quan hệ mật thiết với nhau, là hình thức cao 

hơn  của  phân  tích  và  tổng  hợp.  Để  phát  triển  năng  lực  trừu  tượng  và  khái  quát, 
trước hết cần luyện tập khả năng phân tích và tổng hợp. 
1.4 Vai trò của tư duy
 

Mở rộng giới hạn của nhận thức, tư duy giúp con người khái quát được một 

phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh 
vực khác nhau. 
 

Do nắm được quy luật và bản chất vận động tự nhiên, xã hội và con người 

mà chủ thể tư duy có thể thấy được những nguyên nhân sâu xa, hay hậu quả của vấn 
đề hoặc diễn tiến tương lai. 
 

Khi quan  sát  các vì  sao, biến  thiên  của dãy  số,  …  chỉ  có  thể  cho  ta những 

nhận thức cảm tính về chúng, dù có do một triệu hình tam giác chỉ có thể nghi ngờ 

tổng ba góc trong là 180o. Chỉ có tư duy mới thật sự làm cho chúng ta có ý nghĩa 
rộng lớn trong cuộc sống. 
1.5 Tư duy trong học tập toán học 
 

Học tập toán học không nằm ngoài mục đích đó là rèn luyện các thao tác của 

tư duy. 
 
10 
 

 


 

Tư duy trong toán học có thể chia làm hai cấp độ: 

* Tái tạo: Chỉ đến năng lực học toán (ba giai đoạn). 
- Khả năng tiếp thu kiến thức. 
- Suy luận nhận dạng kiến thức đã học. 
- Thể hiện các mối quan hệ. 
* Sáng tạo: Chỉ đến năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm những kết quả 
mới, những phương pháp giải quyết vấn đề mới không theo khuôn mẫu nào. 
 
 

11 
 



Chương 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

2.1. Đường thẳng và mặt phẳng
2.1.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)

  Phương pháp: 
- Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng. 
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng. 

   Chú  ý:  Để  tìm  điểm  chung  của  hai  mặt  phẳng  ta  thường  tìm  hai  đường  thẳng 
đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm (nếu có) của hai đường 
thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng. 
1.1.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

  Phương pháp: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm trong 
(P) một đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P). 

  Chú ý: Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao 
tuyến của (P) và (Q). 
1.1.3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

  Phương pháp: 
- Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm 
chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của 
hai mặt phẳng đó. 

- Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai 
đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. 
2.1.4 Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động

  Phương pháp: M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d'. Tìm tập hợp 
các điểm M. 
- Phần thuận: Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di động trên 
giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó. 
- Giới hạn (nếu có). 
- Phần đảo. 
12 
 


  Chú ý: Nếu d di động nhưng luôn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định 
a không qua A thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, a). 
2.1.5 Thiết diện
 

Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao 

tuyến của (P) với các mặt hình chóp. 

  Phương pháp: Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp 
theo các bước sau: 
- Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của 
hình chóp (có thể là mặt trung gian). 
- Cho  giao  tuyến  này  cắt  các  cạnh  của  mặt đó  của  hình  chóp  ta  sẽ được  các 
điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới 
với các mặt này. 

- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.  
2.2 Đường thẳng song song
2.2.1 Chứng minh hai đường thẳng song song

  Phương pháp: Có thể dùng một trong các cách sau: 
- Chứng  minh  hai  đường  thẳng  đó  đồng  phẳng,  rồi  áp  dụng  phương  pháp 
chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định 
lý đảo của định lý Thales, ...). 
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ ba. 
- Áp dụng định lý về giao tuyến. 
2.2.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 1)
 

Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. 

  Phương pháp: 
-

Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. 

-

Áp  dụng  định  lý  về  giao  tuyến  để  tìm  phương  của  giao  tuyến  (tức  chứng 

minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã có). 
-

Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. 

  Chú ý: Ta có 2 cách để tìm giao tuyến: Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm 

chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết 
diện của hình chóp . 
 
13 
 


2.2.3 Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau

  Xác định: 
-

Lấy điểm O nào đó. 

-

Qua O dựng a' // a và b' // b. 

-

Góc nhọn hoặc góc vuông tạo bởi a', b' gọi là góc giữa a và b. 

  Tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định 
lý hàm số côsin trong tam giác thường.  
2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng
2.3.1 Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P

   Phương pháp:  Ta  chứng minh  d  không nằm  trong  (P)  và  song  song  với đường 
thẳng a chứa trong (P). 


  Ghi chú: Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và 
lấy a là giao tuyến của (P) và (Q). 
2.3.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (Cách 2 / dạng 2)
 

Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước. 

  Phương pháp: 
-

Nhắc lại một hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) 

thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song 
song với d. 
-

Từ đây  xác định  thiết diện của hình  chóp cắt bởi mặt phẳng song song  với 

một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết.  
2.4 Mặt phẳng song song
2.4.1 Chứng minh hai mặt phẳng song song

   Phương  pháp:  Chứng  minh  mặt  phẳng  này  chứa  hai  đường  thẳng  cắt  nhau  lần 
lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia. 

  Chú ý: sử dụng tính chất:  

(P) / /(Q) 
  a / /(P)  
a  (Q) 


ta có cách thứ 2 để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). 
2.4.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 3)
 

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước. 

 
 
14 
 


  Phương pháp: 
-

Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến: 

“Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến 
song song với nhau”. 
-

Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi 

một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết. 

  Chú ý: Nhớ tính chất: 

(P) / /(Q) 
  (P) / /a . 

a  (Q) 

2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2.5.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  Phương pháp: 
 

  Chứng minh đường vuông góc với mặt: Có thể dùng 1 trong 2 cách sau 
- Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P). 
- Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P). 

 

   Chứng  minh  hai  đường  thẳng  vuông  góc  với  nhau:  Chứng  minh  đường 

thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. 

   Chú  ý:  Nếu  hai  đường  thẳng  ấy  cắt  nhau  thì  có  thể  áp  dụng  các  phương  pháp 
chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng. 
2.5.2 Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường
thẳng cho trước
 

Cho  khối  đa diện  (S),  ta  tìm  thiết  diện  của  (S)  với  mặt phẳng  (P),  (P)  qua 

điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước. 
 

Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a và b cùng vuông góc với d thì: 

+ (P) // a (hay chứa a). 
+ (P) // b (hay chứa b). 

 

Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên. 

 

Dựng mặt phẳng  (P) như  sau:  Dựng hai  đường  thẳng cắt nhau  cùng vuông 

góc với d, trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M. Khi đó phẳng được xác định 
bởi hai đường thẳng trên chính là (P). 
 

Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học.  

15 
 


2.6 Đường vuông góc và đường xiên
2.6.1 Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt
phẳng (P) cho trước
 

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 

  Phương pháp: Thực hiện các bước sau: 
- Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc 

với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng). 
- Xác định đường thẳng  c   P    Q  . 
- Dựng AH vuông góc với c tại H 
 

 

+ Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P). 

 

 

+ Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P). 

  Chú ý: 
- Trước khi chọn d và dựng (Q) ta nên xét xem d và (Q) đã có sẵn trên hình vẽ 
hay chưa. 
- Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m 
thì  Ax   P  . 
- Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)). 
- Nếu AB cắt (P) tại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB . 
2.6.2 Ứng dụng của trục đường tròn

   Định  nghĩa:  Trục  đường  tròn  là  đường  thẳng  vuông  góc  với  mặt  phẳng  chứa 
đường tròn tại tâm của đường tròn đó. 

  Ta có thể dùng tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông 
góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
- Nếu  O  là  tâm đường  tròn ngoại  tiếp  tam  giác  ABC  và  M  là  một điểm  cách 

đều 3 điểm A, B, C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)). 
- Nếu  MA  MB  MC   và  NA  NB  NC   trong  đó  A,  B,  C  là  ba  điểm 
không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A, B, C khi 
đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A, 
B, C. 
 
 
16 
 


2.6.3 Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động
 

Ta thường gặp bài toán: Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A 

trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O. 

  Phương pháp: 
- Dựng  AH   P    với  H   P  ,  theo  định  lý  ba  đường  vuông  góc  ta  có 

HM  d .   

  900 nên  M  thuộc đường  tròn đường kính  OH 
- Trong mặt phẳng (P),  HMO
chứa trong (P). 
2.6.4 Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt
phẳng di động
 


Ta thường gặp bài toán: Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm 

cố định A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định. 

  Phương pháp: 
- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d 
- Tìm   c   P    Q  . 
- Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P). 
  900  nên H 
- Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q),  AHE

thuộc đường tròn đường kính AE . 
2.6.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

  Phương pháp: (xác định góc giữa a và (P)) 
- Tìm giao điểm O của a với (P). 
- Chọn điểm  A  a  và dựng  AH   P   với  H   P  . 

  
- Khi đó  AOH
a,  P   . 
2.6.6 Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau
 

Để  xác  định  Khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  a,  b  chéo  nhau  và  đoạn 

vuông góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau: 

a   (P)


  Phương pháp 1: d(a,b)=d((P),(Q)) trong đó,    b  (Q)  
(P)//(Q)

 

Cụ thể, ta thực hiện theo các bước sau 
+ Bước 1: Qua a dựng một mp   P  / /b . 
17 
 


+ Bước 2: Trên b lấy điểm K, dựng KH vuông góc (P) tại H. 
+ Bước 3: Từ H kẻ đường thẳng // b và đường thẳng này cắt a tại I. 
+ Bước 4: Từ I kẻ  IJ / /KH  cắt b tại J. 

 IJ là đường vuông góc chung của a, b. 
  Phương pháp 2: (Áp dụng với hai đường thẳng vừa chéo nhau, vừa vuông góc nhau) 
- Bước 1: Qua a dựng mp (P) vuông góc b. 
- Bước 2: Xác định giao điểm J giữa b và (P). 
- Bước 3: Trong (P) từ J kẻ JI vuông góc a tại I. 

 IJ là đường vuông góc chung của a, b 
2.7 Mặt phẳng vuông góc
2.7.1 Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng
 

Khi  giải  các  bài  toán  liên  quan  đến  số  đo  nhị  diện  hay  góc  giữa  hai  mặt 

phẳng thì ta thường xác định góc phẳng của nhị diện. Nếu góc này chưa có sẵn trên 

hình ta có thể dựng nó theo phương pháp dưới đây. 

  Phương pháp: 
- Tìm cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai 
mặt của nhị diện) 
- Dựng  một  đoạn  thẳng  AB  có  hai  đầu  mút  ở  trên  hai  mặt  của  nhị  diện  và 
vuông góc với một mặt của nhị diện . 
  là góc phẳng của nhị diện. 
- Chiếu vuông góc A (hay B) trên c thành H, ta được  AHB

  Chú ý: 
- Nếu đã có một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc 
với cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau: Chiếu 

  là góc 
vuông góc A ( hay B hay một điểm trên AB ) trên c thành H. Khi đó  AHB
phẳng của nhị diện. 
- Nếu hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì 

a, b  . 
 P  ,  Q    

- Nếu hai mặt  của nhị diện lần  lượt  chứa hai  tam  giác  cân  MAB  và NAB có 

  (I là trung điểm của AB) là góc phẳng của nhị diện đó. 
chung đáy AB thì  MIN
2.7.2 Mặt phân giác của nhị diện, cách xác định mặt phân giác

  Phương pháp: 
18 

 


 

Cách 1: 


 P  ,c, Q    . 
+ Tìm một góc phẳng  xOy của nhị diện 
+ Mặt  phân  giác  của  nhị diện  là  mặt qua  cạnh c  của  nhị  diện  và  phân 
giác Ot của góc phẳng xOy. 
 

Cách 2: 
+ Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện 

 P  ,c, Q   . 

+ Mặt phân giác của nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c của nhị diện. 
2.7.3 Mặt phẳng vuông góc
*  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 
 

Phương pháp: 
+ Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc 
với mặt phẳng kia. 
+ Cách 2: chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng  900 . 

*  Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

 

Phương pháp: 
+ Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa 
trong (P). 
+ Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P). 
+ Cách 3: Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với 
A, B, C thuộc (P). 
+ Cách 4: Sử dụng định lý: "Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông 
góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc 
với (P)". 
+ Cách 5: Sử dụng định lý: "Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng 
vuông góc với (P) thì a vuông góc với (P)". 
2.7.4 Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

 

Cho  trước  mặt  phẳng (P)  và  đường thẳng  a  không  vuông  góc  với  (P).  Xác 

định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P). 

  Phương pháp: từ một điểm trên đường thẳng a dựng đường thẳng b vuông góc với 
(P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b). 

  Chú ý: Nếu có đường thẳng  d   P   thì (Q) // d hay (Q) chứa d. 
19 
 


2.8 Thể tích khối đa diện

2.8.1 Thể tích khối lăng trụ
 

V  B.h  với    B là diện tích đáy 

                         

  h là chiều cao 

 Thể tích khối hộp chữ nhật:  V  a.b.c  (với a, b, c là ba kích thước). 
 Thể tích khối lập phương:  V  a 3  (với a là cạnh). 
2.8.2 Thể tích khối chóp
 

1
V  B.h  với    B là diện tích đáy 
3

                         

     h là chiều cao 

2.8.3 Tỉ số thể tích tứ diện
 

Cho khối tứ diện  SABC , gọi  A',  B'  và  C'  lần lượt là các điểm tùy ý trên SA, 

SB, SC. Khi đó 

VSABC

SA SB SC

. 
VSA ' B'C' SA ' SB' SC'

 
 

 

 
 

 
 
 

20 
 


Chương 3

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

3.1 Vận dụng từng thao tác tư duy giải toán
3.1.1. Phát triển năng lực phân tích bài toán
 


Phân tích bài toán là xem xét, khai thác các đặc điểm khía cạnh của bài toán 

để tìm hướng giải quyết. Trong khi giải quyết bài tập ta có thể xem đây là bước tiếp 
cận để tìm lời giải. Để học sinh có thể làm tốt bước phân tích này, người giáo viên 
cần chú ý các kỹ năng sau: 
 Đưa bài toán tổng quát vào bài toán cụ thể 
 

Thông  thường đường lối giải cho một dạng toán đã được xác lập khi học về 

những  nội  dung  và  những  tri  thức  về  dạng  đó.  Khi  nghiên  cứu  lại  các  dạng  toán 
trong phần kiến thức HHKG lớp 11, tôi phát hiện nội dung tri thức thường được cho 
dưới dạng mệnh đề hay định lý. Vì vậy, ta có thể tóm tắt đường lối giải quyết các 
dạng này dưới hình thức sơ đồ. 
Ví dụ:  ta  có  thể  sơ  đồ  hóa  cách  chứng  minh  đường  thẳng  d  vuông  góc  với 
mp     như sau: 

d1    
Bước 1: Tìm  
 sao cho  d1  và  d 2  cắt nhau                                
d 2    
 d              (I) 
d

d

1
 
Bước 2: Chứng minh  
d  d 2

 

Điều quan tâm lớn nhất là làm thế nào ta vận dụng được tốt vào từng bài toán 

cụ thể. Ta cũng biết rằng trong các bài toán HHKG thường có dạng câu hỏi “Chứng 
minh rằng điều p”. 
 

Hơn nữa, chứng minh điều p nghĩa là đi tìm đầy đủ các giả thuyết mà trong 

đó p là kết luận. 
 

Do đó, để chứng minh điều p, ta tiến hành các bước sau: 
Bước 1: Xem p là kết luận của một mệnh đề nào đó mà ta đã học. 

21 
 


Bước 2: Trong mệnh đề đó, ta cần tìm xem giả thiết gồm mấy ý, có ý nào đã 
cho sẵn trong bài toán thì nêu ra. Những ý còn lại, ta xem nó là kết luận của một 
mệnh đề khác. Hoàn toàn tương tự như thao tác trên, ta sẽ lần lượt kiểm tra được 
đầy đủ tất cả các ý trong phần giả thiết. 
 

Ta có thể minh họa bước này bằng sơ đồ đơn giản sau: 

 


                                                                                    
...
i) 
a '


                                                                                            (II)                            
...   
ii)   

b'     1) 

...
  iii) 

c'
2) 
 
 

Theo sơ đồ này, để có p ta phải có cả ba ý là i), ii) và iii). Nhưng ở đây, hai ý 

đầu tiên đã có trong giả thiết của đề bài. Ta tiếp tục tìm hiểu thì ý iii) lại là kết luận 
của hai ý mới là 1) và 2). Quan sát lại đề bài, thì ý 2) đã có, ta tìm hiểu ý còn lại và 
phát hiện 1) là kết luận của các ý a), b) và c), … Tiếp tục như thế, ta sẽ tìm được 
con đường chứng minh cho điều đã cho. 
 

Phân tích tìm lời giải như trên được gọi là phân tích đi lên - phân tích hướng 


từ  kết  luận.  Đây  là  kiểu  tư  duy  đặc  trưng  của  môn  hình  học  với  câu  hỏi  “Chứng 
minh rằng …”. 
 

Tùy  vào  câu  hỏi  của  bài  toán,  có  rất  nhiều  dạng  toán  ta  có  thể  áp  dụng 

phương pháp này. Xét bài toán sau: 
Bài toán 1:  Cho hình  chóp  S.ABC có  đáy  ABC  là  tam  giác vuông tại  B.  Cho 
BC  a  và  SA   ABC  . Tính khoảng cách từ C đến   ABC  . 
S

B

A
2a
C

 

 

Dựa vào sơ đồ trên ta cần xác định đường thẳng qua C và vuông góc với  SAB  . 

22 
 


 

Theo hình vẽ ta có ba đường thẳng thỏa điều kiện là CA, CB và CS. Ta chọn 


CB vì  CB  AB   SAB . 
 

Vậy với ba điều kiện trên, điều kiện 2 và 3 xác định được. Vấn đề còn lại là 

chứng minh  CB  SAB  . Và  CB  SAB   dễ dàng chứng minh được. 
 

Ta sơ đồ hóa quá trình chứng minh như sau: 

 

BC  AB  

 
 

BC  SA  

i) 

 

ii) 

                                                                                                  
BC  a  
B  BC  SAB  
BC   SAB   

 
 
c) 
a) 
                                                                                                                              
b) 
 
Cần tìm 
 
d  C, SAB   BC  a  
 
 

 Phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau
 

Trở lại với việc chứng minh điều p nói trên, ta có thể giải quyết vấn đề này 

theo nhiều hướng khác nhau. 
Ví dụ như sơ đồ sau: 
i) Xác định mp     qua A thỏa      (P) .   
ii) Xác định giao tuyến  a       P  . 

 d  A,  P    

iii) Tìm hình chiếu A’ của A trên a. 
iv) Tính AA’. 
 

Đứng  trước  một  bài  toán,  ta  có  thể  nhìn  nhận  theo  nhiều  cách  khác  nhau. 


Nhưng để giải quyết bài toán một cách tốt nhất ta phải chọn cách tối ưu nhất trong 
nhiều phương pháp có thể làm. Tất nhiên, phương pháp nào tối ưu là dựa vào từng 
trường hợp của bài toán gặp phải. 
 

Xét bài toán 1 ở phần trên, ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán theo hướng 

của sơ đồ sau: 
 
 
23