TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH HỌC 10

Người hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

PGS. TS NGUYỄN PHÚ LỘC

TRẦN THỊ MỸ XUYÊN
MSSV: 1070179
LỚP: SƯ PHẠM TOÁN - TIN K33

Cần Thơ, 10/2010

1


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua
dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10”, ngoài những cố gắng và nổ lực
của bản thân, tôi còn nhận được rất nhiều sự giúp đỡ của các thầy cô, bạn bè và
người thân.
Xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã hết lòng dạy dỗ, truyền đạt kiến thức

cho tôi trong suốt khóa học, tạo mọi điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Tôi xin gửi đến thầy Nguyễn Phú Lộc – Người đã trực tiếp hướng dẫn, động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, tìm tòi và hoàn thành luận văn
sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất.
Cảm ơn các bạn sinh viên lớp Sư phạm Toán – Khóa 33: Trần Kim Yến,
Nguyễn Bảo Ngọc Phượng, Lương Mạnh Khương đã hỗ trợ tôi trong việc lấy kết
quả khảo sát.
Chân thành cảm ơn Hiệu trưởng Trường Trung học phổ thông Phan Văn Trị,
các thầy cô bộ môn và đặc biệt là giáo viên hướng dẫn giảng dạy – Thầy Bùi Khắc
Phú đã tạo điều kiện, nhắc nhở và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực tập và khảo
sát thực tiễn. Cảm ơn sự hợp tác của các em học sinh lớp khảo sát.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ và động viên
tôi trong quá trình thực hiện đề tài.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng và nổ lực để hoàn thành tốt luận văn nhưng chắc
chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của các
thầy cô, những ý kiến đóng góp của các bạn và độc giả.
Tác giả

2


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.................................................................................................. 5
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................... 7
4. Đối tượng nghiên cứu .......................................................................................... 7
5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 7
6. Đóng góp chính của luận văn............................................................................... 7

7. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................... 8

PHẦN NỘI DUNG
Chương I - CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.

Tư duy ........................................................................................................ 9

1.1.1. Khái niệm .................................................................................................... 9
1.1.2. Bản chất xã hội của tư duy......................................................................... 10
1.1.3. Đặc điểm của tư duy .................................................................................. 10
1.1.4. Các thao tác tư duy .................................................................................... 12
1.2.

Thuật toán................................................................................................ 13

1.2.1. Khái niệm bài toán..................................................................................... 13
1.2.2. Khái niệm thuật toán.................................................................................. 13
1.2.3. Tính chất của thuật toán ............................................................................. 14
1.2.4. Các phương pháp biểu diễn thuật toán ....................................................... 16
1.3.

Quy tắc tựa thuật toán............................................................................. 19

1.4.

Tư duy thuật toán .................................................................................... 20

1.4.1. Khái niệm .................................................................................................. 20
1.4.2. Đặc trưng của tư duy thuật toán ................................................................. 20

1.4.3. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy thuật toán ................................. 20
1.5. Kết luận chương I ........................................................................................ 21
3


Chương II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
2.1

Sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .............................. 22

2.2

Vai trò của phương pháp tọa độ............................................................... 22

2.3

Ý nghĩa thực tiễn....................................................................................... 23

2.4

Đặc điểm của nội dung chương trình hình học 10 - Phần phương pháp

tọa độ trong mặt phẳng ...................................................................................... 25
2.4.1. Đặc điểm..................................................................................................... 25
2.4.2. Các dạng bài tập thường gặp ....................................................................... 28
2.5

Kết luận chương II.................................................................................... 28

Chương III - PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN THÔNG

QUA DẠY HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH
HỌC 10
3.1. Luyện tập các hoạt động của tư duy thuật toán ...................................... 29
3.1.1. Luyện tập cho học sinh thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù
hợp với một thuật toán cho trước.......................................................................... 29
3.1.1.1. Luyện tập thông qua dạy học khái niệm .................................................. 29
3.1.1.2. Luyện tập thông qua dạy học định lý....................................................... 35
3.1.1.3. Luyện tập thông qua dạy học giải bài tập ................................................ 37
 Viết phương trình tổng quát của một đường thẳng. .................................... 38
 Viết phương trình tham số của một đường thẳng........................................ 41
 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.................................................... 42
 Tìm góc giữa hai đường thẳng. .................................................................. 44
 Tìm tâm và bán kính của đường tròn được cho bởi phương trình. .............. 45
 Viết phương trình đường tròn. ................................................................... 47
3.1.2. Rèn luyện cho học sinh phân tích một hoạt động thành những thao tác thành
phần được thực hiện theo một trình tự xác định.................................................... 52

4


3.1.3. Rèn luyện cho học sinh mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động..
.................................................................................................................. 55
3.1.4. Rèn luyện cho học sinh khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng
riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng............................................ 55
3.1.5. Rèn luyện cho học sinh so sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện
một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu......................................................... 57
3.1.5.1. Luyện tập phân tích dữ kiện bài toán....................................................... 57
3.1.5.2. Luyện tập so sánh thuật toán ................................................................... 59
3.2. Kết luận chương III.................................................................................... 59


Chương IV – KHẢO SÁT THỰC TIỄN
4.1 Mục đích khảo sát ........................................................................................ 60
4.2 Tổ chức khảo sát và nội dung khảo sát ....................................................... 60
4.2.1. Tổ chức khảo sát........................................................................................ 60
4.2.2. Nội dung khảo sát ...................................................................................... 60
4.3 Đánh giá kết quả khảo sát............................................................................ 62
4.3.1. Đáp án đề kiểm tra ..................................................................................... 62
4.3.2. Đánh giá kết quả khảo sát........................................................................... 65
 Đề 1........................................................................................................... 65
 Đề 2........................................................................................................... 70
 Đề 3........................................................................................................... 74
4.4 Kết luận chung về khảo sát.......................................................................... 77

PHẦN KẾT LUẬN....................................................................... 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................... 79

5


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa của nước ta hiện nay thì giáo
dục là vấn đề được quan tâm hàng đầu. Để mang lại hiệu quả cao trong dạy học,
cùng với việc cải cách chương trình và thay sách giáo khoa thì phương pháp dạy
học phải được chọn lọc sao cho phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh. Theo qui định của Luật giáo dục năm 2005: [12] “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng
làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

“Môn toán là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương
pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới
làm chủ tập thể”. [6]
Hơn nữa, mỗi một môn học đều có những đặc thù riêng và chúng đòi hỏi
người giáo viên nhận ra được những đặc điểm đó để tìm ra phương pháp giảng dạy
phù hợp. Trong đó toán học là một trường hợp cụ thể. Toán là một môn học gắn
liền với các quy trình. Vì thế, bên cạnh việc rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ
động và sáng tạo cho học sinh, chúng ta cần rèn luyện cho học sinh các thao tác,
cách thức giải quyết vấn đề theo một quy trình nhất định.
Thực tế cho thấy, đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy
thuật toán như:
 Khái niệm thuật toán trong giáo trình môn toán ở nhà trường phổ thông.
(U.A. Makarenco)


Hình thành văn hóa thuật toán cho học sinh trong khi dạy học môn toán.
(V.M. Monakhop)

 Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở
trường phổ thông – Luận án Phó tiến sĩ Trường Đại học sư phạm Đại học
Quốc gia Hà Nội 1996. (Vương Dương Minh)

6


 Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông
thông qua dạy học nội dung lượng giác 11 – Luận văn thạc sĩ. (Nguyễn Thị
Thanh Bình).
 Nhiều công trình nghiên cứu khoa học khác của các sinh viên ở các trường
Đại học.

Những công trình trên cho thấy tính cấp thiết của việc phát triển tư duy thuật
toán cho học sinh. Tuy nhiên, chưa có công trình nào đề cập đến nội dung hình học
phẳng lớp 10.
Mặt khác, chúng ta có thể đơn giản hóa một số bài toán hình học phẳng bằng
cách chuyển chúng sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số suy ra
được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học. [5]
Ngoài ra, khối lượng kiến thức của phần phương pháp tọa độ ở bậc Trung
học phổ thông chiếm tỉ lệ rất lớn: 1/3 tổng số chương (8/16 tổng số bài) ở lớp 10 và
1/3 tổng số chương (3/11 tổng số bài) ở lớp 12. Cho nên, việc phát triển tư duy thuật
toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10 là
thực sự cần thiết cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy chương trình lớp 10, tạo
điều kiện thuận lợi cho học sinh khi học chương “Phương pháp tọa độ trong không
gian” ở lớp 12.
Phát triển tư duy thuật toán là một điều kiện để rèn luyện kỹ năng tính toán,
nó không những cần thiết cho việc học hiệu quả nội dung môn toán mà còn giúp
học sinh học hiệu quả những môn học khác. Người có tư duy thuật toán cũng dễ hòa
nhập vào xã hôi tự động hóa.
Những lí do trên đã thúc đẩy tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu của luận
văn là: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương
pháp tọa độ - Hình học 10”.
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Nghiên cứu, vận dụng việc phát triển tư duy thuật toán thông qua dạy
học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10.

7


2.2. Tìm ra những biện pháp phù hợp nhằm rèn luyện, phát triển khả năng tư
duy thuật toán cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường Trung học phổ
thông.

2.3. Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực vào công tác giảng
dạy sau này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về dạy học bằng phương pháp tọa độ. Tìm
hiểu cơ sở lí luận về thuật toán, tư duy, tư duy thuật toán, quy trình có tính chất
thuật toán và các đặc điểm của nó.
3.2. Nghiên cứu, đề xuất một số biện pháp nhằm giúp cho việc vận dụng
phương thức phát triển tư duy thuật toán cho học sinh vào dạy học bằng phương
pháp tọa độ ở trường Phổ thông trung học đạt hiệu quả hơn.
3.3. Khảo sát năng lực tư duy thuật toán của học sinh ở trường Trung học
phổ thông Phan Văn Trị.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học
bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu sách Tâm lí học, Giáo dục học, Lí luận dạy học.
5.2. Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp phát triển tư duy thuật toán,
tham khảo các bài giảng liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và các
tài liệu liên quan đến Toán Hình học 10.
5.3. Quan sát việc sử dụng phương pháp dạy học của giáo viên phổ thông, rút
ra kinh nghiệm.
5.4. Tiến hành khảo sát năng lực tư duy thuật toán hiện nay của học sinh ở
trường Trung học phổ thông.
6. Đóng góp chính của luận văn
Qua những lý thuyết và mục đích đã nêu trên, hy vọng rằng đề tài nghiên cứu
khoa học này sẽ đem lại những ứng dụng thiết thực sau đây:

8



 Xây dựng cơ sở lí luận cho việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.
 Góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy ở bậc phổ thông.


Đề tài sẽ là bảng cung cấp khá đầy đủ và chính xác tư liệu cho các ngành
như: Sư phạm Toán, Sư phạm Toán - Tin….đồng thời là tài liệu hướng dẫn
nghiên cứu, học tập cho sinh viên, độc giả muốn tìm hiểu về phương pháp
giảng dạy Hình học 10.

 Tích luỹ thêm nhiều kiến thức và kinh nghiệm thực hành cho bản thân sau
quá trình thực hiện đề tài.
7. Cấu trúc của đề tài
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN NỘI DUNG
Chương I - CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Chương III - PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN THÔNG QUA DẠY HỌC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ- HÌNH HỌC 10
Chương IV- KHẢO SÁT THỰC TIỄN
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

9


Chương I - CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Tư duy
1.1.1. Khái niệm
Theo [7], “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách
đặc biệt - Bộ não người. Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng

các khái niệm, sự phán đoán, lý luận .v.v...”
Theo [8], “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.”
Theo [10], “Tư duy là hoạt động trí tuệ nhằm thu thập thông tin và xử lý
thông tin. Chúng ta tư duy để hiểu tự nhiên, xã hội và chính mình. Sự phát triển tư
duy nói chung được dựa trên sự rèn luyện thành thạo và vững chắc các thao tác tư
duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa…
kết hợp với các phương pháp tư duy như quy nạp, suy diễn, loại suy.”
Theo [13], “Tư duy là danh từ triết học dùng để chỉ những hoạt động của
tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua
hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử
tích cực với nó.”
Ví dụ:
1) Bạn chuẩn bị tham gia một cuộc thi chạy mà cái đích bạn cần đến nằm ở bờ hồ
đối diện. Có hai con đường để cho bạn đến đích, một là chạy men theo bờ hồ và
một là chạy qua cây cầu bắc qua hồ chỉ bằng một thân cây. Bạn sẽ phải lựa chọn
một trong hai con đường đó. Chạy men theo bờ hồ sẽ an toàn hơn nhưng thời gian
sẽ lâu hơn, còn đi qua cầu có thể sẽ không mất nhiều thời gian nhưng bạn sẽ rất dễ
rơi xuống hồ và cuộc thi với bạn sẽ kết thúc. Sự suy nghĩ để lựa chọn cách đến đích
như vậy gọi là tư duy.
2) Khi bạn phải làm một bài tập toán, bạn phải đọc kỹ để tìm hiểu đề bài, phải đánh
giá về dạng toán, các dữ kiện đã cho, các yêu cầu bạn phải giải đáp, sau đó bạn phải
tìm phương pháp giải, các công thức, các định lý cần áp dụng...Bạn cần phải tư duy
trước khi làm bài.
10


3) Khi bạn vô tình chạm tay vào cốc nước nóng, bạn sẽ rụt tay lại. Đây là phản xạ
không điều kiện do hệ thần kinh chỉ đạo các cơ bắp thực hiện chứ không phải là tư

duy.
1.1.2. Bản chất xã hội của tư duy
Tư duy được tiến hành trong bộ óc của con người, được hình thành và phát
triển trong quá trình hoạt động nhận thức tích cực của bản thân mỗi người nhưng tư
duy bao giờ cũng có bản chất xã hội, thể hiện ở những mặt sau:
 Hành động tư duy phải dựa vào kinh nghiệm của các thế hệ trước đã tích lũy,
tức dựa vào kết quả hoạt động nhận thức mà xã hội loài người đã đạt được ở
trình độ phát triển lịch sử lúc đó.
 Tư duy phải sử dụng ngôn ngữ do các thế hệ trước đã sáng tạo ra tức dựa vào
phương tiện khái quát (nhận thức) hiện thực và gìn giữ các kết quả nhận thức
của loài người trước đó.
 Bản chất của quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xã hội, tức con
người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ cấp bách nhất của giai đoạn
lịch sử lúc đó.
 Tư duy mang tính tập thể, tức tư duy phải sử dụng các tài liệu đã thu được
trong các lĩnh vực tri thức liên quan, nếu không sẽ không giải quyết được
nhiệm vụ đã đặt ra.
 Tư duy là để giải quyết nhiệm vụ, vì vậy nó có tính chất chung của loài
người.
1.1.3. Đặc điểm của tư duy
Tư duy bắt nguồn từ hoạt động tâm lý và có những đặc điểm cơ bản sau: [8]
1.1.3.1. Tính có vấn đề
Khi gặp những hoàn cảnh, tình huống chứa đựng vấn đề mới, mục đích mới
mà với những hiểu biết, phương pháp, hành động cũ, con người không đủ sức giải
quyết. Để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm cách thức mới để giải
quyết nghĩa là phải tư duy. Nhưng hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận

11



thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân. Tức là, cá nhân phải xác
định được yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm và động cơ giải quyết vấn đề.
1.1.3.2. Tính gián tiếp của tư duy
Trong quá trình tư duy, con người sử dụng các phương tiện, công cụ khác
nhau để nhận thức về sự vật, hiện tượng. Trong đó ngôn ngữ đóng vai trò quan
trọng, nhờ ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức vào quá trình tư
duy để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng. Nhờ có tính
gián tiếp mà tư duy của con người đã mở rộng không giới hạn những khả năng nhận
thức.
1.1.3.3. Tính trừu tượng và khái quát
Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà mà
khái quát chúng thành một nhóm, một loại, một phạm trù với những thuộc tính bản
chất chung. Tính trừu tượng và khái quát của tư duy không những giúp con người
giải quyết được những nhiệm vụ ở hiện tại mà còn giúp họ giải quyết được những
nhiệm vụ ở tương lai.
1.1.3.4. Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Kết quả tư duy được ghi lại bởi ngôn ngữ. Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã
gắn liền với ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ. Vì vậy, ngôn ngữ
chính là cái vỏ hình thức của tư duy. Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát
triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ. Ngược
lại, ngôn ngữ là vô nghĩa nếu không có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy phải
gắn liền với trau dồi ngôn ngữ.
1.1.3.5. Tính chất lý tính của tư duy
Chỉ có tư duy mới giúp con người phản ánh được bản chất của sự vật, hiện
tượng, những mối liên hệ và quan hệ có tính chất quy luật. Bởi vì, chỉ có tư duy mới
có thể vượt qua được những giới hạn trực quan, cụ thể của nhận thức cảm tính.
Nhưng như thế không có nghĩa là cứ tư duy là phản ánh đúng đắn, sâu sắc sự vật,
hiện tượng. Tư duy có phản ánh đúng đắn hay không còn tùy thuộc vào chiến thuật
và phương pháp tư duy.


12


Khi con người có tinh thần hoài nghi toán học luôn tự vấn: “Vì đâu?”, “Tại
sao?”, những câu hỏi như thế giúp con người xuất hiện tư duy và tiếp tục nhận thức
đúng đắn sự vật, sự việc hơn.
1.1.3.6. Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
“Nhập vào với con mắt của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà
còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa” (Ph. Angghen).
“Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành chỗ dựa cho tư duy” (X.L.Rubinstein- Nhà tâm lý học Xô Viết)
Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính và những kết quả của nó ảnh
hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính giúp con
người nhạy bén hơn.
1.1.4. Các thao tác tư duy [14]
1.1.4.1. Phân tích
Là quá trình tách các bộ phận của sự vật, hiện tượng tự nhiên của hiện thực
với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa
chúng theo một hướng xác định. Trong đó có một số thuộc tính quan trọng nhất, cơ
bản nhất nổi lên hàng đầu cần phải quan tâm đối với người đang tư duy.
1.1.4.2. Tổng hợp
Là quá trình hợp nhất các bộ phận, các thành phần đã tách ra ở trên nhờ sự
phân tích thành một tổng thể để tư duy.
1.1.4.3. So sánh
Là quá trình con người dùng trí óc để xác định sự giống nhau, khác nhau, sự
đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự
vật, hiện tượng. Thông qua quá trình so sánh, người ta rút ra từ trong mỗi sự vật,
hiện tượng những cái chung và những cái khác biệt.
1.1.4.4. Trừu tượng hóa
Là quá trình con người dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính,

những mối liên hệ, quan hệ chủ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố nào
cần thiết, cơ bản để tư duy.

13


1.1.4.5. Khái quát hóa
Là quá trình con người dùng trí óc để thống nhất nhiều đối tượng khác nhau
nhưng có chung những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ nhất định thành một
nhóm hay một loại.
1.2. Thuật toán
1.2.1. Khái niệm bài toán
Trong phạm vi tin học, ta có thể quan niệm bài toán là một việc nào đó ta
muốn máy tính thực hiện. [15]
Ví dụ:
 Bài toán giải phương trình bậc hai
 Bài toán tìm ước chung lớn nhất
 Bài toán chứng minh một tam giác là tam giác vuông
Khi cần máy tính giải một bài toán ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào
máy tính thông tin gì (Input) và cần lấy ra thông tin gì (Output). Vậy giải toán là
quá trình đi từ Input đến Output.
Ví dụ:
1) Bài toán giải phương trình bậc nhất: ax + b = 0
Input: Hệ số của phương trình a, b.
Output: Giá trị x thỏa phương trình.
2) Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương
Input: Hai số nguyên dương A, B
Output: Bội chung nhỏ nhất của A và B.
1.2.2. Khái niệm thuật toán
Thuật toán được hiểu như một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và

chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích
đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định. [15]
Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0
 Xác định bài toán

14


+ Input: Hệ số của phương trình a, b, c.
+ Output: Tìm tất cả các giá trị x thỏa phương trình.
 Thuật toán
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Xét hệ số a:
+ Nếu a = 0 chuyển sang bước 7.
+ Nếu a  0 chuyển sang bước 3.
Bước 3: Tính Δ = b 2  4ac
+ Nếu Δ < 0 chuyển sang bước 4.
+ Nếu Δ = 0 chuyển sang bước 5.
+Nếu Δ > 0 chuyển sang bước 6.
Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm. Kết thúc.
Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép.

x1 = x2 = 

b
2a

Kết thúc.
Bước 6: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:


x1 =

b+ Δ
2a

,

x2 =

b Δ
2a

Kết thúc.
Bước 7: Phương trình trở về phương trình bậc nhất.
1.2.3. Tính chất của thuật toán
 Tính chính xác: Để đảm bảo kết quả tính toán hay các thao tác mà máy tính
thực hiện được là chính xác.
 Tính rõ ràng: Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh bạch;
Các câu lệnh được sắp xếp theo thứ tự nhất định.
 Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên nhiều
máy tính vẫn phải cho kết quả như nhau.
15


 Tính hữu hạn (Tính dừng): Thuật toán bao giờ cũng phải dừng lại sau một số
hữu hạn bước.
 Tính đúng đắn: Sau khi thực hiện tất cả các thao tác của thuật toán ta phải
thu được kết quả như mong muốn.
 Tính phổ dụng (Tính tổng quát): Thuật toán phải áp dụng được cho mọi
trường hợp của bài toán chứ không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp

riêng lẻ nào đó. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được
yêu cầu đó. Đôi khi người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng
của bài toán mà thôi.
 Tính có đại lượng vào và ra: Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng nhận
được các đại lượng vào (Dữ liệu vào - Input), các dữ liệu vào thường lấy từ
một tập xác định cho trước. Sau khi kết thúc một thuật toán bao giờ cũng cho
ta một số đại lượng ra (Dữ liệu ra - Output).
 Tính hiệu quả của thuật toán: Được đánh giá dựa theo những tiêu chuẩn: Số
các phép tính, thời gian cần thực hiện, mức độ khó hiểu... Tùy vào yêu cầu
sử dụng mà người ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng thuật toán.
 Tính đơn vị: Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải
được mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất, nghĩa là hai
phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một
đối tượng thì phải cho cùng kết quả. Vì thế khi thực hiện thuật toán, chúng ta
không cần hiểu ý nghĩa của những thao tác. Nhờ tính chất này mà chúng ta
có thể sử dụng thiết bị tự động để thực hiện thuật toán.
Trong những tính chất trên thì tính xác định, tính hữu hạn và tính đúng là
những tính chất đặc trưng của thuật toán.
Ví dụ: Trường hợp quy trình không phải là thuật toán
Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán của Pôlya
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán
 Bước 2: Xây dựng chương trình giải
 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

16


 Bước 4: Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải
Quy trình trên không phải là thuật toán vì không đảm bảo tính đơn trị.
1.2.4. Các phương pháp biểu diễn thuật toán

Ðể trình bày một thuật toán hay biểu diễn một thuật toán, ta có thể sử dụng
các phương pháp biểu diễn thuật toán sau đây: [16]
 Dùng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học
 Dùng lưu đồ hay sơ đồ khối
 Dùng mã giả
1.2.4.1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học
Sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của
thuật toán. Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết hay đọc thuật toán
phải nắm các quy tắc. Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện
rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây hiểu lầm hoặc khó hiểu cho người đọc.
Ví dụ: Thuật toán để giải phương trình bậc nhất P(x): ax + b = 0 (a, b là các số
thực).
Bước 1: Xét hệ số a
+ Nếu a = 0. Chuyển sang bước 2.
+ Nếu a ≠ 0. Chuyển sang bước 3.
Bước 2: Xét hệ số b
+ Nếu b = 0 thì P(x) có vô số nghiệm. Kết thúc.
+ Nếu b ≠ 0 thì P(x) vô nghiệm. Kết thúc.
Bước 3: Kết luận P(x) có duy nhất một nghiệm x = 

b
. Kết thúc.
a

1.2.4.2. Dùng lưu đồ (Sơ đồ khối)
Lưu đồ là một công cụ trực quan để biểu diễn các thuật toán giúp ta có được
cái nhìn tổng quan về toàn cảnh của quá trình xử lý theo thuật toán. Lưu đồ là một
hệ thống các nút có hình dạng khác nhau, thể hiện các chức năng khác nhau và được
nối với nhau bởi các cung. Lưu đồ được tạo thành bởi 4 thành phần chủ yếu:


17


1/ Nút giới hạn: được biểu diễn bởi hình ôvan có ghi chữ bên trong.
Ví dụ:
Kết thúc

Bắt đầu
Hình 1.1

Các nút trên còn được gọi là nút đầu và nút cuối của lưu đồ.
2/ Nút thao tác: là một hình chữ nhật có ghi các lệnh cần thực hiện.
Ví dụ:
Tăng k

Hình 1.2
3/ Nút điều kiện: Là một hình thoi có ghi điều kiện cần kiểm tra. Trong các cung nối
với nút này có 2 cung ra chỉ hướng đi theo 2 trường hợp: điều kiện đúng và điều
kiện sai.
Ví dụ
a>b

Hình 1.3
4/ Cung: là các đường nối từ nút này đến nút khác của lưu đồ
Hoạt động của thuật toán theo lưu đồ được bắt đầu từ nút đầu tiên. Sau khi
thực hiện các thao tác hoặc kiểm tra điều kiện ở mỗi nút thì bộ xử lý sẽ theo một
cung để đến nút khác. Quá trình thực hiện thuật toán dừng khi gặp nút kết thúc.
Nhược điểm: việc biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ rất cồng kềnh đối với
các thuật toán phức tạp.


18


Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc 2.
Bắt đầu
Lưu đồ thuật toán giải phương trình
bậc hai. Đường chấm ứng với đường
đi khi a = 1, b = 2, c =1 (nghiệm
kép)

Hỏi giá trị a, b, c?

  b 2  4 ac

0

S

0

Đ

Đ

Có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2

Có nghiệm kép x0

x1, 2 


b 
2a

x0 

S

Vô nghiệm

b
2a

Kết thúc

Hình 1.4
1.2.4.3. Mã giả
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp của
thuật toán nhưng lại cồng kềnh. Khi thể hiện thuật toán bằng mã giả, ta sẽ vay
mượn các cú pháp của ngôn ngữ lập trình để thể hiện thuật toán. Tất nhiên, mọi
ngôn ngữ lập trình đều có những thao tác cơ bản là xử lý, rẽ nhánh và lặp. Dùng mã
giả vừa tận dụng được các khái niệm trong ngôn ngữ lập trình, vừa giúp người cài

19


đặt dễ dàng nắm bắt nội dung thuật toán. Tất nhiên là trong mã giả ta vẫn dùng một
phần ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ: Một đoạn mã giả của thuật toán giải phương trình bậc hai
Begin

If delta > 0 then begin
x1 = ( -b - sqrt(delta))/(2*a)
x2 = ( -b + sqrt(delta))/(2*a)
Xuất kết quả : Phương trình có hai nghiệm là x1 và x2
end
Else
If delta = 0 then
Xuất kết quả : Phương trình có nghiệm kép là -b/(2*a)
else {Trường hợp delta < 0}
Xuất kết quả : Phương trình vô nghiệm
end
1.3. Quy tắc tựa thuật toán
Ngoài những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán, chúng ta còn gặp
một số quy tắc mang nhiều đặc điểm của thuật toán nhưng chưa đầy đủ các đặc
trưng của thuật toán gọi là quy tắc tựa thuật toán. Quy tắc tựa thuật toán cũng đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong việc giải toán. [19]
Sự khác biệt của quy tắc tựa thuật toán so với thuật toán [19]
 Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;
 Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị;
 Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại
kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Ví dụ: Quy tắc xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
 Bước 1: Viết phương trình của hai đường thẳng cần tìm giao điểm
 Bước 2: Tìm nghiệm của hệ hai phương trình vừa tìm được ở bước 1.

20


 Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm dựa vào nghiệm của hệ phương trình.
Chỉ dẫn ở bước 1 chưa mô tả một cách xác định, chưa chỉ rõ phương trình

của hai đường thẳng là phương trình tổng quát, tham số hay chính tắc. Ở bước 2, hệ
phương trình có thể vô nghiệm.
Quy tắc trên không đảm bảo tính đặc trưng của thuật toán, nhưng với quy tắc
này học sinh có được một quy trình tìm tọa độ giao điểm giữa hai đường thẳng khá
rõ ràng.
1.4. Tư duy thuật toán
1.4.1. Khái niệm
Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề một
cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau). [17]
1.4.2. Đặc trưng của tư duy thuật toán [17]
 Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
toán cho trước.
 Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện
theo một trình tự xác định.
 Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
 Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt
động trên một lớp đối tượng.
 So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát
hiện thuật toán tối ưu.
Khả năng đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn khả năng sau thể
hiện khả năng xây dựng thuật toán, đặc biệt khả năng thứ hai thể hiện con mắt phát
hiện thuật toán.
1.4.3. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy thuật toán
Theo Nguyễn Bá Kim, việc phát triển tư duy thuật toán có những ý nghĩa rất
quan trọng:
 Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được tự động hóa trong những
lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa
21



nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của
việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy
móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một
số chức năng của con người cho máy thực hiện.
 Tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải
toán bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ
bản của việc lập trình, tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện
tốt khâu đó.
 Tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ
thông, rõ nét nhất là môn toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh
hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những
tập số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai...
 Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,... và hình thành những phẩm chất của
người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự
kiểm tra.
1.5. Kết luận chương I
Chương đầu tiên của luận văn đề cập khái niệm tư duy thuật toán, sự cần
thiết phải phát triển tư duy thuật toán cho học sinh làm cơ sở cho các phương pháp
phát triển tư duy thuật toán thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ mà những
chương sau sẽ đề cập đến.

22


Chương II- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
2.1. Sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Descartes (1596 - 1650) là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra
phương pháp xác định tọa độ một điểm bằng một hệ trục vuông góc. Đây là ý nghĩ
sản sinh ra Hình học giải tích, một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp

giữa hình học và đại số.
2.2. Vai trò của phương pháp tọa độ
2.2.1. Đối với toán học
Phương pháp tọa độ có ứng dụng quan trọng trong việc giải hàng loạt các bài
toán khác của toán học sơ cấp như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và
bất phương trình, giải các bài toán hình học phẳng và hình học tổ hợp.
Ví dụ: Cho x, y, z tùy ý.
Chứng minh: x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 

y 2 + yz + z 2

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức:
(x +

y 2
3 2
z
3 2
y z
3
3 2
) +(
y) + (x + ) 2 + (
z)  (  ) 2 + (
y+
z)
2
2
2
2

2 2
2
2

(1)

Trong mặt phẳng ta xét 3 điểm:
A( x +

y z
y 3
3
3
,
z) , B( 0,
y+
z) , C(  ,0 )
2 2
2 2
2
2

Khi đó dễ thấy: (1)  CA + AB  CB

(2)

Vì (2) hiển nhiên đúng nên (1) đúng.
2.2.2. Đối với Vật lý
Vật lý có mối liên hệ với các môn học khác, đặc biệt là môn toán. Nếu không
có toán học thì vật lý không thể tiến xa được, bởi vì vật lý học không chỉ giải quyết

định tính các vấn đề mà còn phải tính toán định lượng. Những vấn đề vật lý thông
qua việc sử dụng toán học sẽ được rõ ràng hơn, tường minh hơn nếu ta biết thêm
vào những hình ảnh minh họa. Những hình ảnh ấy được thể hiện thông qua việc sử
dụng đồ thị các hàm số để biểu diễn các trạng thái, các đại lượng trong vật lý.

23


2.2.3. Đối với Sinh học, Hóa học và Địa lí
Ứng dụng lớn nhất của phương pháp tọa độ được thể hiện qua các biểu đồ,
giản đồ.
2.3. Ý nghĩa thực tiễn
Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, chúng ta có thể giải quyết
được nhiều bài toán có ý nghĩa thực tiễn. Từ đó, chúng ta phát huy được tính tích
cực của học sinh.
Ví dụ 1: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ
là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ
hình elip đó lên tấm ván ép như hình vẽ. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép
tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
y

40 cm
x

80 cm

Hình 2.1

x2 y2
Gọi (E): 2 + 2 = 1

a
b
Theo đề bài, ta có: 2a = 80, 2b = 40
Suy ra: a = 40, b = 20
Ta có: c2 = a2 – b 2 = 1600 – 400 = 1200
=> c = 20 3

24


Ta phải ghim hai cái đinh tại hai tiêu điểm F1 và F2, nghĩa là cách mép tấm
ván ép một đoạn: A1F1 = a – c = 40 – 20 3  5.36 (cm)
Theo cách vẽ như trên thì vòng dây phải có chiều dài:
2a + 2c = 80 + 40 3 (cm)
Ví dụ 2: Hai thiết bị dùng để ghi âm một vụ nổ đặt cách nhau 1 dặm. Thiết bị A ghi
được âm thanh vụ nổ trước thiết bị B là 2 giây. Biết vận tốc của âm thanh là 1100
feet/s, tìm các vị trí mà vụ nổ có thể xảy ra (1 dặm = 5280 feet, 3 feet = 0,914m)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy mà Ox đi qua A và B, Oy là đường trung trực của
AB như hình vẽ dưới đây:
y

d1
d2

A

B

O


x

Hình 2.2
Kí hiệu d1 là quãng đường âm thanh đi được từ vụ nổ đến thiết bị A.
d2 là quãng đường âm thanh đi được từ vụ nổ đến thiết bị B.
d1 và d 2 tính theo feet.
Khi đó, do thiết bị A nhận âm thanh nhanh hơn thiết bị B 2 giây nên:
d1 – d2 = 2200 (1)
Các điểm thỏa mãn (1) nằm trên một nhánh của hypebol có phương trình:

x2 y2

=1
a2 b2
25