TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN
GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VEC TƠ RIÊNG

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên: Bùi Thế Phương

ThS.Nguyễn Hoàng Xinh

MSSV: 1090056
Lớp: Sư phạmToán K35

CẦN THƠ 2013


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………

Ngày….. tháng….năm 2013

Giáo viên hướng dẫn

i


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………

Ngày….. tháng….năm 2013

Giáo viên phản biện

ii


Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị
một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm
việc.
Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã
tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích
phục vụ cho luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn
Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua.
Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ
em hoàn thành luận văn.

Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mong
nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình.
Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè và người
thân đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn!

Người viết
Bùi Thế Phương

iii


BẢNG KÍ HIỆU
Z , Q , R, C

Tập hợp các số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức.

Zn

Tập hợp các số nguyên modulo n.

a 1

Phần tử nghịch đảo của phần tử a.

M n (R)

Nhóm các ma trận vuông cấp n trên R.


S

Nhóm con sinh bởi tập S.

Kerf

Nhân của đồng cấu f.

A  A'

Nhóm A đẳng cấu với nhóm A' .

Imf

Ảnh của đồng cấu f.

K

Vô hướng  thuộc trường K.

KGR

Không gian riêng

~
B = adj( B )

Ma trận phó của B .




Giá trị riêng.

T B

Toán tử tuyến tính T có ma trận biểu diễn đối với một cơ sở B

Dim

Số chiều

x  ƒ(x)

Ánh xạ

A-1

Ma trận nghịch đảo

, 

Tổng, Tích

det (A)

Định thức của ma trận A

K[X]

Vành đa thức (không gian các vec tơ một ẩn x trên trường K


iv


MỤC LỤC

BẢNG KÝ HIỆU ...................................................................................... iv

PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................ 7

PHẦN NỘI DUNG ................................................................................... 10

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................... 9
1. Các định nghĩa về ma trận............................................................. 9
2. Các phép toán trên ma trận........................................................... 10
3. Khái niệm Không gian vectơ........................................................ 11
4. Không gian vectơ con .................................................................. 12
5. Sự độc lập tuyến và phụ thuộc tuyến tính..................................... 13
6. Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ ....................... 14
7.Tổng và giao các không gian con .................................................. 17
8. Toán tử tuyến tính........................................................................ 18
9. Định thức.........................................................................................19
10. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất..........................................20
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ..................................................................... 21

§1. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN .......... 21
§2 . CHÉO HÓA MA TRẬN............................................................ 31
§3. DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN ........................................ 37
§4. ĐA THỨC TỐI TIỂU ........................................................ 47
§5. ĐA THỨC MA TRẬN ....................................................... 53

CHƯƠNG 3. BÀI TẬP............................................................................. 62
PHẦN KẾT LUẬN................................................................................... 93
TÀI LIỆU THAM THẢO ........................................................................ 94

v


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình, chúng tôi đã được học môn “Đại số tuyến tính”. Nhưng
do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng tôi chỉ nghiên cứu một số nội
dung cơ bản. Đại số tuyến tính là một môn học rất hay và tạo cho tôi nhiều hứng thú
khi học, điều này gợi cho tôi niềm đam mê nghiên cứu về Đại số tuyến tính. Đại số
tuyến tính chứa kiến thức rất rộng nhưng tôi đặc biệt quan tâm các vần đề liên quan
tới “Giá trị riêng, vec tơ riêng”.
Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Giá trị riêng,
vec tơ riêng” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về đại số tuyến tính.

2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài “giá trị riêng, vec tơ riêng”, tôi hướng đến mục đích là rèn
luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới
với bản thân.
Đây cũng là dịp để tôi có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặc
biệt là về Đại số tuyến tính – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong
toán học nói chung. Việc nghiên cứu này cũng giúp tôi có thêm nhiều kiến thức
chuẩn bị cho các kỳ thi sau này và rèn luyện bản thân trong việc chủ động nghiên
cứu khoa học.

3. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phân

tích, khái quát hóa.
Tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau. Phân tích một số bài
tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó.

4. Nội dung luận văn
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương 2 LÝ THUYẾT

§1 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN
§2. CHÉO HÓA MA TRẬN

6


§3. DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN
§4. ĐA THỨC TỐI TIỂU
§5. ĐA THỨC MA TRẬN
Chương 3 Bài tập

7


PHẦN NỘI DUNG:

&

8


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Các định nghĩa về ma trận
1.1 Định nghĩa. Một ma trận A loại (cấp) m  n trên trường K là một bảng chữ nhật
gồm m  n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:
 a11

 a 21
A   a31

 ...
a
 m1

a12

a13

a 22
a 32
...

a 23
a 33
...

am 2

a m3

... a1n 


... a 2 n 
... a3n 

... ... 
... a mn 

Trong đó aij  K là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết
ngắn gọn là Amn .
Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận
loại m  n trên trường K được ký hiệu bởi Amn (K ) .
Nhận xét:
- Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể
được xác định theo công thức tổng quát.
- Ma trận không cấp m  n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử
đều bằng 0.
- Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma
trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K).
- Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m  1 được gọi là ma trận
cột.
- Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được
gọi là đường chéo chính của A.
1.2 Định nghĩa. Cho A  (a ij )  M n ( K ) . Khi đó:
- Nếu a ij  0, i  j (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A
đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo.
- Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n
có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a 2, …, a n.

9



- Ma trận chéo có aii  1, i (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1)
được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In

.

- Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng
nhau được gọi là ma trận vô hướng.
- Nếu a ij  0, i  j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của
A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.
- Nếu a ij  0, i  j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của
A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.
- Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.
2. Các phép toán trên ma trận
2.1 Định nghĩa (hai ma trận bằng nhau). Cho A  (aij ), B  (bij )  M m n ( K ). Ta
nói A = B khi và chỉ khi: a ij  bij ,i, j .
2.2 Định nghĩa (Ma trận chuyển vị). Cho A  (a ij )  M mn ( K ) , ta nói:
B  (bij )  M mn ( K )

là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu: a ij  bij ,i, j .
2.3 Tính chất. Cho A, B  M mn ( K ) . Khi đó:
i. ( AT ) T  A ;
ii. AT  B T  A  B .
Ghi chú: Cho A  M n (K ) . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng;
Nếu AT =– A thì ta nói A là ma trận phản đối xứng.
Nhận xét: Nếu B là ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính
của B đều bằng 0.
2.4 Phép nhân một số với một ma trận. Cho A  M mn ( K ), a  K Ta gọi tích a và
A (ký hiệu aA) là một ma trận C  (cij )  M mn ( K ) được xác định bởi: cij  a.aij .
Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.


10


2.5 Cộng hai ma trận. Cho A, B  M mn ( K ) . Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một
ma trận C  (cij )  M mn ( K ) được xác định bởi: cij  aij  bij .Tổng của A + (-B)
được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
2.6 Tính chất. Cho A  M mn ( K ); ,   K . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)
2.7 Định lý. Cho A  M mxn ( K );  ,   K . Khi đó:
i.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A .
ii.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.
iii.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A.
iv. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0.
v.Phép nhân vô hướng có tính phân phối:
α(A+B) = αA + αB; (α +β)A=αA+Βa.
vi.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị: (A + B)T = AT + BT.
3. Khái niệm Không gian vectơ
3.1 Định nghĩa. Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một
K-không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng),
ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau:
i. Tính giao hoán của phép cộng: ( x, y )  V 2 , x  y  y  x ;
ii. Tính kết hợp của phép cộng: ( x, y, z )  V 3 , ( x  y)  z  x  ( y  z ) ;
iii. Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn: x  V , x  0  x;
iv. x V , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là  x thỏa mãn: x  ( x)  0;
v. ( x, y )  V 2 ,   K ,  ( x  y)   x   y;
vi. x V ,   ,    K 2 , (   ) x   x   x;
vii. x V ,   ,    K 2 , ( ) x   (  x);
viii. x V ,1x  x.
3.2 Nhận xét
- Các phần tử 0 trong điều kiện (3) và phần tử  x trong điều kiện (4) là duy nhất.Các phần tử của V được gọi là vectơ được ký hiệu bởi các chữ La tinh nhỏ


11


x, y, z ,... Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và ký hiệu là các chữ

Hy Lạp nhỏ  ,  ,  ,...
- Nếu K=R thì ta gọi V là không gian vectơ thực, còn nếu K=C thì ta gọi V là không
gian vectơ phức.
- Ta định nghĩa phép trừ vectơ bằng công thức sau: x  y  x  ( y ).
- Luật phân phối đối với hiệu: (   )x   x   x ;
 ( x  y )   x   y.

3.3 Tính chất
i)x V , 0 x  0 , trong đó 0 ở vế phải là vectơ 0, còn 0 ở vế trái là phần tử 0

của trường K;
ii )x  V ,  x  (1) x;
iii )x V ,   K , ( x)  ( ) x   ( x );
iv) .0  0.
v) Nếu  x  0 thì hoặc   0 hoặc x  0 .

iv) x   x, x  0     ;

 x   y ,   0  x  y.

4. Không gian vectơ con
4.1 Định nghĩa. Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng
của V. Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một Kkhông gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên
W.
4.2 Định lý. Tập con W   của không gian vectơ V là một không gian con của V

khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa:
i. x, y  W 2 , x  y  W ;
ii.   K , x W ,  x  W .
Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau:
  K , ( x, y )  W 2 ,x  y  W .

4.3 Định lý. Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không gian
con của V.

12


5. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
5.1 Tổ hợp tuyến tính
5.1.1 Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v1 , v2 ,..., vn là các
phần tử của V. Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1 , v2 ,..., vn nếu tồn
tại các vô hướng 1 ,  2 ,...,  n K sao cho v  1v1   2v2  ...   n vn .
5.1.2 Nhận xét
i) Nếu v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1 , v2 ,..., vn thì v cũng là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ v1 , v2 ,..., vn , vn 1 .
ii) Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ vectơ bất kỳ.
5.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính – Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
5.2.1 Định nghĩa. Họ các vectơ v1 , v2 ,..., vn của không gian vectơ V trên trường K
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng 1 ,  2 ,...,  n  K không
phải tất cả đều bằng 0 sao cho: 1v1   2v2  ...   n vn  0 . Họ vectơ không phụ thuộc
tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính.
5.2.2 Nhận xét
- Họ các vectơ v1 , v2 ,..., vn phụ thuộc tuyến tính 1v1   2 v2  ...   n vn  0 thì tồn tại ít
nhất 1 hệ số  0 . Giả sử đó là  n  0 . Khi đó, vn  


1


v1  2 v2  ...  n 1 vn1 .
n
n
n

Suy ra, nếu các vectơ v1 , v2 ,..., vn phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một vectơ là
tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
- Các vectơ v1 , v2 ,..., vn độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu
n

(1 ,  2 ,...,  n )  K n ,   i vi  0   i  0, i  1,..., n.
i 1

Nói cách khác, hệ phương trình vectơ x11  x2 2  ...  xn n  0 có nghiệm duy nhất
là (0, 0, …,0).
Nhận xét:
i. Từ ví dụ trên để xét hệ m các vectơ v1 , v2 ,..., vm là độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính trong K n , ta lập ma trận A với các cột là các vectơ v1 , v2 ,..., vm , rồi

13


tìm rankA. Nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ) thì hệ độc lập tuyến tính, ngược
lại nếu rankA Do rankA  rankAT nên nếu lập ma trận A có các dòng là các vectơ v1 , v2 ,..., vm và
thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang¸khi đó hệ
vectơ là độc lập tuyến nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ), ngược lại nếu rankA

ii. Vectơ u V gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ v1 , v2 ,..., vm , nếu
tồn tại các số 1 ,  2 ,...,  m  K , sao cho u  1v1   2 v2  ...   m vm (hay phương trình
vectơ u  x1v1  x2v2  ...  xmvm có nghiệm).
5.3 Định lý và hệ quả
5.3.1 Định lý. Điều kiện cần và đủ để hệ các vectơ u1, u2 ,..., un V phụ thuộc tuyến
tính là một trong các vectơ đó là tổ hợp của các vectơ còn lại.
5.3.2 Hệ quả Trong các vectơ u1, u2 ,..., un V nếu có vectơ 0 thì hệ các vectơ này
phụ thuộc tuyến tính.
i. Nếu một phần của họ các vectơ u1 , u2 ,..., un V phụ thuộc tuyến tính thì tất cả
các vectơ của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính.
ii. v V thì {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v  0 .
iii. Hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ.
Sau đây, ta sẽ mở rộng định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
cho một họ bất kỳ những vectơ của không gian vectơ V.
5.3.3 Định nghĩa. Một họ khác rỗng những vectơ của không gian vectơ V gọi là
phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính
của V.
Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vectơ của V gọi là độc lập tuyến
tính, nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính.
6. Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ
6.1 Hệ sinh

14


6.1.1 Định nghĩa Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các
tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S
được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không
chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh.

Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn
sinh hay không gian hữu hạn chiều.
Do đó, nếu cho S  {u1 , u2 ,..., un }  V , S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:
u  V , ( 1 ,  2 ..., n )  K n : u   1u1   2 u 2  ...   n u n .

Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu V  S  {u1 , u2 ,..., un } .
6.1.2 Định lý. E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V
chứa tập S.
6.1.3 Định lý. S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính.
6.2 Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ
6.2.1 Định nghĩa. Ta gọi hệ vectơ S  V là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của
V. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ
độc lập tuyến tính.
Nếu tập được sắp thứ tự S  {ui | i  I } là cơ sở của V và u  V thì bộ các số
( i )iI được gọi là tọa độ của u theo S nếu u   i ui .
iI

6.2.2 Định lý. Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V
là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.
6.2.3 Định lý. Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện
sau tương đương:
i) S là cơ sở của V;
ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S;
iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các
điều kiện trên tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử;
v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử;
vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các
phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không.

15

6.2.4 Nhận xét. Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng
minh một hệ vectơ gồm n vectơ là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ
vectơ này là độc lập tuyến tính.
6.2.5 Hệ quả 1
i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.
ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở
thành cơ sở.
6.2.6 Hệ quả 2
i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều
hữu hạn.
ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.
6.2.7 Định nghĩa. Cho một hệ hữu hạn vectơ  xi iI trong không gian vectơ V. Số
phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của  xi iI là một hằng số (không
phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ {xi } ). Hằng số
này được gọi là hạng của hệ vectơ  xi iI . Ta ký hiệu hạng của hệ  xi iI là
rank ( xi )iI .

6.2.8 Định lý. Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ xi khi
đó ta có rank ( A)  rank ( xi )iI .
Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận
gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó.
Chú ý: Trong phạm vi của tài liệu này ta chỉ đề cập đến không gian vectơ hữu hạn
chiều, tức là dimV  n   .
6.3 Không gian hữu hạn chiều
6.3.1 Định nghĩa. Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ
sở của V có n vectơ.
6.3.2 Tính chất. Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó mọi hệ vectơ
có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.

(a) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V.
(b) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V.

16


(c) Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ
để lập thành một cơ sở của V.
Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một
hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ
sinh.
7. Tổng và giao các không gian con
7.1 Tổng của các không gian con – Tổng trực tiếp
7.2.1 Định lý. Trong không gian vectơ V cho m ( m  2 ) không gian con
W1 , W2 ,...,Wm . Khi đó tập hợp W  {x  x1  x2  ...  xm | xi  Wi , i  1, m} là một không

gian con của V, hơn nữa nó là không gian nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của
m

không gian V chứa

W , W được gọi là không gian tổng của các không gian con
i

i 1

m

Wi , ký hiệu là W   Wi  W1  W2  ...  Wm .

i 1

7.2.2 Nhận xét
i) Mỗi x W  W1  W2  ...  Wm đều biểu diễn được thành tổng các vectơ từ
các không gian con thành phần W1 , W2 ,...,Wm . Tuy nhiên, cách biểu diễn trên có thể
không duy nhất.
ii) Nếu W  w1 , w2 ,..., wm và Z  z1 , z2 ,..., zn thì
W  Z  w1 , w2 ,..., wm , z1 , z2 ,..., zn .
n

7.2.3 Định nghĩa. Tổng W  Wi được gọi là tổng trực tiếp nếu với mỗi x  W thì
i 1

chỉ có một cách biểu diễn duy nhất x  x1  x2  ...  xn , với xi  Wi , i  1, n . Khi đó ta
n

ký hiệu W   Wi  W1  W2  ...  Wn .
i 1

Trường hợp W  W1  W2 , thì ta nói W1 (tương ứng W2 ) là không gian con bù
trực tiếp của W2 (tương ứng W1 ).

17


7.2.4 Định lý. Cho W ,W1 ,W2 ,..., Wm là những không gian con của không gian vectơ V.
Khi đó, W là tổng trực tiếp của W1 , W2 ,...,Wm nếu và chỉ nếu mọi phần tử x của W đều
viết được một cách duy nhất dưới dạng: x  x1  x2  ...  xm , với xi  Wi , i  1, m .
7.2.5 Định lý. Giả sử W1 và W2 là hai không gian con của không gian vectơ V khi đó,
các khẳng định sau là tương đương:

i) W1  W2 là tổng trực tiếp;
ii) W1  W2  {0} .
7.2.6 Định lý. Cho W1 và W2 là hai không gian con của không gian vectơ hữu hạn
chiều V. Khi đó, dim(W1  W2 )  dimW1  dim W2  dim(W1  W2 ).
7.2.7 Hệ quả. Nếu tổng W + Z của hai không gian hữu hạn chiều W, Z trong không
gian vectơ V là tổng trực tiếp thì dim W  dim Z  dim(W  Z ).
8. Toán tử tuyến tính
8.1 Định nghĩa. Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh
xạ f : V  W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu tuyến tính nếu f thỏa mãn hai
tính chất sau đây:
i. f ( x  y )  f ( x)  f ( y), x. y  V .(tính bảo toàn phép cộng)
ii. f (x)  f ( x), x  V ,   K . (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)
Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến
tính hay toán tử tuyến tính trên V.
Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:
f : V  W là ánh xạ tuyến tính  f (x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y  V ,  ,   K .

8.2 Tính chất. Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ
trên trường số K. Khi đó:
i. f (0 V )  0W
ii. x  V , f ( x)   f ( x)

18


8.3 Định lý. Cho một cơ sở B  (e1 , e2 ,..., en )(n  1) của không gian vec-tơ n chiều V
và w1 , w2 ,..., wn là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất
một ánh xạ tuyến tính f : V  W sao cho f (ei )  wi ; i  1; n .
Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
8.8 Định nghĩa nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính.

Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
ker( f )  {v  V : f (v)  0W }

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Im( f )  {w  W / v  V : f (v)  w}

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt
là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) ).
9. Các khái niệm cơ bản về định thức
9.1 Định nghĩa định thức Cho A  (aij )  M n ( K ) . Định thức ma trận A (ký hiệu det
A hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức :
det( A)  A  a11 A11  a12 A12  ...a1n . A11n

trong đó:
Aik  ( 1) i  k . det( M ik ), M ik là ma trận vuông cấp n – 1 nhận được từ ma trận A bằng

cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k. Đại lượng Aik được gọi là phần bù đại số của aik .
9.2 Định lý
Với ma trận vuông cấp n n  2 ta có thể khai triển định thức của nó theo một dòng
bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo các công thức sau:
- Theo dòng i: det( A)  A  a i1 Ai1  aì 2 Ai 2  ...a in . Ain
- Theo cột j: det( A)  A  a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ...a nj . Anj
Với Aij là phần bù đại số của phần tử a ij được xác định như trên
Chú ý: Ma trận vuông P( A)  ( Aij )  M n ( K ) (với Aij là phần bù đại số của aij )
được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

19


10. Hệ phương trình tuyến tính

10.1 Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính trên trường K là hệ thống gồm m
phương trình, mỗi phương trình gồm n ẩn, có dạng
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn  b1

.....

 a x  a x  ...  a  b
m2 2
mn
m
 m1 1

(*)

Trong đó aij  K (gọi là các hệ số) và bi  K (gọi là các hệ số tự do) là các phần tử
cho trước, còn các x j là các ẩn.
Nếu hệ (*) có bi =0, với mọi i  1, 2,..., m thì hệ (*) được gọi là hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất trên trường K.
Bộ số ( c1 , c 2 ,..., c n )  K n được gọi là nghiệm của (*) nếu ta thay x j  c j vào hệ (*)
thì ta được m đẳng thức đúng với mọi j  1, 2,..., n.
10.2 Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất ngiệm (0, 0,
..., 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm không tầm thường.
10.3 Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính trên trường K
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn  b1

.....

 a x  a x  ...  a  b
m2 2
mn

m
 m1 1

 a11

 a 21
Ta đặt A   a31

 ...
a
 m1

a12

a13

a 22
a 32
...

a 23
a 33
...

am 2

am 3

... a1n 


 b1 
 x1 
... a 2 n 
b 
x 
... a 3n  , B   2  , X   2  , A   A | B  .

 ... 
 ... 
... ... 
 
 
bm 
 xn 
... a mn 

Ma trận A được gọi là ma trận hệ số, X gọi là cột ẩn, B gọi là cột hệ số tự do và A
gọi là ma trận bổ sung của hệ phương trình (*).

20


Chương 2. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG
§1. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN
1.1 Định nghĩa. Cho ma trận A  Mn(K) và   K . Phần tử  là một giá trị riêng
của ma trận A nếu tồn tại vectơ u = (x1, x2, ..., xn)  Kn\{0} sao cho Au   u.
Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của A ứng với trị riêng  .
Ví dụ.
a) Cho ma trận
2 3 

1
1
A 
, u   , v   

3  6
 3
2

Ta có:
 2 3   1    7
Au  
       7u
3  6  3  21 

2 3  1   8 
1
Av  
    k 



 3  6  2   9
2

Kết luận: u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng  7 , còn v không là
vectơ riêng của ma trận A vì không tồn tại một số thực k nào thỏa Av = kv.
3 0
 , ta có: A(1,0) =
0 1

b) Cho A = 

3 0

 (1,0) = (3,0) =3(1,0). Do đó   3 là một
0 1

trị riêng của A và u = (1,0) là một vectơ riêng ứng với trị riêng   3 .
c) Ma trận không 0  Mn(R) chỉ có trị riêng   0 và mọi u  Rn\{0} đều là vectơ
riêng của 0.
d) Ma trận đơn vị I  Mn(R) chỉ có trị riêng   1 và mọi vectơ u  Rn\{0} đều là
vectơ riêng của I.
Nhận xét:
i.Vectơ riêng phải là vectơ khác 0.
ii. Nếu u là vec-tơ riêng của A thì giá trị riêng tương ứng với nó la duy nhất.

21


1.2 Đa thức đặc trưng. Cho ma trận A  Mn(R). Đa thức bậc n theo  định bởi:
a11  

fA(  ) = det(A –  I) =

a12

a22
....
ann

...

a1n

a22   ...
...
...

a2 n
...

ann

... ann  

được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.
Ví dụ.
2 3 
là f A (t )  t 2  4t  21

 3 6 

a) Đa thức đặc trưng của ma trận A  

1 3 3
b) Đa thức đặc trưng của ma trận B   3 5 3
 3 3 1 

là f B (t )  t 3  3t 2  4

c) Đa thức đặc trưng của ma trận
1
0
d) C  
1

1

0 1 1
1 1 1 
là fC (t )  t 4  4t 3  2t 2  4t  3
1 1 0

1 0 1

1.3 Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số   K là
giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu phương trình đặc trưng ( A   I n ) x  0 có nghiệm
không tầm thường.
Chứng minh
Giả sử   K là một giá trị riêng của ma trận A. Khi đó, tồn tại một vectơ khác
không u  K n sao cho Au  u , suy ra ( A   I n )u  0 hay u chính là nghiệm của
phương trình thuần nhất ( A   I n ) x  0 . Vậy phương trình nhất ( A   I n ) x  0 có
nghiệm không tầm thường.

22


Ngược lại, nếu phương trình ( A   I n ) x  0 có nghiệm không tầm thường
u  K n thì ( A   I n )u  0 hay Au  u nên u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá

trị riêng  .
1.4 Hệ quả. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, 0 là giá trị
riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch.
Chứng minh.
Ta có 0 là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu phương trình
Ax  ( A  0 I n ) x  0 có nghiệm không tầm thường. Ta đã biết phương trình Ax = 0 có

nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ma trận A không khả nghịch. Do đó 0 là
giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch.
1.5 Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K và   K là giá trị
riêng của A. Tập tất cả các nghiệm của phương trình ( A   I n ) x  0 được gọi là
không gian vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng  và ký hiệu là EA() .
Vậy không gian vectơ riêng EA() bao gồm vectơ không và tất cả các vectơ
riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng  .
1.6 Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K và   K là giá trị riêng của
A. Khi đó, không gian vectơ riêng EA() là một không gian vectơ con của K n .
Chứng minh
Do vectơ 0 thuộc EA() nên EA() khác rỗng. Nếu u , v  E A ( ) thì Au   u và
Av  v .

Do đó, A(u  v)  Au  Av  u  v   (u  v) và A(ku)  k ( Au)  ku  k (u ) với
k  K . Vậy u+v và ku đều thuộc EA() với mọi k  K ; u, v  E A ( ) . Vậy EA() là một

không gian vectơ con của K n .
2 3 
 có các giá trị riêng là   3,   7 . Không gian vectơ
 3 6 

Ví dụ. Ma trận A  

riêng EA (3) và EA (7) của ma trận A là:
E A (3)   (3,1) |   R và E A (7)   (1,3) |   R .

23


Ta có u1  (3,1) và u2  (1, 3) lần lượt là cơ sở của EA(3) và EA (7) . Do u1; u2  độc
lập tuyến tính nên lập thành một cơ sở của R2.
1 3 3
Ma trận B   3 5 3 có các giá trị riêng là   1,   2 . Không gian vectơ
 3 3 1 

riêng E A (1)   (1,1,1) |   R ứng với giá trị riêng   1 . Không gian này có số
chiều bằng 1 và có cơ sở gồm một vectơ u1  (1, 1,1) . Không gian vectơ riêng
E A (2)   ( 1,1,0)   ( 1,0,1) |  ,   R ứng với giá trị riêng và có số chiều bằng 2

với cơ sở gồm hai vectơ u2  (1,1, 0); u3  ( 1, 0,1) . Nhận thấy {u1, u2 , u3}độc lập tuyến
tính nên là cơ sở của R3.
1.7 Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số   K là
giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu  là nghiệm của phương trình đặc trưng f A ( )  0 .
Chứng minh
 là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất ( A   I n ) x  0 có nghiệm không tầm thường. Mặt khác hệ phương trình
trên có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det( A   I n )  0 hay f A ()  0 . Vậy
 là nghiệm của phương trình đặc trưng.

● Thuật toán tìm trị riêng- vec-tơ riêng và không gian riêng của ma trận.
Lập đa thức đặc trưng  A ( )  A   ( I ) .
Giải phương trình  A ( )  0 để tìm giá trị riêng của ma trận A.

Ứng với mỗi trị riêng  không gian riêng V (  ) là không gian riêng nghiệm của
Phương trình Au =  u, nghĩa là của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
2
 3 3


Ví dụ 1. Cho ma trận thực A =  1 1  2  . Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của
  3 1 0 



A. Xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng tương ứng.
Giải
- Đa thức đặc trưng: fA(  ) = (4 −  )(  2+ 4 )

24