TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP:

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN ĐIỀU
HÒA DẠNG PHỨC VÀ SỰ TRUYỀN
SÓNG ĐIỆN TỪ
Giảng viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

Th.S PHẠM VĂN TUẤN

NGUYỄN ANH VĂN
MSSV: 1060186
SP. VẬT LÍ 02 - K32

Cần Thơ - 2010


LỜI CẢM ƠN
Lí thuyết trường ñiện từ là cơ sở cho nhiều ngành
khoa học kĩ thuật như vật lí, ñiện tử, ñiện kĩ thuật, viễn
thông, kĩ thuật ñiều khiển,…vì vậy việc nghiên cứu lí
thuyết và các phương pháp tính trường ñiện từ cùng với
việc khảo sát các quá trình năng lượng của nó có ý nghĩa
thực tế to lớn. Tuy vậy, lí thuyết trường ñiện từ là một lí
thuyết khó, muốn nghiên cứu nó một cách cặn kẽ ñòi hỏi
phải có kiến thức vật lí và toán học thật tốt. Trong chương

trình học của mình thì tôi cũng không ñược tiếp cận một
cách ñầy ñủ nội dung của lí thuyết này, do vậy trong quá
trình viết ñề tài thì tôi cũng ñã gặp không ít khó khăn,
vướng mắc. Nhưng ñược sự giúp ñỡ, hướng dẫn tận tình
của thầy Phạm Văn Tuấn tôi ñã vượt qua những khó khăn
này và hoàn thành ñề tài luận văn của mình. Qua ñây tôi
xin chân thành gửi lời cảm ơn ñến thầy, thầy ñã tận tình
hướng dẫn ñề tài luận văn cho tôi.
Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn ñến thầy
Đoàn Hòa Minh, thầy ñã ñóng góp nhiều ý kiến quí báu
cho luận văn của tôi.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến quí thầy cô bộ môn
vật lí, ñã truyền ñạt cho tôi những kiến thức về vật lí cũng
như toán học vô cùng bổ ích, giúp tôi có ñủ tự tin ñể viết
ñề tài luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến tất cả bạn bè của
tôi, ñã luôn tạo niềm tin và ñộng lực cho tôi hoàn thành
luận văn.
Mặc dù ñã có nhiều cố gắng, nhưng trong quá trình
thực hiện vẫn không sao tránh khỏi những thiếu sót. Rất
mong nhận ñược sự ñóng góp ý kiến của quí thầy cô và các
bạn.
Chân thành cảm ơn !.
Sinh viên
Nguyễn Anh Văn


MỤC LỤC
Phần I: MỞ ĐẦU.................................................................................................................................1


1. Lí do chọn ñề tài:.................................................................................................................. 2
2. Mục ñích ñề tài: .................................................................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu:.......................................................................................................... 2
4. Phạm vi nghiên cứu:............................................................................................................. 2
5. Phương pháp thực hiện: ....................................................................................................... 2
6. Các bước tiến hành: ............................................................................................................. 3
Phần II: NỘI DUNG ...........................................................................................................................4

1. Khái quát chung về trường ñiện từ: ..................................................................................... 5
2. Biểu diễn phức các ñại lượng ñiều hòa:............................................................................... 6
3. Hệ phương trình Maxwell dạng phức: ................................................................................. 8
3.1. Các phương trình Maxwell:......................................................................................... 8
3.2 Hệ phương trình Maxwell dạng phức:.......................................................................... 11
3.3 Thế vectơ và thế vô hướng của trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa:............................. 12
4. Biểu diễn phức các ñại lượng trung bình:........................................................................... 13
5. Định lí Poynting dạng phức: ................................................................................................ 14
6. Nguyên lí tương hỗ: .......................................................................................................................15
6.1. Bổ ñề Lorentz: .............................................................................................................. 15
6.2. Nguyên lí tương hỗ: ...................................................................................................... 16
7. Các phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình Maxwell: ........................................................17
7. 1. Phương trình sóng cho các vecto cường ñộ ñiện trường:............................................ 17
7.2. Phương trình sóng cho thế ñiện ñộng: ........................................................................ 18
7. 3. Phương trình sóng cho vecto Hezt: .............................................................................. 19
7.4. Tìm nghiệm phương trình sóng: ................................................................................... 20
7. 5. Khảo sát bức xạ trường ñiện từ của lưỡng cực ñiện (nguyên tố anten thẳng): ........... 23
7. 6. Khảo sát bức xạ trường ñiện từ của lưỡng cực từ (nguyên tố anten vòng): ................ 27
8. Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc:.........................................................................................................30
8. 1. Nghiệm phương trình sóng ñối với sóng phẳng ñơn sắc: ............................................ 31
8.2. Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc trong môi trường ñiện môi lí tưởng:............................... 34
8.3. Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc trong môi trường dẫn ñiện tốt: ....................................... 36

8. 4. Sự phân cực của sóng phẳng ñơn sắc: ......................................................................... 37
8. 5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng ñơn sắc:......................................................... 38
9. Truyền sóng ñiện từ: ......................................................................................................................45
9.1. Khái quát chung về truyền sóng ñiện từ:...................................................................... 45
9.2. Ống dẫn sóng: .............................................................................................................. 48
9.3. Hộp cộng hưởng:.......................................................................................................... 57
Phần III:. KẾT LUẬN: ....................................................................................................................66
Tài Liệu Tham Khảo ................................................................................................................. 67
Phụ Lục..................................................................................................................................... 68


……………..

Nguyễn Anh Văn

……………..

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 1


……………..

……………..

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Hiện tượng ñiện từ rất phổ biến và giữ vai trò cực kì quan trọng trong tự nhiên. Hầu

hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học... ñều là kết quả
của tương tác ñiện từ giữa các nguyên tử, phân tử. Đối với thực tế ñời sống và kĩ thuật, tương
tác ñiện từ giữ vai trò chủ yếu. Trong các thiết bị vô tuyến ñiện, kĩ thuật ñiện,... có các quá
trình biến ñổi và truyền năng lượng ñiện từ. Trong lí thuyết mạch, các thông số của mạch
như ñiện trở R, ñiện cảm L, ñiện dung C,.... coi như ñã cho. Tuy nhiên ñể tính những thông
số này cần biết những khái niệm và cách tính của lí thuyết trường ñiện từ. Đối với các hiện
tượng như bức xạ ñiện từ, truyền sóng ñiện từ, hiệu ứng bề mặt,... thì khái niệm mạch không
còn ý nghĩa nữa, các hiện tượng ñó chỉ có thể nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết trường ñiện từ.
Sự phát và thu sóng vô tuyến gắn liền với sự tồn tại trường ñiện từ trong không gian giữa
anten phát và anten thu. Hiện tượng cảm ứng ñiện từ ñược áp dụng ñể chế tạo các máy phát
ñiện, ñộng cơ ñiện. Và còn nhiều lĩnh vực ứng dụng nữa từ lí thuyết trường ñiện từ. Nói tóm
lại, việc nghiên cứu lí thuyết và các phương pháp tính trường ñiện từ, cùng với việc khảo sát
các quá trình năng lượng của nó có ý nhĩa thực tế to lớn.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI:
Nghiên cứu lí thuyết trường ñiện từ.
Tìm các phương pháp giải hệ phương trình Maxwell.
Nghiên cứu các ñặc tính của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc.
Nghiên cứu quá trình truyền sóng ñiện từ trong ống dẫn sóng chữ nhật.
Vận dụng khảo sát bức xạ trường ñiện từ của nguyên tố anten thẳng, nguyên tố anten
vòng và một số ñặc trưng của sóng ñiện từ.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa dạng phức.
Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc.
Ống dẫn sóng hình chữ nhật.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa.
Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc.
5. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN:
Xây dựng cơ sở của lí thuyết trường ñiện từ: Nghiên cứu lí thuyết từ tài liệu dẫn ra
hệ phương trình Maxwell, một số ñại lượng ñặc trưng và nguyên lí cơ bản của trường ñiện từ

(biểu diễn dưới dạng phức). Từ ñó áp dụng các phương pháp toán lí ñưa ra các phương pháp
giải hệ phương trình Maxwell và vận dụng vào khảo sát bức xạ trường ñiện từ của nguyên tố
anten thẳng, nguyên tố anten vòng ñể minh họa phương pháp và rút ra một số nhận xét.
Giải hệ phương trình Maxwell ñể dẫn ra các vectơ cường ñộ trường của sóng ñiện từ
phẳng ñơn sắc, từ ñó ñi khảo sát các ñặc tính của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc lan truyền trong
các môi trường.
Giải hệ phương trình Maxwell ñể ñưa ra phương trình truyền sóng ñiện từ trong ống
dẫn sóng chữ nhật dưới hai dạng: sóng ñiện từ kiểu TE và sóng ñiện từ kiểu TM, từ ñó khảo
sát các ñặc tính của quá trình truyền sóng ñiện từ trong ống dẫn sóng. Nghiên cứu một số ñặc
tính của hộp cộng hưởng.

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 2


……………..

……………..

6. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH:
Nhận ñề tài.
Sưu tầm tài liệu, tiến hành nghiên cứu lí thuyết, chọn lọc, sắp xếp nội dung ñề tài.
Lập ñề cương thông qua giáo viên hướng dẫn.
Nghiên cứu lí thuyết, viết ñề tài, ñánh máy, nộp bản thảo cho giáo viên hướng dẫn,
chỉnh sửa.

Nộp ñề tài cho giáo viên phản biện , tham khảo ý kiến, chỉnh sửa.
Viết tóm tắt ñề tài báo cáo.
Bảo vệ ñề tài luận văn.

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 3


……………..

Nguyễn Anh Văn

……………..

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 4


……………..

……………..


1. KHÁI QUÁT VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ:
Hiện tượng ñiện từ rất phổ biến và giữ vai trò cực kì quan trọng trong tự nhiên. Hầu
hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học…ñều là kết quả
tương tác ñiện từ giữa các nguyên tử và phân tử. Các hiện tượng về ñiện và từ ñã ñược con
người quan sát, phát hiện rất sớm và dần dần theo thời gian từ ít ñến nhiều, từ ñơn giản ñến
phức tạp, từ hiện tượng ñền bản chất, con người ñã nghiên cứu, thực nghiệm rồi xây dựng
thành môn lí thuyết trường ñiện từ.
Trường ñiện từ là một dạng ñặc biệt của vật chất. Nó có tính hai mặt là liên tục
dưới dạng sóng và gián ñoạn dưới dạng lượng tử (phôtôn). Trường ñiện từ thể hiện sự tồn tại
và vận ñộng của nó qua tương tác với các hạt mang ñiện ñứng yên hay chuyển ñộng những
lực phụ thuộc vào khoảng cách và vận tốc của chúng. Phân tích tương tác của trường ñiện từ
lên môi trường chất trong một hệ qui chiếu quán tính ta thấy trường ñiện từ có hai luật tương
tác với các hạt hoặc vật nhỏ mang ñiện tùy theo cách chuyển ñộng của vật trong hệ: lực ñiện
chỉ phụ thuộc vào vị trí của vật không phụ thuộc vào vận tốc của vật ; lực từ chỉ tác ñộng khi
vật chuyển ñộng. Đó là các lực Lorentz của trường ñiện từ tác dụng lên vật mang ñiện. Ta
nói trường ñiện từ có hai mặt thể hiện và gọi hai mặt thể hiện ấy lần lượt là ñiện trường và từ
trường. Việc chia trường ñiện từ thành ñiện trường và từ trường chỉ mang tính tương ñối,
phụ thuộc vào ñiều kiện quan sát, ñiện trường và từ trường có thể chuyển hóa lẫn nhau, ñiện
trường biến ñổi theo thời gian sinh ra từ trường và ngược lại từ trường biến ñổi theo thời
gian sinh ra ñiện trường. Trường ñiện từ là một thực thể thống nhất, toàn vẹn ta chỉ có thể
khảo sát từng mặt tác dụng ñiện hoặc từ, chứ không thể tách riêng ñiện trường và từ trường
thành hai thực thể khác nhau.
Trường ñiện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng ñiện từ lan truyền trong
không gian. Khi lan truyền trường ñiện từ mang theo năng lượng và tín hiệu xác ñịnh. Năng
lượng này có thể chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác như năng lượng hóa học,
nhiệt, chuyển ñộng cơ học….Trạng thái và tính chất của trường ñiện từ ở mỗi ñiểm trong
không gian và thời gian nào ñó ñược xác ñịnh bởi các phương trình cơ bản, ñó là các phương
trình Maxwell. Các phương trình Maxwell thể hiện rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa trường ñiện
và trường từ: trường ñiện phụ thuộc vào trường từ qua sự biến ñổi của trường từ theo thời
gian và trường từ phụ thuộc vào trường ñiện qua sự biến ñổi của trường ñiện qua thời gian.

Ta có hệ thống sau:
Trường ñiện từ tĩnh là trường ñiện từ thỏa mãn hai ñiều kiện sau:
Các ñại lượng ñiện từ E , D, B, H , J .... không thay ñổi theo thời gian, do ñó ñạo
hàm riêng theo thời gian các ñại lượng này ñều bằng không.
Không có sự chuyển ñộng của các ñiện tích, nghĩa là không có dòng ñiện, mật
ñộ dòng ñiện J = 0.
Trường ñiện từ dừng là trường ñiện từ trong ñó các ñại lượng ñặc trưng cho trường
không phụ thuộc vào thời gian và có dòng ñiện không ñổi tồn tại trong không gian của
trường với mật ñộ dòng J .
Trường ñiện từ biến thiên là trường ñiện từ mà các thông số cơ bản của trường
E , D, B, H , J .... liên tục thay ñổi theo thời gian.
Trong bài nghiên cứu này chúng ta chỉ quan tâm khảo sát trường ñiện từ biến thiên theo
qui luật ñiều hòa. Việc nghiên cứu trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa có ý nghĩa thực tiễn và
cơ bản lớn bởi vì trong thực tế thường gặp các ñại lượng ñiện từ biến thiên theo qui luật ñiều
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 5


……………..

……………..

hòa. Hơn nữa về mặt nguyên tắc mọi quá trình biến ñổi tuần hoàn không ñiều hòa ñiều có thể
biểu diễn giải tích bởi chuỗi hay tích phân Fourier như là sự xếp chồng của các quá trình
ñiều hòa.


2. BIỂU DIỄN PHỨC CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐIỀU HÒA:
Để mô tả cấu trúc trạng thái của trường ñiện từ người ta sử dụng các ñại lượng vật lí
cơ bản là: vectơ cường ñộ ñiện trường E , vectơ cảm ứng ñiện D , vectơ cường ñộ từ
trường H , vectơ cảm ứng từ B . Nguồn trường ñiện từ là ñiện tích và dòng ñiện ñược ñặc
trưng bởi ñại lượng: ñiện tích Q hoặc mật ñộ ñiện tích ρ ; dòng ñiện I hoặc mật ñộ dòng ñiện
J . Tính chất của môi trường vật chất ảnh hưởng ñến trường ñiện từ ñược ñặc trưng bởi các
tham số ñiện từ của nó như: ñộ ñiện thẩm hay hằng số ñiện môi ε , ñộ từ thẩm hay hằng số từ
môi µ , ñộ dẫn ñiện riêng σ . Nói chung các ñại lượng ñặc trưng cho trường ñiện từ và nguồn
của nó là các hàm vectơ hay vô hướng của tọa ñộ không gian và thời gian. Các tham số ñiện
từ của môi trường có thể là hằng số hay hàm số của tọa ñộ. Một trạng thái rất quan trọng của
trường ñiện từ là trạng thái khi các ñại lượng cơ bản của trường và nguồn biến thiên ñiều hòa
với tần số góc ω nào ñó. Khi ñó ñể ñơn giản hóa việc giải các bài toán trường ñiện từ biến
thiên ñiều hòa người ta thường sử dụng phương pháp số phức, biểu diễn các ñại lượng ñiều
hòa bằng những ñại lượng phức. Sử dụng số phức cho ta nhiều thuận lợi trong tính toán nhất
là trong các phép lấy ñạo hàm và tích phân.
Ví dụ:
Gọi f(t), f1(t), f2(t) là các ñại lượng ñiều hòa theo thời gian có tần số góc ω và các ñại
lượng phức tương ứng là Fɺ , Fɺ1 , Fɺ2 các phép tính trên các ñại lượng phức thỏa các tính chất
sau:
kf (t ) ↔ kFɺ
d ( f (t ))
↔ iωFɺ
dt
1
∫ f (t ) dt ↔ iω Fɺ
f 1 (t ) ± f 2 (t ) ↔ Fɺ1 ± Fɺ2

Bây giờ ta biễu diễn các ñại lượng cơ bản của trường ñiện từ dưới dạng phức:
Đối với trường ñiện từ ñiều hòa tại mọi ñiểm (x, y, z) ba thành phần theo ba trục

tọa ñộ của E , D, B, H , J .... biến thiên theo qui luật ñiều hòa.
+ Ví dụ: như xét cho vectơ E .
E ( x, y, z , t ) = i E X ( x, y, z ) cos[ωt + (ψ X ( x, y, z )] + j EY ( x, y, z ) cos[ωt + ψ Y ( x, y, z )] +
k E Z ( x, y, z ) cos[ωt + ψ Z ( x, y, z )]

+ Trong ñó các biên ñộ EX, EY, EZ và các góc pha ban ñầu ψ X ,ψ Y ,ψ Z là những hàm
của tọa ñộ không gian, không phụ thuộc vào thời gian t, ω là tần số góc của trường ñiện từ
biến thiên ñiều hòa .
Ở các ñiểm mà tại ñó ψ X = ψ Y = ψ Z = ψ các thành phần EX(t), EY(t), EZ(t) biến
thiên tỉ lệ nhau nên vectơ E ở ñó luôn có một phương cố ñịnh.
E (t ) = E cos(ωt + ψ )
Với:
E = E X i + EY j + E Z k
E không phụ thuộc vào thời gian t.
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 6


……………..

……………..

Ở những ñiễm mà ψ X ≠ ψ Y ≠ ψ Z vì lệch pha nhau nên các thành phần EX(t), EY(t),
EZ(t) không tỉ lệ nhau, do ñó E sẽ không có phương cố ñịnh mà có phương thay ñổi, quay
trong không gian.

+ Do các ñại lượng thực của trường ở một thời ñiểm bất kì có thể ñược coi như là
phần thực của các ñại lượng phức tương ứng với chúng nên ta có thể viết:
E ( x, y, z , t ) = Re{i E X e i (ωt +ψ X ) + j EY e i (ωt +ψ Y ) + k E Z e i (ωt +ψ Z )
ɺ
⇒ E ( x , y , z , t ) = Re E ( x , y , z ) e i ω t
+ Với Re là kí hiệu “phần thực” của ñại lượng phức.

)

(

+ Trong ñó:

}

ɺ
E ( x , y , z ) = i E X e iψ X + j E Y e iψ Y + k E Z e iψ Z

ɺ
E ñược xác ñịnh như trên gọi là biên ñộ phức của cường ñộ ñiện trường.
Đối với các ñại lượng vectơ ñiều hòa khác như D, B, H , J ... ta cũng ñịnh nghĩa các
vectơ biên ñộ phức tương ứng Dɺ , Bɺ , Hɺ , Jɺ... một cách tương tự.

Đối với ñại lượng vô hướng như mật ñộ ñiện tích khối
ρ ( x, y, z , t ) = ρ 0 ( x, y, z ) cos(ωt + ψ ) , ta cũng ñịnh nghĩa biện ñộ phức mật ñộ ñiện tích khối
ρɺ ( x, y, z ) = ρ 0 e iψ khi ñó:
ρ ( x , y , z , t ) = Re( ρɺ e i ω t )
Khi khảo sát trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa, người ta biểu diễn các ñại lượng
ñiều hòa bởi các vectơ biên ñộ phức hoặc biên ñộ phức tương ứng.
ɺ

E ( x, y , z , t ) ↔ E ( x , y , z )
ɺ
D ( x, y , z , t ) ↔ D ( x, y , z )
ɺ
B ( x, y , z , t ) ↔ B ( x, y , z )
ɺ
H ( x, y , z , t ) ↔ H ( x, y , z )
ɺ
J ( x , y , z , t ) ↔ J ( x, y , z )
ρ ( x, y , z , t ) ↔ ρɺ ( x, y , z ) …..

Với cách biểu diễn như vậy, các ñạo hàm riêng theo thời gian sẽ tương ứng với
phép nhân iω với các biên ñộ phức.
∂
ɺ
E ( x , y , z , t ) ↔ iω E
∂t

Ví dụ:

Phép lấy tích phân theo thời gian sẽ tương ứng với phép nhân 1iω với các biên ñộ
phức.
1 ɺ

∫ E ( x, y, z, t )dt ↔ iω E

Ví dụ:

Như vậy ñốivới trường ñiện từ ñiều hòa việc tính toán các ñại lượng của trường trên
các biên ñộ phức sẽ ñơn giản hơn. Cuối cùng các giá trị tức thời cần tìm cho các ñại lượng

của trường sẽ nhận ñược bằng cách lấy phần thực của tích giữa biên ñộ phức ñã thu ñược của
trường với thừa số thời gian

Nguyễn Anh Văn

e iω t .

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 7


……………..

……………..

3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL DẠNG PHỨC:
Trên cơ sở nghiên cứu các ñịnh luật thực nghiệm về ñiện từ Maxwell ñã khái quát hóa
chúng chỉ ra tác dụng tương hỗ giữa ñiện trường và từ trường, ñưa ra khái niệm dòng ñiện
dịch và xây dựng ñược các phương trình cơ bản của lí thuyết trường ñiện từ. Hệ thống các
phương trình cơ bản của lí thuyết trường ñiện từ ñược mang tên của ông – hệ phương trình
Maxwell.

3.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL:
3.1.1. PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ NGUỒN CỦA VECTƠ ĐIỆN CẢM:
+ Ta có thể xuất phát từ ñịnh luật Gauss:
“Thông lượng của vectơ cảm ứng ñiện D gửi qua mặt kín S bất kì bằng tổng các ñiện
tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S”.

(3.1)

∫ DdS = q
S

+ Trường hợp ñiện tích q phân bố liên tục trong thể tích V bao bởi mặt kín S:
(3.2)
q = ∫ ρdV
V

Thay vào:

∫ DdS = ∫
S

V

ρdV

(3.3)

+ Áp dung ñịnh lí Divergence ñối với vế trái:

∫ DdS = ∫ divDdV

(3.4)

∫ (divD − ρ )dV = 0

(3.5)


S

V

Hệ thức (3.3) thành:
V

+ Hệ thức này ñúng với thể tích V bất kì nên hàm dưới dấu tích phân phải bằng không.
Hay :
(3.6)
divD = ρ
Phương trình (3.6) là một trong các phương trình Maxwell.
Nếu: ρ = 0 ⇒ Trong thể tích V không có nguồn của D .
Nếu: ρ ≠ 0 ⇒ Nguồn của D là ñiện tích, ñường sức của D bắt ñầu ở ñiện tích dương
( ρ > 0) và kết thúc ở ñiện tích âm ( ρ < 0) .

3.1.2.PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ ĐỊNH LUẬT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
FARADAY:
Ta có thể xuất phát từ ñịnh luật Farady với nội dung như sau:
“Sức ñiện ñộng cảm ứng có trị bằng và ngược dấu với tốc ñộ biến thiên từ thông gửi
qua diện tích giới hạn bởi vòng dây”.
dφ
(3.7)
ξ =−
dt

+ Sức ñiện ñộng cảm ứng có thể ñược xem như lưu thông của vectơ trường ñiện theo
vòng dây dẫn kín l.
ξ = ∫ Edl

(3.8)
l

+ Còn từ thông ñược ñịnh nghĩa bằng:
φ = ∫ BdS

(3.9)

S

+ Thay (3.8) và (3.9) vào (3.7):
Nguyễn Anh Văn

∫ Edl
l

=−

d
BdS
dt ∫S

………………………
………………………...
Luận văn

(3.10)
Trang 8



……………..

……………..

Áp dụng ñịnh lí Stokes ñối với vế trái ta ñược:
∂B
dS
S ∂t

∫ rotEdS = −∫
S

(3.11)

+ Vì mặt lấy tích phân tùy ý:
rotE = −

∂B
∂t

(3.12)

Phương trình (3.12) là một trong các phương trình Maxwell khẳng ñịnh: từ trường
biến thiên theo thời gian sinh ra ñiện trường xoáy phân bố trong không gian.

3.1.3. PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ DÒNG TOÀN PHẦN:
Định luật về dòng toàn phần ñược phát biểu như sau:
“Lưu số của vectơ cường ñộ từ trường H dọc theo ñường cong kín l tùy ý bằng tổng
ñại số cường ñộ các dòng ñiện chảy qua diện tích bao bởi ñường cong kín l”.
(3.13)

∫ Hdl = I
l

Tích phân vòng ñược lấy theo qui tắc vặn ñinh ốc thuận so với chiều của dòng toàn
phần.
+ Trường hợp I chảy qua diện tích S phân bố liên tục với mật ñộ dòng J , ñịnh luật lưu
số Ampere- maxwell có dạng:
(3.14)
∫ Hdl = ∫ JdS
l

S

+ Áp dụng ñịnh lí Stokes ñối với trái (3.14) và chuyển vế ta ñược:

∫ (rotH − J )dS = 0
S

(3.15)

+ Vì cận lấy tích phân tùy ý nên hàm dưới dấu tích phân phải bằng không, rút ra:
(3.16)
rotH = J
+ Phương trình trên chỉ ñúng ñối với dòng ñiện không ñổi. Đối với dòng ñiện không
∂ρ
∂ρ
ñổi
(3.17)
= 0 từ phương trình liên tục:
divJ +

=0
∂t

∂t
divJ = 0

Ta có:
+ Hệ thức (3.16) phù hợp với phương trình này:

(3.18)

divrotH = divJ = 0

(3.19)
+ Hệ thức (3.18) chứng tỏ các ñường dòng dẫn không ñổi khép kín hoặc ñi ra xa vô
cùng. Chúng không có ñiểm bắt ñầu và kết thúc.
∂ρ
+ Đối với dòng ñiện biến ñổi từ (3.17): divJ = −
(3.20)
≠0
∂t

Hệ thức (3.20) chứng tỏ các ñường dòng của các dòng dẫn biến ñổi không khép
kín chúng bắt ñầu và kết thúc ở những ñiểm ở ñó có mật ñộ ñiện tích biến ñổi theo thời gian
chẳng hạn tại các cốt của tụ ñiện. Dòng ñiện biến ñổi ñi qua ñược mạch có tụ dù không tồn
tại dòng ñiện dẫn trong lớp ñiện môi giữa hai cốt tụ.do ñó cần giả thiết : có một quá trình nào
ñó tương ñương với sự có mặt của dòng ñiện dẫn giữa hai cốt tụ ñiện.theo Maxwell giữa hai
cốt tụ tồn tại dòng ñiện dịch khép kín dòng ñiện dẫn trong mạch. Chính ñiện trường biến ñổi
theo thời gian tạo nên dòng ñiện dịch này.
+ Từ (3.6):

divD = ρ

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 9


……………..

+ Thay (3.20) vào:

……………..
∂ρ
∂D
⇒
= div( )
∂t
∂t
∂D
)=0
div( J +
∂t

+ Hệ thức (3.22) chứng tỏ ñường dòng của vectơ J tp = J +

(3.21)

(3.22)
∂D
∂t

(3.23) khép kín.

Vectơ J tp gọi là vectơ mật ñộ dòng toàn phần gồm:
J = γE

+ Vectơ mật ñộ dòng dẫn:

Jd =

+ Và vectơ dòng dịch:

(3.24)

∂D
∂t

(3.25)

+ Định lí lưu số Ampere – Maxwell kể ñến dòng ñiện dịch:

∫ Hdl = ∫ ( J +
l

S

∂D

) dS
∂t

(3.26)

+ Áp dụng ñịnh lí Stokes ta có:
rotH = J +

∂D
∂t

(3.27)

Phương trình (3.27) là một trong các phương trình Maxwell dạng vi phân khẳng
ñịnh: từ trường xoáy ñược tạo nên không chỉ bởi dòng ñiện dẫn mà còn bởi dòng ñiện dịch.
Dòng ñiện dịch chỉ tương ñương với dòng ñiện dẫn về phương diện tạo nên từ trường.

3.1.4. PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA TỪ
THÔNG:
Ta thấy rằng các ñường sức của từ trường xung quanh một dòng ñiện luôn liên tục
nghĩa là nó không có ñiểm bắt ñầu và ñiểm kết thúc. Như vậy: “Thông lượng vectơ cảm ứng
từ B gửi qua mặt kín S tùy ý luôn bằng không’’.
φ = ∫ BdS = 0
(3.28)
S

+ Áp dụng ñịnh lí Divergence:

∫ BdS = ∫ divBdV = 0
S


V

(3.29)

+ Vì thể tích V tùy ý:
(3.30)
divB = 0
Phương trình (3.30) là một trong các phương trình Maxwell dạng vi phân chứng
tỏ: vectơ cảm ứng từ B không có nguồn.
Tóm lại các vectơ ñặc trưng cho trường ñiện từ E , D, B, H , J .... tại mỗi ñiểm của
không gian và ở mỗi thời ñiểm liên hệ với nhau và liên hệ với nguồn của trường theo những
qui luật xác ñịnh ñược phát biểu dưới dạng toán học bởi hệ các phương trình (3.6), (3.12),
(3.27), (3.30) ñược gọi là hệ phương trình Maxwell :
∂D
∂t
∂B
rotE = −
∂t
divB = 0
divD = ρ
rotH = J +

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

(3.31.a)

(3.31.b)
(3.31.c)
(3.31.d)
Trang 10


……………..

……………..

Chỉ có phương trình Maxwell (3.31.a) và (3.31.b) là ñộc lập, hai phương trình
(3.31.c) và (3.31.d) có thể suy ra từ hai phương trình (3.31.a) và (3.31.b). Do vậy ñể xác ñịnh
E , D, B, H , J .... cần bổ sung thêm các phương trình liên hệ gọi là các phương trình chất. Các
phương trình này liên hệ với các vectơ của trường với các thông số ε , µ , γ , ñặc trưng cho môi
trường. Ta ñã có các phương trình liên hệ ñã biết sau:
(3.32)
D = εE
(3.33)
B = µH
(3.34)
J = γE

3.2.HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL DẠNG PHỨC:
Từ hệ phương trình Maxwell (3.31) ta có thể dễ dàng suy ra hệ phương trình Maxwell
dạng phức như sau:
ɺ ɺ
ɺ
(3.35)
rotH = J + iωD
ɺ

ɺ
rotE = −iωB
(3.36)
ɺ
(3.37)
divB = 0
ɺ ɺ
(3.38)
divD = ρ
+ Trong ñó ñạo hàm theo thời gian các ñại lượng ñặc trưng cho trường ñược thay
tương ứng với phép nhân iω . Tương tự ta suy ra các phương trình chất dạng phức như sau:
ɺ
ɺ
(3.39)
D = εE
ɺ
ɺ
(3.40)
B = µH
ɺ
ɺ
J = γE

(3.41)

+ Phương trình Maxwell (3.35) có thể viết dưới dạng:

γ ɺ
ɺ
ɺ

ɺ
ɺ
ɺ
rotH = γE + iωD = γE + iωεE = iω (ε − i ) E

γ
+ Ta ñặt: εɺ = ε − i gọi εɺ là ñộ thẩm ñiện phức thì :
ω
ɺ
ɺ
rotH = iωεɺE
+ Phương trình Maxwell (3.38) có thể viết lại ở dạng:

ω

(3.42)

i
ɺ
ɺ
divD = div(εE ) = ρɺ = (−iωρɺ )

ω

+ Mặt khác theo phương trình liên tục:
divJ = −iωρɺ
+ Thay vào ta ñược:
i
i ɺ
i ɺ

ɺ
ɺ
div(εE ) = divJ = div( J ) = div( γE )

ω

iγ ɺ
⇒ div[(ε − ) E ] = 0

ω

ω

ω

ɺ
⇒ div(εɺE ) = 0

Tóm lại ta có phương trình Maxwell phức:
ɺ
ɺ
rotH = iωεɺE

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

(3.43)

(3.44)

Trang 11


……………..
……………..
ɺ
ɺ
rotE = −iωB
ɺ
divB = 0
ɺ
div(εɺE ) = 0

(3.45)
(3.46)
(3.47)
+ Phương trình (3.47) có thể suy ra từ phương trình (3.44), thậy vậy lấy div hai vế
của phương trình (3.44) ta có:
ɺ
ɺ
divrotH = div(iωεɺE )
Vì: divrotA = 0 với A bất kì nên:
ɺ
⇒ div(εɺE ) = 0
+ Tương tự ta cũng có thể chứng minh rằng phương trình (3.46) có thể suy ra từ
phương trình (3.45) ta có:
ɺ
ɺ

divrotE = div(−iωB)
Hay :

ɺ
⇔ 0 = −iωdivB
ɺ
divB = 0

3.3. THẾ VECTƠ VÀ THẾ VÔ HƯỚNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN
THIÊN:
Việc khảo sát một số bài toán trường ñiện từ biến thiên sẽ ñược tiện lợi và ñơn giản
hơn rất nhiều nếu các ñại lượng ñặc trưng cho trường ñiện từ như E , B, D, H ñược biểu diễn
qua hai ñại lượng trung gian là thế vectơ và thế vô hướng.
+ Bởi vì divrot của một vectơ bất kì luôn bằng không nên từ phương trình Maxwell
thứ ba ( divBɺ = 0 ) ta có thể biểu diễn:
ɺ
ɺ
B = rotA

(3.48)

ɺ
A ñược gọi là vectơ biên ñộ phức của thế vectơ A .
+ Thay Bɺ bởi (3.48) vào phương trình Maxwell thứ hai (rotEɺ = −iωBɺ ) ta ñược:
ɺ
ɺ
(rotE = −iωrotA)
ɺ
ɺ
(3.49)

⇔ rot ( E + iωA) = 0

+ Mặt khác ta biết rằng rotgrad của một vô hướng bất kì luôn bằng không. Từ phương
ɺ
trình (3.49) ta có thể biểu diễn vectơ ( Eɺ + iωA) qua gradient của một hàm vô hướng ϕ :
ɺ
ɺ
E + iωA = − gradϕɺ
ɺ
ɺ
⇔ E = − gradϕɺ − iωA

(3.50)
+ Trong ñó ϕɺ ñược gọi là biên ñộ phức của thế vô hướng ϕ . Số hạng thứ hai trong
vế phải của (3.50) khác không chứng tỏ trường ñiện E của trường ñiện từ biến thiên không
phải là trường thế, công thực hiện bởi trường ñiện này khi dịch chuyển ñiện tích giữa hai
ñiểm nói chung phụ thuộc vào ñường ñi.
+ Vì các thế A , ϕ là các hàm chọn tùy ý nên ta có thể chọn chúng bằng cách ñưa
thêm các ñiều kiện phụ xác ñịnh. Trong ñiện ñộng lực học người ta ñưa vào ñiều kiện phụ
Lorentz như sau:
ɺ
divA + iωµεϕɺ = 0

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

(3.51)

Trang 12


……………..

……………..

Với việc chọn ñiều kiện bổ sung này các phương trình dẫn xuất sẽ ñơn giản ñi nhiều.

4. BIỂU DIỄN PHỨC CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH:
Đối với trường ñiện từ ñiều hòa, thường trong thực tế người ta quan tâm ñến giá trị
trung bình của chúng trong một chu kì hơn là giá trị tức thời. Vì vậy ta tìm cách biễu diễn
phức một số ñại lượng trung bình của trường quan trọng như vectơ poyting P(t ) , mật ñộ
năng lượng trường ñiện WE(t), mật ñộ năng lượng trường từ WM(t), mật ñộ công suất tiêu tán
Ptt(t). Ta có thể viết các ñại lượng phức và liên hợp phức của nó như sau:
ɺ 1 ɺ ɺ
E = reE = ( E + E ∗ )
2
ɺ 1 ɺ
ɺ
H = reH = ( H + H ∗ )
2

(4.1)
(4.2)

Vectơ Poyting P(t ) có thể biểu diễn qua ñại lượng phức như sau:
ɺ
ɺ
P(t ) = E (t ) xH (t ) = Re( Ee iωt ) x Re( He iωt )

1 ɺ
1 ɺ
ɺ
ɺ
= ( E e i ω t + E ∗ e − i ω t ) x ( He i ω t + H ∗ e − i ω t )
2
2
1 ɺ ɺ ∗ ɺ∗ ɺ
1 ɺ ɺ
ɺ ɺ
= ( ExH + E xH ) + ( ExHe i 2ωt + E ∗ xH ∗ e −i 2ωt ) (4.3)
4
4
ɺ∗ ɺ
ɺ ɺ∗
ɺ ∗ ɺ ∗ −i 2ωt
+ Vì ( E xH ) là liên hợp phức của ( ExH ) ; ( E xH e
) là liên hợp phức của
ɺ ɺ
( ExHe i 2ωt ) nên:
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ExH ∗ + E ∗ xH = 2 Re( ExH ∗ )

(4.4)

ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ

E x H e i 2ωt + E ∗ x H ∗ e − i 2ωt = 2 Re( E xH e i 2ω t )

(4.5)

+ Do ñó:
P(t ) =

1
1
ɺ ɺ
ɺ ɺ
Re( ExH ∗ ) + Re( ExHe i 2ωt )
2
2

(4.6)

Số hạng thứ nhất của vế phải của (4.6) là ñại lượng không thay ñổi theo thời gian,
còn số hạng thứ hai là ñại lượng biến thiên hình sin theo thời gian với tần số 2ω , do ñó giá
trị trung bình của P(t ) trong một chu kì T.
T

P(t ) =

1
1
ɺ ɺ
P(t )dt = Re( ExH )
∫
T 0

2
T

P(t ) =

1
ɺ
P(t )dt = Re P
∫
T 0

(4.7)

1
Với Pɺ = Eɺ xHɺ gọi là vectơ Poyting phức.
2

Chứng minh một cách tương tự, ta có mật ñộ năng lượng trường ñiện WE(t):
T

1
1
1 ɺ ɺ
WE (t ) = E (t ).D(t ) ⇒ WE (t ) = ∫ WE (t )dt = Re( E.D ∗ )
2
T 0
4

Vì: Eɺ .Dɺ ∗ = εEɺ .Eɺ ∗ là số thực nên:


Nguyễn Anh Văn

1 ɺ ɺ
1
WE (t ) = εE.E ∗ = εE m2
4
4
………………………
………………………...
Luận văn

(4.8)
Trang 13


……………..
……………..
ɺ ɺ∗
2
2
2
E = E.E = E xm + E ym + E zm
2
m

Với:
Tương tự, mật ñộ năng lượng trường từ WM(t):
T

1

1
1 ɺ ɺ
1 ɺ ɺ
1
B(t ).H (t ) ⇒ WM (t ) = ∫ WM (t )dt = B.H ∗ = µH .H ∗ = µH m2
2
4
4
4
T 0
2
2
2
+ H ym
+ H zm
Với: H m2 = Hɺ .Hɺ ∗ = H xm

WM (t ) =

(4.9)

Ta có mật ñộ công suất tiêu tán Ptt(t):
Ptt (t ) = E (t ).J (t ) với J = γE
Ptt (t ) =

T
1
1 ɺ ɺ ∗ 1 2 J m2
P
t

dt
=
E . J = γE m =
(
)
tt
T ∫0
2
2
2γ

(4.10)

2
2
2
Với J m2 = Jɺ .Jɺ ∗ = J xm
+ J ym
+ J zm

5. ĐỊNH LÍ POYTING DẠNG PHỨC:
Định lí Poyting thiết lập mối quan hệ giữa sự thay ñổi năng lượng ñiện từ trong thể
tích V với dòng năng lượng ñiện từ chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích này. Định lí
Poyting là một ñịnh lí quan trọng của lí thuyết trường ñiện từ, là dạng phát biểu toán học của
ñịnh luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng ñối với trường ñiện từ.
+ Ta có vectơ Poyting phức ñược ñịnh nghĩa như sau:
ɺ 1 ɺ ɺ
P = ExH
2


(5.1)

+ Lấy div hai vế của (5.1) ta ñược:

Mặt khác:

1 ɺ
ɺ 1
ɺ ɺ
ɺ 1 ɺ
ɺ
divP = div( ExH ∗ ) = H ∗ rotE − ErotH ∗
2
2
2
ɺ
ɺ
rotE = −iωB
ɺ ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
rotH = J + iωD ⇒ rotH ∗ = J ∗ − iωD ∗

(5.2)

+ Do ñó phương trình (5.2) trở thành:
ɺ 1 ɺ
ɺ 1 ɺ ɺ

ɺ
divP = H ∗ (−iωB) − E ( J ∗ − iωD ∗ )
2
2
1 ɺ ɺ
1 ɺ ɺ
1 ɺ ɺ
= 2iω ( E.D ∗ − B.H ∗ ) − E.J ∗
4
4
2

+ Từ (4.8), (4.9), (4.10) suy ra:
ɺ
− divP = 2iω ( WM − W E ) + Ptt

(5.3)
+ Lấy tích phân thể tích hai vế của (5.3) theo thể tích V bao bởi mặt kín S trong ñó có
trường ñiện từ, sau ñó áp dụng ñịnh lí divergence cho vế trái ta ñược:
ɺ
(5.4)
− ∫ PdS = ∫ Ptt dV + 2iω ∫ ( WM − WE )dV
S

V

V

Phương trình (5.4) gọi là ñịnh lí Poyting phức ở miền không có nguồn ngoài ta
phân tích sơ về ý nghĩa của phương trình (5.4).

+ Lấy phần thực hai vế của phương trình (5.4) ta ñược:
ɺ
(5.5)
− Re ∫ PdS = ∫ Ptt dV
S

V

Vế phải của (5.5) là công suất tiêu tán trung bình trong thể tích V. Theo (4.7):
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 14


……………..
……………..
ɺ
ɺ
− Re ∫ PdS = − ∫ Re PdS = − ∫ P dS
S

S

S

Do ñó vế trái của (5.5) là công suất trung bình chảy vào thể tích V qua bề mặt S.

+ Lấy phần ảo hai vế của phương trình (5.4) ta ñược:
ɺ
− Im ∫ PdS = 2ω ∫ ( WM − W E )dV
S

V

+ Theo lí thuyết trường ñiện từ ñã chứng minh khi kích thước mạch ñiện ñủ nhỏ so
với bước sóng của trường ñiện từ ñể có thể sử dụng mô hình mạch thì:
1
ɺ
− ∫ PdS = UɺI ∗ = công suất phức.
2
S

+ Khi ñó:
1
1
ɺ
− Re ∫ PdS = Re(UɺI ∗ ) = U m I m cos ϕ = P = công suất tác dụng ñưa vào mạch ñiện.
2
2
S
1
1
ɺ
− Im ∫ PdS = Im(UɺI ∗ ) = U m I m sin ϕ = Q = công suất phản kháng ñưa vào mạch ñiện.
2
2
S


6. NGUYÊN LÍ TƯƠNG HỖ:
Nguyên lí tương hỗ phản ánh mối quan hệ tương hỗ giữa trường ñiện từ và các nguồn
tạo ra nó tại hai ñiểm khác nhau trong không gian. Nó có vai trò rất quan trọng trong lí
thuyết anten. Để dẫn ra biểu thức của nguyên lí tương hỗ ta xét một bổ ñề quan trọng gọi là
bổ ñề Lorentz.

6.1. BỔ ĐỀ LORENTZ:
Gọi ( Eɺ 1 , Hɺ ) , ( Eɺ 2 , Hɺ ) theo thứ tự là 2 trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa cùng tần số góc
ω gây ra bởi 2 nguồn là hai phân bố dòng ñiện ngoài Jɺ n1 và Jɺ n 2 ñộc lập nhau. Giả sử môi
trường chung quanh là dồng nhất và ñẳng hướng với các tham số (ε , µ , γ ) . Các trường này
thỏa mãn các phương trình Maxwell :
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
(6.1)
rotH 1 = J n1 + γE1 + iωεE1 = J n1 + iωεɺE1
ɺ
ɺ
(6.2)
rotE1 = −iωµH 1
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ

rotH 2 = J n 2 + γE 2 + iωεE 2 = J n 2 + iωεɺE 2
(6.3)
ɺ
ɺ
(6.4)
rotE 2 = −iωµH 2
+ Nhân vô hướng hai vế của phương trình (6.2) với Hɺ 2 và hai vế của phương trình
(6.3) với Eɺ1 sau ñó lập hiệu của chúng ta ñược:
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
H 2 rotE1 − E1 rotH 2 = −iωµH 1 H 2 − J n 2 E1 − iωεɺE1 E 2
(6.5)

+ Mặt khác ta biết:
ɺ ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
div( E1 xH 2 ) = H 2 rotE1 − E1 rotH 2

(6.6)

+ Từ (6.5) và (6.6) ta ñược:
ɺ ɺ

ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
div( E1 xH 2 ) = −iωµH 1 H 2 − J n 2 E1 − iωεɺE1 E 2

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

(6.7)

Trang 15


……………..

……………..

+ Tương tự nhân vô hướng hai vế của phương trình (6.4) với Hɺ 1 và hai vế của
phương trình (6.1) với Eɺ 2 sau ñó lập hiệu của chúng ta ñược:
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
H 1rotE 2 − E 2 rotH 1 = −iωµH 1 H 2 − J n1 E 2 − iωεɺE1 E 2


(6.8)

ɺ ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
div( E 2 xH 1 ) = H 1 rotE 2 − E 2 rotH 1

(6.9)

+ Mặt khác:
+ Từ (6.8) và (6.9) ta có:
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
div( E 2 xH 1 ) = −iωµH 1 H 2 − J n1 E 2 − iωεɺE1 E 2

(6.10)

+ Lấy (6.7) trừ (6.10) ta ñược:
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
div[( E1 xH 2 ) − ( E 2 xH 1 )] = J n1 E 2 − J n 2 E1

(6.11)

Biểu thức (6.11) gọi là bổ ñề Lorentz dạng vi phân. Nếu lấy tích phân hai vế của
(6.11) theo thể tích V hữu hạn, sau ñó áp dụng ñịnh lí divergence cho vế trái ta nhận ñược
dạng tích phân của bổ ñề Lorentz:
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
(6.12)
∫ (E1 xH 2 − E 2 xH 1 )dS = ∫ (J n1 E2 − J n 2 E1 )dV
S

V

Với S là bề mặt bao V.
Trong trường hợp V là miền vô hạn, bề mặt S là mặt cầu bán kính vô cùng lớn nếu
hai nguồn trường phân bố trong miền hữu hạn V1 và V2 như hình vẽ thì tích phân mặt ở vế
trái của (6.12) sẽ tiến tới 0.
ɺ ɺ
ɺ ɺ
(6.13)
∫ (J n1 E 2 − J n 2 E1 )dV = 0
V

V1
V2

ɺ
J n1

ɺ

J n2

6.2. NGUYÊN LÍ TƯƠNG HỖ:
Giả sử rằng trong môi trường ñồng nhất và ñẳng hướng nguồn ñiện và nguồn từ 1 chỉ
phân bố trong thể tích V1 còn nguồn ñiện và nguồn từ 2 chỉ phân bố trong thể tích V2 và 2
thể tích này không có nguồn chung. Như vậy tích phân theo thể tích V∞ ở vế trái của (6.13)
ñược phân làm ba tích phân: theo các vùng V1, V2 và vùng còn lại.Tích phân theo vùng còn
lại có giá trị bằng không vì trong vùng này không tồn tại các nguồn. Do ñó biểu thức (6.13)
có dạng:
ɺ ɺ
ɺ ɺ
(6.14)
∫ J n1E2 dV = ∫ J n 2 E1dV
V1

V2

Hệ thức trên là mô tả toán học của nguyên lí tương hỗ.
Để thấy rõ ý nghĩa của nguyên lí tương hỗ ta xét ví dụ sau:
+ Trong thể tích V1 ñặt 1 nguyên tố anten thứ I, thẳng, dài l1, tiết diện S1 mang dòng
ɺ
ñiện I1 .Trong thể tích V2 ñặt 1 nguyên tố anten thứ II, thẳng, dài l2, tiết diện S2 mang dòng
ñiện Iɺ2 . Gọi Eɺ1 là trường ñiện gây bởi anten l1 tại vị trí của anten l2 và Eɺ 2 là trường ñiện gây
bởi anten l2 tại vị trí của anten l1.
+ Theo nguyên lí tương hỗ ta có:
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn


Trang 16


……………..
ɺ ɺ
∫ J 1 E2 dV =
V1

……………..
ɺ ɺ
∫ J 2 E1dV

(6.15)

V2

ɺ
Iɺ1 = ∫ J 1 dS

Với:

(6.16)

S1

Iɺ2 =

ɺ


∫J

2

(6.17)

dS

S2

+ Và

ɺ

ξɺ1 = ∫ E 2 dl

(6.18)

là suất ñiện ñộng cảm ứng trên anten l1 gây ra bởi dòng

(6.19)

là suất ñiện ñộng cảm ứng trên anten l2 gây ra bởi

l1

Iɺ2 trên anten l2.
ɺ
ξɺ2 = ∫ E1 dl
l2


dòng Iɺ1 trên anten l1.
+ Từ các phương trình (6.15), (6.16), (6.17), (6.18), (6.19) ta suy ra:
(6.20)
Iɺ1ξɺ2 = Iɺ2ξɺ1
+ Nếu hai anten có kích thước giống nhau và mật ñộ dòng ñiện trong chúng bằng
nhau thì từ (6.20) ta ñược:
ξɺ1 = ξɺ2
(6.21)
Hay tác dụng của nguyên tố anten thứ I lên anten thứ II cũng bằng tác dụng của
anten thứ II lên anten thứ I.
Từ nguyên lí tương hỗ ta rút ra một kết luận quan trọng là các thông số và ñồ thị
ñịnh hướng của một anten khi dùng làm anten thu cũng giống như các thông số và ñồ thị
ñịnh hướng khi nó ñược dùng làm anten phát. Trong kĩ thuật rañar người ta dùng cùng một
anten lúc thì làm anten phát, lúc thì làm anten thu.

7. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MAXWELL :
Để tìm các vectơ cường ñộ của trường ñiện từ trong các bài toán ñiện từ, nói chung ta
phải giải các phương trình Maxwell tức là tích phân chúng. Phần này trình bày các phương
pháp tích phân các phương trình Maxwell trên cơ sở chuyển chúng về dạng các phương trình
sóng cho các vectơ cường ñộ trường, các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt. Sau ñó áp dụng
các phương pháp phổ biến trong vật lí toán chúng ta tìm ñược nghiệm của các phương trình
sóng trên và dẫn ra biểu thức cho các vectơ cường ñộ trường. Trường ñiện từ bức xạ của
lưỡng cực ñiện, lưỡng cực từ ñược tìm theo các phương pháp trên là một trong những ví dụ
minh họa.

7.1. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO CÁC VECTƠ CỦA CƯỜNG ĐỘ
TRƯỜNG:
Ở ñây ta sẽ dẫn ra những phương trình truyền ñối với E , H trong môi trường ñồng

γ
nhất µ = const , εɺ = ε − i . Ta có các phương trình Maxwell dạng phức:
ω
ɺ
ɺ
(7.1)
rotH = iωεɺE
ɺ
ɺ
(7.2)
rotE = −iωµH
ɺ
div( µH ) = 0
ɺ
div(εɺE ) = 0
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

(7.3)
(7.4)
Trang 17


……………..

……………..


+ Lấy rot hai vế của phương trình (7.1) ta ñược:
ɺ
ɺ
rotrotH = rot (iωεɺE )
ɺ
ɺ
ɺ
⇔ graddivH − ∆H = iωεɺrotE

(7.5) (vì εɺ = const )

+ Mặt khác µ = const nên theo phương trình (7.3) ta có
ɺ
ɺ
ɺ
div( µH ) = µdivH = 0 ⇒ divH = 0
ɺ
ɺ
Do ñó (7.5) trở thành:
− ∆H = iωεɺrotE
+ Thay phương trình (7.2) vào (7.6) ta ñược:
ɺ
ɺ
∆H + ω 2εɺµH = 0
+ Tương tự lấy rot hai vế của phương trình (7.2) ta ñược:
ɺ
ɺ
rotrotE = rot (−iωµH )
ɺ
ɺ

ɺ
⇔ graddivE − ∆E = −iωµrotH

(7.6)
(7.7)

(7.8)

+ Mặt khác εɺ = const nên theo phương trình (7.4) ta suy ra divEɺ = 0 . Do ñó (7.8) trở
ɺ
ɺ
thành:
(7.9)
− ∆E = −iωµrotH
+ Thế phương trình (7.1) vào phương trình (7.9) ta ñược:
ɺ
ɺ
(7.10)
∆E + ω 2εɺµE = 0
Hai phương trình (7.7) và (7.10) là hai phương trình sóng cho các vectơ cường ñộ
trường. Khi tồn tại nguồn ta sẽ chuyển các phương trình Maxwell về các phương trình sóng
cho các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt sẽ ñơn giản và thuận lợi hơn cho việc tìm nghiệm
của chúng.

7.2. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO CÁC THẾ ĐIỆN ĐỘNG:
Xét một trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa gây ra bởi nguồn là ñiện tích và dòng ñiện
phân bố trong thể tích V hữu hạn. Với mật ñộ ñiện tích là ρɺ S và mật ñộ dòng ñiện là Jɺ S . Giả
sử môi trường là ñồng nhất và ñẳng hướng, ε , µ = const , γ = 0 bên ngoài V. Bây giờ chúng ta
thiết lập các phương trình ñối với các thế A và ϕ của trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa
này.

+ Để thiết lập phương trình ñối với thế vectơ A ta xuất phát từ phương trình
ɺ ɺ
ɺ
Maxweell thứ nhất:
rotH = J S + iωεE
ɺ
ɺ
ɺ
⇒ rotB = µJ S + iωµεE
+ Thay Bɺ bởi (3.48) và Eɺ bởi (3.50) vào phương trình (7.11) ta ñược:
ɺ
ɺ
ɺ
rotrotA = µJ S + iωµε (− gradϕɺ − iωA)
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
⇔ graddivA − ∆A = µJ S − iωµεgradϕɺ + ω 2 µεA
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
∆A + ω 2 µεA = − µJ S + grad (divA + iωµεϕɺ )

(7.11)

(7.12)

+ Theo ñiều kiện phụ Lorentz :

ɺ
divA + iωµεϕɺ = 0

(7.13)

+ Thì phương trình (7.12) trở thành:
ɺ
ɺ
ɺ
∆A + ω 2 µεA = − µJ S
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

(7.14)
Trang 18


……………..

……………..

+ Để thiết lập phương trình ñối với thế vô hướng ϕ ta xuất phát từ phương trình
ɺ
divD = ρɺ S
ɺ ρɺ
divE = S


Maxwell thứ tư:

(7.15)

ε
ɺ
+ Thay E bởi (3.50) vào (7.15) ta ñược :

ɺ
ρɺ
div(− gradϕɺ − iωA) = S

ρɺ
ɺ
⇔ ∆ϕɺ + iωdivA = − S

ε

ε

(7.16)

+ Theo diều kiện phụ Lorentz (7.13) thì:
ɺ
divA = −iωµεϕɺ

+ Do ñó (7.16) trở thành:

ρɺ S
(7.17)

ε
Các phương trình (7.14) và (7.17) ñược gọi là các phương trình D’Alembert ñối
∆ϕɺ + ω 2 µεϕɺ = −

với A , ϕ .
+ Bên ngoài miền V ở ñó Jɺ S = 0 và ρɺ S = 0 , tức ở miền ñiện môi lí tưởng không có
phân bố dòng dẫn và ñiện tích tự do. Khi ñó các phương trình ñối với A , ϕ trở thành:
ɺ
ɺ
∆A + ω 2 µεA = 0
∆ϕɺ + ω 2 µεϕɺ = 0

Đây là các phương trình sóng ñối với A , ϕ .

7.3. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO CÁC VECTƠ HETZ:
Lần ñầu tiên Hetz chỉ ra rằng có thể tích phân các phương trình Maxwell khi chuyển
chúng về phương trình sóng cho chỉ một hàm vectơ gọi là vectơ Hetz. Các vectơ cường ñộ
trường ñiện từ ñược biểu diễn qua vectơ Hetz bằng các phép tính vi phân cơ bản. Trong mục
này chúng ta sẽ xét các phương trình sóng cho các vectơ Hetz.
+ Vectơ Hetz ñược kí hiệu là Γ và ñược ñưa vào theo biểu thức sau:
ɺ
ɺ
A = iεωµΓ

(7.18)

Ở ñây Aɺ là vectơ biên ñộ phức của thế vectơ A , Γɺ là vectơ biên ñộ phức của vectơ
Hetz Γ .
+ Đặt (7.18) vào phương trình Bɺ = rotAɺ ta ñược:
ɺ

ɺ
(7.19)
B = iωµεrotΓ
+ Thay giá trị của Aɺ ở phương trình (7.18) vào ñiều kiện phụ Lorentz (7.13) ta ñược:
ɺ
div(iωµεΓ) + iωµεϕɺ = 0
ɺ
⇔ iωµε (divΓ + ϕɺ ) = 0
ɺ
(7.20)
⇒ ϕɺ = −divΓ
ϕɺ là biên ñộ phức của thế vô hướng ϕ của trường. Bây giờ ta ñặt phương trình (7.18)
và (7.20) vào biểu thức:
Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 19


……………..
……………..
ɺ
ɺ
E = −iωA − gradϕɺ
ɺ
ɺ
ɺ

E = ω 2 µεΓ + graddivΓ

Ta ñược:
(7.21)
+ Như vậy các vectơ cường ñộ trường ñiện từ ñược biểu diễn chỉ qua một vectơ Hetz
bởi biểu thức (7.19) và (7.21). Để tìm phương trình cho vectơ Hetz ta làm như sau:
+ Đặt phương trình (7.18) vào phương trình :
ɺ
ɺ
ɺ
∆A + ω 2 µεA = − µJ S
ɺ
ɺ
ɺ
iωµε∆Γ + iω 3 µ 2 ε 2 Γ = − µJ S

Ta ñược:
+ Tích phân hai vế theo t từ 0 → t ta ñược:
t

1 ɺ
ɺ
ɺ
∆Γ + ω 2 µεΓ = − ∫ J S dt

ε

0

t


+ Ta ñặt Pɺ = ∫ Jɺ S dt gọi là vectơ phân cực của nguồn ñiện, từ ñây ta nhận ñược
0

phương trình sóng cho vectơ Hetz như sau:
ɺ
P
ɺ
ɺ
2
∆Γ + ω µεΓ = −

(7.22)
ε
Từ phương trình (7.22) ta nhận thấy vectơ phân cực là nguồn tạo ra vectơ Hetz
nên ta còn gọi Γ là thế vectơ phân cực ñiện. Từ kết quả trên ta nhận thấy rằng dùng phương
pháp vectơ Hetz so với các thế ñiện ñộng trong trường hợp chung có ñơn giản hơn vì số
phương trình xác ñịnh chỉ cho một hàm vectơ Hetz và các vectơ cường ñộ trường cũng chỉ
biểu diễn qua một vectơ này. Trong khi ñó dùng các thế ñiện ñộng chúng ta cần xác ñịnh
phương trình sóng biểu diễn các vectơ cường ñộ trường qua hai hàm thế vectơ và thế vô
hướng.

7.4. TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG:
Ở những mục trước ta ñã chuyển các phương trình Maxwell về dạng các phương trình
sóng. Phần này chúng ta sẽ tìm các giải chúng, ñối với phương trình sóng cho các vectơ của
cường ñộ trường ta sẽ giải ở phần sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc. Ở ñây ta giải phương trình
sóng cho các thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt. Ta nhận thấy rằng phương trình sóng cho các
thế ñiện ñộng và các vectơ Hezt có dạng giống nhau. Do vậy ta chỉ cần tìm nghiệm của một
phương trình sóng nào ñó ñặc trưng, sau ñó ta suy ra nghiệm của phương trình sóng còn lại.
Chẳng hạn ta tìm nghiệm của phương trình sóng:

ɺ
ɺ
ɺ
∆A + ω 2 µεA = − µJ S

(7.23)
+ Để giải phương trình sóng này ta vận dụng hàm Green Gɺ (r , r ' ) hàm này thỏa mãn
phương trình Helmholtz của ñại lượng vô hướng:
∆Gɺ (r , r ′) + k 2 Gɺ (r , r ′) = −δ (r , r ′)
(7.24)
+ Ở ñây δ (r , r ′) ñược xem là hàm Dirac của trường mô tả các nguồn ñiểm phân bố
trong một thể tích V nào ñó, k = ω µε gọi là hệ số truyền sóng.
+ Giả sử rằng Gɺ (r , r ' ) ñã biết khi ñó nghiệm của phương trình (7.23) có thể ñược viết
dưới dạng:

Nguyễn Anh Văn

ɺ
ɺ
A(r ) = µ ∫∫∫ Gɺ (r , r ′).J (r ′)dV
V

………………………
………………………...
Luận văn

(7.25)

Trang 20



……………..

……………..

+ Để có ñược kết quả như phương trình (7.25) ta phải ñi tìm nghiệm của phương
trình (7.24), thu ñược biểu thức của Gɺ (r , r ' ) .
+ Đầu tiên ta tìm nghiệm của phương trình thuần nhất:
(7.26)
∆Gɺ (r , r ′) + k 2 Gɺ (r , r ′) = 0
+ Đối với trường hợp nguồn ñiểm ñặt ở gốc tọa ñộ, vì trường của nguồn ñiểm có tính
ñối xứng cầu nên hàm Gɺ (r , r ' ) chỉ phụ thuộc vào tọa ñộ R. Trong tọa ñộ cầu ta tính ñược:
1 d
dGɺ
d 2 Gɺ 2 dGɺ
∆Gɺ = 2
+
(R 2
)=
dR
R dR
dR 2 R dR

Mặt khác:
1 d 2 ( RGɺ ) 1 d
dGɺ ɺ
d 2 Gɺ 2 dGɺ
=
(
R

+
G
)
=
+
R dR 2
R dR
dR
dR 2 R dR
1 d 2 ( RGɺ )
+ Vậy: ∆Gɺ =
thế vào phương trình (7.26) ta ñược:
R dR 2
d 2 ( RGɺ )
(7.27)
+ k 2 ( RGɺ ) = 0
2
dR
+ Đặt ψɺ = RGɺ khi ñó phương trình (7.27) trở thành:
d 2ψɺ
(7.28)
+ k 2ψɺ = 0
dR 2

+ Đây là phương trình vi phân bậc 2, nghiệm của phương trình này có dạng:
ψɺ = Ae −iKR + Be iKR
Vậy:

e
Gɺ = A


− iKR

R

+B

e iKR
R

(7.29)

Ý nghĩa vậy lí nghiệm của phương trình thuần nhất (7.26):
e − iKR
Hàm A
mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn ñi ra xa vô cùng, còn hàm
R
e iKR
mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng trở lại nguồn.
B
R

+ Vì nguồn ñiểm ñặt ở gốc tọa ñộ và vùng không gian rộng vô hạn nên từ ý nghĩa vật
lí ta thấy trường của nguồn ñiểm phải có dạng sóng cầu phân kì ñi từ nguồn ra xa vô cùng.
Do vậy ta chọn nghiệm của phương trình (7.26) có dạng là:
e
Gɺ (r , r ' ) = A

− iKR


R

(7.30)

Trong ñó: R = r − r ′
r là vectơ xác ñịnh vị trí tại ñó tính trường.
r ′ là vectơ xác ñịnh vị trí của ñiểm nguồn.
+ Ta ñã tìm ñược nghiệm của phương trình thuần nhất (7.26) theo biểu thức (7.30).
Nhưng tại gốc tọa ñộ nơi ñặt nguồn thì hàm Gɺ (r , r ' ) lại tiến tới vô hạn khi R = 0. Do ñó biểu
thức (7.30) không thỏa mãn phương trình thuần nhất tại gốc tọa ñộ, nhưng nó phải thỏa mãn
phương trình (7.24) tại gốc tọa ñộ.
+ Xét vùng không gian xung nguồn ñiểm với bán kính a. Lấy tích phân hai vế của
phương trình (7.24) với hàm Gɺ (r , r ' ) cho bởi biểu thức (7.30) ta ñược:

Nguyễn Anh Văn

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 21


……………..
……………..
− iKR
− iKR


e

e
A∫∫∫ ∇.∇(
)+ k2
 dV = −1
V
R
R 


(7.31)

+ Áp dụng ñịnh lí Divergence cho biểu thức ñầu dưới dấu tích phân ta ñược:
e − iKR
e − iKR
∂ e − iKR
∫∫∫V ∇.∇( R )dV = ∫S nr ∇( R )dS = ∫S ∂R ( R )dS

+ Kết quả ta có:
 ∂ e −iKR 
4a 2 π  (
)
 ∂R R  R =a

+ Lấy giới hạn biểu thức trên khi a tiến về 0 ta ñược:
 ∂ e − iKR 
lim 4a 2π  (
)
= −4π
a →0
 ∂R R  R = a


+ Tích phân biểu thức thứ hai của phương trình (7.31) ta ñược:
e −iKR
4πR 2 dR = 4πk 2 ∫ Re −iKR dR
R
0
0

a

a

k2∫

Tích phân này bằng 0 khi a → 0 . Do vậy: A =

1
4π

Vậy ta có biểu thức của hàm Gɺ (r , r ' ) :
1 e − iKR
(7.32)
Gɺ (r , r ' ) =
4π R
Thế biểu thức hàm Gɺ (r , r ' ) cho bởi biểu thức (7.32) vào phương trình (7.25) ta ñược

nghiệm của phương trình (7.23) như sau:
µ
ɺ
A(r ) =

4π

ɺ
J (r ′).e −iKR
∫ R dV
V

+ Chúng ta có thể viết lại ở dạng:
J (r ′, t −

R
)
v dV

µ
(7.33)
4π V∫
R
+ Từ biểu thức trên ta thấy rằng trường ở ñiểm quan sát tại thời ñiểm t ñược xác ñịnh
không phải bởi giá trị của nguồn tại thời ñiểm t mà ñược xác ñịnh bởi giá trị của nguồn ở
thời ñiểm xớm hơn t một khoảng thời gian là:
A(r , t ) =

t′ =

R
v

Với t ′ chính là khoảng thời gian ñể trường truyền từ nguồn ñến ñiểm quan sát cách
một khoảng R với vận tốc là v. Như vậy trường ở ñiểm quan sát chậm pha so với nguồn một

khoảng thời gian là t ′ . Nên nghiệm (7.33) ñược gọi là thế chậm của trường ñiện từ.
+ Giải tương tự ta cũng tìm ñược:
1 ρɺ (r ′).e −iKR
ϕɺ (r ) =
dV
4πε V∫
R
1
ɺ
Γ(r ) =
4πε

Nguyễn Anh Văn

ɺ
P (r ′).e −iKR
∫ R dV
V

………………………
………………………...
Luận văn

Trang 22