BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành : SP Vật lý – Tin học
ĐỀ TÀI : TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn :
ThS. Trần Minh Quý

SV thực hiện : Ngô Thị Thúy
MSSV :
1080300
Ngành : SP. Vật lý- Tin học
Khóa :
34

Cần thơ, tháng 5 năm 2012


N

LỜI CẢM ƠN


Qua quá trình rèn luyện, học tập dưới sự chỉ bảo nhiệt tình và đầy tâm huyết của
quý thầy cô, tôi đã có được một lượng kiến thức hết sức quý báu, phục vụ đắc lực
cho công việc và nghiên cứu sau này, đặc biệt là việc hoàn thành đề tài luận văn tốt
nghiệp, vì vậy, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tất cả những nhà giáo đáng

kính của mình.
Và hơn hết, đó là việc tôi nhận được sự quan tâm, khích lệ của thầy Trần Minh
Quý. Mặc dù thời gian vừa qua, sức khỏe của thầy không được tốt, nhưng thầy luôn
động viên không chỉ riêng tôi mà còn nhiều bạn khác cố gắng hoàn thành luận văn
của mình đúng tiến độ. Bản thân tôi biết khi đi theo con đường vật lý lý thuyết sẽ
gặp rất nhiều khó khăn, nhưng tôi vẫn nỗ lực và kiên trì tiến bước. Một lần nữa, tôi
xin gửi lời cảm ơn riêng đến người thầy của tôi, mong thầy luôn mạnh khỏe.
Để hoàn thành được đề tài này, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, người
thân đã luôn ủng hộ và giúp đỡ tôi.
Do còn thiếu kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm về nghiên cứu khoa học nên
không thể tránh được các sai sót . Vì vậy, kính mong quý thầy cô và các độc giả
quan tâm đóng góp ý kiến.
Trân trọng cảm ơn!
Cần Thơ, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Ngô Thị Thúy


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................


MỤC LỤC


A. MỞ ĐẦU........................................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 2
3. Phương pháp, phương tiện nghiên cứu ........................................................................ 2
4. Các bước thực hiện đề tài............................................................................................ 2
5. Phạm vi thực hiện đề tài.............................................................................................. 2
B. NỘI DUNG .................................................................................................................... 3
PHẦN I: TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT ...................................................................... 3
I. GRAĐIENT ................................................................................................................ 3
1. Trường vectơ và trường vô hướng............................................................................ 3
2. Građient ................................................................................................................... 3
2.1. Građient của trường vô hướng............................................................................ 3
2.2. Građient của trường vectơ .................................................................................. 8
2.2.1. Đạo hàm vectơ theo hướng........................................................................... 8
→

→

2.2.2. Građient của vectơ a theo vectơ v ............................................................. 9
2.3 Građient theo tọa độ cong................................................................................. 11
2.3.1 Tọa độ cong ................................................................................................ 11
2.3.2 Tọa độ cong trực giao.................................................................................. 15
II. DIVE CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ ....................................................................... 17
1. Thông lượng của vectơ qua mặt S............................................................................ 18
→

2. Dive của vectơ a .................................................................................................... 19
3. Định lý Oxtrogratxki- Gass ..................................................................................... 21
→


4. Dive của vectơ a trong tọa độ cong ........................................................................ 22
III. TOÁN TỬ HAMILTON ........................................................................................... 24
IV. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ............................................................................... 28
1. Lưu số vectơ dọc theo chu tuyến .............................................................................. 29


2. Rota của trường vectơ................................................................................................. 31
3. Định lý Stokes ........................................................................................................... 33
4. Rota của vectơ trong tọa độ cong .............................................................................. 34
PHẦN II : TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG HAI ..................................................................... 36
I. DIV GRAD ϕ .. ............................................................................................................ 36
II. ROT GRAD ϕ ........................................................................................................... 37
→

III. DIV ROT

a

.............................................................................................................. 38

→

IV. ROT ROT

a

............................................................................................................. 40

PHẦN III : ỨNG DỤNG CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI

TRONG VẬT LÝ ............................................................................................ 43
I. ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC CHẤT RẮN ............................................................. 43
1.Hiện tượng truyền nhiệt .............................................................................................. 43
2. Phương trình truyền nhiệt .......................................................................................... 43
II. ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG .......................................................... 46
1.Phương trình liên tục .................................................................................................. 46
2. Phương trình cơ bản thủy động lực học..................................................................... 48
2.1. Phương trình cơ bản............................................................................................. 48
2.2. Phương trình Bernoulli......................................................................................... 50
2.3. Tích phân Cauchy................................................................................................. 52
2.4. Phương trình sóng................................................................................................ 53
III. ỨNG DỤNG TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ..............................................................55
1.Các phương trình cơ bản của trường điện từ ..............................................................55
1.1. Định luật bảo toàn điện tích và phương trình liên tục......................................... 55
1.1.1. Định luật bảo toàn điện tích............................................................................55
1.1.2. Phương trình liên tục.......................................................................................55
1.2. Dạng vi phân của định luật Gauss, phương trình Maxwell I................................57
1.3. Định luật dòng toàn phần. Phương trình Maxwell II............................................58
1.3.1.Dòng điện dịch..................................................................................................58
1.3.2. Định luật dòng toàn phần. Phương trình Maxwell II.......................................58


1.4. Định luật về đường sức cảm ứng từ. Phương trình Maxwell III.............................59
1.5. Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday. Phương trình Maxwell IV.60
1.6. Định luật bảo toàn năng lượng trong từ trường.......................................................60
1.6.1. Vectơ mật độ dòng năng lượng...........................................................................60
1.6.2. Định luật bảo toàn năng lượng trong điện từ trường...........................................61
2.Trường tĩnh điện...............................................................................................................62
2.1. Phương trình Poisson............................................................................................... 64
2.2. Năng lượng tĩnh điện............................................................................................... 64

PHẦN IV :

BÀI TẬP ............................................................ 66

C. KẾT LUẬN.......................................................................................................................75
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................... .76


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI VÀ
ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lý học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi
mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà
và vũ trụ). Đây là một ngành khoa học cơ bản với những thành tựu được ứng
dụng rộng rãi trong đời sống kĩ thuật và đời sống.
Các nghiên cứu trong vật lý được chia ra làm hai loại riêng biệt : vật lý lý
thuyết và vật lý thực nghiệm.Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn
đề xây dựng các thuyết vật lý. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà
khoa học vật lý xây dựng các thuyết vật lý. Nói chung, các nhà lý thuyết xây
dựng và phát triển các lý thuyết để giải thích cho những kết quả của thực
nghiêm, và dự đoán cho những kết quả trong tương lai, trong khi các nhà thực
nghiệm xây dựng và thiết lập các thí nghiệm kiểm chứng để khám phá ra
những hiện tượng mới hay kiểm tra tính đúng đắn của các dự đoán trong lý
thuyết. Mặc dầu ngành lý thuyết và ngành thực nghiệm được phát triển một
cách độc lập, song giữa hai ngành này lại có một mối quan hệ tương hỗ với

nhau. Vì vậy, việc nghiên cứu vật lý lý thuyết giữ vai trò rất quan trọng.
Toán cho vật lý chính là môn cơ sở, là nền tảng vững chắc để bước vào vật
lý lý thuyết. Và một trong những nội dung quan trọng là việc đi nghiên cứu
về giải tích vectơ, điển hình là các toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng
dụng của nó trong vật lý. Việc nghiên cứu các nội dung này sẽ dẫn đến nhiều
phương trình quan trọng, chẳng hạn như các phương trình Maxwell, phương
trình sóng, phương trình nhiệt…và giải thích được nhiều hiện tượng vật lý.
Với mong muốn có cơ hội tìm hiểu kĩ hơn về lĩnh vực này, tôi chọn đề tài “
TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI VÀ ỨNG DỤNG TRONG
VẬT LÝ” để nghiên cứu. Đây là những kiến thức quan trọng để chúng ta có
thể song hành cùng vật lý lý thuyết.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu về toán tử vi phân hạng một : grad, div, rot và một số vấn đề liên
quan.
- Thiết lập và tìm hiểu về toán tử vi phân hạng hai.
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
1

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

- Nghiên cứu một số ứng dụng của các toán tử vi phân trong vật lý
- Giải một số bài tập và chứng minh một số công thức cần thiết.
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Sử dụng các phép tính đạo hàm, tích phân để xây dựng công thức và giải

bài tập.
- Dùng các tính chất của phép tính giới hạn, gần đúng, các định lý, định luật
để chứng minh các vấn đề trong đề tài.
- Sử dụng một số phương pháp giải bài tập…
- Sử dụng một số phần mềm để vẽ hình…
IV. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Nhận đề tài từ giảng viên.
- Lập đề cương chi tiết thông qua sự hướng dẫn của GVHD.
- Trao đổi và tiếp thu ý kiến, chỉnh sửa những nội dung chưa hoàn thiện.
- Viết nội dung đề tài và có chỉnh sửa.
- Thực hiện hoàn thành đề tài luận văn.
- Báo cáo và tiếp tục tiếp thu ý kiến, hoàn chỉnh đề tài.
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Chỉ nghiên cứu một số toán tử vi phân đặc biệt, và chỉ xét các toán tử trong
các trường vectơ và vô hướng liên tục.
- Một số công thức chỉ mang tính áp dụng, không đi sâu vào chứng minh.
- Nghiên cứu một số ứng dụng nhất định.
- Giải một số bài tập mang tính chất đặc trưng.

B. NỘI DUNG

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
2

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp


PHẦN I :

TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT

I. GRAĐIENT.
1. Trường vectơ và trường vô hướng.
Ta xét trường hợp là mỗi điểm của không gian ( hoặc một phần của không
gian ) được gán một giá trị vô hướng hay vectơ nào đó. Phần không gian được
xét đó gọi là trường vô hướng hay trường vectơ tùy theo hàm được nghiên cứu
là vô hướng hay là vectơ. Chẳng hạn ta có trong khí quyển một trường vô
hướng, áp suất vô hướng vì mỗi điểm trong khí quyển ứng với một giá trị nào
đó của khí áp. Ở dưới sông chúng ta có một trường vectơ vận tốc các chất điểm
nước…
Vì mỗi điểm của trường có thể xác định bằng bán kính vectơ của nó, nên cho
một trường vô hướng hay một trường vectơ có nghĩa là ứng với mỗi giá trị bán




kính vectơ r ta đưa vào giá trị của hàm vô hướng  ( r ) hay một hàm vectơ
 

a (r ) nào đó.Vì vậy trong trường hợp đang xét biến độc lập là bán kính vectơ



r.



Về mặt giải tích việc cho hàm vô hướng  ( r ) được đưa về cho hàm  ( x, y, z )
 

của ba tọa độ điểm; Việc cho hàm a ( r ) tương đương với việc cho ba hàm vô


hướng a x ( x, y, z ) , a y ( x, y, z ) , az ( x, y, z ) cho các thành phần của vectơ r .
Ta thường hay xét các hàm vectơ hay hàm vô hướng thay đổi theo thời gian:


 

 ( r , t ) , a ( r , t ) . Trường tương ứng khi đó gọi là trường biến thiên hay trường

không dừng; trường không đổi theo thời gian gọi là trường không đổi hay
trường dừng.
2. Građient
2.1. Građient của trường vô hướng:




Xét trường vô hướng của hàm  ( r )   ( x, y, x) . Ta chọn một điểm M ( r ) nào


đó của trường; dựng qua nó một đường thẳng nào đó và kí hiệu s là vectơ đơn
vị hướng theo đường thẳng đó. Chọn trên đường thẳng một điểm gần với M là


M ( r  s ), trong đó   MM  là đại lượng vô cùng bé khi đi từ điểm M đến


M

hàm  nhận một gia lượng :
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
3

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp





   ( M )   ( M )   ( r   s )   ( r )

Lập tỉ số  và chuyển qua giới hạn bằng cách cho  dần tới 0, ta nhận được


giới hạn gọi là đạo hàm của theo hướng tại điểm M và kí hiệu là  .


s

s


 (M )   ( M )
 (r  s )   (r )
 lim
 lim

M
M

0


0
s
MM 


(1.1.1)



Vectơ đơn vị s có các thành phần :






s x  cos( s , x) ; s y  cos( s , y ) ; s z  cos( s , z )

(1.1.2)


Vì vậy :












 ( r   s )   ( r )   ( x   cos( s , x), y   cos( s , y), z   cos( s , z ))   ( x, y, z )

Khai triển nó thành chuỗi Taylor theo lũy thừa tăng của  , và chỉ giới hạn
trong các số hạng chứa  ở cấp một.






 



 ( r   s )   ( r )    cos( s , x) 
cos( s , y )

cos( s , z )   
y
z
 x


Trong đó  là đại lượng vô cùng bé ( quy ước với mọi đạo hàm đang xét là tồn
tại và liên tục ).
Chia cả hai vế cho  và tiến tới giới hạn ta được công thức cần thiết :



 


s



x

cos( s , x) 

y

cos( s , y ) 

z

cos( s , z )


(1.1.3)



Nếu ta chọn điểm M  gần điểm M có hướng s nằm trên đường cong ML nào


đó mà tiếp tuyến tại M có phương s .Ta thấy hàm  ( x, y, z ) là hàm hợp của


s qua x, y, z. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta nhận được :
  dx  dy  dz



s x ds y ds z ds

Và vì :

dx
 cos( s , x) ;
ds


dy
 cos( s , y) ;
ds



dz
 cos( s , z )
ds

Nên ta nhận lại hệ thức:
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
4

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp




 



cos( s , x) 
cos( s , y ) 
cos( s , z )
s x
y
z




Quy tắc biến đổi các thành phần của vectơ a , ta có :






(1.1.4)

as  a x cos( s , x)  a y cos( s , y )  a z cos( s , z )

Từ đó nếu ta xác định vectơ có các thành phần theo các vectơ đơn vị tọa độ cơ

sở là    thì thành phần theo phương
tùy ý là  .
, ,
x y z

s

s

Ta gọi vectơ đó là građient của  tại điểm M và kí hiệu là grad  .
Các thành phần của nó là:


grad x 
; grad y 
;


grad z 

y

x


;
z

(1.1.5)

Như vậy :


grad  i

    
 j
k
x
y
z

(1.1.6)

Độ lớn của grad  :
2


2

        
  
grad  
  

 x   y   z 

2

(1.1.7)



Đạo hàm theo hướng s bất kì bằng hình chiếu của grad  lên hướng đó, bởi
vậy :

 
 s .grad  grad .cos( grad , s )
s

(1.1.8)


Từ công thức trên ta thấy  đạt giá trị lớn nhất đối với phương s trùng với

s

phương của grad  , giá trị lớn nhất bằng độ lớn grad  . Vì vậy, ta có định nghĩa

khác của građient :
Građient của  là vectơ có hướng mà  tăng nhanh nhất và có độ lớn bằng
đạo hàm theo hướng đó.
Kí hiệu:  , dấu "" đọc là “nabla”.


  i

    
 j
k
x
y
z

(1.1.9)

Từ công thức trên ta thấy rằng  có thể xem như một toán tử vi phân.

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
5

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp



 i

   
 j k
x
y
z

(1.1.10)

Xây dựng một mặt mức của hàm  qua điểm M, ta sẽ chứng minh rằng vectơ
građient của  hướng theo pháp tuyến mức đó tại điểm M. Thật vậy, vì trên


mặt mức   const thì đạo hàm theo mọi hướng s nằm trong mặt phẳng tiếp
xúc với mặt mức tại điểm M đều bằng không. Do đó, đối với mọi hướng như
vậy ta có:


cos(grad  , s )= 0
Mà điều đó chỉ xảy ra nếu grad  vuông góc với mặt mức tại điểm M.
Hơn nữa rõ ràng là grad  hướng theo phía của pháp tuyến mà  tăng theo đó.
Mối liên hệ giữa građient của hàm  và đạo hàm của  theo các hướng khác
nhau có một minh họa hình học đơn giản.
Ta dựng qua điểm M mặt mức   const , tại điểm M ta dựng pháp tuyến MN


của mặt và đặt theo pháp tuyến này vectơ MN  grad . Tiếp đó coi MN như



đường kính ta dựng một hình cầu tại điểm K. Góc MKN là góc vuông nên MN
là hình chiếu của MK lên hướng Ms. Nhưng hình chiếu của grad  lên một
hướng nào đó là đạo hàm của  theo hướng đó, vì vậy ta nhận được :
MK 


s

Ta viết biểu thức vi phần toàn phần của hàm  là:
d 




dx 
dy 
dz
x
y
z

Mặt khác :


grad  i




    

 j
k
x
y
z




d r  i dx  j dy  k dz

Lập tích vô hướng hai vectơ, ta được :


(1.1.11)

d  d r .grad


Hệ thức này đặc trưng cho grad  . Nếu ta tìm được một vectơ a nào đó mà với


d r bất kỳ ta có :

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
6

SV: Ngô Thị Thúy



GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp
 

(1.1.12)

d  d r . a

thì có thể khẳng định :


(1.1.13)

a  grad
 



 

Vì d  d r . a  d r grad dẫn đến hệ thức : d r ( a  grad )  0 ; từ đó


( a grad ) vuông góc với mọi hướng bất kì, điều đó chỉ xảy ra khi


( a  grad ) .

* Các công thức cơ bản trong lý thuyết građient

grad (   )  grad  grad

(1.1.14)

grad ( )  grad  grad

(1.1.15)

gradF ( )  F ( ) grad

(1.1.16)
Các công thức trên hầu như là hiển nhiên. Chẳng hạn khi chiếu hai vế đẳng
thức :
grad (   )  grad  grad

Ta nhận được :
 (   )  


s
s
s

( Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm )
* Vectơ mà građient của một hàm vô hướng  nào đó được gọi là vectơ thế,
còn trường của vectơ gọi là trường thế. Đại lượng  được gọi là đại lượng thế.
Vectơ thế có những tính chất đặc thù của nó gắn liền với khái niệm tích phân
đường của vectơ dọc theo một đường cong nào đó.
Ta có định lí: Tích phân đường của vectơ grad  dọc theo đường cong L bất kì
nối các điểm M 0 (r0 ) và M 1 (r1 ) bằng hiệu các giá trị của hàm  tại các điểm

M1 và M 0 .

Thực vậy :






 grad.d r   d   (r )   ( r
1

L

2

)   ( x1, y1, t1 )   ( x0 , y0 , t0 )

(1.1.17)

L

Hệ quả : Nếu  là hàm đơn trị thì giá trị của tích phân đường của grad 
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân mà chỉ phụ thuộc vào các điểm mút
của đường. Đặc biệt là tích phân đó lấy theo mọi đường cong kín đều bằng
không, vì điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
7

SV: Ngô Thị Thúy



GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

Một tính chất cuối cùng đặc trưng cho vectơ thế ( định lí đảo ). Nếu tích phân
đường của vectơ a dọc theo mọi đường cong kín đều bằng không thì vectơ a là
građient của một hàm vô hướng  nào đó.
2.2. Građient của trường vectơ
2.2.1. Đạo hàm vectơ theo hướng
Xét trường vectơ của một vectơ nào đó.






a ( r )  a ( x, y , z )






Bây giờ chúng ta sẽ xét đạo hàm của vectơ a ( r ) theo một hướng s nào đó.
Ta chọn một điểm M nào đó và dựng qua nó một đường thẳng có phương của


vectơ đơn vị s hoặc một đường cong mà tiếp tuyến của nó tại điểm M có



phương s .Trên đường thẳng hoặc đường cong đó ta xét điểm M  lân cận với
điểm M. Giả sử độ dài cung MM  bằng s . Bây giờ chúng ta lập tỉ số giữa hiệu


các giá trị của vectơ a tại các điểm M  và M với s .




a (M )  a (M )
s


Giới hạn của tỉ số đó (nếu tồn tại) khi s  0 được gọi là đạo hàm của vectơ a


theo hướng vec tơ s tại điểm M, và ký hiệu :






a
a(M ' )  a(M )
 lim
s s 0
s


(1.1.18)

Nếu cung của chúng ta bắt đầu từ điểm M ta tính độ dài cung từ điểm M, kí


hiệu là s thì a ( x, y, z ) sẽ là hàm hợp của s gián tiếp qua x, y, z và vì vậy theo
quy tắc đạo hàm hàm hợp thông thường ta có :








 a  a dx  a dy  a dz



s x ds y ds z ds

Nhưng :

dx
 cos( s , x) ;
ds


dy

 cos( s , y) ;
ds


dz
 cos( s , z )
ds

Vì vậy ta nhận được hệ thức :




a
a
a
a
 cos( s , x)  cos( s , y )  cos( s , z )
s
x
y
z

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
8

(1.1.19)

SV: Ngô Thị Thúy



GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp
hàm toán tương tự đối với 
s

Ta đã có:
 
 s ..
s

Tương tự :



a
 ( s .). a
s

(1.1.20)

Bằng cách lập tích vô hướng của vectơ :















s  i cos( s , x)  j cos( s , y)  k cos( s , z )

và vectơ :
    
 j
k
x
y
z



 i

Kết quả ta nhận được một toán tử vi phân mới :




s .  cos( s , x)







 cos( s , y )  cos( s , z )
x
y
z

(1.1.21)



Áp vào vectơ a ta sẽ được công thức  a
s






a theo vectơ v

2.2.2.Građient của vectơ


Kí hiệu:



( v .). a


Lập tích vô hướng của vectơ :








v  i .vx  j .v y  k .vz

và vectơ :


 i.

    
 j.  k.
x
y
z

Ta nhận được toán tử vi phân :


v .  vx .






 vy .  vz .
x
y
z

(1.1.22)



Vì vậy ta coi vectơ ( v . ) a là vectơ :






a
a
a
( v .) a  vx .
 vy .
 vz .
x
y
z







(1.1.23)



Nếu vectơ v cùng hướng với vectơ đơn vị s , như vậy :
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
9

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp




v  v. s

Ta có :




v x  cos( s , x) ;




v y  cos( s , y) ;

v z  cos( s , z )

Vì vậy :



















( v . ) a  vcos( s , x)  a  cos( s , y )  a  cos( s , z )  a 
x




y

z 







a
v (.). a  v.
s

Hay :




(1.1.24)





Như vậy, v (.). a là đạo hàm của vectơ a theo hướng vectơ v nhân với độ lớn


của vectơ v .



Nếu trên công thức (1.1.23) ta chọn v là vectơ vô cùng nhỏ :








d r  i dx  j dy  k dz

thì ta nhận được :






a
a
a
( d r .). a  dx
 dy
 dz
x
y
z





(1.1.25)



Và vì vế phải là d a ta nhận được công thức khá quan trọng :






(d r .). a  d a

(1.1.26)

Tương tự với công thức :


d  d r 

Chiếu cả hai vế công thức (1.1.23) lên các trục tọa độ, ta nhận được các thành
phần của građient một vectơ theo một vectơ khác :
a x
a
a
  
 v y x  vz x

( v . ) a   vx
x
y
z

x

a y
a
a
  
 v y y  vz y
( v .) a   vx
x
y
z

y

(1.1.27)

a z
a
a
  
 v y z  vz z
( v .) a   vx
x
y
z


z

Từ những công thức trên ta suy ra :

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
10

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp
   
( v . ) a   v .ax

x

(1.1.28)

và các công thức tương tự đối với các trục y và z.
2.3. Građient theo tọa độ cong:
2.3.1.Tọa độ cong:
2.3.1.1. Định nghĩa
Như chúng ta đã biết vị trí của một điểm M trong không gian có thể xác


định bằng bán kính vectơ r đối với một điểm O cố định nào đó. Trong hệ tọa



độ Đêcac vuông góc, đối với bán kính vectơ r , chúng ta có biểu thức :








r  x. i  y. j  z. k

Nhưng trong nhiều bài toán , việc xác định vị trí điểm M không phải bằng ba
tọa độ Đêcac x, y, z mà bằng ba số q1, q2 , q3 khác lại thuận tiện hơn. Ngược lại,


ta giả thuyết một ba số q1, q2 , q3 ứng với một bán kính vectơ r . Do đó, ứng với
một điểm M nào đó trong không gian. Các đại lượng q1, q2 , q3 được gọi là các
tọa độ cong của điểm M.
Vì mỗi điểm M ứng với ba tọa độ q1 , q2 , q3 . Do đó, mỗi một tọa độ này là một


hàm của bán kính vectơ r .






q1 ( r )  q1 ( x, y, z ) ,


q2 ( r )  q2 ( x, y, z ) , q3 ( r )  q3 ( x, y, z )

(1.1.29)



Ngược lại, bán kính vectơ r của mỗi điểm trong không gian (hoàn toàn được


xác định khi cho ba số q1, q2 , q3 ) lại là hàm của các biến này: r (q1 , q2 , q3 ) và do


đó các thành phần x, y, z của r là hàm q1, q2 , q3 :
x  x(q1 , q2 , q3 ) ,

y  y (q1, q2 , q3 ) , z  z (q1, q2 , q3 )

(1.1.30)



Các mặt mức của hàm q1 ( r ) , tức là các mặt :


q1 ( r )  const

lập thành một họ mặt nào đó. Chúng ta xét hai họ mặt nữa :





q2 ( r )  const ;

q3 ( r )  const

Qua mỗi điểm M nào đó của không gian mỗi họ có một mặt đi qua ( hình 1). Ta
gọi các mặt này là các mặt tọa độ.

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
11

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

Giao tuyến của hai mặt tọa độ là đường tọa độ . Chẳng hạn, giao tuyến của hai
mặt tọa độ q2  const và q1  const cho ta đường tọa độ q3 . Dọc theo đường
tọa độ này, chỉ có q3 biến thiên còn q1, q2 giữ nguyên giá trị.

q3

q1  C

q2  C

q2

q1

q1  C
Hình 1

Hai hệ tọa độ hay dùng nhất là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
 Tọa độ trụ : Vị trí của một điểm được xác định bằng hệ tọa độ ba số :
q1   ,

q2   ,

q3  z

Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ Đêcac vuông góc :
x   cos
y   sin 

(1.1.31)

zz

Khoảng biến thiên:

z

 : từ 0 đến 



 : từ 0 đến 2


z : từ   đến  

z
O

z

Hình 2
Toán tử vi phân 
hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
M

y

x


x

12

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

Các mặt tọa độ:

  C : mặt trụ có trục Oz
  C : nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz

z = C : mặt phẳng vuông góc với trục Oz

Các đường tọa độ:
Đường  : nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và vuông góc với Oz.
Đường  : đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với
Oz.
Đường z : đường thẳng song song với trục Oz.
 Tọa độ cầu:
Vị trí của một điểm được xác định bởi hệ ba số :
q1  r ,

q2   , q3  

Hệ thức liên hệ giữa tọa độ cầu và hệ tọa độ Đêcac vuông góc :
z
x  r sin  cos
(1.1.32)

y  r sin  sin 
z  r cos 

Khoảng biến thiên:

O r

r : từ 0 đến 
 : từ 0 đến 

 : từ 0 đến 2



y



x

z
r

Hình 4



Các mặt tọa độ:
r = C : mặt cầu tâm O

O

  C : nửa mặt nón có đỉnh là O, trục là Oz


x

y

x


  C : nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz

Hình 5
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
13

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

Các đường tọa độ:
Đường r : Nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O
Đường  : Kinh tuyến trên mặt cầu
Đường  : đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu
2.3.1.2 Hệ số Lamer :


Quay lại các tọa độ cong tổng quát q1 , q2 , q3 . Chúng ta xét các vectơ đơn vị e1 ,




e2 , e3 hướng theo tiếp tuyến của các đường tọa độ tại điểm M theo chiều tăng


của các biến q1 , q2 , q3 tương ứng. Xét điểm M có bán kính vectơ r q1 , q2 , q3  trên

đường tọa độ q1 và tính theo đạo hàm r .
q1

M
e1

r

r
M1

r1

q1

Hình 6


Vì khi lấy đạo hàm q2 , q3 được xem là không đổi. Vì vậy vectơ  r có hướng
q1
tiếp xúc với đường tọa độ , tức là:


r
 h1 e 1
q1


Trong đó : h1 là độ dài của vectơ  r
q1

Bởi vì :


 r x  y  z 

i
j
k
q1 q1
q1
q1

(1.1.33)

Do đó :

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
14

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp
2

h1 

2


2

 x   y   z 
  
  

 
 q1   q1   q1 

2

Tương tự ta có :


r
 h2 e2
q2

(1.1.34)



r
 h3 e3
q3

Trong đó:
2


hi 

2

2

 x   y   z 
  
  

 
 qi   qi   qi 

2

(1.1.35)

Các đại lượng h1 , h2 , h3 được gọi là các hệ số Lamer.
2.3.1.3 Thông số vi phân hạng nhất:
ei

qi  Ci

Hình 7

Xét các vectơ grad qi : Nó có phương vuông góc với mặt tọa độ qi  Ci và


hướng theo chiều tăng của tọa độ qi . Nếu chúng ta ký hiệu ei  là vectơ đơn vị
pháp tuyến của mặt này và hướng theo chiều tăng của qi , ta có :




gradqi  ki ei

(i = 1, 2, 3, ….)

(1.1.36)

Trong đó hệ số hi chỉ độ lớn của vectơ grad qi . Ta biết :
gradqi 

qi  qi  qi 
i
j
k
x
y
z

Nên :

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
15

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý


Luận văn tốt nghiệp
2

ki 

2

2
2
 qi   qi   qi 


 

 x   y   z 

(1.1.37)
Các đại lượng ki i  1,2,3... gọi là các thông số vi phân hạng nhất của hệ tọa độ
cong.
2.3.2. Tọa độ cong trực giao:
Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một tại mỗi
điểm gọi là hệ tọa độ cong trực giao.
Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao :
 

 

(1.1.38)

ei e j  ei e j   ij


ei  ei

qi

Hình 8

Khi đó từ hệ thức :
 

 1
r

gradq




i
ki
 q

 0
 k


ik

(1.1.39)


i k

Ta có :


 
r
gradqi  hi ki  ei ei   hi ki  1
qi



Do đó, trong hệ tọa độ cong trực giao, ta có: hi  1

ki

Hay :

2
2
2
2
2
2
 x   y   z   qi   qi   qi  









h 
 
 
 
 
 
  
 qi   qi   qi   x   y   z  
2
i

1

(1.1.40)

Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong là trực giao :
 

 

ei e j  ei e j  0 với i  j
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
16

SV: Ngô Thị Thúy



GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp
Mà ta đã có :


r
 hi ei
qi



gradqi  ki ei

Do đó ta có :
  
  
r r 

h
h
 ei e j   0 với i  j
i
j
 q q 


i
j



 
i j

gradq gradq   k k  e e
i

j



i

j




  0




Trong hệ tọa độ cong trực giao ei  e j nên ta chỉ cần một trong hai đẳng thức
trên.
Vậy điều kiện cần và đủ để một hệ tọa độ cong là trực giao là :
   
  r  r   x x   y y   z z 
 q q    q q    q q    q q   0
 i j  i j  i j  i j


(1.1.41)

Hay :
q j   qi q j
  
 x x   y y

gradq gradq    q

i

i

j

  qi q j
  
  z z


  0


Biểu thức của grad trong tọa độ trụ:
Điều tiên ta tính các hệ số Lamer:
2

2


2

h 

 x   y   z 
 
  
  
   2







 
 


h 

1

2



2




hz 2  1
Vậy :
h   ; h  1; hz  1


 e   
grad  e

 ez
  
z


Tương tự, ta có biểu thức grad trong hệ tọa độ cầu :

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
17

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp






e
 e 

grad  er

 
r
r  r sin  


II/ DIVE CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ :
Ta xét trường của vectơ nào đó :
 



a ( r )  a ( x, y , z )

tức là ta giả thuyết rằng đối với một điểm của không gian hoặc một phần của
không gian có cho gán trị của vectơ đó.
Bây giờ chúng ta tiến hành nghiên cứu một vài đại lượng mà ở một mức độ nào
 

đó đặc trưng cho sự biến thiên của hàm vectơ a ( r ) trong lân cận điểm đang
xét. Các đại lượng đóng vai trò cực kì quan trọng trong giải tích vectơ là dive


( hay phân kỳ ) của vectơ a và một đại lượng vectơ gọi là rôta ( hay xoáy ) của



vectơ a
Các đại lượng này xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu tích phân mặt và


tích phân đường của vectơ a . Khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý việc
xét tích phân khối ( ba lớp ), tích phân mặt và tích phân đường là hoàn toàn cần
thiết.
Đầu tiên chúng ta sẽ xét các vấn đề về tích phân mặt, về dive của vectơ và các
tính chất của nó.
1/ Thông lượng của vectơ qua mặt S :
Ta chọn trong không gian một mặt S nào đó kín hoặc không kín. Bây giờ ta xác




định tích phân mặt của vectơ a trên mặt S hay thông lượng của vectơ a qua
mặt S bằng cách sau: Tại mỗi điểm của mặt ta dựng một vectơ đơn vị pháp


tuyến n , đồng thời trong trường hợp mặt S kín, ta quy ước luôn chọn hướng
ngoài của pháp tuyến; trong trường hợp mặt S không kín ta chọn một trong hai
hướng của pháp tuyến nhưng phải chọn sao cho hướng của pháp tuyến thay đổi
liên tục khi ta chuyển từ một điểm sang điểm lân cận của mặt.




Nếu a là giá trị vectơ tại một điểm M nào đó của mặt S còn n là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt tại điểm đó, ta luôn kí hiệu :

 







an  a . n  a x cos( n , x)  a y cos( n , y )  a z cos( n , z )

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
18

SV: Ngô Thị Thúy


GVHD : Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp


là hình chiếu của vectơ a lên hướng của pháp tuyến, tức là thành phần pháp


tuyến của vectơ a .
Nếu chia mặt S ra thành một số lớn các yếu tố nhỏ, mỗi yếu tố này được biểu


diễn bằng một vectơ  S .
Ta có :









(1.2.1)

 a d S  lim  a  S

( Tổng tiến đến giới hạn khi tất cả mọi yếu tố của mặt dẫn đến không )
và gọi là tích phân mặt của vectơ theo mặt S hay thông lượng của vectơ qua
mặt S.


Nếu độ lớn của mỗi yếu tố mặt d S được kí hiệu là dS thì rõ ràng :




d S  n dS

và vì vậy :



 
a d S   a . n dS  an dS






Thông lượng của vectơ a qua mặt S, do đó có thể viết dưới một trong các
dạng sau :



 




 
a
d
S

a
dS

a
.
n
ds

a
cos

n
,
x

a
cos(
n
,
y
)

a
cos(
n , z ) ds


z
S
S n S
S  x   y


(1.2.2)

Cuối cùng ta đưa ra các kí hiệu sau :


cos( n , x)dS  dydz



(1.2.3)

cos( n , y )dS  dzdx


cos( n , z )dS  dxdy

trong đó, ta hiểu dydz là hình chiếu của dS lên mặt phẳng yz lấy với dấu thích
hợp ( dương nếu pháp tuyến của mặt tại điểm mà yếu tố mặt được xét tạo với
trục x một góc nhọn và âm nếu góc tạo bởi pháp tuyến và trục x là một góc tù).
Khi đó tích phân mặt có dạng sau :




 a d S   a dydz  a dzdx  a dxdy 
x

S



y

z

(1.2.4)

S


2/ Dive của vectơ a :
Bây giờ ta chọn một điểm P nào đó của trường, ta bao quanh nó một thể tích


nhỏ V và tính thông lượng của vectơ a qua mặt phẳng S giới hạn thể tích V; ta
Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý
19

SV: Ngô Thị Thúy