Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

03. HÀM SỐ BẬC NHẤT (Phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

DẠNG 3: TỔNG HỢP VỀ HÀM BẬC NHẤT
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
5
a) y = 3x − 2 và x =
b) y = −3 x + 2 và y = 4 ( x − 3)
4
Lời giải:
5
15
7
5 7
a) Thế x = vào y = 3 x − 2 = − 2 = . Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại I  ;  .
4
4
4
4 4
b) Phương trình hoành độ giao điểm: −3 x + 2 = 4 ( x − 3) ⇔ 14 = 7 x ⇔ x = 2
Thế vào y = 4 . Vậy giao điểm I ( 2; − 4 ) .

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hai đường thẳng y = 2 x + m − 1 và y = 3 x − m − 1 .

a) Hãy xác định tọa độ giao điểm A của hai đồ thị nói trên.
b) Chứng minh rằng khai m thay đổi thì giao điểm A luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
Lời giải:
a) Tọa độ ( x; y ) của giao điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
 y = 2 x + m − 1 2 x + m − 1 = 3 x − m − 1  x = 2m
⇔
⇔
.

 y = 3x − m − 1
 y = 2x + m − 1
 y = 5m − 1
xA

 m = 2
 x A = 2m
⇔
b) Ta có: 
 y A = 5m − 1  y = 5 x − 1
 A 2 A
5
Vậy giao điểm A luôn luôn nằm trên đường thẳng y = x − 1 cố định.
2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để 3 đường thẳng:
a) y = 2 x; y = −3 − x; y = mx + 5 đồng quy.

b) y = −5 ( x + 1) ; y = mx + 3 ; y = 3 x + m phân biệt và đồng quy.
Lời giải:
a) Hai đường thẳng y = 2 x và y = −3 − x cắt nhau tại điểm C có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:
 y = 2x

 y = 2x
 y = 2x
 x = −1
.
⇔
⇔
⇔

 y = −3 − x
 2 x = −3 − x
3 x = 3
 y = −2

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy, thì tọa độ của điểm C ( −1; − 2 ) thỏa mãn phương trình y = mx + 5 .
yC = mxC + 5 ⇔ −2 = m. ( −1) + 5 ⇔ m = 7.
 m + 5 5m − 15 
b) Hai đường thẳng y = −5 ( x + 1) và y = 3 x + m cắt nhau tại N  −
;

8
8 

5m − 15
 −m + 5 
2
Đường thẳng y = mx + 3 cũng đi qua N khi và chỉ khi
= m
 + 3 ⇔ m + 10m − 39 = 0
8
8



Giải được m = −13 và m = 3
- Với m = −13 , ba đường thẳng y = −5 ( x + 1) ; y = −13 x + 3 và y = 3 x − 13 đồng quy tại điểm N1 (1; − 10 ) .
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

- Với m = 3 , hai đường thẳng y = mx + 3 và y = 3 x + m trùng nhau và trùng với đường thẳng y = 3x + 3 . Do đó
trường hợp này bị loại. Vậy m = −13 .

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = ( 2m − 1) x + 3m + 1 , m là tham số.
a) Tùy theo m, xét sự biến thiên của hàm số đã cho.
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Lời giải:
a) Đường thẳng có hệ số góc a = 2m − 1, D = R
1
thì a > 0 : hàm số đồng biến trên R.
2
1
Nếu m < thì a < 0 : hàm số nghịch biến trên R.
2
1
5
Nếu m = : ta được hàm số hằng y = .
2
2

b) y = ( 2m − 1) x + 3m + 1 ⇔ y = m ( 2 x + 3) − x + 1
Nếu m >

⇔ m ( 2 x + 3) − x − y + 1 = 0
3
5
 3 5
thì y = . Như vậy tọa độ của điểm A  − ;  nghiệm đúng hàm số với mọi m. Vậy tọa độ của hàm số
2
2
 2 2
 3 5
luôn đi qua A  − ;  cố định.
 2 2

Với x = −

Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm các cặp đường thẳng song song:
1
1
a) y =
x +1
b) y = −
x+3
2
2
d) y = 2 x − 2

e) y =


1
x −1
2

c) y =

2
x+2
2

 2

g) y = − 
x − 1

 2


Lời giải:
a = a '
Hai đường thẳng y = ax + b , y = a ' x + b ' song song khi 
b ≠ b '
Do đó có ba cặp đường thẳng song song là:
1
1
y=
x + 1 và y =
x −1
2
2

2
y=
x + 2 = 2 x + 2 và y = 2 x − 2
2
y=−

 2
 −1
1
x + 3 và y = − 
x − 1 =
x + 1.


2
2
 2


Ví dụ 6: [ĐVH]. Trên mặt phẳng tọa độ cho 2 đường thẳng d1 : x − y + 1 = 0 và d 2 : x − 3 y − 3 = 0 cắt nhau tại A. Hãy
viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 1) sao cho ∆ cắt d1, d2 lần lượt tại B, C và ∆ABC là tam giác vuông.
Lời giải:
Ta có: d1 : x − y + 1 = 0 ⇔ y = x + 1 nên có hệ số góc là k1 = 1
1
1
Và d 2 : x − 3 y − 3 = 0 ⇔ y = x − 1 nên có hệ số góc k2 = .
3
3
1
Vì k1.k2 = ≠ −1 nên 2 đường thẳng này không vuông góc. Do đó tam giác ABC vuông khi

3
∆ ⊥ d1 ⇔ k .k1 = −1 ⇔ k = −1 nên phương trình đường thẳng ∆ là : y − 1 = −1( x − 1) ⇔ y = − x + 2 .
1
Xét ∆ ⊥ d1 ⇔ k .k2 = −1 ⇔ k . = −1 ⇔ k = −3 nên phương trình đường thẳng ∆ là y − 1 = −3 ( x − 1) ⇔ y = −3 x + 4 .
3

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b :
a) Cắt đường thẳng d1 : y = 2 x + 5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng d 2 : y = −3 x + 4 tại điểm
có tung độ bằng -2
1
1
x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = − x + 1 và y = 3 x + 5
2
2
c) Qua điểm H (1; −3) và cắt trục hoành tại điểm K có hoành độ là 4

b) Song song với đường thẳng y =

Bài 2: [ĐVH]. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b :
a) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 2 và song song với đường thẳng 3 x − 4 y = 36
b) Đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng y = x
c) Đi qua điểm A(1;1) và vuông góc với đường thẳng y = − x + 1

Bài 3: [ĐVH]. Cho A(1; 4).
a) Tìm hình chiếu của A lên Ox, Oy, lên d : x − 27 + 2 = 0
b) Tìm điểm đối xứng của A qua d.
Bài 4: [ĐVH]. Tìm điểm đối xứng qua ( d ) : 3x + 4 x − 6 = 0
a) gốc O(0; 0)

b) điểm I(1; 2).

 y = 8 − 6x

Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy: 4 x + 3 y − 5 = 0
2 x − 2 y − 3 = 0


Bài 6: [ĐVH]. Tìm a để ba đường thẳng sau đây đồng quy?
a) y = 2 x; y = − x − 3; y = ax + 5.
b) y = 2ax − 8; y = 5 x − a; y = 4 x − 5.
Bài 7: [ĐVH]. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?
a) y = (2m + 3) x − m + 1
b) y = (2m + 5) x + m + 3
c) y = mx − 3 − x

d) y = m( x + 2)

Bài 8: [ĐVH]. Cho ba điểm A(1; 2), B(2; −1), C(−1; 0)
a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.
b) Tính cạnh AB, BC, CA. Tam giác ABC có đặc điểm gì?
c) Lập phương trình đường cao AH.
Bài 9: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(−1; 3).
a) Lập phương trình 3 đường cao và tìm trực tâm.

b) Lập phương trình 3 trung tuyến và tìm trọng tâm.
c) Lập phương trình 3 trung trực và tìm tâm đường tròn ngoại tiếp.
Bài 10: [ĐVH]. Cho họ đường thẳng ( d ) : ( m + 1) x + 2my = 3m − 1 . Tìm m để:
a) (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
b) (d) cách gốc O một đoạn lớn nhất.

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b :
a) Cắt đường thẳng d1 : y = 2 x + 5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng d 2 : y = −3 x + 4 tại điểm
có tung độ bằng -2
1
1
x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = − x + 1 và y = 3 x + 5
2
2
c) Qua điểm H (1; −3) và cắt trục hoành tại điểm K có hoành độ là 4.

b) Song song với đường thẳng y =

Lời giải:
3

 a = − 4

 −2 a + b = 1
a) Ta có: y = ax + b đi qua các điểm ( −2;1) và ( 2; −2 ) ⇒ 
⇔
 2 a + b = −2
b = − 1

2
3
1
Vậy đường thẳng cần tìm có PT: y = − x −
4
2
1
1
8
11
 8 11 
b) y = ax + b song song với đường thẳng y = x ⇒ a = và đi qua điểm:  − ;  ⇒ − a + b =
2
2
7
7
 7 7
15
⇒b=
7
 a + b = −3  a = 1
c) y = ax + b đi qua H (1; −3) và K (4; 0) ⇒ 
⇔
 4a + b = 0

b = −4

Bài 2: [ĐVH]. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b :
a) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 2 và song song với đường thẳng 3 x − 4 y = 36
b) Đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng y = x
c) Đi qua điểm A(1;1) và vuông góc với đường thẳng y = − x + 1
Lời giải:
a) Đường thẳng y = ax + b đi qua A ( 2;0 ) ⇒ 2a + b = 0
Và song song với đường thẳng 3 x − 4 y = 36 ⇔ y =

b) Đường thẳng y = ax + b đi qua O ( 0;0 ) ⇒ b = 0

3
3
3
x−9 ⇒ a = ⇒ b = −
4
4
2

vuông góc với đường thẳng y = x ⇒ a = −1

c) Đường thẳng y = ax + b đi qua A (1;1) ⇒ a + b = 1
vuông góc với đường thẳng y = − x + 1 ⇒ a = 1 ⇒ b = 0

Bài 3: [ĐVH]. Cho A(1; 4).
a) Tìm hình chiếu của A lên Ox, Oy, lên d : x − 27 y + 2 = 0
b) Tìm điểm đối xứng của A qua d.
Lời giải:
a) Dễ thấy hình chiếu của A lên Ox, Oy lần lượt là: (1;0 ) , ( 0; 4 )

Gọi d’ là đường thằng đi qua A và vuông góc với d. Khi đó ta có d ' : y = −27 x + 31 hình chiếu của A lên d

 167 17 
là giao của d và d’ là I 
;

 146 146 
 94 275 
b) B là điểm đối xứng với A qua d thì I là trung điểm của AB. ⇒ B  ; −

73 
 73

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điểm đối xứng qua ( d ) : 3x + 4 y − 6 = 0
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

b) điểm I(1; 2).
Lời giải:
a) Đường thằng qua O và vuông góc với ( d ) : 3x + 4 x − 6 = 0 là ( d ') : 4 x − 3 y = 0

a) gốc O(0; 0)

 18 24 
Hình chiếu vuông góc của O lên d là giao của d và d’ là I  ;  và I là trung điểm của OO’.(O’ là
 25 25 

 36 48 
điểm đối xứng của O qua d. ) ⇒ O '  ; 
 25 25 
 1 2
b) Tương tự câu a ta đc: ĐS:  − ; 
 5 5
 y = 8 − 6x

Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy: 4 x + 3 y − 5 = 0
2 x − 2 y − 3 = 0


Lời giải:

 y = 8 − 6x
 y = 8 − 6x

5 4


Ta có: 4 x + 3 y − 5 = 0 ⇔  y = − x cả ba đường thẳng này không cùng hệ số góc nên không trùng nhau
3 3
2 x − 2 y − 3 = 0


3

 y = x − 2
 19 1 
Mà I  ; −  thuộc cả 3 đường thẳng trên nên chúng đồng quy.

 14 7 
Bài 6: [ĐVH]. Tìm a để ba đường thẳng sau đây đồng quy?
a) y = 2 x; y = − x − 3; y = ax + 5.
b) y = 2ax − 8; y = 5 x − a; y = 4 x − 5.
a) y = 2 x; y = − x − 3 giao nhau tại ( −1; −2 )

Lời giải:

Để 3 đường thẳng trên đồng quy thì ( −1; −2 ) phải thuộc y = ax + 5 ⇒ −1 = −2a + 5 ⇔ a = 3
b) y = 5 x − a; y = 4 x − 5 giao nhau tại ( a − 5; 4a − 25)
Để 3 đường thẳng trên đồng quy thì ( a − 5; 4a − 25) phải thuộc y = 2ax − 8 ⇒ 4a − 25 = 2a ( a − 5 ) − 8

(

)

1
7 ± 15
2
Bài 7: [ĐVH]. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?
a) y = (2m + 3) x − m + 1
b) y = (2m + 5) x + m + 3
c) y = mx − 3 − x
d) y = m( x + 2)
⇔a=

Lời giải:
3
3
nghịch biến khi 2m + 3 < 0 ⇔ m < −

2
2
5
5
b) y = (2m + 5) x + m + 3 đồng biến khi 2m + 5 > 0 ⇔ m > − nghịch biến khi 2m + 5 < 0 ⇔ m < −
2
2
c) y = mx − 3 − x đồng biến khi m > 0 nghịch biến khi m < 0

a) y = (2m + 3) x − m + 1 đồng biến khi 2m + 3 > 0 ⇔ m > −

d) y = m( x + 2) đồng biến khi m > 0 nghịch biến khi m < 0
Bài 8: [ĐVH]. Cho ba điểm A(1; 2), B(2; −1), C(−1; 0)
a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên ñề : Hàm số bậc nhất, bậc hai

b) Tính cạnh AB, BC, CA. Tam giác ABC có đặc điểm gì?
c) Lập phương trình đường cao AH.
Lời giải:
a + b = 2
⇒ a = −3; b = 5 ⇒ AB : y = −3 x + 5
a) Giả sử AB : y = ax + b ⇒ 
 2 a + b = −1
Tương tự: AC : − x + y = 1; BC : x + 3 y = −1
b) AB =


( 2 − 1) + ( −1 − 2 )
2

2

= 10; BC = 10; AC = 2 2 ⇒ ∆ABC cân tại C.

c) AH vuông góc với BC ⇒ AH : y = 3 x + m AH qua A nên suy ra m = −1 hay ⇒ AH : y = 3 x − 1
Bài 9: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(−1; 3).
a) Lập phương trình 3 đường cao và tìm trực tâm.
b) Lập phương trình 3 trung tuyến và tìm trọng tâm.
c) Lập phương trình 3 trung trực và tìm tâm đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải:
a) Ta có: AB : y = x + 1; BC : − x + 4 y = 13; CA : x + 2 y = 5
Đường cao kẻ từ C vuông với AB ⇒ PT : y = − x + m qua C ⇒ m = 2
Hay PT đường cao từ C là: y = − x + 2
Tương tự: PT đường cao từ A là: y = −4 x + 6
PT đường cao từ B là: y = 2 x − 2
 7
 5
b) A’, B’, C’ là trung điểm của BC, AC, AB ta có: A ' 1;  ; B '  0;  ; C ' ( 2;3)
 2
 2
Từ đó ta có: AA ' : x = 1; BB ' : − x + 2 y = 5; CC ' : y = 3 ⇒ G (1;3) là trọng tâm của tam giác.

c) Trung trực của AB vuông với AB: ⇒ PT : y = − x + n qua C’ ⇒ n = 5
Hay trung trực của AB có PT: y = − x + 5
15
Tương tự: Trung trực của BC có PT: y = −4 x +

2
5
Trung trực của AC có PT: y = 2 x +
2
Bài 10: [ĐVH]. Cho họ đường thẳng ( d ) : ( m + 1) x + 2my = 3m − 1 . Tìm m để:
a) (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
b) (d) cách gốc O một đoạn lớn nhất.
Lời giải:
( m + 1) .0 + 2m.0 − 3m + 1
1 − 3m
Khoảng cách từ d ( O; d ) =
=
2
5m2 + 2m + 1
( m + 1) + 4m2
a) (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính bằng 1 khi

(1 − 3m )

m = 0
=1⇔ 
5m + 2 m + 1
5m 2 + 2 m + 1
m = 3
9m 2 − 6m + 1
b) d ( O; d ) Max khi d 2 ( O; d ) Max =
=P
5m 2 + 2 m + 1
4(1 + 2m) 2
1

≤ 0 ⇒ P ≤ 5 . Vậy MaxP = 5 xảy ra khi m = −
Ta có: P − 5 = −
2
1 + 2 m + 5m
2
d ( O; d ) = 1 ⇔

1 − 3m

=1⇔

2

2

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !