Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH KHÔNG GIAN

Tài liệu bài giảng (Pro S.A.T)

03. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !)
Ví dụ 1: [Tham khảo]. Cho khối chóp tam giác S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
các cạnh SCvà SB. Chứng minh rằng:
a) ( SAC ) ⊥ ( SBC ) .
b) ( SAB ) ⊥ ( ADE )

Lời giải:

( SAB ) ⊥ ( ABC )
a) Do 
⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC .
( SAC ) ⊥ ( ABC )
Lại có: AC ⊥ BC suy ra BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBC ) .

b) Do BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AD , lại có AD ⊥ SC

do vậy AD ⊥ ( SBC ) ⇒ AD ⊥ SB , mặt khác SB ⊥ AE nên

suy ra SB ⊥ ( ADE ) do vậy ( SAB ) ⊥ ( ADE ) ( dpcm ) .

Ví dụ 2: [Tham khảo]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu vuông
góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) là trọng tâm tam giác ABD. Gọi E là hình chiếu của điểm
B trên cạnh SA. Chứng minh rằng:
a) ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
b) ( SAC ) ⊥ ( BDE )

Lời giải

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH KHÔNG GIAN

a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD ⊥ AC .
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD ⊥ SH do vậy BD ⊥ ( SAC )
Suy ra ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .

b) Ta có: BD ⊥ ( SAC ) ⇒ SA ⊥ BD

Lại có BE ⊥ SA ⇒ SA ⊥ ( BDE )

Do vậy ( SAC ) ⊥ ( BDE ) ( dpcm ) .

Ví dụ 3: [Tham khảo]. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm
của AB, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) là trung điểm của CM và N là hình

chiếu vuông góc của M trên A’C. Chứng minh rằng:
a) ( A ' ABB ') ⊥ ( A ' MC ) .
b) ( A ' ACC ') ⊥ ( A ' NB ) .

Lời giải
a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM ⊥ AB , lại có AB ⊥ A ' H ⇒ AB ⊥ ( A ' MC )

( A ' ABB ') ⊥ ( A ' MC ) .
b) Do vậy AB ⊥ ( A ' MC ) ⇒ AB ⊥ A ' C .
Lại có: A ' C ⊥ MN ⇒ A ' C ⊥ ( ANB )
Do vậy ( A ' ACC ') ⊥ ( A ' NB ) ( dpcm )

Do vậy

Ví dụ 4: [Tham khảo]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng ( SAD ) ⊥ ( SAB ) , ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .
b) Gọi I là trung điểm của SB . Chứng minh rằng ( ACI ) ⊥ ( SBC ) .
c) Xác định J trên cạnh SA sao cho ( BJD ) ⊥ ( SAD ) .

Lời giải :

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy Đặng Việt Hùng


CHUYÊN ĐỀ : HÌNH KHÔNG GIAN

a) Gọi H là trung điễm của AB ⇒ SH ⊥ AB
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
Ta có 
⇒ SH ⊥ ( ABCD )
 SH ⊥ AB
 AD ⊥ AB
Ta có 
⇒ AD ⊥ ( SAB )
 AD ⊥ SH
mà AD ⊂ ( SAD ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SAB )
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )
Ta có 
 BC ⊥ SH
mà BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

b) ∆SAB đều ⇒ AI ⊥ SB (1)

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AI ( 2 )

Từ (1) , ( 2 ) ⇒ AI ⊥ ( SBC )

mà AI ⊂ ( ACI ) ⇒ ( ACI ) ⊥ ( SBC )

c) Ta có AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ BJ

⇒ Để ( BJD ) ⊥ ( SAD ) thì BJ ⊥ SA ⇒ J là trung điễm của SA


Ví dụ 5: [Tham khảo]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAC = 600 , SA =

a 6
và
2

vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng:
a) ( SDB ) ⊥ ( SDC ) .

b) ( SBC ) ⊥ ( SAD ) .

Lời giải :
a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Kẻ OH ⊥ SD, AE ⊥ SD
 BC ⊥ AD
Ta có 
⇒ BC ⊥ ( SAD ) ⇒ BC ⊥ SD
 BC ⊥ SA
Mà SD ⊥ OH ⇒ SD ⊥ ( BHC ) ⇒ BH ⊥ SD (1)
Trong tam giác vuông SAD ta có
a 6
.a 3
2 S SAD
SA. AD
AE =
=
= 2
=a
SD
SA2 + AD 2

3a 2
+ 3a 2
2
1
a 1
⇒ OH = AE = = BC ⇒ ∆BHC vuông ở H
2
2 2
⇒ BH ⊥ CH ( 2 )

Từ (1) , ( 2 ) ⇒ BH ⊥ ( SCD ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SCD )

 BC ⊥ AD
⇒ BC ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAD )
b) Ta có 
 BC ⊥ SA
Ví dụ 6: [Tham khảo]. Cho hình chóp S . ABCD

có

đáy

( A = D = 90 , AB = AD = 2CD ) . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M
0

là

hình

thang


vuông

là trung điểm của AB .

a) Chứng minh rằng ( SCM ) ⊥ ( SAB ) .

b) Chứng minh rằng ( SAC ) ⊥ ( SDM ) .
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH KHÔNG GIAN

c) Gọi AD giao BC tại E . Tìm K trên SE sao cho ( AKC ) ⊥ ( SEB ) .
a) Ta có CM / / AD ⇒ CM ⊥ AB
CM ⊥ AB
Ta có : 
⇒ CM ⊥ ( SAB )
CM ⊥ SA

Lời giải :

Mà CM ⊂ ( SCM ) ⇒ ( SCM ) ⊥ ( SAB )
b) AMCD là hình vuông ⇒ DM ⊥ AC
 DM ⊥ AC
Ta có : 

⇒ DM ⊥ ( SAC )
 DM ⊥ SA
Mà DM ⊂ ( SDM ) ⇒ ( SDM ) ⊥ ( SAC )

Ví dụ 7: [Tham khảo]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC).
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC).
Lời giải:

a) Kẻ SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ BC . Kết hợp BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC ) .
b) Theo câu a, BC ⊥ ( SAC ) , AI ∈ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AI .
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI ⊥ SC ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ ( ABI ) ⊥ ( SBC ) .

Ví dụ 8: [Tham khảo]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD).
a
3a
Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên BC và DC sao cho MB = ; DN = . Chứng minh rằng (SAM) ⊥
2
4
(SMN).
Lời giải:

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy Đặng Việt Hùng


CHUYÊN ĐỀ : HÌNH KHÔNG GIAN

Ta có
AM 2 = AB 2 + BM 2 = a 2 +

a 2 5a 2
=
4
4
2

25a 2
 3a 
AN = AD + DN = a +   =
16
 4 
2

2

2

2

2

2

2
 a   a  5a

MN 2 = MC 2 + NC 2 =   +   =
16
2 4

Dẫn đến AN 2 = AM 2 + MN 2 ⇒ AM ⊥ MN . Mà SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ MN .
Kết hợp thu được MN ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAM ) .
Ví dụ 9: [Tham khảo]. Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB = 2a , AD = DC = a,

( SAB )

và ( SAD ) cùng vuông góc với đáy, SA = a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho

AM = x. (α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB).
a) Chứng minh SA ⊥ ( ABCD )
b) Xác định (α)

Lời giải:
a) Ta có : ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
Mặt khác: 
⇒ SA ⊥ ( ABCD )
( SAD ) ⊥ ( ABCD )
 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ ( SAB )
b) Do 
 AD ⊥ SA

Điểm M thuộc AD do vậy MA ⊥ ( SAB ) .
Khi đó: ( EMA ) ⊥ ( SAB )
Hay (α ) ≡ ( EMA)


MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH KHÔNG GIAN

Ví dụ 10: [Tham khảo]. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy. (α)
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. (α ) ∩ SC = I .
a) Xác định K = SO ∩ (α )

b) Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC )
c) Chứng minh BD

(α )

d) Xác định giao tuyến d của (SBD) và (α ) . Tìm thiết diện chóp và (α ) .
Lời giải:
Dựng AI ⊥ SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N.
Ta có: MN / / BD ⇒ MN ⊥ AC
Mặt khác MN / / BD ⊥ SA ⇒ MN ⊥ ( SAC ) ⇒ MN ⊥ SC .
Lại có: AI ⊥ SC ⇒ ( AMIN ) ⊥ SC .

a) Điểm K = AI ∩ SO .
 BD ⊥ AC
b) Do 

⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD )
 BD ⊥ SA
c) Do BD / / MN ⇒ BD / / (α )
d) ( SBD ) ∩ (α ) = MN và thiết diện là tứ giác AMIN.

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95