Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Giới hạn

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)

03. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

∞
P ( n)
, hay lim
với P(n) và Q(n) là các hàm đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho nk, với k lớn nhất.
∞
Q ( n)
∞
Dạng vô định ∞ − ∞ , hay lim [ P(n) − Q(n)] thì ta nhân với lượng liên hợp và đưa về dạng .
∞

Dạng vô định

Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

(

a. lim

)

n +1) .

n 2 + 4n − n .

(

c. lim n2 + n −

b. lim

(

)

n +1 − n .

)

(

d. lim n2 + 5n +1 − n2 − n .

2

Bài 2: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

)

(


a. lim n − n2 + 3 .

(

c. lim

)

n3 − 2n 2 − n .

3

1

b. lim

n + 2 − n2 + 4
2

d. lim n − 1

(

.

)

n +1 − n .

Bài 3: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

a. lim

(

3

 n + 3 1 − n3 
.
 n2 + 1 − n 



)

n − 3 n +1 .

c. lim n

(

n +1 − n

b. lim 

)

d. lim

(


3

)

n3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n .

Bài 4: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim

n −2
n + n +1
2 n+2

c. lim

n+2 +3

.

b. lim

.

d. lim

n +1
n +1

.


n2 + 1
.
2n + 3

Bài 5: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3

a. lim

c. lim

n3 + 1 − 1
n3 + 1 − 2

.

(2n n )(3 + n )
.
(n +1)(n + 2)

b.

2n − 3 − n

d. lim

3n + 1

2n n 2 + n
.

3n 2 + 2n + 1

Bài 6: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim

n2 + 3 n3 +1 + n n
n n2 +1 + 3

b. lim

n 2 + 2n − 1
.
5n + 1

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

c. lim

(

)

n +1 + n .

Chuyên đề : Giới hạn

d. lim


(

3

)

n 2 + n3 + n .

Bài 7*: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
 1

1
1
a) lim 
+
+ ... +

(2n − 1)(2n + 1) 
 1.3 3.5
Bài 8*: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

 1

1
1
b) lim 
+
+ ... +


n(n + 2) 
 1.3 2.4

1 
1 
1 


a) lim  1 − 2 1 − 2  ...  1 − 2 
 2  3 
 n 

 1
1
1 
b) lim 
+
+ ... +

n(n + 1) 
 1.2 2.3

Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a) lim

1 + 2 + ... + n

b) lim

n2 + 3n


1 + 2 + 22 + ... + 2 n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

1 
1  
1 

Bài 10*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) với un = un = 1 − 2 1 − 2  ... 1 − 2  , với mọi n ≥ 2.
 2  3   n 

a) Rút gọn un.
b) Tìm lim un.
Bài 11*: [ĐVH].
a) Chứng minh:

1
1
1
=
−
(∀n ∈ N*).
n n + 1 + (n + 1) n
n
n +1

b) Rút gọn un =

1
1

1
+
+ ... +
.
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n

c) Tìm lim un.
u1 = 1

.
Bài 12*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
1
u
u
n
=
+
(
≥
1)
n
+
1
n
n

2

a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.

b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
u = 0; u2 = 1
Bài 13*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1
2un + 2 = un+1 + un , (n ≥ 1)
1
a) Chứng minh rằng: un+1 = un +1 = − un + 1 , ∀n ≥ 1.
2

b) Đặt vn = un −

2
. Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3

LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim

(

(

)
n +1) .

n 2 + 4n − n .

c. lim n2 + n −


2

b. lim

(

(

)

n +1 − n .

)

d. lim n2 + 5n +1 − n2 − n .

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

(

)

(

)

Chuyên đề : Giới hạn


Lời giải:
4n

 n + 4n − n 
1
1
n 2 + 4n − n = lim 
= lim
= 4 lim
= 4. = 2.

2
2
4
n 2 + 4n + n
 n + 4n + n 
1+ +1
n
1


b) lim n + 1 − n = lim 
 = 0.
 n +1 + n 
1
1−
2
2



n −1
1
n
c) lim n2 + n − n2 +1 = lim n + n − n −1  = lim
= lim
= .
2
2
2
2
1
1 2
n + n + n +1
 n + n + n +1 
1+ + 1+ 2
n
n
1
6+
( n2 + 5n +1) − ( n2 − n) 
6n +1
n
d) lim n2 + 5n +1 − n2 − n = lim 
 = lim
= lim
= 3.
2
2
2

2
5 1
1
 n + 5n +1 + n − n 
n + 5n +1 + n − n
1+ + 2 + 1−
n n
n

a) lim

2

2

)

(

)

(

Bài 2: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

(
c. lim (

)


a. lim n − n2 + 3 .

)

n3 − 2n 2 − n .

3

)

(

c) lim

(

n − ( n + 3)
n+ n +3

n2 + 2 − n2 + 4

= −3lim

)

n3 − 2n 2 − n = lim

3

3


(n

− 2n 2

3

d) lim n − 1

(

)

2

n + n2 + 3

)

3

+ n 3 n 3 − 2n 2 + n 2

)

1

= 0.

(



n3 − 2n 2 − n  3 n3 − 2n 2


−2 n 2

lim

)

n +1 − n .

n2 + 2 + n2 + 4
= −∞.
−2

= lim

(

(

.

Lời giải:

2

2


1

3

n + 2 − n2 + 4
2

d. lim n − 1
2

a) lim n − n2 + 3 = lim
b) lim

1

b. lim

n + 1 − n = lim

(n

3

− 2n 2

)

2


)

2


+ n 3 n 3 − 2n 2 + n 2 
=

+ n 3 n3 − 2n 2 + n 2

−2

= lim

=

2

3

2
 2 3
1 −  + 1 − + 1
n
 n

n −1
= lim
n +1 + n


1−
1+

1
n

1
+1
n

2
.
3

1
= .
2

Bài 3: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim

(

3

c. lim n

a) lim

(


3

 n + 3 1 − n3 
b. lim 
.
 n2 + 1 − n 



)

n − 3 n +1 .

(

n +1 − n

)

)

n − 3 n + 1 = lim

d. lim

(

3


)

(

3

)

n3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n .

Lời giải:

2
n − 3 n + 1  3 n 2 + 3 n ( n + 1) + 3 ( n + 1) 
−1

 = lim
= 0.
 3 n2 + 3 n n + 1 + 3 n + 1 2 
 3 n2 + 3 n n + 1 + 3 n + 1 2 
( ) ( ) 
( ) ( ) 







Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !



Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Giới hạn

)
)(

(
(

(

)

(

)

2 

n + 3 1 − n3  n 2 − n 3 1 − n 3 + 3 1 − n 3  n 2 + 1 + n
 n + 3 1 − n3 
n2 + 1 + n


 = lim
b) lim 
= lim

 n2 + 1 − n 
2 

 2
3
3
3
3


n2 + 1 − n
n 2 + 1 + n  n 2 − n 3 1 − n3 + 3 1 − n3 
 n − n 1− n + 1− n




1 1 1
+
+
n2 n4 n

= lim

1
 1

− 1 + 3  3 − 1
3
n

n


1− 3
c) lim n

(

)

n + 1 − n = lim

d) Ta có lim

(

3

=

n
= lim
n +1 + n

)

3

( n3 − 3n2


3

(n

(

(

3

1
1
= .
2
1
1+ +1
n

3

2

3

3

2

2


2 − 3n

= lim

3

− 3n + 1) + ( n − 1) n − 3n + 1 + ( n − 1)
2

2

3

3

Bài 4: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
n −2
a. lim
.
n + n +1
2 n +2
.
n+2 +3

c. lim

(

2


)

(

n3 − 3n 2 + 1 − ( n − 1) + lim n − 1 − n 2 + 4n

( n − 3n + 1) − ( n − 1)
+ 1) + ( n − 1) n − 3n + 1 + ( n − 1)
2

)

0
=0.
3

n3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n = lim
3

= lim

2

)

2

+ lim
+ lim


( n − 1)

2

− ( n 2 + 4n )

)

n − 1 + n 2 + 4n
−6 n + 1
n − 1 + n 2 + 4n

b. lim

n +1
.
n +1

d. lim

n2 + 1
.
2n + 3

= 0 − 3 = −3

Lời giải:
Làm tương tự như các phần trên ta có được kết quả :
n −2
a) lim

= 0.
n + n +1
n +1
= 1.
n +1

b) lim
c) lim

2 n +2
= 2.
n+2 +3

d) lim

n2 + 1 1
= .
2n + 3 2

Bài 5: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

n3 + 1 − 1

3

a. lim
c. lim

n +1 − 2
3


(2n n )(3 + n )
.
(n +1)(n + 2)
3

a) lim
Đặt

6

.

(n

n3 + 1 − 1
n3 + 1 − 2
3

b. lim

2n − 3 − n
.
3n + 1

2n n 2 + n
.
3n 2 + 2n + 1
Lời giải:
d. lim


.

+ 1) = t .
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !

)

2






Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Giới hạn

1 1
− 3
n +1 −1
t −1
0
Khi n → +∞ ⇒ t → +∞ ⇒ lim
= lim 3
= lim t t = = 0 .
3
2
t −2

n +1 − 2
1− 3 1
t
2n − 3 − n
2 −1
b) lim
=
.
3n + 1
3
3

c) lim

3

2

(2n n )(3 + n )
= 1.
(n +1)(n + 2)

d) lim

2n n 2 + n 2
= .
3n 2 + 2n + 1 3

Bài 6: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3 3

2
a. lim n + n +1 + n n
2

c. lim

n n +1 + 3

(

n 2 + 2n − 1
.
5n + 1

b. lim

)

n +1 + n .

d. lim

(

3

)

n 2 + n3 + n .


Lời giải:
1
1
1
+ 6 +
3
n + n +1 + n n
n
n
n = 1 =1
a) lim
= lim
2
1
1
3
n n +1 + 3
1+ 2 + 2
n
n
2 1
1+ − 2
n 2 + 2n − 1
n n =1
= lim
b) lim
1
5n + 1
5
5+

n
2

c) lim
d) lim

(

(

3

1+ 3

3

)

n + 1 + n = +∞
3

)

n 2 + n 3 + n = +∞

Bài 7*: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
 1

1
1

a) lim 
+
+ ... +

(2n − 1)(2n + 1) 
 1.3 3.5
a) Xét A =

 1

1
1
b) lim 
+
+ ... +

n(n + 2) 
 1.3 2.4
Lời giải:

1
1
1
+
+ ... +
1.3 3.5
( 2n − 1)( 2n + 1)

Ta có 2 A =


2
2
2
11 1 1
1
1
1
2n
+
+ ... +
=
+ − + ... +
−
= 1−
=
1.3 3.5
2 n − 1 2n + 1
2 n + 1 2n + 1
( 2n − 1)( 2n + 1) − 3 3 5

2n
2
= lim
=1
1
2n + 1
2+
n
1
1

1
b) Xét B =
+
+ ... +
1.3 2.4
n (n + 2)
Suy ra lim A = lim

Ta có 2 B =

2
2
2
1 1 1 1 1
1
1
1
1
3
1
+
+ ... +
= 1 − + − + − + ... + −
= 1+ −
= −
1.3 2.4
n (n + 2)
3 2 4 3 5
n n+2
2 n+2 2 n+2


Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Giới hạn

1 


1 
3
3
n = 3
Suy ra lim B = lim  −
 = lim  −
2
2 n+2
 2 1+  2
n

Bài 8*: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
1 
1
1 


a) A = lim  1 − 2   1 − 2  ...  1 − 2 
 2  3 

 n 
a) Xét
Suy ra

Suy ra
Suy ra
b) Đặt

 1
1
1 
b) lim 
+
+ ... +

n(n + 1) 
 1.2 2.3

Lời giải:
1 
1 
1 
1 
1
1 




S = ln 1 − 2  1 − 2  ... 1 − 2  = ln  1 − 2  + ln 1 − 2  + ... + ln 1 − 2 

 2  3   n 
 2 
 3 
 n 
n −1
n +1
n +1
n +1
1
3
2
4
3
5
1
S = ln + ln + ln + ln + ln + ln + ... + ln
+ ln
= ln + ln
= ln
2
2
3
3
4
4
n
n
2
n
2n

1
1+
n +1
n = ln 1
lim S = lim ln
= lim ln
2n
2
2
1
ln
1
A = elim S = e 2 =
2
1
1
1
1 1 1
1
1
1
n
P=
+
+ ... +
= 1 − + − + ... + −
= 1−
=
1.2 2.3
n(n + 1)

2 2 3
n n +1
n +1 n +1

 1

1
1
n
1
Khi đó lim 
+
+ ... +
= lim
=1
 = lim = lim P = lim
 1.2 2.3
1
n
n
+
n
+
1
1
(
)


1+

n

Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a) lim

1 + 2 + ... + n

b) lim

n2 + 3n

1 + 2 + 22 + ... + 2 n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

Lời giải:
1
1+
n ( n + 1) n 2 + n
1 + 2 + ... + n
n2 + n
n =1
a) Ta có 1 + 2 + ... + n =
=
. Suy ra lim
= lim 2
= lim
2
6 2
2
2

n + 3n
2 n + 6n
2+
n
n +1
 2
1 
   − n +1 
2
n
n +1
1 + 2 + 2 + ... + 2
2 −1
3
3 
b) Ta có lim
= lim n +1
= lim  2.  
=0
2
n
1
3 −1


1 + 3 + 3 + ... + 3
1 − n +1


3

2


1 
1  
1 

Bài 10*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) với un = 1 − 2 1 − 2  ... 1 − 2  , với mọi n ≥ 2.
 2  3   n 
a) Rút gọn un.
b) Tìm lim un.
Lời giải:

(

)(

) (

)

2
2
2
1 
1  
1  2 − 1 3 − 1 ... n − 1 1.3.2.4.3.5... ( n − 1)( n + 1)

=
a) Ta có un = 1 − 2 1 − 2  ... 1 − 2  =

 2  3   n 
( 2.3...n )2
( 2.3...n )2

=

(1.3.3.5.. ( n − 1) . ( n + 1) ) .( 2.4.2...( n − 2 ) .n ) = n + 1
( 2.3...n )2

n

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

b) lim

Chuyên đề : Giới hạn

n +1
 1
= lim 1 +  = 1
n
 n

Bài 11*: [ĐVH].
1
1
1

=
−
(∀n ∈ N*).
n n + 1 + (n + 1) n
n
n +1
1
1
1
b) Rút gọn un =
+
+ ... +
.
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n
c) Tìm lim un.
Lời giải:

a) Chứng minh:

a) Ta có

(

( n + 1) − n
1
=
=
n n + 1 + (n + 1) n
n ( n + 1) n + n + 1


(

=

n +1 − n
n ( n + 1)

)

=

n +1 − n
n ( n + 1)

(

)(

n +1 + n
n + n +1

)

)

1
1
−
n

n +1

b) Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
un =
−
+
−
+ ... +
−
+
−
⇒ un = 1 −
1
2
2
3
n −1
n
n
n +1
n +1

1 

c) lim un = lim 1 −
 =1
n +1 

u1 = 1

Bài 12*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
.
1
un +1 = un + 2 n (n ≥ 1)
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
Lời giải:
1 
1

a) Ta có vn = un+1 − un =  un + n  − un = n

2 
2
1 1
1
A 11 1
1 
Khi đó A = v1 + v2 + ... + vn = + 2 + ... + n ⇒ =  + 2 + ... + n 
2 2
2 22 2

2
2 
1
1
A 1 1
1   1
1
1  1
⇒ =  + 2 + ... + n  −  2 + 3 + ... + n +1  = − n+1 ⇒ A = 1 − n
2 2 2
2
2  2
2
2  2 2
b) Từ câu a, suy ra A = v1 + v2 + ... + vn = u2 − u1 + u3 − u2 + ... + un − un −1 + un +1 − un
n

1

i =1

n

⇔ A = ∑ vi = un +1 − u1 = un+1 − 1 = un +

2

−1 ⇒ 1 −

1

2

n

= un +

1
2

n

− 1 ⇒ un = 2 −

1 

c) lim un = lim  2 − n −1  = 2

2 
u = 0; u2 = 1
Bài 13*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1
2un + 2 = un+1 + un , (n ≥ 1)
1
a) Chứng minh rằng: un +1 = − un + 1 , ∀n ≥ 1.
2
2
b) Đặt vn = un − . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3
Lời giải:
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


1
2

n −1


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Giới hạn

1
a) Ta có: 2un +1 + un = 2un + un −1 = 2un −1 + un − 2 = ... = 2u3 + u2 = 2u2 + u1 = 2 ⇒ un +1 = − un + 1
2
2
b) vn = un − ⇒ 3vn = 3un − 2 ⇒ 3vn = 2un + ( un − 2 ) = 2un − 2un+1 = 2un − ( un + un −1 ) = un − un −1
3
1
3
1
1
1
2
1
3vn = un − un −1 = − un −1 + 1 − un −1 = − un −1 + 1 ⇒ vn = − un −1 + = −  un −1 −  = − vn −1
2
2
2
3
2
3

2

1
1 1
  1
Từ đó, ta suy ra vn = − vn −1 = −  − vn − 2  =  − 
2
2 2
  2
n −1
n −1
2  1
2 2 2  1 
⇒ un = vn + =  −  . − + = 1 −  −  
3  2
3 3 3   2  
 2   1  n −1   2
Suy ra, lim un = lim  1 −  −    =
 3   2   3

 

n −1

 1
v1 =  − 
 2

n −1


.

2
3

Chương trình lớp 11 trên Moon.vn : />
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !