Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)

ĐẠO HÀM CỦA HS LƯỢNG GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

 y = sin x ⇒ y ' = cos x
 y = sin u ⇒ y ' = u 'cos u
 y = cos x ⇒ y ' = − sin x
• Đạo hàm của hàm cosin: 
 y = cos u ⇒ y ' = −u 'sin u

• Đạo hàm của hàm sin: 

1

 y = tan x ⇒ y ' = cos 2 x
• Đạo hàm của hàm tan: 
 y = tan u ⇒ y ' = u '

cos 2 u
1

 y = cot x ⇒ y ' = − sin 2 x
• Đạo hàm của hàm cot: 
 y = cot u ⇒ y ' = − u '


sin 2 u
Bài 1: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

 sin x 
a) y = 
 .
 1 + cos x 

b) y = sin 3 (2 x + 1).

c) y = sin x + 2 x .

Bài 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (2 + sin 2 2 x)3 .

b) y = sin 2 + x 2 .

 x +1 
c) y = cos 2 
 .
−
1
x



Bài 3: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = sin ( cos 2 x tan 2 x ) .


b) y = cot 2 x .

c) y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x.

2
1
Bài 4: [ĐVH]. Tính đạo hàm của hàm số y = tan 2 x + tan 3 2 x + tan 5 2 x.
3
5

Bài 5: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = 0 với
a) f ( x) = sin x −

cos 4 x cos 6 x
−
4
6

b) f ( x) = sin 2 x + 2 cos x.

Bài 6: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = 0 với
a) f ( x) = 1 − sin(π + x) + 2 cos

3π + x
.
2

b) f ( x) = sin 3 x − 3 cos 3 x + 3(cos x − 3 sin x).

Bài 7: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) với

4

a)  f ( x) = sin 3 x .
 g ( x) = sin 6 x

MOON.VN – Học để khẳng định mình

3

b)  f ( x) = sin 2 x
.
 g ( x) = 4 cos 2 x − 5sin 4 x

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

Bài 8: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) với


2 x
f
(
x
)
=
4

x
cos

2
b) 
.
x
 g ( x) = 8cos − 3 − 2 x sin x

2


2
2 x
 f ( x) = 2 x cos
a) 
2.
 g ( x) = x − x 2 sin x

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

 sin x 
a) y = 
 .
 1 + cos x 

b) y = sin 3 (2 x + 1).


c) y = sin x + 2 x .

Lời giải:

1 − cos x 1 − cos x
2
2
2sin x


 sin x 
a) y = 
=
=
−1 ⇒ y' = 
 =
 =
2
2
 1 + cos x  (1 + cos x )
 1 + cos x  (1 + cos x ) 1 + cos x 1 + cos x
2

'

2

b) y = sin 3 (2 x + 1) ⇒ y ' = 3.2sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) = 6

1 − cos ( 4 x + 2 )

2

cos ( 2 x + 1)

1

 3
⇒ y ' = 3.  cos ( 2 x + 1) − ( cos ( 2 x + 1) + cos ( 6 x + 3) )  = ( cos ( 2 x + 1) − cos ( 6 x + 3) )
2

 2
1
( cos x + 2 )
c) y = sin x + 2 x = ( sin x + 2 x ) 2 ⇒ y ' =
2 sin x + 2 x

Bài 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (2 + sin 2 2 x)3 .

 x +1 
c) y = cos 2 
 .
 x −1 

b) y = sin 2 + x 2 .
Lời giải:

a) y = (2 + sin 2 2 x)3 ⇒ y ' = 3 ( 2 + sin 2 2 x ) . ( 2 + sin 2 2 x ) = 6.sin 2 x.cos 2 x. ( 4 + sin 4 2 x + 4sin 2 2 x )
2


'

1 − cos 4 x
 1 − cos 4 x 
⇒ y = 12sin 4 x + 3sin 4 x.sin 2 x + 12 sin 4 x sin 2 x = 12 sin 4 x + 3sin 4 x 
 + 12sin 4 x
2
2


3
⇒ y ' = 12sin 4 x + sin 4 x (1 + 2 cos 4 x + cos 2 4 x ) + 6 sin 4 x (1 − cos 4 x )
4
75
3
3
cos8 x − 1
⇒ y ' = sin 4 x + sin 4 x.cos 4 x + sin 4 x.
− 3sin 8 x
4
2
4
2
75
21
3
⇒ y ' = sin 4 x − sin 8 x + ( sin12 x − sin 4 x )
16
4
8

3sin12 x − 45sin 8 x + 300 sin 4 x
⇒ y' =
16
'
x cos x 2 + 2
b) y = sin 2 + x 2 ⇒ y ' = cos 2 + x 2 . 2 + x 2 =
x2 + 2
2

'

4

2

)

(

'

 x +1
 x +1   x +1   x +1 
'
c) y = cos 
 ⇒ y = −2 cos 
 sin 
 . 

 x −1 

 x −1   x −1   x −1 
'


x +1  
2 
2
x +1 
'
⇒ y = − sin  2
sin  2
  1 −

 =−
x −1  
x −1 
x − 1 
x x − 2 x +1


2

(

)

Bài 3: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95



Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

a) y = sin ( cos 2 x tan 2 x ) .

c) y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x.

b) y = cot 2 x .
Lời giải:
2
2
 cos x.sin x 
2
a) y = sin ( cos 2 x tan 2 x ) = sin 
 = sin ( sin x )
2
cos
x


⇒ y ' = cos ( sin 2 x ) . ( sin 2 x ) = 2sin x.cos x.cos ( sin 2 x ) = sin 2 x.cos ( sin 2 x )
'

b) y = cot 2 x ⇒ y ' =

1
2

tan 2 x
'
. ( cot 2 x ) = −
. tan 2 x = −
2
2sin 2 x
sin 2 2 x
2 cot 2 x

c) y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x ⇒ y ' = ( 2sin 2 4 x ) − ( 3cos3 5 x ) = 4sin 4 x.cos 4 x + 9 cos 2 5 x.sin 5 x
'

⇒ y ' = 2sin 8 x +

'

9
9
9
(1 − cos10 x ) sin 5 x = 2sin 8 x − ( sin15 x − sin 5 x ) +
2
4
2

2
1
Bài 4: [ĐVH]. Tính đạo hàm của hàm số y = tan 2 x + tan 3 2 x + tan 5 2 x.
3
5
Lời giải:

2
1
y = tan 2 x + tan 3 2 x + tan 5 2 x
3
5
'

'

2
2
1
'
'
2
 1

+ .3. tan 2 2 x. ( tan 2 x ) + .5.tan 4 2 x. ( tan 2 x )
⇒ y = ( tan 2 x ) +  tan 3 2 x  +  tan 5 2 x  =
2
5
3
 5
 cos 2 x 3
2
2
2
⇒ y' =
+ 2 tan 2 2 x.
+ tan 4 2 x.

2
2
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 2 x
'

'

2

=

2
4
2  1
2
 1


+
.
− 1 +
− 1 ⇒ y ' =

2
2
2
2
2

cos 2 x cos 2 x  cos 2 x  cos 2 x  cos 2 x 
cos 6 2 x

Bài 5: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = 0 với
a) f ( x) = sin x −

cos 4 x cos 6 x
−
4
6

b) f ( x) = sin 2 x + 2 cos x.
Lời giải:
'

cos 4 x cos 6 x
'  cos 4 x   cos 6 x 
a) f ( x) = sin x −
−
⇒ f ' ( x ) = ( sin x ) − 
 −

4
6
 4   6 
1
1
⇒ f ' ( x ) = cos x + .4.sin 4 x + 6.sin 6 x = cos x + sin 4 x + sin 6 x
4
6

'
⇒ f ( x ) = cos x + 2sin 5 x.cos x = cos x (1 + 2sin 5 x )

'

cos x = 0
Phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔ cos x (1 + 2sin 5 x ) = 0 ⇔ 
1
sin 5 x = −

2
π
1
1
⇔ x1 = kπ − ; x2 = (12kπ − π ) ; x3 = (12kπ + 7 π ) ( k ∈ Z )
2
30
30

(

)

'

b) f ( x) = sin 2 x + 2 cos x ⇒ f ' ( x ) = sin 2 x + ( 2 cos x )

'

⇒ f ' ( x ) = 2sin x.cos x − 2 sin x = 2sin x ( cos x − 1)


sin x = 0
PT f ' ( x ) = 0 ⇔ 2sin x ( cos x − 1) = 0 ⇔ 
cos x = 1

⇔ x = kπ (k ∈ Z)

Bài 6: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = 0 với
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

a) f ( x) = 1 − sin(π + x) + 2 cos

3π + x
.
2

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

b) f ( x) = sin 3 x − 3 cos 3 x + 3(cos x − 3 sin x).

Lời giải:
x
x
a) Ta có f ( x ) = 1 + sin x + 2sin ⇒ f ' ( x ) = cos x + cos
2

2
3x
2π
4π

x
k
cos
=
0
⇔
=
+

x
3x
x
4
3
3
f ' ( x ) = 0 ⇔ cos x + cos = 0 ⇔ 2 cos cos = 0 ⇔ 
2
4
4
cos x = 0 ⇔ x = 2π + k 4π

4
2π
4π
Vậy x =

+k
; x = 2π + k 4π
3
3
b) Ta có: f ' ( x ) = 3cos 3 x + 3 3 sin 3 x − 3sin x − 3 3 cos x

f ' ( x ) = 0 ⇔ cos 3 x + 3 sin 3 x − sinx − 3 cos x = 0 ⇔ cos 3 x + 3 sin 3 x = sin x + 3 cos x
⇔

1
3
1
3
π
π


cos 3 x +
sin 3 x = sin x +
cos x ⇔ sin  3 x +  = sin  x + 
2
2
2
x
6
3



π

π
π


3 x + 6 = x + 3 + k 2π
 x = 12 + kπ
⇔
⇔
π
π
3 x + = π − x − + k 2π
x = π + k π


8
2
6
3

Bài 7: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) với
a)

{

f ( x) = sin 2 x − cos 2 x
g ( x) = 2sin x + 6 cos x + 4 x

3

b)  f ( x) = sin 2 x .

 g ( x) = cos 4 x

Lời giải:
a) Ta có: f ' ( x ) = 2 cos 2 x + 2sin 2 x; g ' ( x ) = 2 cos x − 6sin x + 4

f ' ( x ) = g ' ( x ) ⇔ 2 cos 2 x + 2sin 2 x = 2 cos x − 6sin x + 4 ⇔ sin 2 x + cos 2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0

⇔ 2sin x cos x − cos x + 1 − 2sin 2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ cos x ( 2sin x − 1) − ( sin x − 1)( 2sin x − 1) = 0

π

 x = 6 + k 2π
1


sin x =
1

 x = 5π + k 2 π

sin x =
2

⇔ ( 2sin x − 1)( cos x − sin x + 1) = 0 ⇔
⇔
⇔
2
6

π 1




sin x − cos x = 1 sin  x −  =
 x = π + k 2π
4
2
 

2
 x = π + k 2π

π
5π
π
Vậy x = + k 2 π; x =
+ k 2 π; x = + k 2 π; x = π + k 2 π
6
6
2
2
b) Ta có: f ' ( x ) = 3sin 2 x.2 cos 2 x = 6sin 2 2 x.cos 2 x; g ' ( x ) = −4sin 4 x
π

sin 4 x = 0 ⇔ x = k

4
f ' ( x ) = g ' ( x ) ⇔ 6 sin 2 2 x.cos 2 x = −4sin 4 x ⇔ 3sin 4 x.sin 2 x = −4 sin 4 x ⇔ 
sin 2 x = − 4 (loai )


3
Bài 8: [ĐVH]. Giải phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) với

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng


2
2 x
 f ( x) = 2 x sin
a) 
2 .
2
 g ( x) = x − x cos x

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG


2 x
 f ( x) = 4 x cos 2
b) 
.
x
 g ( x) = 8cos − 3 − 2 x cos x

2


Lời giải:
a) Ta có:
f ( x ) = x 2 (1 − cos x ) ⇒ f ' ( x ) = 2 x (1 − cos x ) + x 2 sin x = 2 x − 2 x cos x + x 2 sin x
g ' ( x ) = 1 − 2 x cos x + x 2 sin x
1
1
. Vậy x =
2
2
b) Ta có f ( x ) = 2 x (1 − cos x ) ⇒ f ' ( x ) = 2 (1 − cos x ) + 2 x sin x = 2 − 2 cos x + 2 x sin x
f ' ( x ) = g ' ( x ) ⇔ 2 x − 2 x cos x + x 2 sin x = 1 − 2 x cos x + x 2 sin x ⇔ 2 x = 1 ⇔ x =

g ' ( x ) = −4 sin

x
− 2 cos x + x sin x
2

f ' ( x ) = g ' ( x ) ⇔ 2 − 2 cos x + 2 x sin x = −4sin

x
x
1
 −π 
− 2 cos x + x sin x ⇔ sin = − = sin 

2
2
2

 6 

π
π
x

 2 = − 6 + k 2π
 x = − 3 + k 4π
⇔
⇔
 π = 7π + k 2π
 x = 7π + k 4π
3
 2 6

π
7π
Vậy x = − + k 4 π; x =
+ k 4π
3
3

Chương trình lớp 11 trên Moon.vn : />
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95