Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

Tài liệu bài giảng (Combo S.A.T)

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2
2

 

( )

(

)

(

)

 x3  1
1
1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
 3  3
3
3
 
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b ) 
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1

1
1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) 
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) 
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b 
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d  tan ( ax + b )  

→
= d ( tan 2 x ) ...
2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2

( )

(

)

(

dx
sin

2

( ax + b )

=

(

)

)


( )

1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:

( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)

Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có

b) Tính chất 2:

( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có,

( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0

Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) 
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

d) Tính chất 4:

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =


x n +1
+C
n +1

Chứng minh:
 x n +1
′
x n +1
Thật vậy, do 
+ C  = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
n +1
 n +1

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =

u n +1
+C
n +1

1
dx
dx
du
+) Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ←
→∫
=2 u +C

2
x
2 x
u
dx
1
du
1
+) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5

Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1

c)


∫

3

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

1

2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3

( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) 
→I =

2
5
2011
1 − 3x )
(
1
2010
2010
u n du
e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 
→I = −
+C
3
2011
du
dx
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
f) I = ∫
=

→I = − .
+C =−
+C
2
2
∫
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)

( 2 x + 1) 2 ( 2 x + 1)
5

4

g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫

3
3
1
1 2
3
4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = . ( 4 x + 5 ) 2 + C = ( 4 x + 5 ) 2 + C
∫
4
4 3
8

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được

du

∫u

= ln u + C

1
 dx
= ln 2 x + k + C
∫

d
ax
+
b
(
) 1
dx
1
 2x + k 2
+) ∫
= ∫
= ln ax + b + C 
→
ax + b a
ax + b
a
 dx = − 1 ln k − 2 x + C

 ∫ k − 2 x
2
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4

+  dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =
+ 2 x + ln x + C
a) ∫  x3 +
x
4
x x
x

du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2
2x + x + 3
3 
dx
3 d ( 2 x + 1)

3

c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1 
2x + 1
2
2x + 1
2


b) I = ∫

Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+) ∫ sin ( ax + b ) dx =

1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C 
→ ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C
∫

a
a
2

Ví dụ:
3
1 
dx
1 d ( 2 x − 1)

2
a) ∫  x x + s inx +
dx
=
x
xdx
+
sinx
dx
+
=
x
dx − cos x + ∫
=

∫
∫
∫
∫
2x −1 

2x −1
2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫  sin 2 x +
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3 
4x − 3 2
4
4x − 3
2
4

x



c) ∫  sin + sin x + sin 3x  dx
2


Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

1
1
 x 1
x
Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
x
x
x  x 1
1


∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+) ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C 
→ ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
4x − 1 
5 


a) ∫  cos x − sin x +

 dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −
 dx = sin x + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1 
x +1


1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1
−
cos
2
x
1
1
1
1
1
1


c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫  − cos 2 x  dx = x − ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2

4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )


du

∫ cos u = tan u + C
2

1

dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2

∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos
2

2

Ví dụ:
dx
1
 1

+ cos x − sin 2 x  dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
a) ∫ 
2
2
cos x
2

 cos x


1
2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
 dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 
du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du

dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=
−

→ I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
2
2
∫
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2
cos u

→=
2

Công thức 7: ∫

dx
= − cot x + C
sin 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =

1

dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
2
sin x
sin x

Chú ý:
Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

du

∫ sin u = − cot u + C
2

1


dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin
2

2

Ví dụ:
1
dx
1
x6


a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3


du
dx
1 d (1 − 3 x )
1

1
sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2

→ I = −  − cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3
c) I = ∫

dx
 x
sin 2  
2

 x
d 
du
2
 x

sin 2 u
= 2∫

→ I = −2 cot   + C
x
2
sin 2  

2
 

Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1
 2 x+ k
e dx = e 2 x + k + C
∫

1
1

2
→
+) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C 
a
a
 e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
 ∫
2
Ví dụ:
1
4 
dx
4

1
1 d ( 3x )

a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x

sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x

1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2
1

e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫
3
3

4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3

Công thức 9: ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

Chứng minh:

 ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do 
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
 ln a


Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+) ∫ a kx + m dx =

1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k

Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
d
x
+
d
x

→
I
=
+
+C
2
3

3
2
(
)
(
)
3∫
2∫
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4

a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)

∫ (2

1− 2 x

Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C

• ∫ a x dx =

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

x

α +1

α +1

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

• ∫ cos xdx = sin x + C

+ C,

(α ≠ −1)

1


∫ x dx = ln x + C

• ∫ e x dx = e x + C

• ∫ sin xdx = − cos x + C
•

∫

•

∫

1
cos2 x
1
sin2 x

dx = tan x + C

dx = − cot x + C

1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

• ∫ eax + b dx =

1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)

a

•

1

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

Ví dụ 1: [Tham khảo]. Điền vào chỗ trống ???
1

1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = ..........................................................................
x


2) ∫
3)

2 x4 + 3
dx = ..................................................................................
x2

∫


x −1
dx = ...................................................................................
x2

( x 2 − 1)2
4) ∫
dx = ..............................................................................
x2

5) ∫

(

)

x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................

2 
 1
6) ∫ 
− 3  dx = ...............................................................................
x
 x

7) ∫ 2sin 2

x
dx = .............................................................
2


8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫

1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x

11) ∫

cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x

2

12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................


e− x 
14) ∫ e x  2 +
 dx =.......................................................................................

cos 2 x 

2x 

15) ∫  e3 x +1 +
 dx = ......................................................................................................................
x −1 


Ví dụ 2: [Tham khảo]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =

3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x

2

;

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

F (1) = 3

b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;


F ( e) = 1

d) f ( x ) =

F (−2) = 0

f) f ( x ) = x x +

π
F '  = 0
3

x3 + 3x3 + 3x − 7
2

( x + 1)

;

h) f ( x ) =

x2 + 1
;
x

F (π) = 2

F (1) =
1


;

x

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2

x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F   =
2
2 4

F (0) = 8

Ví dụ 3: [Tham khảo]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a) 
. Tìm m.
2
 f ( x ) = 3 x + 10 x − 4

HD: F ( x ) = ∫ (3 x 2 + 10 x − 4)dx = x3 + 5 x 2 − 4 x + c ⇒ m = 1

 F ( x ) = ln x 2 − mx + 5

. Tìm m.
b) 
2x + 3
f
(
x
)
=

x 2 + 3x + 5


HD: F ( x ) = ∫

(

)

d x 2 + 3x + 5
2x + 3
dx
=
= ln( x 2 + 3 x + 5) ⇒ m = −3
2
2
∫
x + 3x + 5
x + 3x + 5


Ví dụ 4: [Tham khảo]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
a) 
. Tìm a, b, c.
2
 f ( x ) = ( x − 2) x − 4 x

HD: F ( x ) = ∫ ( x − 2 ) x 2 − 4 xdx =

3/ 2
1 2
1
4
x − 4x) ⇒ a = ; b = − ; c = 0
(
3
3
3

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
b) 
. Tìm a, b, c.
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

HD: F ( x ) = ∫ ( x − 3) e x dx = xe x − 4e x ⇒ a = 0; b = 1; c = −4
Ví dụ 5: [Tham khảo]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !



Khóa LUYỆN THI THPTQG (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;

Chuyên ñề : Nguyên hàm – Tích phân

π
F  =3
2

HD: f ( x ) = x sin x ⇒ F ( x ) = ∫ x sin xdx
Do g ( x ) = x cos x + x 2 → g ' ( x ) = cos x − x sin x + 2 x
→ ∫ x sin xdx = ∫ ( cos x + 2 x ) dx − ∫ g ' ( x ) dx = sin x + x 2 − ( x cos x + x 2 ) + C = sin x − x cos x + C

π
π 
π 
π 
Mà F   = 3 ⇒ − cos   + sin   + C = 3 ⇔ 1 + C = 3 ⇔ C = 2
2
2
2
2
⇒ F ( x ) = − x cos x + sin x + 2
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (π) = 0

HD: f ( x ) = x cos x ⇒ F ( x ) = ∫ x cos xdx

Do g ( x ) = x sin x + x 2 → g ' ( x ) = sin x + x cos x + 2 x

→ ∫ x cos xdx = ∫ g ' ( x ) dx − ∫ ( sin x + 2 x ) dx = ( x sin x + x 2 ) + cos x − x 2 = x sin x + cos x + C
Mà F (π ) = 0 ⇒ π sin (π ) + cos (π ) + C = 0 ⇔ C = 2

⇒ F ( x ) = x sin x + cos x + 2
c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;

F (2) = −2

HD: f ( x ) = ln x ⇒ F ( x ) = ∫ ln xdx
Do g ( x ) = x ln x + x 2 → g ' ( x ) = ln x + 1 + 2 x
⇒ ∫ ln xdx = g ( x ) − ∫ ( 2 x + 1) = x ln x + x 2 − x 2 − x + C = x ln x − x + C

Mà F ( 2 ) = −2 ⇔ 2 ln 2 − 2 + C = −2 ⇒ C = 2 ln 2
Suy ra ⇒ F ( x ) = x ln x − x + 2 ln 2

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia Combo S.A.T môn Toán tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !