Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

CÁC TÍNH BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HÌNH OXY (P1)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

 −4 
 −7 
Ví dụ 1. [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có H  3;  và I  6;  lần
 3 
 3 
lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi E, F lần lượt là hình chiêu của B, C trên cạnh
AC, AB. Đường trung trực của đoạn EF có phương trình: d : x − 3 y − 10 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác, biết điểm B có tung độ dương và BE: x – 3 = 0.
Ví dụ 2. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD gọi E và F ( −1; 2 ) lần lượt
là trung điểm của AB và AD, gọi K là điểm thuộc cạnh CD sao cho CD = 4 KC . Tìm toạ độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết rằng điểm K có tung độ lớn hơn 3 và phương trình đường thẳng KE là
5 x + 3 y − 21 = 0 .
Ví dụ 3. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh
1
 3 1
BC, N  − ;  là điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông
4
 2 2
ABCD biết rằng đường thẳng DM có phương trình x − 1 = 0.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. [ĐVH-1]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA và
 12 29 
trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE = BF , gọi N  ;  là giao điểm của 2 đường
 5 5 
thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng EF : y − 5 = 0 và B ( 3; 4 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD.

Lời giải:
Dễ thấy EF / / BD (vì cùng tạo với AB góc 45 ).
 EF ⊥ AC
Khi đó: 
⇒ AF ⊥ CE ( do F là trực tâm )
CB ⊥ AB
0

Phương trình BD : y − 4 = 0 , gọi I ( t ; 4 ) ta có: IB = IN .
Khi đó: ( t − 3)

2

2

2

29 
 12  
=  − t  +  4 −  ⇔ t = 0 ⇒ I ( 0; 4 )
5 
 5
 


Từ đó suy ra D ( −3; 4 ) khi đó phương trình AC là : x = 0
u = 1 ⇒ A ( 0;1)
2
Gọi A ( 0; u ) ta có: AB. AD = 0 ⇔ −9 + ( 4 − u ) = 0 ⇔ 
u = 7 ⇒ A ( 0;7 )
Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại A ( 0;7 )
Khi đó: A ( 0;1) ; C ( 0;7 ) . Vậy A ( 0;1) ; B ( 3; 4 ) ; C ( 0;7 ) ; D ( −3; 4 ) là các điểm cần tìm.

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Câu 2. [ĐVH-2]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của
AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3 x + y − 13 = 0 và N (2; 2) . Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và G = BI ∩ CM suy ra G là trọng tâm tam
2
2a 5
; BD = 2a 2 .
giác ABC. Đặt AB = 2a ta có: CG = CM =
3
3
a 2
a 2
5a 2

a 10
⇒ GN =
; IN =
; CN = CI 2 + IN 2 =
3
2
6
2
2
2
2
1
GC + CN − GN
Do vâỵ cos GCN =
⇒ MCN = 450
=
2GC.CN
2

Khi đó GI =

Ta có NC.sin GCN = d ( N ; CM ) =

5
⇒ NC = 5
10

t = 4 ⇒ C ( 4;1)
2
2

Gọi C ( t ;13 − 3t ) ( t > 3) ta có NC 2 = 5 ⇔ ( t − 2 ) + (11 − 3t ) = 5 ⇔ 
.
t = 3 ( loai )
Vậy C ( 4;1) là điểm cần tìm.

Câu 3. [ĐVH-3]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn
( C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 1 = 0 và M ( 0;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm
của cạnh AB và A có hoành độ dương.

Lời giải:
Gọi I là tâm đường tròn ( C ) ta có: I ( −1; 2 ) ; IA = IB = IC = R = 2 .
Do tam giác ABI cân tại I nên ta có IM ⊥ AB . Mặt khác IM (1; −1)
Phương trình đường thẳng AB qua M và vuông góc với IM là:
AB : x − y + 1 = 0 . Khi đó toạ độ các điểm Avà B là nghiệm của HPT:

 x2 + y2 + 2x − 4 y + 1 = 0
 x = 1; y = 2
 A (1; 2 )
⇔
⇒
( do xA > 0 ) .

 x = −1; y = 0  B ( −1;0 )
x + y −1 = 0
Phương trình đường thẳng BC qua B và vuông góc với AI là:
 y = 0 ⇒ C ( −1; 0 ) ≡ B ( loai )
BC : x = −1 . Với x = −1 ⇒ 
.
 y = 4 ⇒ C ( −1; 4 )
Đ/s: A (1; 2 ) , B ( −1; 0 ) , C ( −1; 4 ) .

Câu 4. [ĐVH-4]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y − 3 = 0 và điểm A ( 2;6 ) . Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác
35
ABC vuông tại A và có diện tích bằng
.
2
Lời giải:

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Gọi H là chân đường cao hạ từ A. Ta có: AH = d ( A; BC ) =

7
.
2

1
35
AH .BC =
⇒ BC = 10 = 2 R ⇔ R = 5 .
2
2
Do ∆ABC vuông tại A nên tâm I thuộc đường thẳng BC.
t = 6
2

2
Gọi I ( t ; t − 3) ta có: IA2 = ( t − 2 ) + ( t − 9 ) = 25 ⇔ 
.
t = 5
Mặt khác

Với t = 6 ⇒ I ( 6;3) ⇒ ( T ) : ( x − 6 ) + ( y − 3) = 25 .
2

2

Với t = 5 ⇒ I ( 5; 2 ) ⇒ ( T ) : ( x − 5 ) + ( y − 2 ) = 25
2

2

Câu 5. [ĐVH-5]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và A ( −1; 2 ) . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN và CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác BME biết BN nằm trên đường thẳng 2 x + y − 8 = 0 và B có hoành độ lớn hơn 2.

Lời giải:
2
. Mặt khác NBC + ABN = 900 do vậy
5
2
sin ABN = cos NBC =
. Lại có: d ( A; BN ) = AB sin ABN
5
8
2

⇔
= AB.
⇔ AB = 4 . Gọi B ( t ;8 − 2t ) ( t > 2 ) ta có: AB 2 = 16
5
5

Dễ thấy cos NBC =

⇔ ( t + 1) + ( 6 − 2t )
2

2

t = 3
= 16 ⇔  7
⇒ B ( 3; 2 ) .
t = ( loai )
 5

Ta có tan NBC = tan MCD ⇒ NBC = MCD ⇒ NBC + ECB = 900 hay BN ⊥ CM .
Giả sử AI cắt BC tại F thì AMCF là hình bình hành ⇒ NB ⊥ AI . Ta có : AI : x − 2 y + 5 = 0 .
Phương trình trung trực của AB là: x = 1 ( d ) ⇒ I = d ∩ AI ⇒ I (1;3) ⇒ IB 2 = 5 = R 2
Do vậy (T ) : ( x − 1) + ( y − 3) = 5 .
2

2

Câu 6. [ĐVH-6]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 3 = 0, d 2 : x − y + 1 = 0 và
điểm M (1; 2 ) . Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt d1 tại hai điểm A và B sao cho AB = 8 2 và
đồng thời tiếp xúc với d 2 .

Lời giải
Gọi I ( a; b ) là tâm của đường tròn, H là trung điểm của AB
Ta có M (1; 2 ) ∈ d 2 , mà M ∈ ( C )
⇒ M là giao điểm của d 2 và ( C )

H ∈ d 2 ⇒ H ( a; a + 1)
Ta có MH =

1
AB = 4 2
2

⇒ ( a − 1) + ( a − 1) = 32 ⇔ ( a − 1) = 16
2

2

2

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

 a = 5 ⇒ H ( 5;6 )
⇒
 a = −3 ⇒ H ( −3; −2 )
Câu 7. [ĐVH-7]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm

I ( 4; 0 ) và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
A của tam giác là d1 : x + y − 2 = 0 và d 2 : x + 2 y − 3 = 0. Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh
của tam giác ABC biết B có tung độ dương.
Lời giải
Gọi M là trung điễm của BC , H là chân đường cao
kẻ từ A
Ta có A = AH ∩ AM ⇒ A (1;1)
Đường thẳng IM qua I và song song với AH
⇒ IM : x + y − 4 = 0
Ta có M = IM ∩ AM ⇒ M ( 5; −1)

Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH
⇒ BC : x − y − 6 = 0
Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm I ( 4; 0 ) bán kinh
IA = 10 là ( C ) : ( x − 4 ) + y 2 = 10
2

B, C là giao điểm của ( C ) với BC nên tọa độ B, C
thỏa mãn hệ phương trình
 x = 7, y = 1
 x − y − 6 = 0
⇒

2
2
( x − 4 ) + y = 10  x = 3, y = −3
Giả sử B ( 7;1) , C ( 3; −3)

Đường thẳng AB qua A (1;1) và B ( 7;1) ⇒ AB : y = 1
Đường thẳng AC qua A (1;1) và C ( 3; −3) ⇒ AC : 2 x + y − 3 = 0


Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !