LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn:
- Ban giám hiệu trường Đại học Tây nguyên, lãnh đạo khoa Khoa học
Tự nhiên và Công nghệ đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi thực hiện và hoàn
thành tốt khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong
bộ môn Toán, cùng toàn thể quý thầy cô giáo trường Đại học Tây nguyên đã
dạy dỗ và truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trình
học tập tại trường.
- Thầy Th.s Mai Quốc Vũ, bộ môn Toán, khoa Khoa học tự nhiên và Công
nghệ, trường Đại học Tây Nguyên, người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt
cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong quá trình học tập cũng
như quá trình hoàn thành khóa luận này. Thầy đã giúp tôi củng cố lại các
kiến thức cơ sở đồng thời bổ sung thêm các kiến thức mới làm nền khi tôi
mới bước vào làm khóa luận. Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận, thầy
luôn định hướng, góp ý, sửa chữa những chỗ sai giúp tôi đi đúng hướng.
- Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tập thể
lớp SP Toán K09 đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận này.

Sinh viên

Võ Thị Mỹ Trâm


Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

2. Mục tiêu của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

3. Ý nghĩa khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

4. Ý nghĩa thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

5. Giới hạn của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1

Không gian metric, Không gian metric compact . . . . . . .

1

1.1.1


Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Tập mở, tập đóng, tập compact

. . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Không gian định chuẩn, không gian Banach . . . . . . . . .

10


2 ĐỊNH LÍ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CỰC TIỂU 15
2.1

Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Định lí tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Tập các điểm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

i


3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG

24

3.1

Ứng dụng vào bài toán xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . .


24

3.2

Ứng dụng vào các bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . .

30

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

ii


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

1.

R - Tập các số thực

2.

Rn - Không gian Euclide thực n – chiều


3.

N - Tập các số tự nhiên

4.

K - Trường số thực hay phức

5.

C - Tập các số phức

6.

¯ Bao đóng của tập A
A-

7.

∅ - Tập rỗng, Ω, D ⊂ X - các tập con trong X

8.

B (x0 , δ) - Hình cầu mở tâm x0 bán kính δ

9.

L2 [t0 , t1 ] - Không gian gồm các hàm thực f đo được trên [t0 , t1 ], |f |2

khả tích trên [t0 , t1 ].


iii


MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng, đã và đang được nhiều
người quan tâm nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng. Các bài toán tối ưu
rất phong phú và đa dạng. Chúng có nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực
tiễn như quy hoạch tài nguyên, điều khiển tự động, công nghệ thông tin....
Trong tối ưu phi tuyến thì quy hoạch lồi được nghiên cứu khá hoàn chỉnh,
cả về lí thuyết và phương pháp giải.

2. Mục tiêu của đề tài
Xây dựng các khái niệm cơ bản, các điều kiện để tồn tại nghiệm của
bài toán cực tiểu. Ứng dụng vào các bài toán xấp xỉ tổng quát và bài toán
tối ưu.

3. Ý nghĩa khoa học
Khi nói đến quy hoạch phi tuyến, ta phải nói đến lớp các bài toán
tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi đóng, xác định bởi các bất
đẳng thức và đẳng thức. Chúng có tính chất rất đẹp và đáng chú ý đó là
mọi điểm cực tiểu địa phương đều là điểm cực tiểu toàn cục. Mọi bài toán
lý thuyết hay thực tiễn đều có thể giải quyết được khi đưa về bài toán quy
hoạch lồi. Do đó bài toán cực tiểu có vai trò hết sức quan trọng trong lý
thuyết và ứng dụng.

iv



4. Ý nghĩa thực tiễn
Tác giả xây dựng sao cho bạn đọc dễ tìm thấy những khái niệm, những
tính chất cơ bản nhất. Các vấn đề trình bày trong khóa luận này sẽ là tài
liệu tham khảo đối với những người quan tâm đến tối ưu hóa và giúp cho
sinh viên trong học tập, nghiên cứu về quy hoạch phi tuyến. Khoá luận
được tác giả cố gắng trình bày một cách gần gũi, dễ hiểu nhất đối với các
bạn sinh viên.

5. Giới hạn của đề tài
Nội dung của khóa luận được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này dành cho việc trình bày một số định nghĩa sử dụng cho đề
tài như không gian định chuẩn, không gian Banach, hội tụ yếu, tập compact
yếu theo dãy, tập đóng yếu theo dãy, tập lồi. . . .
Chương 2. Định lí sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu
Chương này dành cho việc trình bày những định nghĩa cơ bản, một số
định lý về phiếm hàm tựa lồi liên tục, định lí về sự tồn tại điểm cực tiểu.
Tính chất của tập các điểm cực tiểu.
Chương 3. Một số ứng dụng
Chương này dành cho việc trình bày một số ứng dụng của định lí vào
bài toán xấp xỉ tổng quát, đặc biệt là xấp xỉ Chebyshev và bài toán điều
khiển tối ưu.

v


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này dành cho việc trình bày một số định nghĩa sử dụng cho đề

tài như không gian định chuẩn, không gian Banach, hội tụ yếu, tập compact
yếu theo dãy, tập đóng yếu theo dãy, tập lồi. . .

1.1
1.1.1

Không gian metric, Không gian metric compact
Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Cho X là tập con, khác rỗng của R. Ánh xạ ρ : X×X →
R được gọi là một metric trên X nếu thỏa mãn
i) ρ (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X
ρ (x, y) = 0 ⇔ x = y
ii) ρ (x, y) = ρ (y, x) với mọi x, y ∈ X
iii) ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) với mọi x, y, z ∈ X
Khi đó (X, ρ) được gọi là không gian metric.
Ví dụ 1.2.
i) Tập số thực R và số phức C là các không gian metric với :
ρ (x, y) = |x − y| với x, y ∈ R hoặc x, y ∈ C.
ii) Không gian Ơclit Rk là một không gian metric với:
1


ρ (x, y) =

k

1
2


2

i=1

|ξi − ηi |

(x = (ξ1 , ..., ξk ) , y = (η1 , ..., ηk ) ∈ Rk )
Định nghĩa 1.3. Dãy (xn )∞
n=1 trong không gian metric (X, ρ) được gọi
là hội tụ đến x0 ∈ X nếu n→∞
lim ρ (xn , x0 ) = 0. Khi đó ta viếtn→∞
lim xn = x0 ,
hoặc xn → x0 ; x0 được gọi là giới hạn của dãy (xn ).
Ví dụ 1.4.
i) Trong các không gian R và C ta có
lim xn = x0 ⇔ n→∞
lim |xn − x0 | = 0

n→∞

Đó là sự hội tụ trong giải tích cổ điển.
ii) Trong Rk , giả sử xn = ξ1 (n) , ..., ξk (n) (n=1,2,...) và x0 = ξ1 (0) , ..., ξk (0) .
Khi đó
k

lim xn = x0 ⇔ n→∞
lim

n→∞


⇔

(n)
ξi

i=1
(n)
lim ξ =
n→∞ i

−

(0)

ξi

(0) 2
ξi

1
2

=0

(i=1,...,k)

Vì thế sự hội tụ trong Rk là hội tụ theo tọa độ.

1.1.2


Tập mở, tập đóng, tập compact

Giả sử (X, ρ) là không gian metric, x0 ∈ X, r > 0
Định nghĩa 1.5. Tập S (x0 , r) = {x ∈ X : ρ (x, x0 ) < r} được gọi là hình
cầu mở tâm xo , bán kính r.
Định nghĩa 1.6. Giả sử A là tập con của không gian metric (X, ρ). Điểm
xo được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại hình cầu S (x0 , r) ⊂ A.
Định nghĩa 1.7. Tập A được gọi là mở nếu mọi điểm của A đều là điểm
trong của nó.
2


Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở.
Nhận xét.
i) Hình cầu mở là một tập mở.
Thật vậy, lấy x ∈ S (x0 , r) , ta có ρ (x, x0 ) < r. Vậy r − ρ (x, x0 ) > 0. Lấy
0 < δ < r − ρ (x0 , x), nếu u ∈ S (x, δ) thì
ρ (x0 , u) ≤ ρ (x0 , x) + ρ (x, u) < ρ (x0 , x) + δ < r.
Suy ra

u ∈ S (x0 , r)

Vậy

S (x, δ) ⊂ S (x0 , r)

ii) Tập A trong không gian metric X là mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ A,
tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ A.
Định lí 1.8. Giả sử A là tập con của không gian metric X. Khi đó, A
đóng khi và chỉ khi với mọi (xn ) ⊂ A : n→∞

lim xn = x0 ∈ X ⇒ x0 ∈ A.
Chứng minh.
i) Giả sử A đóng. Ta có
X\A mở ⇒ ∃S (x0 , ε) ⊂ X\A.
lim ρ (xn , x0 ) = 0 ⇒ ρ (xn , x0 ) < ε với n đủ lớn.

n→∞

Suy ra xn ∈ S (x0 , ε) với n đủ lớn
hay xn ∈ X\F do đó xn ∈
/ F với n đủ lớn (mâu thuẫn với (xn ) ⊂ F ).
ii) Ngược lại, giả sử với mọi (xn ) ⊂ F : n→∞
lim xn = x0 ⇒ x0 ∈ F . Ta chứng
minh phản chứng; Giả sử rằng: F không là tập đóng. Khi đó, X\F không
mở ⇒ ∃x0 ∈ X\F không là điểm trong của X\F ⇒ ∀n, ∃xn ∈ S x0 , n1 :
xn ∈ F. Như vậy, (xn ) là một dãy các phần tử của F hội tụ đến x0 ∈
/ F (Vì
ρ (x0 , xn ) < n1 ). Mâu thuẫn với giả thiết.
Với tập A ⊂ X, ký hiệu A¯ là bao đóng của A. Khi đó
x ∈ A¯ ⇔ ∃ (xn ) ⊂ A : n→∞
lim xn = x.
3


Định lí 1.9. Tập con A của không gian metric X được gọi là tập compact,
nếu với mọi dãy (xn ) ⊂ A, tồn tại dãy con (xnk ) hội tụ đến một phần tử
của A.
Định nghĩa 1.10. Tập con của một tập compact được gọi là tập compact
tương đối.
Nhận xét 1.11.

i) A compact ⇒ A compact tương đối.
ii) A compact ⇒ A đóng.
iii) Tập con đóng của một tập compact là compact.
Nhận xét 1.12. A compact tương đối ⇔ A¯ compact.
Thật vậy, A¯ compact ⇒ A compact tương đối.
Ngược lại, A compact tương đối ⇒ A là tập con của một tập compact K
⇒ A¯ ⊂ K (vì K đóng) ⇒ A¯ compact.
Nhận xét 1.13. A compact tương đối khi và chỉ khi với mọi dãy (xn ) ⊂ A,
tồn tại dãy con (xnk ) hội tụ đến phần tử x ∈ X.
Thật vậy, A compact tương đối ⇒ A¯ compact ⇒ với mọi dãy (xn ) ⊂ A, tồn
¯
tại dãy con (xnk ) hội tụ đến một phần tử của A.
Ngược lại, giả sử mọi dãy của A đều tồn tại một dãy con hội tụ trong X. Để
¯
chứng minh A compact tương đối ta sẽ chỉ ra A¯ compact. Giả sử (xn ) ∈ A,
khi đó
∀n, ∃yn ∈ A : ρ (xn , yn ) <

1
2

Theo giả thiết, tồn tại dãy con (ynk ) của (yn ) hội tụ trong X: n→∞
lim ykn =
x ∈ X.
⇒ ρ (xkn , x) ≤ ρ (xkn , ykn ) + ρ (ykn , x) <
⇒ n→∞
lim xkn = x (vì n→∞
lim ρ (ykn , x) = 0).
⇒ x ∈ A¯ ( vì A¯ đóng) ⇒ A¯ compact
4


1
kn

+ ρ (ykn , x) , ∀n


1.1.3

Không gian metric compact

Định nghĩa 1.14.([1], Định nghĩa 6.2, Trang 10) Cho (X, d) là không
gian metric. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn )n
trong A đều có một dãy con (xnk )k hội tụ, lim xnk = x và x ∈ A.
k→∞

Nếu A = X là tập compact, ta nói (X, d) là không gian metric compact.
Từ định nghĩa trên chúng ta có một số tính chất sau:
1. Nếu (X, d) là không gian metric compact thì (X, d) là không gian
metric đầy đủ.
2. Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X. Nếu A là tập compact thì A
là tập đóng.
3. Cho (X, d) là không gian metric compact, A ⊂ X. Khi đó:
A là tập compact ⇔ A là tập đóng.
n

4. Cho R với metric d (x, y) =

n
i=1


2

(xi − yi )

1
2

và A ⊂ Rn . Khi đó:

A là tập compact ⇔ A là tập đóng, bị chặn.

1.2

Hàm lồi

Định nghĩa 1.15.([7], Definition 2.6, Chapter 2) Cho S là tập con của
không gian tuyến tính thực.
(a) Tập S được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S
λx + (1 − λ)y ∈ S với mọi λ ∈ [0; 1]
(xem hình 1.1 và 1.2)

5


Hình 1.1: Tập lồi.

Hình 1.2: Tập không lồi.

(b) Cho S là tập lồi, khác rỗng.Phiếm hàm f : S → R được gọi là lồi nếu

với mọi x, y ∈ S
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) với mọi λ ∈ [0; 1]

(1.1)

(xem hình 1.3 và 1.4)

Hình 1.3: Phiếm hàm lồi.

Hình 1.4: Phiếm hàm
không lồi.

(c) f được gọi là lồi thật sự (lồi chặt) nếu (1.1) là bất đẳng thức ngặt với
các điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1)
Hiển nhiên một hàm lồi chặt là lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.
(d) Cho S là một tập lồi, khác rỗng. Phiếm hàm f : S → R được gọi là
lõm nếu −f là lồi (xem hình 1.5)

6


Hình 1.5: Phiếm hàm lõm.

Ví dụ 1.16.
(a) Tập rỗng là một tập lồi.
(b) Hình cầu đơn vị của không gian định chuẩn thực là một tập lồi.
(c) Cho X = S = R phiếm hàm f xác định bởi f (x) = x2 với mọi x ∈ R
là lồi.
Thật vậy, với bất kì x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiakovski ta có
f (λx + (1 − λ) y) = (λx + (1 − λ) y)2

≤ λx2 + (1 − λ) y 2
≤ λf (x) + (1 − λ) f (y)
thỏa mãn định nghĩa hàm lồi
(d) Mọi chuẩn trên không gian tuyến tính thực là một phiếm hàm lồi.
Thật vậy, xét ánh xạ chuẩn . : X → R với X là không gian tuyến tính
thực. Khi đó với mọi x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1] ta có
λx + (1 − λ) y ≤ λx + (1 − λ) y ≤ λ x + (1 − λ) y
thỏa mãn định nghĩa hàm lồi.

Tính lồi của một hàm có thể đặc trưng bởi trên đồ thị như sau:
Định lí 1.17.([7], Theorem 2.8, Chapter 2) Cho tập S là tập lồi. Khi đó
7


f là lồi khi và chỉ khi E(f) là lồi.
Chứng minh.
(a) Nếu f là lồi, khi đó với mọi (x, α), (y, β) ∈ E(f ) và λ ∈ [0; 1]
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
≤ λα + (1 − λ)β
Dẫn đến
λ(x, α) + (1 − λ)(y, β) ∈ E(f ).
Do đó trên đồ thị của f là lồi.
(b) Ta giả sử rằng trên đồ thị E(f ) là tập lồi và chứng minh tính lồi của
f . Với x, y ∈ S bất kì và λ ∈ [0; 1] bất kì, khi đó
λ(x, f (x)) + (1 − λ)(y, f (y)) ∈ E(f )
Tức là
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
Do đó phiếm hàm f là lồi.
Nói chung tính lồi của các tập mức Sα không suy ra tính lồi của phiếm
hàm f , điều này dẫn đến khái niệm tựa lồi.

Định nghĩa 1.18.([7], Definition2.9, Chapter 2) Cho S là tập lồi. Nếu
với mọi α ∈ R tập Sα = {x ∈ S|f (x) ≤ α} là lồi thì phiếm hàm f được gọi
là tựa lồi.
Ví dụ 1.19.
(a) Mọi hàm lồi là tựa lồi.
(b) Cho X = S = R, hàm số f xác định bởi f (x) = x3 với mọi x ∈ R là
tựa lồi nhưng không là lồi.
8


Hình 1.6: Đồ thị hàm số f (x) = x3 .

Tính tựa lồi là do tính lồi của tập
{x ∈ S|f (x) ≤ α} = {x ∈ R|x3 ≤ α} = −∞, sgn(α) 3 |α| với mọi α ∈ R.
(c) Cho hàm số f : R → R xác định bởi
f (x) = xex , ∀x ∈ R
là tựa lồi.

Hình 1.7: Đồ thị hàm số f (x) = xex .

Thật vậy, ta có:
9


f (λx + (1 − λ) y) = [λx + (1 − λ) y] eλx+(1−λ)y
= λxeλx+(1−λ)y + (1 − λ) eλx+(1−λ)y
≤ λxex+y + (1 − λ) yex+y
≤ λxex + (1 − λ) yey
= λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ ∈ [0; 1]
Vậy f là hàm lồi do đó là tựa lồi.


1.3

Không gian định chuẩn, không gian Banach

Định nghĩa 1.20. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K
(là thực hay phức). Ánh xạ p : X → R được gọi là một sơ chuẩn trên X
nếu
i) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) với mọi x, y ∈ X.
ii) p (αx) = αp (x) với mọi x ∈ X và α ≥ 0.
Từ định nghĩa ta suy ra p(0) = 0
Định nghĩa 1.21. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K
(là thực hay phức). Ánh xạ p : X → R được gọi là một nửa chuẩn trên X
nếu
i) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) với mọi x, y ∈ X.
ii) p (αx) = |α| p (x) với mọi x ∈ X và α ∈ K.
Từ định nghĩa trên ta suy ra p (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X. Thật vậy, với mọi
x ∈ X ta có
0 = p (0) = p (x + (−x)) ≤ p (x) + p (−x) = 2p (x).
Định nghĩa 1.22. Nửa chuẩn trên X được gọi là một chuẩn nếu p (x) =
0 ⇒ x = 0. Kí hiệu: . . Như vậy một chuẩn trên X là một ánh xạ
10


. :X→R
thỏa mãn các tiên đề sau:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X; x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
ii) αx = |α| x với mọi x ∈ X và α ∈ K.
iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Khi đó (X, . ) được gọi là không gian định chuẩn.

Giả sử (X, . ) là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ
d:X ×X →R
(x, y) → d (x, y) = x − y
là một metric. Ta gọi d là metric được sinh ra từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh
metric d trên X. Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn là một không
gian metric.
Định nghĩa 1.23.([7], Definition B.1, Appendix B) Không gian tuyến
tính định chuẩn (X, . ) nếu nó đầy đủ với metric được sinh ra từ chuẩn
thì X được gọi là không gian Banach.
Định lí 1.24.([7], Theorem B.2, Appendix B) Cho S là một tập con lồi,
đóng, khác rỗng của không gian Banach thực. Nếu mọi phiếm hàm tuyến
tính liên tục đạt được supremum trên S thì S là tập compact yếu theo dãy.
Định nghĩa 1.25.([7], Definition B.3, Appendix B) Không gian Banach (X, . ) được gọi là phản xạ nếu hình cầu đơn vị đóng B (0, 1) =
{x ∈ X : x ≤ 1} là compact yếu theo dãy.
Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều có tính phản xạ. Ví dụ,
không gian tuyến tính L1 [0; 1] gồm các hàm thực khả tích trên [0; 1] là một
không gian Banach, nhưng nó không có tính phản xạ.
Định lí 1.26.([7], Theorem B.4, Appendix B) Mọi tập con khác rỗng,
lồi, đóng của không gian Banach phản xạ là compact yếu theo dãy.
11


Ví dụ 1.27
1) Rn là không gian Banach với chuẩn
x =

n
k=1

1

2

x2k

, với x = (x1 , x2 , ..., xn )

Thật vậy, hai tiên đề i) và ii) dễ dàng kiểm tra.
Bây giờ ta kiểm tra tiên đề iii). Với x, y ∈ Rn ta đi chứng minh bất đẳng
thức
n

1
2

2

k=1

(xk + yk )

n

≤

k=1

1
2

x2k


n

+

k=1

1
2

yk2

.

Ta có
n
k=1

(xk + yk )2 =
=

n
k=1
n

(x2k + 2xk yk + yk2 )

k=1

x2k +


n
k=1

2xk yk +

n

yk2

k=1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski ta được
n
k=1

2

(xk + yk ) ≤

n
k=1


=

x2k

n


+2

k=1

n

k=1

x2k

1
2

x2k yk2

+

n
k=1

1
2

yk2

n

+

k=1


yk2

1 2
2



Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Vậy (Rn , . ) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Hơn nữa, ta đã biết
mỗi dãy (xα ) hội tụ trong Rn khi và chỉ khi các dãy xk (α) (k=1,...,n) hội
tụ trong R và dãy (xα ) là dãy cơ bản trong Rn khi và chỉ khi các dãy xk (α)
(k=1,...,n) là dãy cơ bản trong R, nên Rn là dãy không gian Banach.
2) Tập hợp C[a;b] gồm các hàm liên tục trên đoạn [a; b] với phép cộng là
cộng hàm số và nhân vô hướng với hàm số tạo thành một không gian tuyến
tính. Hàm xác định bởi
. : C[a;b] → R
x → x = max |x (t)|
t∈[a;b]

12


xác định một chuẩn trên C[a;b] . Hơn nữa C[a;b] là một không gian Banach.
Thật vậy, giả sử (xn ) là dãy cơ bản trong C[a;b] . Khi đó, m,n→∞
lim xm − xn =
0, nghĩa là với ε > 0 tùy ý, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xm − xn < ε
với mọi m, n > n0 . Suy ra
max |xm (t) − xn (t)| < ε với mọi m, n > n0 .


t∈[a;b]

(1.2)

Với mỗi t ∈ [a; b] cố định, từ bất đẳng thức trên ta có xm (t) − xn (t) < ε
với mọi m, n > n0 . Vậy (xn (t)) là dãy cơ bản trong K. Vì K là không gian
đầy đủ nên (xn (t)) hội tụ trong K. Đặt x (t) = n→∞
lim xn (t), với t ∈ [a; b] ta
được một hàm x xác định trên [a; b].
Cố định m > n0 và cho n → ∞, từ (1.2) ta suy ra
max |xm (t) − x (t)| < ε

t∈[a;b]

(1.3)

Điều này chứng tỏ sự hội tụ của dãy (xm (t)) về x (t) là hội tụ đều. Vậy
x ∈ C[a;b] . Từ (1.3) ta được xm − x < ε với mọi m > n0 . Vậy
lim xn − x = 0

n→∞

Định nghĩa 1.28. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên
trường K. Kí hiệu X ∗ = L (X, K) là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên X. Dãy (xn ) trong X được gọi là hội tụ yếu đến x trong X
w

nếu với mọi x∗ ∈ X ∗ dãy x∗ (xn ) hội tụ đến x∗ (x) trong K. Kí hiệu xn → x.
Định lí 1.29. Mọi dãy hội tụ mạnh trong không gian tuyến tính định
chuẩn X đều hội tụ yếu.

Chứng minh. Giả sử (xn ) là dãy trong X hội tụ đến x ∈ X. Với mỗi
phần tử x∗ ∈ X ∗ ta có x∗ (xn ) hội tụ đến x∗ (x) (vì x∗ liên tục). Vậy (xn )
hội tụ yếu đến x.
Định lí 1.30. Mọi dãy hội tụ yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn
X đều bị chặn trong X.
13


Chứng minh. Giả sử dãy (xn ) hội tụ yếu trong X. Khi đó, với mỗi
x∗ ∈ X ∗ dãy x∗ (xn ) = x∗ (x) hội tụ trong K nên nó bị chặn. Nghĩa là họ
(xn )n∈N bị chặn điểm. Theo nguyên lí Banach-Steinhaus dãy (xn ) bị chặn
đều, nghĩa là sup xn < +∞.
n∈N

14


Chương 2

ĐỊNH LÍ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN CỰC TIỂU
Chương này dành cho việc trình bày những định nghĩa cơ bản, một
số định lý về phiếm hàm tựa lồi liên tục, định lí về sự tồn tại điểm cực tiểu
và tính chất của tập các điểm cực tiểu.

2.1

Bài toán

Trong chương này, ta luôn giả thiết rằng:

(X, . ) là một không gian định chuẩn thực
S ⊂ X, S = ∅
f : S → R là một phiếm hàm cho trước










(2.1)









Với giả thiết đó, xét bài toán tối ưu
min f (x)
x∈S

(2.2)

nghĩa là tìm các điểm cực tiểu của f trên S.


Nói chung ta không biết bài toán (2.2) có nhiệm hay không vì f có thể
không có điểm cực tiểu trên S. Ví dụ với X = S = R và f (x) = ex bài toán
15


(2.2) không giải được. Phần tiếp theo ta đưa ra các điều kiện của f và S
làm cho (2.2) giải được.

2.2

Định lí tồn tại nghiệm

Ta đã biết một định lí tồn tại nghiệm quen thuộc là định lí Weierstrass,
nói rằng mọi hàm liên tục đạt cực tiểu trên một tập compact. Định lí này
được mở rộng thành các định lí tồn tại nghiệm dùng cho bài toán tối ưu
tổng quát (2.2).

Định nghĩa 2.1.([7], Definition 2.1, Chapter 2) Phiếm hàm f được gọi
là nửa liên tục dưới yếu nếu mọi dãy (xn )n∈N ∈ S hội tụ yếu đến x¯ ∈ S, ta
có
lim
inf f (xn ) ≥ f (¯
x)
n→∞
Với lim
inf f (xn ) là giới hạn dưới của f (xn ), tức là
n→∞
lim
inf f (xn ) = sup inf f (xn ) .

n→∞
k≥1

n≥k

Ví dụ 2.2. Cho hàm số f : R → R với





0 khi x=0




1 khi x= 0

f (x) = 

là nửa liên tục dưới yếu nhưng không liên tục tại 0.

Bây giờ chúng ta giới thiệu một kết quả mở rộng của định lí Weierstrass
cho bài toán tối ưu tổng quát (2.2).

16


Định lí 2.3.([7], Theorem 2.3, Chapter 2) Nếu S là một tập compact yếu
theo dãy và phiếm hàm f là nửa liên tục dưới yếu thì có ít nhất một x¯ ∈ S

sao cho
f (¯
x) ≤ f (x) với mọi x ∈ S,
tức là bài toán (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh. Cho (xn )n∈N là dãy infinal của S, tức là
lim f (xn ) = inf f (x).

n→∞

x∈S

Vì S là tập compact yếu theo dãy nên có dãy con (xni )i∈N hội tụ yếu đến
x¯ ∈ S. Theo tính nửa liên tục yếu của f ta có
f (¯
x) ≤ lim inf f (xni ) = inf f (x)
i→∞

x∈S

Ta cần cụ thể hóa nội dung Định lí 2.3 để sử dụng thuận tiện. Bằng cách
sử dụng khái niệm trên đồ thị, ta nêu tính chất đặc trưng của tính nửa liên
tục dưới yếu.

Định nghĩa 2.4.([7], Definition 2.4, Chapter 2) Giả sử đã có giả thiết
(2.1). Tập
E(f ) = {(x, α) ∈ S × R|f (x) ≤ α}
được gọi là trên đồ thị của phiếm hàm f (xem hình 2.1).

17



Hình 2.1: Trên đồ thị của một phiếm hàm.

Định lí 2.5.([7], Theorem 2.5, Chapter 2) Cho S là tập đóng yếu theo
dãy. Khi đó
f là nửa liên tục dưới yếu
⇔ E (f ) là đóng yếu theo dãy.
Chứng minh.
(i) Giả sử f là nửa liên tục dưới yếu, (xn , αn )n∈N là một dãy bất kì thuộc
E(f ) hội tụ yếu đến (¯
x, α
¯ ) ∈ X × R, khi đó (xn )n∈N hội tụ yếu đến x¯ và
(αn )n∈N hội tụ yếu đến α
¯ . Vì S là tập đóng yếu theo dãy, nên ta có x¯ ∈ S.
Ta chọn một ε > 0 bé tùy ý, khi đó tồn tại một số n0 ∈ N sao cho
f (xn ) ≤ αn < α
¯ + ε với mọi số tự nhiên n > n0 .
Vì f là nửa liên tục dưới yếu, nên
f (¯
x) ≤ lim
inf f (xn ) < α
¯+ε
n→∞
bất đẳng thức trên đúng với mọi ε > 0, do đó (¯
x, α
¯ ) ∈ E(f ).
Hay E(f ) là đóng yếu theo dãy.
(ii) Giả sử phiếm hàm f không nửa liên tục dưới yếu. Khi đó tồn tại dãy
(xn )n∈N thuộc S hội tụ yếu đến x¯ ∈ S và
lim

inf f (xn ) < f (¯
x) .
n→∞
18


Chọn α ∈ R bất kì sao cho
lim
inf f (xn ) < α < f (¯
x) ,
n→∞
khi đó tồn tại một dãy con (xni )i∈N hội tụ yếu đến x¯ ∈ S và
xni ∈ Sα với mọi i ∈ N.
Vì f (¯
x) > α nên tập E(f ) không là tập đóng yếu theo dãy.

Tuy nhiên không phải mọi phiếm hàm mục tiêu đều nửa liên tục dưới
yếu, vì thế ta chú trọng đến lớp các phiếm hàm mà mọi hàm liên tục với
một miền đóng là nửa liên tục dưới yếu.
Bây giờ ta đưa ra giả thiết làm cho mọi hàm liên tục đều nửa liên tục
dưới yếu.

Bổ đề 2.6.([7], Lemma 2.11, Chapter 2) Cho S là tập lồi đóng. Nếu
phiếm hàm f là liên tục và tựa lồi thì f là nửa liên tục dưới yếu.
Chứng minh. Chọn α ∈ R tùy ý để Sα = {x ∈ S|f (x) ≤ α} khác rỗng.
Vì f liên tục và S đóng nên Sα cũng đóng, do đó nó cũng đóng yếu theo dãy.
Vì F là tựa lồi nên Sα lồi và do đó nó cũng đóng yếu theo dãy. Theo Định lí
2.5 ta có f là nửa liên tục dưới yếu.
Sử dụng bổ đề trên ta chứng minh được một định lí rất hữu dụng sau đây.


Định lí 2.7.([7], Theorem 2.12, Chapter 2) Cho S là tập khác rỗng, lồi,
đóng và bị chặn của một không gian Banach phản xạ thực, và f : S → R là
phiếm hàm tựa lồi liên tục. Khi đó f có ít nhất một điểm cực tiểu trên S.
Chứng minh. Theo Định lí 1.26 tập S là compact yếu theo dãy và theo
Bổ đề 2.6 f là nửa liên tục dưới yếu. Nên suy ra ngay điều phải chứng minh
từ Định lí 2.3.
19