UBND HUYỆN THÁI THỤY
PHÒNG GD&ĐT

KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012 .
Môn: Toán 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3 điểm)
1- Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3.
2- Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012.
Chứng minh S chia hết cho 65 nhưng không chia hết cho 126.
Bài 2 (3 điểm)
Không dùng máy tính hãy so sánh:
20112011  1
20112010  1
1A =
với
B =
20112011  1
20112012  1
2-

M =

7
15
 2012
2011
10
10

với

N =

15
8

102011 102012

Bài 3 (4 điểm)
1-

Tính:

2-

Cho Q =

P =

5
4
3
1
13





2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

n2
(với n là số nguyên) . Tìm các giá trị của n để :
n3

a - Q là một phân số
b - Q là một số nguyên
Bài 4 (4 điểm)

Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng
đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng

3
số còn lại. Cuối năm có thêm 4 học sinh
7

2
số còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A.
3

Bài 5 (6 điểm)
Cho

� = 900 . Trên tia Ax lấy điểm C khác A, trên tia Ay lấy các điểm O ; I ; B
xAy

đôi một khác nhau và khác A sao cho O nằm giữa A và I; I là trung điểm của AB.
Nối CO, CI , CB.
1- Hãy kể tên các tam giác có trong hình vẽ và kể tên những tam giác có một góc vuông.

2- Cho AI = 6cm , OI = 2cm . O có là trung điểm của AI không? Vì sao?

� = 370 . Tính CIB
� .
3- Cho AIC
4- Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A 1 , A2 , A3 , ….., An đôi một khác nhau và
khác A. Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; …..;CAn . Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác
khác nhau. Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm phân biệt khác A?
Họ và tên : ……………………………………………………………………Số báo danh : ………………..

/>

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN 6
NĂM HỌC 2011-2012
Bài

Nội dung
1- Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số

Điểm

ababab là bội của 3

ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab
Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3

0.75đ

hay ababab là bội của 3.


0.75đ

Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012.

2-

Chứng minh S chia hết cho 65 nhưng không chia hết cho 126.
5 + 52 + 53 + 54 = (5+ 53) + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130= 130. 6 = 65.12
 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 65
2
3
4
S = (5 + 5 + 5 + 5 ) + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52008(5 + 52 + 53 + 54 )
Do 2012 : 4 = 503 nên S có 503 số hạng và mỗi số hạng chia hết cho 65
Vậy S chia hết cho 65
2
3
4
5
6
* Có: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 (1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5.126 + 52.126 + 53.126
= 126 (5 + 52 + 53 ) chia hết cho 126
Vậy (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) chia hết cho 126
Mặt khác :S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +.... +52010 ) + 52011 + 5 2012
= (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + …+
+ 52004(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 52011 + 5 2012 = P + 52011 + 5 2012
2010: 6 = 335 nên P có 335 số hạng chia hết cho 126, vậy P chia hết cho 126.
Còn 52011 + 52012 = 52011(1+5) = 6. 52011 không chia hết cho 126
Vậy P không chia hết cho 126

Kết luận chung

* Có:
Bài 1

(3đ)

Bài 2

(3đ)

0.5đ
0.25đ

0.25đ

0.25đ
0.25đ

Không dùng máy tính hãy so sánh:
1-

A =

A =

20112010  1
20112011  1

20112010  1

20112011  1

=
=

B =

20112011  1
20112012  1

=
=

với

B =

20112011  1
20112012  1

(20112010  1)(20112012  1)
(20112011  1)(20112012  1)
20114022  20112010  20112012  1
(20112011  1)(20112012  1)
(20112011  1)(20112011  1)
(20112011  1)(20112012  1)
20114022  20112011  20112011  1
(20112011  1)(20112012  1)

20112010 + 20112012 = 20112010 ( 1+ 20112 )

20112011 + 20112011 = 20112010 ( 2+ 2011)
và 1+ 20112 > 2+ 2011
Nên kết hợp giữa (1 ) ; (2 ) ; (3) ta có A > B

(1)

0.5đ

(2) 0.5đ

Từ

2- So sánh

M =

7
15
 2012
2011
10
10

với

/>
N =

(3)
15

8
 2012
2011
10
10

0.5đ

0.5đ


7
15
7
8
7
 2012 =
 2012  2012
2011
2011
10
10
10
10
10
15
8
7
8
8

 2012 =
 2011  2012
N =
2011
2011
10
10
10
10
10

M =

1-

Tính:

P =

P =
=
=
=
(4đ)

(5)

7
7
8

7
8
<
nên
2012
2011 <
2011
2012 >
10
10
10
10
102011
Từ (4) ; (5) và (6) ta có M >N

Do

Bài 3

(4)

2-

Cho Q

0.5đ

(6 )

5

4
3
1
13




2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

5
4
3
1
13




2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
5
4
3
1
13
7(





)
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7(          )
2 7 7 11 11 14 14 15 15 28
1 1
13
1
 3
7(  ) =
2 28
4
4
n2
=
(với n là số nguyên). Tìm các giá trị của n để :
n3

a - Q là một phân số
Q là một phân số khi n +3 �0 hay n �-3. Kết luận
b - Q là một số nguyên

n 35
5
 1
n3
n3
5
Q là một số nguyên khi
là số nguyên

n3
5
là số nguyên khi (-5) chia hết cho (n+3)
n3
Tính ra, thử lại và kết luận: n � 8;  4;  2; 2

Q =

n2
n3

0.5đ

=

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ

3
số còn lại. Cuối năm có
7
2

thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng số còn lại. Tính
3

Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng

số học sinh của lớp 6A.
Bài 4

(4đ)

Bài 5

(6đ)

3
Tính được:Số học sinh giỏi kỳ I bằng
số học sinh cả lớp
10
2
Tính được: Số học sinh giỏi cuối năm bằng số học sinh cả lớp
5
2 3
1
Tính được: 4 học sinh bằng ( - ) = số học sinh cả lớp
5 10
10

Tính được số học sinh cả lớp là 40 học sinh
� = 900 . Trên tia Ax lấy điểm C khác A, trên tia Ay lấy các
Cho xAy

điểm O ; I ; B đôi một khác nhau và khác A sao cho O nằm giữa A và I; I

/>
1.0đ
1.0đ
1.0đ
1.0đ


là trung điểm của AB.
Nối CO, CI , CB.

x

C

A

O

I

B

y

1- Hãy kể tên các tam giác có trong hình vẽ, kể tên những tam giác có một
góc vuông
- Kể đủ tên 6 tam giác có trong hình
- Kể đủ tên 3 tam giác có một góc vuông trên hình trong hình

2- Cho AI = 6cm , OI = 2cm . O có là trung điểm của AI không? Vì sao?
Chứng minh được O không là trung điểm của AI
� = 370 . Tính CIB
�
3- Cho AIC
� = 1430
Tính được CIB
4- Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A1 , A2 , A3 , ….., An đôi một
khác nhau và khác A . Nối CA1 , CA2 , CA3 , ….., CAn . Người ta đếm thấy
trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau. Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm
phân biệt khác A
Tính được: Có n điểm khác nhau trên Ax thì có

n(n  1)
tam giác khác nhau
2

Tính được n = 19
Kết luận trên Ay có 18 điểm phân biệt khác A

1.5đ
1.5đ
1.0đ
1.0đ

0.5đ
0.5đ

Lưu ý:
- Trên đậy là hướng dẫn chấm, đề nghị trước khi chấm tổ nghiên cứu kỹ và thống nhất

- Điểm bài thi tính đến 0,25 điểm
- Không cho điểm hình vẽ, song nếu không có hình thì không chấm phần chứng minh hình
- Học sinh có các cách giải khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

/>