ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.21 KB, 4 trang )
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013 - 2014
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm):
a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho
19.
Câu 2. (4,0 điểm):
a. Cho A
x
xy x 2
y
yz y 1
2 z
.
zx 2 z 2
Biết xyz = 4, tính
A.
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
0
1
b. Cho
và x y z
. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 .
a b c
a
b
c
Câu 3. (3,0 điểm):
Giải phương trình: x 2 +
x2
=3
( x 1) 2
Câu 4. (7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
HA' HB' HC'
a) Tính tổng
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc
AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB BC CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ
AA' 2 BB' 2 CC' 2
nhất?
2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 60 0 quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E.
Chứng minh rằng:
a) BD.CE =
BC 2
4
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5. (2,0 điểm):
Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:
T=
a
b
c
+
+
3a b c
3b a c 3c b a
�
3
5
__________ Hết __________
/>1
PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH
Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp 9
Năm học 2013 - 2014
(Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi)
Câu 1 (5,0 điểm):
a. (3,0 điểm)
n 24 k 2
Ta có:
n 65 h 2
� k2 24 h2 65
k h k h 89 1.89
k h 89 k 45
k h 1
h 44
Vậy:
n = 452 – 24 = 2001
b. (2,0 điểm)
Với n = 0 ta có A(0) = 19 M19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 M
19
2(k + 1)
Ta có: A(k + 1) = 7.5
+ 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n. 6
= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19 M
19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên
n
Câu 2. (6,0 điểm):
a. (3,0 điểm)
ĐKXĐ x,y,z �0. Kết hợp xyz = 4 � x, y, z 0; xyz 2
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x , thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi
xyz ta được.
A
x
xy x 2
xy
2 xy x
z
2 z
x 2 xy
1
Suy ra A 1 (vì A>0).
b. (3,0 điểm)
Từ :
a b c
ayz+bxz+cxy
0�
0
x y z
xyz
� ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
1 � ( )2 1
a b c
a b c
xy xz yz
2( ) 1
ab ac bc
cxy bxz ayz
2
1
abc
Ta có :
x2 y 2 z 2
a 2 b2 c2
x2 y 2 z 2
� 2 2 2
a
b
c
2
2
x
y
z2
� 2 2 2 1(dfcm)
a
b
c
�
/>2
Câu 3. (1,0 điểm):
ĐK: x �- 1
x 2
x2
x2 2
x2
�
) = 3–2
(
) +2
-3=0
x 1
x 1
x 1
x 1
x2
x2
1� 5
= 1 => x1,2 =
Hoặc
= -3 vô nghiệm
x 1
x 1
2
�(x-
=>
Câu 4. (6,0 điểm)
1. (3,0 điểm):
1
.HA'.BC
S HBC 2
HA'
a) (1,0đ)
S ABC 1
AA'
.AA'.BC
2
S HAB HC' S HAC HB'
;
S ABC CC' S ABC BB'
HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC
1
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
Tương tự:
b) (1,0đ) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
;
;
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.
. .
. 1
IC NB MA AC BI AI AC BI
BI .AN.CM BN.IC.AM
c) (1,0đ) Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
- Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
- BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
- Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
(AB BC CA ) 2
4
AA'2 BB'2 CC'2
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC
AB = AC =BC ABC đều
* Kết luận đúng
A
2. (3 ®iÓm):
a) (1 ®iÓm) Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 1 120 0 x Mˆ 1
V× Mˆ 2 = 600 nªn ta cã: Mˆ 3 120 0 Mˆ 1
D
2
Suy ra Dˆ 1 Mˆ 3
1
Chøng minh BMD ~ CEM (1)
2
B
1 3
M
/>3
y
E
C
BD CM
, từ đó BD.CE = BM.CM
BM
CE
BC
BC 2
Vì BM = CM =
, nên ta có BD.CE =
2
4
BD MD
b) (1 điểm) Từ (1) suy ra
mà BM = CM nên ta có
CM EM
BD MD
BM EM
Chứng minh BMD MED
Từ đó suy ra D 1 D 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Suy ra
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c) (1 điểm) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK
Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận.
Cõu 5 (2,0 im):
t x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a
=> x + y + z = 5( a + b + c) =5(x 2a ) = 5(y 2b) =5(z 2c
=> 4x (y +z) =10a; 4y (x +z) =10b ; 4z (y +x) =10c ;
4 y ( x z) 4 z ( x y)
4x ( y z)
+
+
=
y
x
z
x
z
y
z
x
y
3
= 12 ( + + y + y + + ) 12 -6 =6 => T
x
x
z
z
5
=> 10T =
Du bng xy ra khi a = b = c
___________________
/>4
