ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.05 KB, 4 trang )
PHềNG GD&T PH NINH
đề thi CHN học sinh giỏi lớp 9
Nm hc 2011 - 2012
Môn: Toán
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1 (4,0đ):
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố.
A = n3 + n - n2 -1
b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính
phơng chẵn.
B = x 2 2 x 199 +2
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức
a/ M = 2 3 . 2 2 3 . 2 2 3
b/ N =
x 1 2 x 2
x 2 1
(với x 2 ;x 3).
Bài 3 (4 ,0 đ):
Giải các phơng trình sau.
a/ (x +2). x 3 = 0
b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Bài 4 (6,0đ)
Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC vuông góc với BD, hạ
BH vuông góc với CD (H CD).
a/ Nếu AB // CD và qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E. Khi
đó tính độ dài AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm.
b/ Nếu AB =
1
1
.CD ; AO = .AC, Tính diện tích tứ giác ABCD biết diện
2
3
tích tam giác AOB bằng 4cm2. (O l giao điểm của AC và BD)
Bài 5 (2,0đ):
Cho 2 số thực dơng x, y thỏa mãn: x3 + y4 x2 +y3.
Chứng minh rằng: x2 + y3 x + y2
--------------------- Hết ---------------------
Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo
danh :..............Phòng thi.....
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
/>
1
PHềNG GD&T PH NINH
Nm hc 2011 - 2012
Bài 1 (4đ):
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố.
A = n3 + n - n2 -1
b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính
phơng chẵn.
B = x 2 2 x 199 +2
Hớng dẫn:
a/ A = (n -1)(n2+1)
1,0
2
Vì n- 1< n +1 nên để A có giá trị là số nguyên tố thì
n 1 1
từ đó => n=2 => P= n2 +1 =4+1 = 5
2
n
1
P
1,0
Đáp số: n= 2 ; P =5
b/ Ta đặt B = (2n)2 = x 2 2 x 199 +2 (n N)
4.n2 = 200 ( x 1) 2 +2 200 + 2 14 +2 =16
n2 4 n 2 n 0;1;2 x 15; 3;1;13
Đáp số: x 15; 3;1;13
0,5
0,5
1,0
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức:
a/ M =
b/ N =
2 3 . 2 2 3 . 2
x 1 2 x 2
x 2 1
(với x 2 ;x 3).
Hớng dẫn:
a/ M = 2 3 . 2 2 (2 3 ) = (2 3 )(2 3 ) = 4 3 =1
b/ Đặt : x 2 = a, a 0; x = a2+ 2 => a # 1
N=
2 3
2,0
a 1
( a 1) 2
=
a 1
a 1
a 1
1
a 1
(a 1)
+/ Nếu : 0 a 1 2 x<3 ,; M =
=-1
a 1
+/ Nếu : a 1 x 2 ,x 3 ; M =
Đáp số: a/ M = 1
1neux 2, x 3
1neu 0 x 3
b/ N =
Bài 3 (4 ,0 đ):
/>
0,5
0,5
0,5
0,5
2
Giải các phơng trình sau.
a/ (x +2). x 3 = 0
b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Hớng dẫn:
a/ Điều kiện : x 3
Từ pt đã cho ta có: x +2 = 0 hoặc x 3 = 0
x = -2 (Loại ) hoặc x= 3
vậy nghiệm phơng trình là x =3 .
b/ áp dụng hằng đẳng thức :
(a- b)3 = a3 -3a2b +3ab2 -b3 = a3 -3ab(a -b) -b3
Ta có: VT= [(x2 -(x-2011)]3 = x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)(x-2011)3
Pt x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3 = x6 - (x -2011)3
3x2(x-2011)( x2 - x +2011) = 0 x= 0 hoặc x= 2011
1
2
x2 - x +2011 = 0 vô nghiệm vì :x2 - x +2011 =(x- )2 +2010
>0.
Vậy nghiệm phơng trình là : x= 0 hoặc x= 2011
3
4
0,5
1,5
0.5
0.5
0,5
0,5
Bài 4 (6,0đ)
Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC vuông góc với BD, hạ
BH vuông góc với CD (H CD).
a/ Nếu AB // CD và qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E.Khi
đó tính độ dài AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm.
b/ Nếu AB =
1
1
.CD ; AO = .AC , Tính diện tích tứ giác ABCD
2
3
biết diện tích tam giác AOB bằng 4cm2. (O l giao điểm của
AC và BD)
Hớng dẫn:
B
A
a/ Ta có : Tứ giác ABEC là
4cm2
0,5
hình bình hành và AC BD
O
=> BD BE tại E, và AC = BE
1,0
,áp dụng hệ thức lợng trong
5cm
tam giác vuông BDE ta có:
E
4cm
1
1
1
C
2 =
2 +
H
BH
BD
BE 2
D
20
AC = BE =
cm.
3
1
1
1
b/ Vì AB = .CD ; AO = .AC =>AO = .OC
2
3
2
AB AO 1
=
CD OC
2
AB CD
=>
=> ABO CDO (Cạnh huyền -Cạnh góc vuông)
AO CO
/>
3
0,5
0,5
0,5
S AOB
1,0
1
=> S = => SCOD = 4.SAOB = 4.4 =16 cm2
4
CDO
+ Vì OC = 2.OA => SBOC = 2.4 = 8cm2 ; SAOD =
2
Vậy: SABCD = 16 + 8 +8 + 4 = 36cm .
1
.16 = 8 cm2
2
1,0
1,0
Bài 5 (2,0đ):
Cho 2 số thực dơng x, y thỏa mãn: x3 + y4 x2 +y3.
Chứng minh rằng: x2 + y3 x + y2
Hớng dẫn:
Bài toán Cho C D Chứng minh :A B
Ta CM: (B - A )+ (C - D) 0
Thật vậy :
Xét : x + y2 - (x2 + y3) + x3 + y4 -(x2 +y3.)
= x.(x2 -2x +1) + y2.(y2 -2y +1) = x.(x-1)2 + y2.(y-1)2 0
x + y2 - (x2 + y3) 0 x2 + y3 x + y2
/>
4
0,5
0,5
1,0
