ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 huyện hạ hòa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (92.79 KB, 3 trang )
Phòng GD&ĐT
hạ hoà
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2011 2012
môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao
đề)
Ngày thi: 9 tháng 12 năm 2011
Câu 1 (6 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a + b + c)3 a 3 b3 c3
2) Rút gọn biểu thức sau: A = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 5
Câu 2 (4 điểm)
Tìm các số nguyên dơng a,b,c thoả mãn đồng thời các điều
kiện:
a b + c = a b + c và
1 1 1
+ + =1
a b c
Câu 3 (8 điểm)
Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lợt là các bán kính
các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
1
1
4
+ 2 = 2
2
R
r
a
8 R 3r 3
b) Chứng minh: S ABCD = 2 2 2 ; (Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác
(R + r )
a) Chứng minh:
ABCD)
Câu 4.(2 điểm)
Cho A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 ; vi n N . Chng minh: A chia ht cho 59.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Câu
Phầ
n
Câu
1
1)
3đ
6điể
m
hớng dẫn chấm
Nội dung
Ta có: (a + b + c)3 a 3 b3 c 3
3
= (a + b + c)3 ( a + b ) 3ab( a + b) + c 3 =
3
(a + b + c)3 ( a + b + c ) 3(a + b)c (a + b + c ) 3ab(a + b)
= 3(a + b) [ c(a + b + c) + ab ]
= 3(a + b)(a + c )(b + c )
2)
3đ
Đặt B = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 ,B>0
1
0,
5
1
0,
5
1
Ta có B 2 = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 + 2 (4 + 10 + 2 5 )(4 10 + 2 5 )
B 2 = 8 + 2 16 (10 + 2 5)
B 2 = 8 + 2.
B=
(
(
)
5 1
)
5 +1
2
2
= 6+2 5
= 5 + 1 , Vì B > 0
Vậy A = 5 + 1 5 = 1
/>
0,
5
1
0,
Câu
2
Có a b + c = a b + c
5
1
a b + c + b = a + c a b + c + 2 b(a b + c ) + b = a + c + 2 ac
4điể
m
a = b
b(a b + c) = ac (a b)(b c ) = 0
b = c
Nếu a = b và a, c dơng.Ta có
1 1 1
2 1
+ + = 1 + = 1 2c + a = ac (a 2)(c 1) = 2
a b c
a c
Vì a,b,c nguyên dơng nên ta có các trờng hợp sau:
a 2 = 2 a = 4 = b
a 2 = 1
1)
2)
a =c =3=b
c 1 = 1
c = 2
c 1 = 2
Nếu b = c và b,c dơng.Ta có
1 1 1
1 2
+ + = 1 + = 1 2a + b = ab (b 2)(a 1) = 2
a b c
a b
Vì a,b,c nguyên dơng nên ta có các trờng hợp sau:
b 2 = 2
b 2 = 2 b = 4 = c
1)
a =b=3=c
2)
a 1 = 1
a 1 = 1
a = 2
Vậy các cặp số nguyên dơng (a;b;c) thoả mãn là (3;3;3)
và(2;4;4)và (4;4;2)
Câu
3
8điể
m
A
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là
B
đờng trung trực của đoạn thẳng
E
BD,BD là đờng trung trực của AC.Do
M
vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của
đờng trung trực của đoạn thẳng AB
O
C
với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đI
ờng tròn ngoại tiếp các tam giác
ADB,ABC
K
Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một
điểm E đối xứng với điểm I qua M,
D
Ta có BEAI là hình thoi (vì có hai đờng chéo EI và AB vuông góc với nhau
và cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng)
ã
ã
ã
ã
Ta có BAI = EBA mà BAI + ãABO = 900 EBA
+ ãABO = 900
ã
Xét EBK có EBK
= 900 ,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam
1
1
1
+
=
giác vuông ta có
2
2
BE
BK
BM 2
a
1
1
4
Mà BK = r, BE = BI = R; BM =
Nên 2 + 2 = 2 (Đpcm)
2
R
r
a
0
ã
ã
à
Xét AOB và AMI có AOB = AMI = 90 và A chung
AO AM
AM . AB AB 2
=
AO =
=
AB
AI
AI
2R
BM . AB AB 2
Chứng minh tơng tự ta đợc BO =
=
BK
2r
4
AB
Ta có S ABCD = 2. AO.OB = 2.
4 Rr
Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có
1
1
1
1
1
1
1
1
AOB : AMI
/>
1
1
AB 2 = OA2 + OB 2 =
1
1
1
4R 2 r 2
AB 4 2 + 2 ÷ ⇒ AB 2 = 2 2
4
r
R
R +r
8 R 3r 3
( R 2 + r 2 )2
A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 64n.8 = 51.5n + 8.64n
1
Tõ ®ã ta cã: S ABCD =
C©u
4 (2
®iÓ
m)
n
n
= 59.5n + 8.64n − 8.5n = 59.5
− 5n ) ⇔ A M59
{ + 8.(64
14 2 43
M59
/>
M(64 −5)
1
1
