ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.31 KB, 4 trang )
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN ČM’GAR
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN: TOÁN- THCS
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài số 2
Bài 1. (2,0 điểm)
�
xy x
��
x 1
1��
: 1
Cho biểu thức P �
� xy 1 1 xy
��
�
��
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Cho
xy x
xy 1
x 1 �
�.
xy 1 �
�
1 1 8
. Tìm giá trị lớn nhất của P.
x
y
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho A = n6 n4 2n3 2n2 (với n�N, n > 1). Chứng minh A không phải là số
chính phương.
b) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a 4b �2013 . Chứng minh rằng
phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax 2 4bx 671 9a 0 .
Bài 3. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ
số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4. (1,5 điểm)
�D
� 900 ), có DC = 2AB . Kẻ DH vuông góc với
Cho hình thang vuông ABCD ( A
AC (H�AC) , gọi N là trung điểm của CH. Chứng minh BN vuông góc với DN .
Bài 5. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao
điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D �AC, E �AB)
a) Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh
rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
b) Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng
1
1
1
2
2
DK
DA
DM 2
-------------------------- hết --------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
câu
Bài
a
Gợi ý lời giải
Điểm
xy �1 .
Điều kiện:
xy 1 xy 1 1 xy :
xy 1 1 xy
xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy
xy 1 1 xy
x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy
xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy
P
1
b
0,25
x 1 1 xy
xy x
0,25
0,25
0,25
1 x 1
x y xy
xy
0,25
1
Theo Côsi, ta có: 8 �
x
1
y
2
1
xy
16 .
0,25
1
1 1
x
=
y
=
.
x
y
16
Dấu bằng xảy ra
Vậy: maxP = 9, đạt được khi : x = y =
a
1
xy
0,25
1
.
16
0,25
n n 2n 2n n (n 1) .(n 2n 2)
2
2
2
với n�N , n > 1 thì n 2n 2 (n 1) 1 > (n 1)
6
4
3
2
2
2
2
2
2
2
và n 2n 2 n 2(n 1) < n
2
0,25
0,25
2
2
Vậy (n 1) < n 2n 2< n � n 2n 2 không là số 0, 25
chính phương � đpcm
Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a 4b �2013 (1)
2
b
2,0
0, 25
Chứng
minh
2
rằng
phương
trình
18ax 4bx 671 9a 0 (2)
TH1 : Với a = 0 thì (2) � 4bx 671 0
sau
có
nghiệm:
2
671
4b
2
TH2 : Với a �0, ta có : ' 4b 18a(671 9a) 4b2 6a.2013 162a2
Từ (1) b 0 . Vậy (2) luôn có nghiệm x
0,25
0,25
�4b2 6a(18a 4b) 162a2 4b2 24ab 54a2 (2b 6a)2 16a2 �0,a, b0,25
Vậy pt luôn có nghiệm
0,25
2,0
3
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a , b, c, d 9, a 0
0,25
Ta có: abcd k 2
với k, m N,
(a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m 2 31 k m 100
abcd k 2
abcd 1353 m 2
Do đó: m2–k2 = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123
m+k = 41
m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67
m = 37
hoặc
k = 56
k = 4 ( loại)
Kết luận đúng abcd = 3136
4
Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành � AM // BN (1)
Chứng minh MN AD
Suy ra M là trực tâm của ADN � AM DN (2)
Từ (1) và (2) � BN DN
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
1,5
a
b
Ta có IB AB; CE AB (CH AB)
Suy ra IB // CH
IC AC; BD AC (BH AC)
Suy ra BH // IC
Như vậy tứ giác BHCI là hình bình hành J trung điểm BC
J trung điểm IH
Vậy H, J, I thẳng hàng
� AIB
� 1 sdAB
�
Ta có ACB
2
� DEA
�
�
cùng bù với góc DEB
của tứ giác nội tiếp BCDE
ACB
� AIB
� 900 vì ABI vuông tại B
BAI
� AED
� 900 , hay EAK
� AEK
� 900
Suy ra BAI
Suy ra AEK vuông tại K
Xét ADM vuông tại M (suy từ giả thiết)
DK AM (suy từ chứng minh trên).
1
1
1
Như vậy
.
2
2
DK
DA
DM 2
Tổng
Lưu ý:
- Hs có cách giải khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm trên.
- Điểm bài thi là tổng điểm thành phần các bài. Không làm tròn.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2,5
10
