ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (113.6 KB, 4 trang )

Nguyễn Thị Phú – THCS Đặng Lễ - Ân Thi – Hưng Yên

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014
MÔN TOÁN 8
(Thời gian: 150 phút)
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
x  214 x  132 x  54


6
a)
86
84
82
b)

1
1
1
1
 2
 2

x  9 x  20 x  11 x  30 x  13 x  42 18
2

Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: A =
b) Cho

a
b
c


3
b c  a a c  b a b c

a b c
x y z
   1 và    0 .
x y z
a b c

x2 y 2 z 2
Chứng minh rằng : 2  2  2  1 .
a
b
c

Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên
4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (3,0đ).
Cho ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH ( H �BC ) . Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m = AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC

đồng dạng. Tính số đo góc AHM.
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
Bài 5 (1,0đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

GB
HD

BC AH  HC

2010x  2680
.
x2  1

Bài 6 (1,0đ)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo
diện tích bằng số đo chu vi .

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 8
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
x  214 x  132 x  54
a)


6
86

84
82
x  214
x  132
x  54
�
1
2
30
86
84
82
x  300 x  300 x  300
�


0
86
84
82
1
1
1
� (x  300)(   )  0
86 84 82
� x  300
b)

1
1

1
1
 2
 2

x  9 x  20 x  11 x  30 x  13 x  42 18
2

Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ : x  4; x  5; x   6; x  7
Phương trình trở thành :
1
1
1
1



( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18
1
1
1
1
1
1
1







x  4 x  5 x  5 x  6 x  6 x  7 18
1
1
1


x  4 x  7 18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2;
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: A =

a
b
c


3
b c  a a c  b a b c

Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=

yz
xz
xy
;b 
;c 
;
2
2
2
2

Thay vào ta được A=

yz xz xy 1 y x
x z
y z 


 (  )  (  )  (  )
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y 

1
2

Từ đó suy ra A  (2  2  2) hay A 3
b) Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
   1 và    0 . Chứng minh rằng : 2  2  2  1 .
x y z
a b c
a
b
c

Từ :

a b c
ayz+bxz+cxy
  0�
0
x y z
xyz

� ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
   1 � (   )2  1
a b c
a b c
xy xz yz
 2.(   )  1

ab ac bc
cxy  bxz  ayz
2
1
abc

Ta có :

x2 y 2 z2


a 2 b2 c2
x2 y 2 z2
� 2 2 2
a
b
c
2
2
x
y
z2
� 2  2  2  1(dfcm)
a
b
c
Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
�

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần

tìm là

x
(x là số nguyên khác -11)
x  11

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
Theo bài ra ta có phương trình

x 7
(x khác -15)
x  15

x
x  15
=
x  11 x  7

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số 

5
6

Bài 4 (3,0đ).
1. Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
CD CA

(Hai tam giác vuông CDE và

CE CB

CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
� �
Suy ra: BEC
ADC  1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên �
AEB  450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: BE  AB 2  m 2
BM 1 BE 1 AD
 �  � (do BEC : ADC )
BC 2 BC 2 AC
mà AD  AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
 �  �


nên
(do ABH : CBA )
BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE
�
�  1350 � �
Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM
 BEC
AHM  450

2. Ta có:

3

3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
GB AB
AB ED
AH
HD


 ABC : DEC  
 ED // AH  
, mà
GC AC
AC DC
HC
HC
GB HD
GB
HD
GB
HD

�

�

Do đó:
GC HC

GB  GC HD  HC
BC AH  HC

Suy ra:

Bài 5 (1,0đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

2010x  2680
.
x2  1

2010x  2680
x2  1
335x 2  335  335x 2  2010x  3015
335(x  3) 2
=
 335 
�335
x2  1
x2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

A

Bài 6 (1,0đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)

z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2
z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10)

4

ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về