ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (164.8 KB, 5 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI : TOÁN 8
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1: (4 điểm).
�2
2
�x 1
� x 1
�
.�
x 1�
Cho biểu thức: A �
�: x
3 x x 1 �3 x
�
�
�
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2: (4 điểm).
�
�
�
�
n3 (n2 7)2 36n �
M
7 với n�Z .
a) Chứng minh rằng A = �
b) Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè
nguyªn tè.
Câu 3: (4 điểm).
a) Giải phương trình :
1
1
1
1
2
2
x 9 x 20 x 11 x 30 x 13 x 42 18
2
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A=
a
b
c
3
b c a a c b a b c
Câu 4: (6 điểm).
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm
C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại
D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 = AC.BD
b) Chứng minh tam giác AMB vuông
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC
Câu 5: (2 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:
a bc b ca c ab
2 .
bc
ca
a b
Họ và tên thí sinh:.............................................Số báo danh: ................................
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI
CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
KÌ THI NGÀY 12/4/2014
MÔN THI : TOÁN 8
Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không
chấm điểm. Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM
ĐIỂM
Câu 1
�2
�x 1
2
� x 1
�
.�
x 1�
a) A �
�: x
3 x x 1 �3 x
�
�
�
0,5đ
2 ( x 1) 3 x( x 1) � x 1
�2
A�
.
:
�
3x x 1
3x
�
� x
0,5đ
�2 2(1 3x) � x
A�
.
3x
3x �
�
�x 1
0,5đ
x
2x
x 1 x 1
0,5đ
A 2.
b) Với x �0; x ��1 Ta có A
2x
2
2
x 1
x 1
0,5đ
Để A �Z thì (x-1) phải là ước của 2
0,5đ
1 1; 2
Suy ra x α�
Xét từng trường hợp tìm x
Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và kết luận
0,5đ
0,5đ
Câu 2
�
�
�
�
n3 (n2 7) 2 36n �
a) Ta có: A = �
�
�
n( n2 7) 6 �
n( n 2 7) 6 �
n(n3 7n 6)(n3 7n 6)
A n�
�
�
�
�
��
�
n(n3 n 6n 6)(n3 n 6n 6) n �
n(n2 1) 6(n 1) ��
n(n2 1) 6(n 1) �
�
�
�
��
�
�
�
n(n 1) n2 n 6 n 1 n2 n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3
Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp => A M7 với n�Z .
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) b)
P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2
2
2
2
2
= (n - 2n + 2)(n + 2n + 2) = [(n - 1) + 1][(n + 1) + 1].
V× n lµ sè tù nhiªn nªn (n + 1)2 + 1 �2;
Nh vËy muèn P lµ sè nguyªn tè th× ph¶i
cã (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1.
Khi ®ã P = 5 lµ sè nguyªn tè.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3:
a)
x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
0,5đ
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
TXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7
Phương trình trở thành :
1
1
1
1
( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18
0,5đ
�
�
1
1
1
1
1
1
1
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
1
1
1
x 4 x 7 18
� 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
� (x+13)(x-2)=0
0,5đ
Từ đó tìm được x=-13; x=2 (thỏa mãn)
0,5đ
Kết luận
b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. Ta có x, y, z >0
Từ đó suy ra a=
yz
xz
xy
;b
;c
;
2
2
2
Thay vào ta được A=
yz xz x y
2x
2y
2z
1 �y x
x z
y z �
( ) ( ) ( )�
�
2 �x y
z x
z y �
1
2
Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A 3
Câu 4 (6 điểm) Hình vẽ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
D
M
C
N
A
B
O
a) Xét ACO và BOD có
�
� = 900 ;
AB
�
�
� )
(cùng phụ với DOB
COA
ODB
0,5đ
Nên ACO đồng dạng với BOD
=>
0,5đ
AO BD
=> AO.BO = AC.BD
AC BO
0,5đ
0,5đ
mà AO=BO Nên AO2 = AC.BD
b) Xét CMO và OMD có
�
�
= OMD
= 900
CMO
�
�
� )
(cùng phụ với COM
OCM
DOM
0,5đ
=> CMO đồng dạng với OMD =>
CO OM
(1)
OD MD
Mà ACO đồng dạng với BOD =>
CO AO
OD BD
=>
CO OB
(2) (Do AO = OB)
OD BD
Từ (1) và (2) ta có
0,5đ
0,5đ
OM OB
=> tam giác OMD và tam giác OBD đồng
MD BD
dạng
�
�
=> MOD
=> OMD OBD (cạnh huyền , góc nhọn)
BOD
=> OM = OB = OA suy ra tam giác AMB vuông tại M
0,5đ
c) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB)
CN AC
=>
NB BD
mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
Tương tự ta chứng minh AC = CM
Nên
CN CM
=> MN// BD//AC
BN DM
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 5:
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
0,5đ
c + ab = (c + a)(c + b)
do đó:
VT
(a b)(a c) (b a )(b c) (c a)(c b)
bc
ca
a b
0,5đ
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
(a b)( a c ) (b a )(b c)
2(a b)
bc
ca
(a b)( a c ) (c a )(c b)
2( a c )
bc
a b
(b a )(b c) (c a)(c b)
2(b c )
ac
a b
0,5đ
Vậy 2. VT 4(a b c) 4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b
=c=
1
3
0,5đ
