ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.13 KB, 4 trang )
TRƯỜNG THCS BẠCH SAM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - ĐỢT II
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
1
2
5 − x 1 − 2x
+
−
: 2
Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức: C =
2 ÷
1 − x x +1 1 − x x −1
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên.
Bài 2 (2 điểm):
a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 4 − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thức
B ( x) = x 2 − 3 x + 4
b) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
x
y
z
+
+
y+z z+x x+ y
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x, y ,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c
Câu 4(3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt
phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE.
a) Chứng minh ∆ABP vuông cân?
b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ.
Chứng minh H, I, E thẳng hàng?
c) Tứ giác HEKQ là hình gì?
Câu 5 (1 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, ∠ A = 450;
∠ B = 600, chiều cao của hình thang bằng 18m?
…………………………… @ @ @ …………………………
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Bài
1
(2 điểm)
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
2
5 − x 1 − 2x
1
+
−
: 2
2 ÷
1− x x +1 1− x x −1
1 + x + 2(1 − x) − 5 + x ( x − 1)( x + 1)
C = =
. 1− 2x
(1 − x)(1 + x)
0,25 đ
a) Đkxđ: x ≠ ± 1; x ≠
0,5 đ
−2
=
2x −1
b) Tìm giá trò nguyên của x để giá trò của
0,25 đ
biểu thức B là số nguyên?
B có giá trò nguyên khi x là số nguyên thì
−2
có giá trò nguyên
2x −1
0,25 đ
x = 1(loai )
x = 0(TM )
2 x − 1 = 1
2 x − 1 = −1
⇔ 2x – 1 là Ư(2) ⇔
⇔ x = 3 (TM )
2 x − 1 = 2
2
x = −1 (TM )
2 x − 1 = −2
2
Đối chiếu Đkxđ thì có x = 0 hoặc x = hoặc x = thoả
mãn.
0,5 đ
0,25 đ
a) tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
2
( 2điểm) 4
2
x − 3x 3 + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + 4
Ta có:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
a − 3= 0
a =3
Để A( x)MB( x) thì { b+ 4=0 ⇔ { b=−4
b) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
x
y
z
+
+
y+z z+x x+ y
Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c ⇒ x + y + z =
⇒ x=
P=
=
0,5 đ
0,5 đ
−a+b+c
a−b+c
a+b−c
;y=
;z=
2
2
2
a+b+c
2
0,5 đ
−a+b+c a−b+c a+b−c
1
b c
a c
a b
+
+
= ( −1 + + − 1 + + − 1 + + )
2a
2b
2c
2
a a
b b
c c
1
b a
c a
b c
3
(−3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥
2
a b
a c
c b
2
0,25 đ
0,25 đ
Min P =
3
Khi và chỉ khi a = b = c
2
⇔ x=y=z
3
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
( 2điểm)
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
BL.a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
b)Cho
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
a b c
x y z
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng :
x y z
a b c
x2 y2 z 2
+
+ =1.
a 2 b2 c 2
a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
=0
Từ :
x y z
xyz
⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
Ta có :
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2
=1
a
b
c
abc
x2 y2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c
4
a/ CM được ∆BHA = ∆PEA (g.c.g)
A
( 3điểm) ⇒ AB = AP mà = 900 (gt)
E
Vậy ∆BPA vuông cân
b/Ta có : HA = HK
P
I
⇒ H nằm trên đường trung trực của AK
B
C
H
K
Ta có : AE = KE
⇒ E nằm trên đường trung trực của KA
Q
∆PBK vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)
⇒ IK = IP = IB (*)
Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( ∆BPA vuông cân tại A)
⇒ APQB là hình thoi, mà = 900 (gt)
⇒ APQB là hình vuông nên PI = IA(**).
Từ (*) và(**) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của
AK
Vậy H, I, E thẳng hàng.
c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ
mà IK =
PB
AQ
⇒ IK =
2
2
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
∆AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv)
AQ
Mà IK =
(cmt) ⇒ ∆AKQ vuông ở K
2
⇒ AK ⊥ KQ mà AK ⊥ HE (EAHK là hv) ⇒ QK // HE
0.5
Vậy HEKQ là hình thang
5
Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD.
( 1điểm) Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m; ∠ A’AB = 900
∠ DAB = 450 => ∠ A’AD = 450
C
D
B'
A'
Do đó A’AD vuông cân
⇒ A’D = A’A = 18m
A
B
0.25
∠ B’BA = 900; ∠ CBA = 600 => ∠ B’BC = 300
vì thế trong tam giác vuông B’BC
ta có B’C =
BC
. Theo định lí Pi ta go, ta có:
2
B’C2 = BC2 – B’B2
⇒ B’C2 = 4B’C2 – B’B2
⇒ 3B’C2 = B’B2
⇒ B’C =
0.25
B ' B 18
=
(cm)
3
3
Suy ra :
18
18
= 24 −
(cm)
3
3
1
1
18
Vậy SABCD = ( AB + CD ) . A ' A = 42 + 24 − ÷18 ≈ 498, 6 (cm2)
2
2
3
CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 -
0.25
