TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
———————o0o——————–

TIỂU LUẬN

HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT
Môn: Hình học sơ cấp.

Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ĐÔNG
Sinh viên: PHẠM HOÀNG ĐĂNG
NGÔ THỊ HƯƠNG QUỲNH
Lớp: SƯ PHẠM TOÁN K2015

ĐĂKLĂK, 01 - 2018


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Mục lục
I. Sơ lược về hệ tiên đề Hilbert
II. Nội
1.
2.
3.
4.
5.

dung của hệ tiên đề Hilbert
Nhóm I - Các tiên đề về liên thuộc
Nhóm II - Các tiên đề về thứ tự . .
Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau

Nhóm IV - Tiên đề liên tục . . . .
Nhóm V - Tiên đề về song song . .

III.Các dạng bài tập

MỤC LỤC

2

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3
3
5
9
15
15
18

1


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

I.


Sơ lược về hệ tiên đề Hilbert

Nhà toán học Hilbert (người Đức) là người thành công nhất trong lịch sử cải thiện
hệ tiên đề hình học của Euclide. Trong tác phẩm "Cơ sở hình học" xuất bản năm
1989, Hilbert đã đưa ra một hệ tiên đề hoàn thiện và sáng sửa đối với hình học Euclide.
Các khái niệm cơ bản trong hệ này gồm:
- "Điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" (gọi chung là các "đối tượng cơ bản");
- "Thuộc", "ở giữa", "bằng" (gọi chung là các "tương quan cơ bản").
Các tiên đề của hệ này được chia làm năm nhóm:
+ Nhóm I chứa 8 tiên đề về "liên thuộc",
+ Nhóm II chứa 4 tiên đề về "thứ tự"
+ Nhóm III chứa 5 tiên đề về "bằng nhau",
+ Nhóm IV chứa 2 tiên đề về "liên tục",
+ Nhóm V chứa 1 tiên đề về "song song",
Trong bài này, chúng em xin trình bày về Hệ tiên đề Hilbert và một số kết quả
thu được từ hệ tiên đề này thông qua việc trình bày các định lí, bên cạnh đó ở phần
cuối là một số bài tập hình học thường gặp ở THPT mà khi giải ta đã sử dụng các
tiên đề cũng như kết quả được suy ra từ đó.

I. SƠ LƯỢC VỀ HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

2


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

II.
1.

Nội dung của hệ tiên đề Hilbert

Nhóm I - Các tiên đề về liên thuộc

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan "thuộc", có khi gọi là đi qua.
Các tiên đề

I1 . Cho hai điểm A, B bất kỳ bao giờ cũng có một đường thẳng thuộc chúng
I2 . Cho hai điểm A, B phân biệt bao giờ cũng có không quá một đường thẳng thuộc
hai điểm đó.
I3 . Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm không cùng thuộc
một đường thẳng.
I4 . Cho ba điểm A, B, C bất kỳ bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm.
I5 . Cho ba điểm A, B, C bất kỳ bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm.
I6 . Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng thuộc một
mặt phẳng α thì mọi điểm nảo khác thuộc đường thẳng a cũng sẽ thuộc mặt
phẳng α Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm.
I7 . Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một điểm chung thứ hai
nữa.
I8 . Có ít nhất bốn điểm không cùng một mặt phẳng.
Một số kết quả thu được từ nhóm I:
Định nghĩa 1 Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc đường thẳng α thì ta nói
rằng đường thẳnga thuộc mặt phẳng α hoặc mặt phẳng αthuộc đưởng thẳng a.
Định lí 1 (Tương quan giữa hai đường thẳng) Hai đường thẳng phân biệt có không
quá một điểm chung.
Chứng minh: Nếu hai đường thẳng phân biệt có có hai điểm chung thì theo tiên đề 2
chúng phải trùng nhau nghĩa là chúng không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa
và điều này trái giả thiết.

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT


3


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Định lí 2 (Tương quan giữa đường thẳng và mặt phẳng) Một mặt phẳng và một
đường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung.
Chứng minh: Nếu đường thẳng và mặt phẳng có hai điểm chung thì theo tiên đề 6,
đường thẳng đó sẽ thuộc mặt phẳng. Điều này trái với giả thiết và do đó chúng có
nhiều nhất một điểm chung.
Định lí 3 (Tương quan giữa mặt phẳng với mặt phẳng). Nếu hai mặt phẳng có một
điểm chung thì sẽ có một đường thẳng chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng
đó.
Chứng minh: Giả sử hai nặt phẳng (α) và (β ) có một
điểm chung là A.
Theo I7 có 1 điểm chung thứ 2 là B nữa.
Theo I2 có 1 đường thẳng a duy nhất đi qua 2 điểm A, B .
Ta sẽ chứng tỏ đường thẳng a chứa tất cả các điểm chung
của (α), (β ).
Thật vậy giả sử có điểm chung C của (α) và (β ) không
thuộc đường thẳng a. Theo I5 thì không có qua một mặt
phẳng đi qua cả A, B, C nên (α) ≡ (β ) suy ra trái giả
thiết. Điều giả sử sai vậy C phải thuộc đường thẳng a.
Định nghĩa 2
1). Hai đường thẳng được gọi là cắt nhau nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm
chung, và điểm chung đó được gọi là giao điểm của hai đoạn thẳng đã cho.
2). Đường thẳng và mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu nếu đường thẳng và mặt phẳng
chỉ có một điểm chung. Điểm chcung đó gọi là giao điểm của đường thẳng và
mặt phẳng.

3). hai mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu hai mặt phẳng đó chỉ có một đường thẳng
chung và đường thẳng đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước.
Định lí 4 Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó hoặc qua
hai đường thẳng cắt nhau bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng.
Chứng minh: Cho đường thẳng a và A, B thuộc a. Điểm
C không thuộc a. Theo I5 chỉ có duy nhất một mặt phẳng
cùng thuộc ba điểm A, B, C hay qua đường thẳng a và C
bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng.
II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

4


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Định lí 5 Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất ba điểm không thằng hàng.
Chứng minh: Theo I4 mặt phẳng (α) có một điểm A.
Theo I8 có điểm B không thuộc (α).
Theo I3 có điểm C không thuộc đường thẳngAB
Theo I4 có mặt phẳng (ABC), theo I7 (ABC) và (α) có
điểm chung thứ hai là D.
Theo I8 có điểm F không thuộc (ABC ).
Theo I4 có mặt phẳng (BDF ), theo I7 (BDF ) và (α) có
điểm chung thứ hai là E .
Vậy mặt phẳng (α) có ít nhất 3 điểm A, D, E không thẳng
hàng.

2.

Nhóm II - Các tiên đề về thứ tự


Ở đây có thêm tương quan cơ bản "ở giữa".
Các tiên đề

II1 . Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là ba điểm khác nhau cùng
thuộc một đường thẳng và điểm B nằm giữa A và C .
II2 . Cho bất kì hai điểm A, C nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm B trên đường
thẳng AC sao cho C nằm giữa A và B.
II3 . Trong bất kì ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ có quá
một điểm ở giữa hai điểm còn lại.
Định nghĩa 3 Một cặp điểm A và B gọi là một đoạn thẳng. Ký hiệu AB hoặc
BA. Các điểm ở giữa A và B gọi là điểm trong của AB hay thuộc đoạn AB . Hai
điểm A, B gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Tất cả các điểm còn lại của
đường thẳng AB mà không thuộc đoạn thẳng AB và hai đầu mút được gọi là
điểm ngoài của đoạn AB .
II4 . Tiên đề Pát.
Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường thẳng
a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất kì điểm nào trong ba điểm
A, B, C cả. Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó còn có
một điểm chung với đoạn AC hoặc đoạn BC .
Chú ý:
II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

5


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

a) Tiên đề II1 cho biết tương quan "ở giữa" chỉ đặt ra đối với ba điểm khác nhau
thẳng hàng và tương quan này không phụ thuộc vào thứ tự của hai đầu mút.

b) Tiên đề II2 cho biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngoài đoạn AC , nghĩa là mỗi
đoạn thẳng có ít ra một điểm nằm ngoài.
Do tiên đề này ta biết thêm mỗi đường thẳng có ít ra là ba điểm.
c) Tiên đề II3 cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì có nhiều nhất một điểm
nằm giữa hai điểm còn lại.
Các định lí:

Định lí 6 Bất kì một đoạn thẳng AB nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm ở giữa
hai điểm A và B đó.
Chứng minh: Theo I3 có một điểm D ∈
/ A, B .
Theo II2 trên đường thẳng AD có một điểm E sao cho D
ở giữa AvE .
Cũng theo II2 trên đườnng EB có một điểm F sao cho B
nằm giữa E và F .
Theo tiên đề II4 (Tiên đề Pát) đối với ba điểm A, B, E
không thẳng hàng, đường thẳng F D có điểm chung với
đoạn AF tại D nên nó phải có điểm chung với đoạn AB
hoặc EB . Nếu F D có điểm chung với EB thì đường thẳng
EF và F D phải trùng nhau theo I2 và vô lí vì D và E là
hai điểm khác nhau.
Vậy đường thẳng F D phải có một điểm chung C với đoạn
AB . Ta nói F D cắt AB tại C và như vậy C ở giữa A và
B.
Định lí 7 Trong bất cứ ba điểm A, B, C nào trên một đường thẳng bao giờ cũng có
một điểm nằm ở giữa hai điểm kia.

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

6



Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Chứng minh: Giả sử A không ở giữa B và C ; C không ở
giữa A và B . Ta chứng minh rằng B ở giữa A và C .
Theo I3 có một điểm D không thuộc đường thẳng AC .
Theo II2 có một điểm E sao cho D ở giữa B, E .
Áp dụng II4 (Tiên đề Pát),ta có:
Đường thẳng AD đối với ba điểm D, E, C ta có F ở giữa
E và C .
Đường thẳng CD đối với ba điểm A, B, E ta có I ở giữa
A và E .
Đường thẳng CI đối với ba điểm A, F, E ta có D ở giữa
A và F .
Đường thẳng ED đối với ba điểm A, F, C ta có B ở giữa
A và C .
Hệ quả:Với các tiên đề II2 , II3 kết hợp với định lí 6 và 7 ta có:
a). Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng AC ta cũng có những
điểm ở trong và ở ngoài đoạn AC .
b). Với ba điểm trên một đường thẳng bao cũng có một và chỉ một điểm nằm giữa
hai điểm kia.
Định lí 8 Nếu điểm B ở giữa A và C , điểm C ở giữa B và D thì các điểm B và C
đều ở giữa A và D.
Chứng minh: Giả sử C nằm giữa hai điểm A, D (A, D
phân biệt).
Theo I3 có điểm E không thuộc đường thẳng AD
Theo II2 có điểm F sao cho E nằm giữa C, F .
Áp dụng tiên đề II4 cho:
Đường thẳng AE đối với 3 điểm F, B, C ta có I ở

giữa F, B
Đường thẳng F B đối với 3 điểm A, E,D ta có B ở
giữa A, D
Định lí 9 Nếu điểm C ở giữa A và D, điểm B ở giữa A và C thì điểm B ở giữa A
và D và điểm C ở giữa B và D.

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

7


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Chứng minh: Theo tiên đề I3 , có một điểm G không
thuộc đường thẳng AB
Theo tiên đề II2 , trên đường thẳng BG có một điểm
F sao cho G ở giữa B và F .
Áp dụng tiên đề II4 đối với ba điểm A, D, G và đường
thẳng CF suy ra H ở giữa D và G.
Áp dụng tiên đề II4 đối với ba điểm B, D, G và đường
thẳng CF suy ra C ở giữa B và D.
Theo giả thiết ta có B ở giữa A và C ; theo chứng
minh trên ta có C ở giữa B và D. Do đó, áp dụng
định lí 8 ta có B ở giữa A và D.
Định lí 10 Nếu B là một điểm của đoạn thẳng AC thì đoạn AB và đoạn BC đều
thuộc đoạn AC , nghĩa là mỗi điểm của đoạn AB hoặc đoạn BC đều thuộc đoạn AC .
Định lí 11 Nếu B là một điểm của đoạn thẳng AC thì mỗi điểm của đoạn thẳng AC
khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn BC .
Định lí 12 Nếu mỗi điểm B và C đều ở giữa A và D thì mọi điểm của đoạn BC đều
thuộc đoạn AD.

Định lí 13 Mỗi đường thẳng có vô số điểm.
Chứng minh: Theo tiên đề I3 , trên mỗi đường thẳng có ít ra là hai điiẻm A, B . Theo
định lí 6, giữa A và B có ít ra là một điểm C . Cũng theo định lí 6 , giữa A và C có ít
ra là một điểm D. Theo định lí 9 ta suy ra rằng điểm D ở giữa A và C , và đồng thời
D = C . Cứ tiếp tục như vậy thì giữa A và B ta có vô số điểm C, D, E . . .
Mặt khác, theo tiên đề II2 , trên đường thẳng AB có ít nhất một điểm C sao cho B ở
giữa A và C . Cũng theo tiên đề này ta có thêm điểm D sao cho C ở giữa A và D .
Điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AC nên khác với C và tất nhiên cũng khác với B cứ
tiếp tục như vậy thì trên đường thẳng AB ta cũng có vô số điểm nằm ngoài đoạn AB
và C , D , E . . . các điểm này khác nhau và khác với các điểm nằm trong đoạn AB .
Định nghĩa 4 Cho ba điểm O, A, B cùng thuộc một đường thẳng. Nếu điểm O không
ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B ở cùng phía đối với O. Nếu điểm O ở giưa A và
B thì ta nói rằng A và B ở khác phía đối với O.
Định lí 14 Một điểm O của đường thẳng A chia tất cả các điểm còn lại của đường
thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớp
thì ở cùng phía đối với O và bất cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với O.
II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

8


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Định nghĩa 5 Một điểm O trên đường thẳng a chia tập hợp các điểm trên đường
thẳng này ra làm hai lớp (theo định lí 14). Mỗi lớp là một nửa đường thẳng hay một
tia đọc O làm gốc. Hai nửa đường thẳng hay hai tia gọi là bù nhau nếu chúng có
chung gốc và tạo nên một đường thẳng.
Định nghĩa 6 Trên một tia gốc O, điểm A gọi là đi trước điểm B nếu A thuộc đoạn
OB .
Định nghĩa 7 Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng. Khi đó ba

đoạn thẳng AB, BC, CA tạo nên một hình gọi là một tam giác. Các điểm A, B, C gọi
là các đỉnh và các đoạn thẳng AB, BC, CA gọi là các cạnh của tam giác. Trong một
tam giác, một đỉnh và một cạnh không thuộc nhau gọi là một đỉnh và một cạnh đối
diện.
Định lí 15 Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng α chia tất cả các điểm không thuộc a
của α ra hai lớp không rỗng sao cho hai điểm A, B bất kì thuộc hai lớp khác nhau nếu
đoạn AB chứa một điểm của đường thẳng a, còn hai điểm A, A bất kì thuộc cùng một
lớp nếu đoạn AA không chứa điểm nào của a cả.
Định nghĩa 8 Mỗi lớp của mặt phẳng α trong định lí 15 là một nửa mặt phẳng có
đường biên là đường thẳng a. Hai điểm M1 và M2 thuộc cùng một nửa mặt phẳng gọi
là cùng phía đối với đường thẳng a. Hai điểm M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác
nhau gọi là khác phía đối với a.
Định nghĩa 9 Một cặp tia h, k có cùng gốc O gọi là một góc và được kí hiệu là (h, k).
Điểm O gọi là đỉnh và góc tia h, k gọi là cạnh của góc. Nếu A, B là hai điểm lần lượt
lấy trên tia h, k thì ta có thể dùng kí hiệu góc AOB thay cho góc (h, k).
Định lí 16 Nếu A, B là hai điểm nằm trên hai cạnh h, k của một góc thì mọi tia xuất
phát từ gốc O và thuộc miền trong của góc đều cắt đoạn AB . Ngược lại, mọi tia nối
đỉnh của góc với một điểm bất kì của đoạn AB đều thuộc miền trong của góc.

3.

Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan "bằng" của một đoạn thẳng với
một đoạn thằng khác và của một góc với một góc khác.
Các tiên đề

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

9



Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

III1 . Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A bao giờ
cũng có một điểm B sao cho đoạn thẳng A B bằng đoạn thẳng AB và được ký
hiệu là A B = AB .
Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có AB = BA.
III2 . Nếu A B = AB và A B = AB thì A B = A B .
III3 . Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với B ở giữa A và C và ba điểm A , B , C thẳng
hàng với B ở giữa A và C . Nếu AB = A B , BC = B C thì AC = A C .
III4 . Cho một góc (h, k) và một nửa mặt phảng được xác định bởi đường thẳng chứa
tia h . Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chỉ một
tia k cùng gốc với tia h sao cho góc (h, k) bằng góc (h , k ) và được kí hiệu là
(h, k) = (h , k ). Đối với mọi góc (h, k) ta đều có (h, k) = (h, k) và (h, k) = (k, h).
III5 . Cho tam giác ABC và tam giác A B C . Nếu AB = A B , AC = A C và BAC =
B A C thì bao giờ ta cũng có ABC = A B C và ACB = A C B .
Các định lí:

Định lí 17
1). Nếu AB = A B thì AB = B A .
2). Mọi đoạn thẳng AB đều bằng chính nó, nghĩa là AB = AB (phản xạ).
3). Nếu AB = A B thì A B = AB (đối xứng).
4). Nếu AB = A B và A B = A B (bắc cầu).
Chứng minh:
1). Theo giả thiết, AB = A B . Theo tiên đề III1 , ta có B A = A B . Do đó, theo
tiên đề III2 ta có AB = B A .
2). Theo tiên đề III1 , ta có AB = BA và áp dụng phần 1 định lý 17 ta có: AB = AB .
3). Theo phần 2 của định lí 17 ta có A B = A B và theo giả thiết ta có AB = A B .
Do đó áp dụng tiên đề III2 ta có A B = AB .

4). Theo giả thiết A B = A B và theo phần 3 của định lí 17 ta có A B = A B .
Mặt khác theo giả thiết ta có AB = A B và áp dụng tiên đề III2 ta suy ra
AB = A B .

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

10


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Định lí 18 Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên nửa đường thẳng gốc A có duy nhất
một điểm B sao cho A B = AB .
Chứng minh: Ta dùng phản chứng. Giả sử trên nửa đường thẳng gốc A đã cho
trong định lí ta có hai điểm B1 và B2 sao cho A B1 = AB và A B2 = AB . Trên một
nửa đường thẳng khác cũng với gốc A (nhưng nửa đường thẳng này không trùng và
không bù với nửa đường thẳng đã cho lúc đầu) ta lấy một điểm C .
- Xét hai tam giác A CB1 và A CB2 có:
CA B1 = CA B2 (vì mỗi góc luôn bằng chính nó, theo tiên đề III4 ).
A C = A C (theo phần 2 của định lí 17)
A B1 = A B2 (do cách lấy B1 , B2 và do tiên đề III2 ).
Do đó theo tiên đề III5 ta có A CB1 = A CB2 suy ra B1 trùng với B2 (theo tiên đề
III4 ).

Định nghĩa 10 Tam giác ABC được gọi là bằng tam giác A B C nếu AB = A B ,
AC = A C , BC = B C và A = A , B = B , C = C . Ta kí hiệu ∆ABC = ∆A B C .
Định lí 19 Nếu hai tam giác ABC và A B C có AB = A B , AC = A C và A = A
thì tam giác ABC bằng tam giác A B C . (Ta thường kí hiệu trường hợp này là c.g.c)
Chứng minh: Từ giả thiết và theo tiên đề III5 thì ta có ABC = A B C , ACB =
A C B . Ta còn phải chứng minh BC = B C .

Giả sử, ngược lại BC không bằng B C . Theo tiên đề III1 trên tia B C có duy nhất
một điểm D sao cho B D = BC .

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

11


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Khi đó hai tia A C và A D phải khác nhau. Áp dụng tiên đề III5 đối với hai
tam giác ABC và A B D . Có ABC = A B D , AB = A B , BC = B D nên ta có
BAC = B A D . Theo giả thiết ta còn có BAC = B A C .Điều này mâu thuẫn với tính
duy nhất được nói trong tiên đề III4 . Do đó BC = B C
Định lí 20 Nếu hai tam giác ABC và A B C có AB = A B , A = A , B = B thì tam
giác ABC bằng tam giác A B C . (Ta thường kí hiệu trường hợp này là g.c.g)
Chứng minh:
Định lí 21 Nếu tam giác ABC có AC = CB thì CAB = CBA và CBA = CAB .
Chứng minh:
Định nghĩa 11 Tam giác ABC có AC = CB được gọi là tam giác cân tại C .
Hai góc đỉnh A và B của nó (Hai góc này bằng nhau theo định lí 21) được gọi là hai
góc ở đáy của tam giác cân này.
Định lí 22 Giả sử h, k, l là ba tia chung gôc và cùng thuộc một mặt phẳng, và giả sử
h , k , l cũng là ba tia chung gốc và cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu sự sắp xếp của
ba tia h, k, l giống sự sắp xếp của ba tia h , l , k (chẳng hạn khi l thuộc miền trong của
góc (h, k) thì l thuộc miền trong của góc (h , k )) và (h, l) = (h , l ), (l, k) = (l , k ) thì
(h, k) = (h , k ).

Định lí 23 Nếu hai tam giác ABC và A B C có AB = A B , AC = A C , BC = B C
thì tam giác ABC bằng tam giác A B C (Trường hợp này ta thường kí hiệu là c.c.c)

Định lí 24 Nếu ta có (h, k) = (h , k ), (h, k) = (h , k ) thì (h , k ) = (h , k ).
Định nghĩa 12
II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

12


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

a) Hai góc có chung đỉnh và một cạnh, còn các cạnh thứ hai là hai tia bù nhau gọi
là hai góc bù nhau.
b) Hai góc có chung đỉnh còn các cạnh của chúng là các tia bù nhau gọi là hai góc
đối đỉnh.
c) Một góc bằng một góc bù của nó được gọi là góc vuông.
Định lí 25 Nếu hai góc mà bằng nhau thì các góc bù của chúng cũng bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử (h, k) = (h , k ), O và O là các đỉnh của 2 góc đó. Gọi h1 là tia bù
của tia h và h1 là tia bù của tia h . Trên các tia h, k, h1 lần lượt lấy các điểm A, B, C .
Theo tiên đề III3 thì trên các tia h , k , h1 có các điểm lần lượt là A , B , C sao cho
O A = OA, O B = OB và O C = OC (hình dưới)

Xét hai tam giác OAB và tam giác O A B có OB = O B , OA = O A và AOB = A O B
nên theo tiên đề III5 ta có CAB = C A B . Theo định lí 19 ta có AB = A B . Xét hai
tam giác ABC và A B C có AB = A B , CAB = C A B và AC = A C nên theo định
lý 19 ta có ∆ABC = ∆A B C do đó BC = B C . Hai tam giác OBC và O, B C có
các cạnh tương ứng bằng nhau nên theo định lí 23 ta có ∆OBC = ∆O B C , do đó
BOC = B O C hay (k, h1 ) = (k , h1 ).
Định lí 26 Hai góc đối đỉnh bằng nhau.
Chứng minh: Do hai góc đối đỉnh có cùng một góc bù, nên theo định lí 25 suy ra hai
góc đó bằng nhau.
Định lí 27 Tất cả các góc vuông đều bằng nhau

Định lí 28 Một đoạn thẳng có một điểm duy nhất chia nó làm hai đoạn bằng nhau.
Điểm đó được gọi là trung điểm của đoạn thẳng đã cho.

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

13


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Chứng minh. Xét đoạn thẳng AB . Có điểm C không
thuộc đường thẳng AB (Tiên đề I3 ). Theo tiên đề
III4 ta có tia Bx nằm khác phía đối với C sao cho
xBA = CAB . Trên tia Bx ta lấy điểm D sao cho AC
= BD (theo tiên đề III1 ).
∆CAB = ∆DBA (c.g.c) do đó BC = DA từ đó lai
suy ra ∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ra ACO = BDO
suy ra ∆ACO = ∆BDO do đó OA = OB , hơn nữa
theo III4 có duy nhất 1 điểm O. Định lí được chứng
minh.
Định nghĩa 13 Cho hai đoạn thẳng AB và A B . Nếu trên đoạn AB ta có một điểm
C sao cho AC = A B thì ta nói rằng đoạn AB lớn hơn đoạn A B hay đoạn A B bé
hơn đoạn AB .
Ta kí hiệu AB > A B hay A B < AB
Định nghĩa 14 Cho hai góc (h, k) và (h , k ). Nếu xuất phát từ gốc O của góc (h, k)
ta có một tia l nằm trong góc đó sao cho (h, l) = (h , k ) thì nói rằng góc (h, k) lớn hơn
góc (h , k ) hay góc (h , k ) bé hơn góc (h, k).
Kí hiệu (h, k) > (h , k ) hay (h , k ) < (h, k).
Định lí 29 Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
Chứng minh. Gọi ACm là góc ngoài của ∆ABC


Ta chứng minh ACm > BAC . Trên AC lấy điểm M nằm giữa A và C sao cho
M A = M C (định lí 28). Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho M B = M D (tiên
đề III1 ). ∆M AB và ∆M CD có M A = M C , M B = M D, AM B = CM D (hai góc đối
đỉnh) nên ∆M AB = ∆M CD (c.g.c). Suy ra BAC = ACD. Mà ACD < ACm do tia
CD nằm trong góc ACm. Vậy ACm > BAC .
Tương tự ta chứng minh được ACm > BAC . Định lí được chứng minh.
II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

14


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Định lí 30 Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược
lại đối diện với cạnh lớn hơn có góc lớn hơn.
Chứng minh. Ta chứng minh phần đảo của định lí. Giả
sử tam giác ABC có AB > AC . Trên tia AB lấy điểm C
sao cho AC = AC (tiên đề III1 ). Do đó tam giác ACC
là tam giác cân tại A, và ta có ACC = AC C . Theo định
lí 29 ta có CC A > C BC .
Vì AC < AB nên AC < AB , do đó C nằm giữa A, B suy
ra ACB > ACC , mà ACC > ABC (do ACC = AC C
và do định lí 29 áp dụng vào tam giác BCC ). Do đó
ACB > ABC

Định nghĩa 15 Cho hai tập hợp T và T . Nếu giữa các điểm của hai tập hợp đó có
một liên hệ 1 − 1 (song ánh) sao cho với bất cứ hai điểm A, B nào của T và hai điểm
tương ứng A , B của T ta cũng có AB = A B , thì ta nói rằng có một phép dời hình
f biến T thành T (và phép dời hình đảo ngược f −1 biến T thành T )


4.

Nhóm IV - Tiên đề liên tục

Nhóm này gồm 2 tiên đề, ta kí hiệu chúng là IV1 và IV2
IV1 . (Tiên đề Archimedes) Cho bất kỳ hai đoạn thẳng AB và CD nào bao giờ cũng
tồn tại một số hữu hạn các điểm A1 , A2 , . . . , An thuộc đường thẳng AB sao cho
A1 ở giữa A và A2 ,A2 ở giữa A1 và A3 ,. . . ,An−1 ở giữa An−2 và An , B ở giữa An−1
và An , và sao cho các đoạn AA1 , A1 A2 , . . . , An−1 An đều bằng đoạn CD
IV2 . (Tiên đề Cantor) Cho một dãy vô sô đoạn thẳng A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . . mà
các đầu mút cùng thuộc một đường thẳng a. Nếu dãy các đường thẳng đó thỏa
mãn hai điều kiện dưới dây thì có một điểm X thuộc tất cả các đoạn thẳng của
dãy
1) Mỗi đoạn của dãy chứa các đầu mút của đoạn đi liền sau.
2) Cho trước bất kì đoạn thẳng nào thì cũng có một số tự nhiên n sao cho
đoạn An Bn của dãy bé hơn đoạn thẳng cho trước đó.

5.

Nhóm V - Tiên đề về song song

Định nghĩa 16 Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và không
có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu a, b là hai đường thẳng
song song với nhau ta kí hiệu a b.
II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

15



Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Định lí 31 Cho a, b, c là ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và nếu c cắt
a, b tạo nên hai góc sole trong bằng nhau thì a và b song song với nhau.
Chứng minh. Gọi giao điểm của c với a, b lần lượt
là A và B . Để chứng minh a, b không có điểm chung
ta giả sử ngược lại rằng chúng có điểm O chung.
Khi đó tam giác ABO có góc ngoài aAB bằng với
góc trong OBA không kề với nó điều này trái với
định lí 29. Vậy a, b song song với nhau.
Hệ quả: Trong mặt phẳng hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
thì song song với nhau.
Chứng minh. Vì c tạo với a, b các góc vuông sole trong, mà theo định lí refs các góc
vuông đều bằng nhau từ đó theo định lí 31 a b.
Định lí 32 Qua một điểm không thuộc một đường thẳng cho trước bao giờ cũng có
một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước đó.

Chứng minh. Từ A dựng đường thẳng vuông góc
với a tại H . Từ A dựng đường thẳng b vuông góc
với AH . Theo hệ quả trên ta có a song song với b.
Tiên đề V hay tiên đề về song song
Cho một đường thẳng a bất kì và một điểm A không thuộc a. Khi đó trong mặt
phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a có nhiều nhất là một đường thẳng đi
qua A và không cắt a.
Định lí 33 Hai đường thẳng song song tạo với một cát tuyến sole trong bằng nhau.
Chứng minh. Giả sử đường thẳng c cắt hai đường
thẳng song song a, b lần lượt tại A và B .
Theo định lí 32 qua điểm B có đường thẳng b song
song với a và theo định lí 31 thì c tạo với a và b
các góc sole trong bằng nhau. Theo tiên đề V thì b

trung với b.
Định lí 34 Trong mỗi tam giác tổng các góc bằng hai góc vuông.

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

16


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Chứng minh. Xét tam giác ABC . Gọi d là đường
thẳng đi qua C và song song với AB . Lấy trên d
một điểm M sao cho M và A ở về hai phía khác
nhau đối với đường thẳng BC . Lấy trên d một điểm
N sao cho N và B ở về hai phía khác nhau đối với
đường thẳng AC .
Theo định lí 33 thì BAC = N CA, ABC = M CB . Do
đó ABC + BAC + ACB = M CB + N CA + ACB = 2
vuông.

II. NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

17


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

III.

Các dạng bài tập


Bài tập 1 Cho tứ diện S.ABC . Trên cạnh SA lấy điểm M , trên canh SC lấy điểm
N , sao cho M N không song song với AC . CHo điểm O nằm trong tam giác ABC . Tìm
sao điểm của mặt phẳng OM N với các đường thẳng AC , BC và AB .
Bài giải:

Ta có M N cắt AC tại H do đó H ∈ AC , mà H ∈ M N ⊂ (SM N ) do đó {H} =
AC ∩ (OM N ).
Trong mp (ABC): OH ∩ BC = {K}, mà OH ⊂ (OM N ) nên {K} = BC ∩ (OM N ).
Ta có OH ∩ AB = {G}, mà OH ⊂ (OM N ) nên {G} = AB ∩ (OM N )
Bài tập 2 Cho S là một điểm không thuộc mp (ABCD). Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Bài giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có
S ∈ (SBC) ∩ (SBD)
O ∈ BD ⊂ (SBD) và O ∈ AC ⊂ (SAC)

Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC)
và (SBD) là đường thẳng SO.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP

18


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Bài tập 3 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối cảu tia CB lấy điểm D sao
cho CD = BC . Vẽ DE vuông góc với CA tại E . Chứng minh rằng AB = DE .

Bài giải:

Xét ∆ABC vuông tại A và ∆EDC vuông tại E , ta
có BC = CD, ACB = ECD (đối đỉnh).
Do đó ∆ABC = ∆EDC (g.c.g). Do đó AB = DE
Bài tập 4 Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC và một điểm S ở ngoài (α). Gọi
D, E là các điểm thuộc đoạn SA, SB sao cho DE không song song với AB
1) Xác đinh giao tuyến của hai mặt phẳng (CAB) và (CDE);
2) P là một điểm thay đổi trên đoạn SC . Giả sử các đường thẳng P D và P E lần
lượt cắt các đường thẳng CA và CB tại M và N . Chứng minh rằng đường thẳng
M N luôn đi qua mọt điểm cố định.
Bài giải:

1. Theo giả thiết các đường thẳng AB và DE cắt nhau và gọi F là giao điểm của
chúng.
Ta có C ∈ (CAB) ∩ (CDE) và F ∈ (CAB) ∩ (CDE) (theo cách dựng điểm F ) nên
đường thẳng CF chính là giao tuyến của các mặt phẳng (CAB) và (CDE).
2. Ta có M ∈ (CAB) ∩ (P DE) và N ∈ (CAB) ∩ (P DE) (theo cách xác định M N,)
Mặt khác, F là giao điểm của AB và DE nên F ∈ (CAB) ∩ (P DE).
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP

19


Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh

Do đó các điểm M, N, F cùng thuộc một đường thẳng là giao tuyến của các mặt
phẳng (CAB) và (P DE). Suy ra đường thẳng M N luôn đi qua điểm F cố định.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP


20