Sở gd - đt hà nam
Trờng thpt a bình lục
------------------------

SáNG KIếN KINH NGHIệM
ễN TP CHO HC SINH MT S BI TON THC
T CHUN B CHO Kè THI THI TT NGHIP THPT
QUC GIA
NM HC 2016-2017

Cp hc: THPT
Lnh vc: Chuyờn mụn
Mụn: Toỏn

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng
Chc v: Giỏo viờn

Thỏng 3 nm 2017
MC LC

Trang

Trang 1


I-

Lý do chọn đề tài

II-

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2
3

1. Cơ sở lí luận

3

2. Cơ sở thực tiễn

3

3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

5

A. Dạng bài toán liên quan đến chuyển động

5

B. Dạng toán ứng dụng tìm GTLN-GTNN trong
các lĩnh vực kinh tế, sinh học hóa học, địa lí …

11

C . Dạng toán lãi suất

16


D. Dạng toán Áp dụng các công thức của lũy thừa ,logarit…

22

E. Dạng toán ứng dụng trong hình học về diện tích thể tích

28

4. Hiệu quả của việc áp dụng sáng kiến

32

III- Kết luận và kiến nghị

36

1. Kết luận

36

2. Kiến nghị

37

IV- Danh mục tài liệu tham khảo

38

I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lí do chọn đề tài:

Trang 2


Những năm trước đây khi dạy học thì một số bài toán ứng dụng thực tế
trong sách giáo khoa chưa được chú trọng, trong các giờ bài tập thì những bài
tập này chỉ được chữa qua và lượng bài tập rất ít chỉ mang tính tham khảo, giáo
viên chỉ hướng dẫn và học sinh về nhà làm hoặc tự nghiên cứu nên học sinh
cũng không hiểu sâu và hay quên cách làm.
Và thực tế trong các kì kiểm tra và thi 8 tuần hay cuối kì, cuối năm hay
trong các đề thi đại học của những năm trước đây cũng ít ra loại bài tập dạng
này hay có thể nói là không ra bài tập dạng này vì vậy có thể nói là loại bài tập
này hay bị lãng quên trong chương trình học, học sinh ngại làm và giáo viên
cũng ngại chữa.
Trong năm học 2016-2017 theo chủ trương đổi mới của Bộ GDĐT về kì
thi TNTHPT Quốc Gia, mỗi học sinh phải làm ba bài thi bắt buộc là các môn
Toán, Ngữ văn và Ngoại ngữ và một bài thi tổ hợp theo hai ban, trong đó bài thi
môn toán cũng là bài thi trắc nghiệm. Vì là năm đầu tiên bộ môn toán thi hình
thức trắc nghiệm nên các thầy cô giáo và học sinh sẽ gặp nhiều lúng túng trong
việc dạy và học. Đặc biệt là các thầy cô quan tâm đến cấu trúc đề thi ra theo
hình thức như thế nào và nội dung kiến thức có những phần nào để có thể ôn
luyện cho học sinh một cách tốt nhất. Dựa vào hai đề thi minh họa của Bộ ra vào
hai đợt trong tháng 10/2016 và tháng 1/2017 thì kiến thức chủ yếu là nằm trong
chương trình lớp 12, nhưng nội dung các kiến thức khá rộng, yêu cầu học sinh
phải nắm vững và hiểu sâu mọi nội dung lí thuyết trong SGK, trong đó có một
số bài toán thực tế mà nhiều học sinh còn lúng túng không biết cách giải quyết
Vì vậy tôi đã chọn đề tài :’’ Ôn tập cho học sinh cách giải một số bài toán thực
tế ’’ để giúp các em lớp 12 bổ sung thêm kiến thức và bình tĩnh tự tin hơn khi
giải quyết các loại bài tập này trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia.
2. Mục đích nghiên cứu:
Những vấn đề tôi trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm với mục đích làm rõ

cho học sinh một số bài toán thực tế về ứng dụng của đạo hàm, của tích phân,
của lũy thừa và lôgarit .
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Các bài toán ứng dụng trong vật lí về chuyển động, tìm vận tốc gia tốc, tìm
quãng đường , thời gian.
- Các bài toán về tìm GTLN-GTNN của hàm số ứng dụng trong lĩnh vực sinh
học , hóa học ,vật lí , kinh tế ,…
-Các bài toán lãi suất , lãi kép định kì , lãi kép liên tục...

Trang 3


-Các bài toán ứng dụng lũy thừa, mũ và lôga rit trong các lĩnh vực vật lí, hóa
học, sinh học, dân số… hang
-Các bài toán về diện tích và thể tích các hình .
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận giáo dục: Nghiên cứu kiến thức trong chương trình SGK 12
đang lưu hành, sách ôn tập thi TNTHPTQuốc gia và qua sưu tầm một số tài liệu
tham khảo .
- Nghiên cứu thực tiễn giáo dục : Khi giảng dạy cho học sinh trong lớp và theo
dõi học sinh làm bài tập, qua quá trình kiểm tra và đánh giá kết quả thấy được
những vấn đề yếu kém, còn băn khoăn, vướng mắc của học sinh .
5. Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu là các dạng toán ứng dụng thực tế có trong chương trình
SGK và sách bài tập giải tích và hình học lớp 12 .
II- NỘI DUNG
1.Cơ sở lý luận
Nghị quyết số 29 –NQ/TV yêu cầu đổi mới nội dung Giáo dục theo hướng tinh
giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ, nghành nghề, tăng thực
hành vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tăng cường các hoạt động nhằm giúp học

sinh vận dụng kiến thức liên môn vào giải quyết các vấn đề thực tiễn
( Trích dẫn-Tài liệu hội thảo –Đổi mới tổ chức và quản lí hoạt động giáo dục
ở trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh).
Trong SGK lớp 12 các tác giả đã đưa vào khá nhiều vấn đề có tính thực
tiễn như công thức lãi kép, vấn đề tăng dân số và nhiều vấn đề khác trong lĩnh
vực vật lí, hóa học, sinh học…điều đó giúp các em học sinh thấy được những
kiến thức mình học là rất có ích để phục vụ cho cuộc sống và nghề nghiệp sau
này. Tuy nhiên cũng nảy sinh những khó khăn nhất định trong giảng dạy vì các
ví dụ và bài tập thực tiễn thường dài dòng về diễn đạt phức tạp về tính toán và
thường là phải tính gần đúng và sử dụng máy tính.
2. Cơ sở thực tiễn
a. Đặc điểm tình hình đơn vị
Thuận lợi
- Trường THPTA Bình Lục có đội ngũ nhà giáo ổn định, giàu kinh nghiệm , có
tinh thần trách nhiệm cao, tâm huyết với nghề, nhiều thầy cô giáo trẻ nhiệt tình
năng động.

Trang 4


- Tổ chuyên môn Toán – Tin có 15 GV trong đó có 11 đồng chí GV toán , có ba
thầy cô có trình độ thạc sĩ, các thầy cô đều có ý thức học kinh nghiệm và giúp
đỡ lẫn nhau trong công tác chuyên môn.
- Ban giám hiệu luôn quan tâm đôn đốc và chỉ đạo kịp thời các hoạt động
chuyên môn .
- Học sinh đa phần ở khu vực nông thôn, thuần tính và có tinh thần hiếu học.
Khó khăn
- Năm 2016-2017 là năm đầu tiên thực hiện thi trắc nghiệm đối với bộ môn toán
và thi tổ hợp các môn tự chọn đối với kì thi THPT Quốc gia nên học sinh, phụ
huynh và giáo viên nhà trường vẫn còn nhiều băn khoăn lo lắng .

-Còn một bộ phận học sinh học yếu, không có ý thức học tập , rèn luyện .
Kết quả khảo sát học kỳ I bộ môn toán năm học 2016-2017 đối với khối 12
Điểm dưới TB
Điểm trên TB
Số HS
≤ 1,0
>1→<5
5→<7
7→<9 9→<10
TL%
TL%
SL TL% SL TL%
SL TL% SL TL% SL TL%
394

0

74 18.8 18.8

162

41.1 139 35.3 19 4.8

81.2

b. Nhiệm vụ được giao
Năm học 2016-2017 tôi được giao dạy hai lớp toán, trong đó có một lớp toán 12
là lớp 12 A4- ban cơ bản khối A, các em học theo chương trình SGK nâng cao .
- Khi dạy ở trên lớp và chữa một số bài tập dạng ứng dụng thực tế thường có
nhiều học sinh không chú ý và lười không muốn tính toán và suy nghĩ đặc biệt là

những em có lực học TB và yếu, kể cả một số học sinh khá đôi khi cũng nói em
chẳng hiểu gì và ngại làm bài tập loại này, khi thi trắc nghiệm các em chỉ khoanh
bừa . Tôi đã cho kiểm tra thử với hình thức tự luận dạng bài tập này trên lớp
12A4 của tôi dạy thì kết quả ban đầu tương đối thấp.
-Thực tế dựa vào kết quả bài thi học kì 1 do sở GDĐT ra đề, tôi đã khảo sát
nhanh ở tất cả các mã đề , số lượng học sinh trong lớp 12A4 ban cơ bản khối A
do tôi dạy thì tỉ lệ các em làm được câu hỏi dạng này và hiểu vấn đề chứ không
phải khoanh bừa là 30% , còn lại các em đều nói là khoanh bừa chứ không hiểu
dạng này lắm và lúng túng không biết phân tích đề bài.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Từ những nghiên cứu về lí luận và thực tiễn ở trên , tôi xin nêu một số các
biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề như sau:

Trang 5


Tôi dành một số tiết tự chọn và một số ca dạy buổi chiều để ôn tập cho
học sinh dạng toán này .
– Theo tôi các dạng bài tập này thường ở mức độ thông hiểu và vận dụng
thấp nhưng lại gây khó khăn cho học sinh ở bước đọc để hiểu được đề bài , có
những bài phải đọc đi đọc lại một vài lần và phân tích từng từ ngữ mới có thể
nắm được nội dung và định hướng cách giải , nên khi ôn tập cho học sinh dạng
bài tập này GV cũng chỉ nên bám sát với những bài tập đã có trong chương
trình của SGK và sách bài tập.
Trước hết tôi giúp học sinh phân loại và nhận dạng một số các dạng bài
toán thực tế cơ bản đã học trong SGK bằng cách:
+ Nhắc lại một số kiến thức đã học trong chương trình
+ Nêu các ví dụ và hướng dẫn cho học sinh phân tích đề bài để xác
định yêu cầu của đề bài xem sẽ vận dụng những kiến thức nào đã học và
nêu cách giải quyết ( từ những chỗ nào có thể sử dụng máy tính thì yêu cầu các

em sử dụng máy tính để tính cho nhanh)
+ Đưa ra hệ thống bài tập tương tự để học sinh rèn luyện .
A-Các dạng bài toán liên quan đến chuyển động
Nhắc lại kiến thức đã học : Cơ sở là bài toán về sự chuyển động của một
chất điểm (SGK-Đại số và giải tích nâng cao 11/Trang 118)
Xét sự chuyển động của một chất điểm có quãng đường mà nó đi được là một
hàm số s = s(t ) còn gọi là phương trình chuyển động
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp một được phát biểu như sau:
Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0 của chất điểm chuyển động cho bởi
phương trình s=s(t ) bằng đạo hàm bậc nhất của hàm số s=s(t) tại điểm t 0 tức là

v(t0 )  s ,  t0 
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:
Gia tốc tức thời a(t0) của của chất điểm chuyển động cho bởi phương
trình s=s(t ) bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s=s(t) tại điểm t 0 tức là

a(t0 )  s ,,  t0 
( gia tốc tại thời điểm t 0 đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển
động tại thời điểm đó

Trang 6


Ngược lại có bài toán quãng đường đi được của một vật ( SGK giải tích
nâng cao 12/T148) .
Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian v=f(t)
(0b

điểm t=a đến thời điểm t=b là

s�
f  t  dt
a

Vậy cần chú ý cho học sinh nhận dạng nếu bài toán có liên quan đến
chuyển động mà biết quãng đường yêu cầu tìm vận tốc hoặc gia tốc thì là
bài toán về tìm đạo hàm . Nếu bài toán cho biết vận tốc và yêu cầu tìm
quãng đường thì đó là bài toán tìm nguyên hàm hoặc tích phân
1 4
t  3t 2
Ví dụ 1: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= 2
trong đó

t tính bằng giây và S tính bằng m.Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4s
bằng
A .280m/s. B.232m/s.

C.104m/s.

D.116m/s.

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm vận tốc tức thời tai thời điểm nào đó mà biết
phương trình biểu thị quãng đường nên áp dụng đạo hàm.
,
3
vận tốc v(t)= s  2t  6t nên tại thời điểm t = 4s thì vận tốc của chuyển động là

v = 2.43-6.4=104m/s nên chọn phương án C
Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

S= t  3t  4t trong đó t tính bằng giây và S tính bằng m. Gia tốc của chuyển
động tại thời điểm t=2s bằng:
3

2

A .4m/s2.

B.6m/s2 .

C.8m/s2 .

D .12m/s2.

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm gia tốc tức thời tai thời điểm nào đó mà biết
phương trình biểu thị quãng đường nên áp dụng đạo hàm cấp hai.
Ta có s’ = 3t2-6t+4 nên gia tốc a(t) = s’’= 6t-6 nên tại thời điểm t = 2s thì gia tốc
của chất điểm là a = 6.2-6 = 6 m/s2 nên chọn phương án B.
Ví dụ 3.( Đề minh họa lần 2 thi TNTHPTQG) Một vật chuyển động theo quy
1
s   t 3 +9t 2 ,
2
luật
với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển

động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong
khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của
vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).

C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
Trang 7


Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm GTLN của vận tốc mà biết phương trình biểu
thị quãng đường nên ta phải vận dụng đạo hàm để tìm vận tốc và vận dụng bài
toán tìm GTLN-GTNN của hàm số
v  s, 

3 2
t  18t
2
. Do cần tìm GTLN của v(t) trong 10 giây đầu tiên nên

Ta có
cần tìm GTLN của v(t) trên đoạn [0;10] (lúc này học sinh có thể tự làm được là
bài toán tìm GTLN-GTNN trên đoạn )
v,  t   3t  18 � v,  t   0 � t  6

Do v(t) liên tục và v(0)=0; v(10)=30; v(6)=54 nên vmax=54m/s tại t = 6
chọn phương án D.
Ví dụ 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh. sau
khi đạp phanh , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v(t)=-40t+20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt
đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao
nhiêu m?
A.5m.

B.6m .

C.7m.

D.8m.

Hướng dẫn : Bài toán yêu cầu tìm quãng đường khi biết hàm số biểu thị vận tốc
của chuyển động nên áp dụng tích phân, khi đó ta phải xác định được các cận
của tích phân
Lấy mốc thời gian ô tô bắt đầu được phanh là t = 0.
Thời điểm ô tô dừng hẳn thì v(t) = 0 nên -40t+20=0 � 20 = 40t � t= 0,5.Vậy kể
từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là 0,5 s. Vậy trong khoảng thời gian đó ô
0,5

 20  40t  dt   20  20t 
�
2

tô đã di chuyển được quãng đường là s=
thể sử dụng máy tính để tính tích phân) Vậy chọn A.

0,5
0

 5(m)

( có

0

Ví dụ 5: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)=160-10t m/s

Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu m?
A.16m .

B.130m.

C. 170m.

D.45m.

Hướng dẫn: Bài toán yêu cầu tìm quãng đường khi biết hàm số biểu thị vận tốc
của chuyển động nên áp dụng tích phân, khi đó ta phải xác định được các cận
của tích phân. Gọi mốc thời gian vật bắt đầu chuyển động chậm dần đều là t=0
Khi vật dừng hẳn thì vận tốc của vật bằng 0 tức là v =160-10t = 0 � t=16s

Trang 8


16

 160  10t  dt
�

Quãng đường vật di chuyển được trong 16s đầu là S1 = 0

=1280m

( có thể sử dụng máy tính để tính tích phân)
13

 160  10t  dt

�

Quãng đường vật di chuyển được trong 13s đầu là S2 = 0

=1235

( có thể sử dụng máy tính để tính tích phân)
Quãng đường vật di chuyển được trong 3s trước khi dừng hẳn là
S= S1- S2=45m nên chọn D.
Ví dụ 6 (Bài 3.16/SBT giải tích nâng cao 12/T143) Một vật chuyển động với
3
vận tốc v(t) có gia tốc a(t) = t  1 m/s2 .Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s.Vận tốc

của vật sau 10 s là bao nhiêu ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị )
A.

14m/s .

B.13m/s .

C. 11m/s .

D . 12m/s.

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm vận tốc khi biết hàm số biểu thị gia tốc ,hàm số
biểu thị vận tốc là nguyên hàm của của hàm số a(t).
3

vậy

v(t)=

dt
�
t 1

=3ln

t 1

+C.

Gọi mốc thời gian là t = 0 khi vật có vận tốc ban đầu là 6m/s
ta có v(0)= 3ln

1 0

+C= 6 suy ra C=6

� v(t)=3ln t  1 +6.Vậy vận tốc sau 10 giây là v(10)=3ln11+6 � 13m/s ( có thể

sử dụng máy tính để tính ) nên chọn đáp án B.
Ví dụ 7 (Bài 15/SGK giải tích nâng cao 12/T153) Một vật đang chuyển động
với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t)= 3t+t 2 m/s2 .Tính quãng đường
(m) vật đi được trong khoảng thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?
4215
A. 3 .

4320
B. 3

.

4300
C. 3 .

4315
D. 3 .

Hướng dẫn : Đây là bài toán tìm quãng đường khi biết hàm số biểu thị gia tốc
của chuyển động nên là một bài toán tìm nguyên hàm và tích phân
Trước hết ta tìm hàm số biểu thị vận tốc ,nó là nguyên hàm của hàm số
3t 2 t 3
 3t  t  dt = 2  3  C .
biểu thị gia tốc v(t)= �
2

Lấy mốc thời gian t=0 vật có vận tốc ban đầu là 10m/s
Trang 9


3t 2 t 3
  10
Ta có v(0)=10 suy ra C=10 Vậy v(t)= 2 3

Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t=10 s từ lúc bắt đầu tăng
tốc là tích phân của hàm số v(t) với các cận từ t=0 đến t=10
10

S(t) =

3t 2 t 3
4300
(
  10)dt 
�
2 3
3
0

( có thể sử dụng máy tính để tính tích phân)

Vậy chọn C
Ví dụ 8 (Bài tập 16 SG giải tích nâng cao 12/T153): Một viên đạn được bắn
lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s. Gia tốc trọng trường là
9,8 m/s2
Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi viên đạn đạt độ
cao lớn nhất (kết quả làm tròn đên hàng phần trăm)
A.30,47 m.

B.30,84 m.

C .31,16m .

D.31,89m.

Hướng dẫn : Bài toán biết gia tốc tìm quãng đường nên là một bài toán tìm
nguyên hàm và tích phân
Cần chú ý là viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng nên gia tốc của nó
ngược với gia tốc của trọng trường tức là nó có gia tốc a(t)= - 9,8 m/s2

Ta tìm hàm số biểu thị vận tốc nó là nguyên hàm của hàm số biểu thị gia tốc
v(t) = �

9,8dt  9,8t  C

Lấy mốc thời gian t=0 tại thời điểm vật có vận tốc ban đầu là 25m/s thì
v(0) = 25 nên C=25. vậy v(t)= -9,8t+25
Gọi t là thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất và nó bắt đầu rơi xuống đất thì
vận tốc của viên đạn khi đó sẽ bằng 0.vậy v(t)=0 � 9,8t+25=0 � t= 2,55s
Quãng đường viên đạn đi được cho đến khi đạt độ cao lớn nhất là tích phân của
hàm số v(t) với các cận từ t=0 đến t=2,55
2,55

S=

� 9,8t  25 dt �31,89
0

m (có thể sử dụng máy tính để tính tích phân)

nên chọn D.
Nếu câu hỏi là Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi
nó chạm đất thì s= 31,89 x 2=63,78m.
Một số bài tập tương tự rèn luyện kĩ năng

Trang 10


1 4
t  3t 2

Bài 1 . Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= 2
trong đó

t tính bằng giây và S tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t=4s là
A. 280m/s.

B. 232m/s.

C. 140m/s

D. 116m/s

Bài 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= t  3t  9t  27
trong đó t tính bằng giây và S tính bằng m. Gia tốc của chuyển động tại thời
điểm vận tốc bị triệt tiêu là ?
3

A . 8 m/s2 .

B. 6 m/s2 .

C. 24 m/s2 .

2

D. 12 m/s2 .

Bài 3. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
S= 6t  t .Tính thời điểm t giây tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá
trị lớn nhất ?

2

3

A.1s .

B.2s .

C.3s .

D.4s .

Bài 4. Một vật chuyển động theo quy luật s  t -t  1 với t (giây) là khoảng thời
gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được
trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian từ giây thứ 2 đến giây thứ 5, kể từ
lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
3

A. 58m/s.

B .62m/s

C. 65m/s .

2

D. 85m/s .

Bài 5. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian
v(t) =1- sint (m/s). Quãng đường tính bằng m mà vật đi được trong


khoảng thời gian từ thời điểm t=0 (s) đến thời điểm t= 2 s là :


1
A. 2
.


1
B. 2
.

 1
C. 2 .

D.   1 .

Bài 6. Một ô tô đang chạy với vận tốc 18m/s thì người lái xe đạp phanh.sau khi
đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-36t+18 (m/s),
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ
lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn,ô tô còn di chuyển bao nhiêu m?
A.

3,5m.

B. 5,5m .

C. 4,5m .

D. 6,5m.

Bài 7. Một vật đang chuyển động với vận tốc 15m/s thì tăng tốc với gia tốc
a(t)= 4t+t2 m/s2 .Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 s kể từ
lúc bắt đầu tăng tốc ?
A.67,25m.

B. 68,25m.

C.69,75m.

D.70,25m.

Trang 11


Bài 8. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
29,4m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8m/s2
Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi viên đạn đạt
chạm đất ? (kết quả làm tròn đên hàng phần chục)
A. 88,2m.

B. 44,1m . C.22,5m.

D.176,4m.

Bài 9: Một chất điểm chuyển động theo quy luật .
Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t=2.
B. t=3.

C. t=1.
D. t=4.
Bài 10. Một chiếc xe ô tô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận
tốc v = 10t (m/s) ( t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy.
Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận
tốc 20 (m/s)?
A. 10m.
B. 20m.
C. 30m.
D. 40m.
Bài 11: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi
công thức v(t )  5t  1 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được
tính theo đơn vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:
A. 15m .

B. 620m .

C. 51m .

D. 260m .

Bài 12: Một hòn đá rơi tự do từ đỉnh của một vách núi thẳng đứng và chạm vào
mặt đất với vận tốc 98 m/s. Hỏi đỉnh núi cao bao nhiêu mét so với mặt đất ? (lấy
gia tốc rơi tự do bằng 9,8 m/s2)
A. 490 m.
B. 430 m.
C. 400 m.
D. 460 m.
B - Bài toán Tìm GTLN-GTNN ứng dụng trong các lĩnh vực sinh học kinh
tế, hóa học ,vật lý , địa lí…

Ví dụ 1: (Bài tập 23 SGK giải tích nâng cao 12/T23) . Độ giảm huyết áp của
một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x)=0,025x 2(30-x) trong đó x là liều
lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân tính bằng miligam.Tính liều lượng thuốc cần
tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất ?
A. 15mg.

B. 20mg .

C. 30mg .

D. 40mg.

Hướng dẫn:
Đây là bài toán tìm x để hàm số

G  x   0, 75x 2  0, 025x 3

đạt GTLN trên (0; � )

G '  x   1, 5x-0,075x 2

G ' x  0 � x  0

hoặc x=2

Trang 12


Lập BBT của hàm số G(x) trên (0; � ) ta tìm được Max G(x) =G(20)=100
Vậy x=20 .Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: (Bài tập 26 SGK giải tích nâng cao 12/T23) Khi phát hiện một bệnh
dịch các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện
f' t
bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t 2- t3 . Nếu xem   là tốc độ
truyền bệnh người /ngày tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào
ngày thứ :

A. 30 .

B. 20 .

C. 15 .

D. 10.

Hướng dẫn:
Bài toán yêu cầu tìm Max của

f ' t 

trên R đạt tại t = ?

Ta có f '  t  = 90t-3t2 = g(t)
g ' t 

=90-6t =0 khi t=15

Lập vào BBT của g(x) trên R ta có Max g(t) tại t = 15 nên chọn C
Ví dụ 3 : (Bài tập 20 SGK giải tích nâng cao 12 /T22 ). Khi nuôi cá thí ngiệm
trong hồ , một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ

có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n ) = 480-20n gam
Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diên tích mặt hồ để sau một vụ
thu hoạch được nhiều cá nhất ?
A. 12.

B. 13.

C. 14.

D. 15.

Hướng dẫn : Giả sử trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ thả n con cá thì sau
một vụ số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng là
F(n) =n.P(n)= 480n-20n2 gam, bài toán trở thành bài toán tìm n để F(n) đạt giá
0; �
trị LN trên khoảng 

Ta tính đạo hàm F’(n) = 480-40n =0 khi n=12. Lập BBT của F(n) trên  0; � ta
tìm được Max F(n) tại n=12 vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích .
Vậy chọn A.
Ví dụ 4: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một
bệnh nhân, sau thời gian t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân
0, 28t
 0  t  24 
2
đó được xác định theo công thức C(t)= t  4
. Hỏi sau bao nhiêu giờ

thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất ?

Trang 13


A,24 giờ.

B.4giờ.

C.2 giờ.

D.1 giờ.

Hướng dẫn: Bài toán yêu cầu tìm t để hàm số C(t) đạt GTLN trên (0;24)
0, 28  4  t 2 
’

Ta tính đạo hàm của hàm số C(t) được C (t)=

t

2

 4

2

=0 � t=2

Lập BBT của hàm số trên khoảng (0;24) ta tìm được GTLN của C(t) đạt tại t=2
vậy chọn C
Ví dụ 5: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loài

vi khuẩn . Sau t phút , số vi khuẩn được xác định theo công thức
N(t)=1000+30t2 –t3 ( 0 �t �30 )
Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn lớn nhất?
A.10 phút.

B.20 phút.

C.30 phút.

D.40 phút.

Hướng dẫn: Bài toán yêu cầu tìm t để N(t) đạt GTLN trên [0;30]
’
2
�
Ta tính đạo hàm của hàm số C(t) được N (t)=60t-3t =0 t=0 hoặc t=20

N(0)=1000; N(20)=5000; N(30)=1000. Vậy GTLN cuả N(t)=5000 tại t=20 nên
sau 20 phút thì số vi khuẩn lớn nhất , chọn B.
Ví dụ 6: Một công ty sản xuất ra Sản phẩm với giá p đồng /một sản phẩm (đơn
vị là 100.000 ngìn đồng ). Phương trình giá theo nhu cầu tiêu thụ là p=1312-2x
Tổng chi phí cho sản phẩm được tính theo công thức
C(x)=x3-77x2+1000x+100
Số sản phẩm cần sản xuất để công ty có lợi nhuận cao nhất là
A. 52 sản phẩm. B. 53sản phẩm. C. 54sản phẩm . D. 55sản phẩm.
Hướng dẫn: gọi x là số sản phẩm cần sản xuất (x>0) .Số tiền thu được sau khi
bán x sản phẩm là x.p
Số lợi nhuận thu được là f(x)=x.p- C(x) =-x 3+75x2 -312x+100 ( bằng số tiền bán
được trừ số chi phí sản xuất ).
Bài toán trở thành tìm x để f(x) đạt GTLN trên trên (0; � )

Tính đạo hàm của hàm số f(x) , lập BBTcủa hàm số f(x)

trên (0; �) ta tìm

được GTLN của f(x) tại x= 52, chọn A
Ví dụ 7: Một tạp chí được bán với giá 20 ngìn đồng một cuốn ,chi phí cho xuất
bản x cuốn được tính bởi công thức C(x) = 0,0001x 2-0,2x+10000 (đơn vị là
10000 ngìn đồng ). Chi phí phát hành cho mỗi cuốn tạp chí là 4 ngìn đồng .T(x)

Trang 14


T ( x)
là tổng chi phí cho xuất bản và phát hành cho x cuốn tạp chí.Tỉ số M(x) = x

là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí xuất bản x cuốn . Số lượng tạp chí cần
xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất là :
A.1000 cuốn.

B.2000 cuốn.

C.10.000cuốn .

D 100.000cuốn.

Hướng dẫn: Chi phí phát hành là 0,4x
T(x) = 0,4x+C(x)=0,0001x2+0,2x+10000
T ( x)
1000
M(x) = x =0,0001x+0,2+ x

Bài toán trở thành tìm x để M(x) đạt GTNN trên (0; � )
Tính đạo hàm của hàm số M(t) và lập BBT trên (0; � )
ta tìm được GTNN của M(x) tại x=10000 ,chọn C
Ví dụ 8 : Hàng ngày , mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều .Độ
sâu của mực nước là h(m) tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho
t  �
�
�  �
bởi công thức h=3cos �6 3 �+12. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất

A.

t=10.

B .t=11.

C. t=12.

D. t=13.

Hướng dẫn: Bài toán trở thành tìm t để h(t) đạt GTLN trên (0; � )
� t  �

�  �
’
6
h (t) =
sin �6 3 �=0 khi t =10 ,lập BBT tìm được GTLN tại t=10

nên chọn A.
Ví dụ 9 (Bài 4/SGK đại số giải tích nâng cao 12/ T212) .Một xưởng in có 8
máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong 1 giờ .Chi phí để vận hành một máy
trong mỗi lần in là 50 ngìn đồng ,chi phí cho n máy chạy trong một giờ là
10(6n+10) ngìn đồng
Hỏi nếu in 50000 ngìn tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi
nhiều nhất
A . 3 máy.

B. 4 máy.

C. 5 máy.

D. 6 máy .

Hướng dẫn: Gọi x là số máy in cần sử dụng ( x nguyên 1 �x �8 ) thì tổng chi
50000
 6x  10  10  50x
phí để in 50000 tờ quảng cáo là f(x) = 3600x
(ngìn đồng )

Nếu chi phí ít nhất thì lãi thu được sẽ nhiều nhất nên bài toán trở thành tìm x để
f(x) đạt GTNN trên đoạn [1;8]

Trang 15


Ta tính đạo hàm và giải phương trình tìm ngiệm và áp dụng cách tìm GTLNNN tìm được Minf(x) tại x=5 , nên chọn C.
Một số bài tập tương tự rèn luyện kĩ năng
Bài 1. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một quãng đường là 300 km

Vận tốc của dòng nước là 6 km/h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước yên lặng là
v(km/h ) thì năng lương tiêu hao của cá trong t giờ được tính bởi công thức
E(v) = cv3t trong đó c là hằng số , E tính bằng jun . Tìm vận tốc bơi của cá khi
nước đứng yên lặng để năng lượng tiêu hao ít nhất ?
A .5 km/h. B. 6km/h.

C.9km/h . D. 12km/h .

Bài 2.( SBT đại số giải tích nâng cao 12/T26).Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt
độ T ( T nằm giữa 00 và 300 C ) và được cho bởi công thức
V= 999,87-0,06426T + 0,0085043T2 -0,00006T3 (cm3)
Ở nhiệt độ nào nước có khối lượng riêng lớn nhất?
A. 4,5412(0C) . B. 4,234 6(0C) .

C . 3,9665(0C) .

D. 3,8435(0C) .

Bài 3. ( SBT giải tích nâng cao 12/T26). Một công ty bất động sản có 50 căn
hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một
tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mối căn
hộ lên 100.000 đồng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập
cao nhất , công ty đó phải cho thuê căn hộ với giá bao nhiêu một tháng ? khi đó
có bao nhiêu căn hộ được cho thuê?
A. Ccho thuê 35 căn hộ với giá mỗi căn là 2.400.000 đồng.
B. Cho thuê 30 căn với giá mỗi căn là 2.500.000 đồng.
C. Cho thuê 45 căn với mỗi căn là 2.250.000 đồng.
D. Cho thuê 40 căn với giá mỗi căn là 2.300.000 đồng.
Bài 4 :Một công ty nước sạch cần xây một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp , thể
500

tích 3 (m3), đáy có chiều dài gấp đôi chiều rộng . Biết công thanh toán xây dựng là

750.000 đtrên một m2 thành bể hoặc đáy bể . Để chi phí xây bể ít nhất thì chiều cao
thành bể là :
7
A. 3 m.

13
B. 3 m.

10
C. 3 m

11
D. 3 m.

Bài 5. Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức

Trang 16


290, 4v
f(v) = 0,36v  13, 2v  264 ( xe/giây ) trong đó v(km/h) là vận tốc trung
2

bình của các xe khi đi vào đường hầm . Vận tốc trung bình các xe khi vào
đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất là :
A. 27,08km/h. B . 26,05 km/h. C . 25,67km/h . D. 24,14km/h.
C - Dạng bài toán lãi suất
Lãi đơn , lãi kép:

- Khái niệm lãi đơn được hiểu là phần lãi chỉ tính từ vốn gốc ban đầu (lãi
không cộng vào vốn gốc )
Công thức tính lãi đơn như sau: P = A(1+r.N)
với A là tiền gốc ban đầu, r là % lãi suất, n là số kỳ tính lãi (tháng hay quí
hay năm)
Ví Dụ 1 : Một người gửi 5 triệu , lãi suất 1% trên một tháng và lãi không nhập
vào vốn, hỏi sau 6 tháng thu về được bao nhiêu tiền ?
Hướng dẫn: Áp dụng công thức lãi đơn P = 5(1+0,01.6)= 5,3 triệu ( Dùng máy
tính để tính )
-Lãi kép là thể thức tính lãi mà cứ sau mỗi một kì , tiền lãi sẽ được cộng dồn với
phần gốc rồi tính lãi tiếp dựa trên phần gốc mới đó .
Gọi A là số tiền gốc ban đầu, r là % lãi suất , n là số kì tính lãi ( tháng , quý
,năm..)
Sau một kì thì số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là A+A.r =A(1+r)
Sau hai kì thì số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là
A(1+r)+A(1+r)r =A(1+r)(1+r)=A(1+r)2
…………………………………………………………….

Cứ như vậy sau n kì thì số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là A(1+r)n
Ta có Công thức tính lãi kép như sau: P = A(1+r)n
Ví Dụ 2 :Một người gửi 5 triệu đồng , lãi suất 1% trên một tháng theo thể thức
lãi kép , hỏi sau 6 tháng thu về được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ?
Hướng dẫn :Áp dụng công thức lãi kép P =5(1+0,001)6 5,3076 triệu.
- Lãi kép liên tục là thể thức tính lãi theo lãi kép nhưng chia mỗi năm thành m
n.m

� r�
A�
1 �
kì và vẫn giữ nguyên lãi suất mỗi năm . Khi đó P= � m �

Trang 17


Nhưng nếu m � � thì sau n năm số tiền thu được cả gốc lẫn lãi được
tính theo công thức
P = A.enr

Công thức lãi kép liên tục

Ví dụ 3: Với số vốn ban đầu là 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức
lãi kép liên tục, lãi suất 8% mỗi năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả gốc lẫn lãi
là bao nhiêu ?
Hướng dẫn : Áp dụng công thức lãi kép liên tục P=100.e 2.0,08 � 117,351087
triệu đồng ( Dùng máy tính để tính )
Khi làm các bài toán ở dạng này cần đọc kĩ đề bài xem sử dụng công thức
nào và tìm đại lượng nào trong công thức đó ,tìm P,r,n,…ta có thể vận các kiến
thức về lũy thừa, logarit, căn bậc n để tìm các đại lượng đó
Ví dụ 4 : Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu theo thể thức lãi kép với lãi
suất 6,5% trên năm. Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm người đó thu về được ít nhất
100 triệu kể cả vốn lẫn lãi ?
Hướng dẫn : Bài toán Áp dụng công thức lãi kép và tìm n khi biết
A =50 triệu và r = 6,5%
sau n năm, ta có phương trình mũ 100 = 50(1+0,065)n
2 = 1,065n n = log1,065 2 �11,006 . ( Dùng máy tính để tính )
Do n nguyên dương nên chọn n = 12.
Ví dụ 5 : Một người gửi số tiền là 58 triệu đồng theo thể thức lãi kép với kì hạn
1 tháng và sau 8 tháng thu về được 61.329.000 đồng. Hỏi lãi suất hàng tháng là
bao nhiêu ?
A.0,8%.

B. 0,6% .

C.0,5% .

D.0,7%.

Hướng dẫn : Bài toán áp dụng lãi kép biết A=58 triệu , P=61.329.000, n=8
tìm r ?
61,329
�
8
58
Ta có 58.(1+r) =61,329 suy ra r =
0,7% ( Dùng máy tính để tính )
8

nên chọn D.
Ví Dụ 6: Anh Nam mong muốn sau 6 năm sẽ có 2 tỷ đồng để xây nhà . Hỏi anh
Nam phải gửi vào ngân hàng một số vốn là bao nhiêu theo thể thức lãi kép? Biết
lãi suất của ngân hàng là 8% một năm và được giữ nguyên trong 6 năm đó .
A.1.260.339.254.

B.1.265.300.000.

C.1.253.504.312 .

D.1.243.467.432.

Trang 18

Hướng dẫn Bài toán áp dụng công thức lãi kép khi biết P = 2 tỷ, r = 8%, n =6 và
tìm A ?
Ta có 2.000.000.000=A.(1+0,08)6
� A

2.000.000.000

 1  0, 08 

6

 1.260.339.254

( Dùng máy tính để tính ) nên chọn A

 Một số bài toán về lãi suất ở mức độ vận dụng cao hơn cho các em học
sinh có học lực khá, đòi hỏi học sinh phải phân tích kĩ , có suy luận và
tư duy tương đối tốt .
Bài toán 1 . Vay A đồng , lãi suất r% trên tháng. Cứ sau đúng 1 tháng trả x đồng
.Tìm x để sau n tháng trả hết nợ .
Hướng dẫn: Sau mỗi tháng còn nợ số tiền bằng số tiền gốc cộng với số tiền lãi
trừ đi số tiền x đã trả được
Sau tháng thứ 1,còn nợ số tiền là A+A.r-x=A(1+r) - x
Sau tháng thứ 2,còn nợ số tiền là [A(1+r)-x](1+r)-x = A(1+r)2 -[(1+r)+1]x
Sau tháng thứ 3,còn nợ số tiền là {A(1+r)2 –[(1+r)+1]x}(1+r)-x
=A(1+r)3 –[(1+r)2+(1+r)+1]
………………
Sau tháng thứ n còn nợ số tiền là

A(1+r)n-[(1+r)n-1 +(1+r)n-2+…+ 1]x = A(1+r)n - .x
( biểu thức trong ngoặc [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 +... + 1] ta áp dụng công thức tính
tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là U1 =1 và công bội
qn 1  1  r  1  1  r 
U1

r
q=1+r thì S= q  1 1  r  1
n

n

)

Để sau tháng thứ n hết nợ, thì A(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 +... + 1] x = 0
A.r.  1  r 

n

1  r  1
A(1+r) - .x = 0 � x = 
n

n

Ví Dụ 7 ( Đề thi minh họa THPT Quốc gia lần I) . Ông A vay ngân hàng 100
triệu với lãi suất 12%/năm. Ông A muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách :sau
đúng một tháng kể từ ngày vay ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp
cách nhau đúng một tháng ,số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền
nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền x mà ông A phải

trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? (biết rằng lãi suất ngân
hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ )

Trang 19


100  1, 01
3
A.

 1, 01
3
1, 01  1
B. 
triệu đồng
3

3

triệu đồng

100  1,12 

100.1, 03
3
C.
triệu đồng

1,12 
D. 

3

3

1

triệu đồng

Hướng dẫn :Lãi xuất 12% một năm tức là r = 1% một tháng, bài toán đã cho
biết A=100 triệu, r =1%, n = 3 ta phải tìm x

 1, 01
3
x = =  1, 01  1
3

Áp dụng CT trên
Vậy chọn B.

Ví Dụ 8 : Ông Nam vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức
trả lãi góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng . Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng
thứ nhất ông Nam hoàn nợ cho ngân hang 5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa
trả . Hỏi sau bao nhiêu tháng ông Nam trả hết số tiền đã vay ?
Hướng dẫn :
A.r.  1  r 

n

1  r  1

Áp dụng công thức x = 
n

Bài toán đã biết A=300 triệu, r = 0,5% , x=5,6 triệu tìm n ?
Áp dụng CT trên ta rút được n=

log1 r

5, 6
x
log1,005
�62,5
5, 6  300.0, 005
x  A.r =

( Dùng máy tính để tính ). Vì n nguyên dương nên chọn n = 63.
Bài toán 2. Mỗi tháng gửi một số tiền là x đồng vào ngân hàng với lãi suất là r%
theo thể thức lãi kép . Hỏi sau n tháng số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là bao
nhiêu Hướng dẫn :
Sau tháng thứ 1 số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là T1= x+x.r = x(1+r)
Sau tháng thứ 2 số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là
T2 = x(1+r) +T1+T1.r= x(1+r)+T1.(1+r) = x(1+r)+x(1+r)2
Sau tháng thứ 3 số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là
T3= x(1+r) +T2+T2.r = x(1+r)+x(1+r)2 +x(1+r)3
……………………………………….
Sau tháng thứ n số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là
Tn= x(1+r)+x(1+r)2 +x(1+r)3 +…..+x(1+r)n =
Trang 20

n
x  1 r  �
 1  r   1�
�
�
2
3
n
r
= x[(1+r)+(1+r) +(1+r) +…..(1+r) ] =

( biểu thức trong ngoặc [(1+r)+(1+r)2+(1+r)3+…..(1+r)n] ta áp dụng công thức
tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là U 1 =1+r và công
bội q=1+r)
n
x  1 r  �
 1  r   1�
�
�
r
Tn=

Ví dụ 9. Mỗi tháng chị Hà gửi một số tiền đều đặn là 10 triệu đồng vào ngân
hàng với lãi suất 0,3 % một tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau một năm chị Hà
có được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Hướng dẫn :
n
x  1 r  �
 1  r   1�
�

�
r
Áp dụng công thức trên Tn=
với x=10 triệu, r = 0,3% ,

n=12 tháng .Ta có số tiền chị hà có được sau 1 năm là
1, 00312  1
T= 10(1+0.003) 0, 003 � 122.365.934 đồng .

Ví dụ 10: Bạn Minh trúng tuyển vào một trường đại học ,nhưng do gia đình khó
khăn nên bố mẹ Minh quyết định vay ngân hàng chính sách của huyện để Minh
có tiền đóng học phí . Gia đình Minh đã vay trong 4 năm với mỗi năm 3 triệu
đồng với lãi suất 3% /năm . Sau khi tốt nghiệp đại học song Minh ra trường và
đi làm ngay và Minh phải trả lãi góp cho ngân hàng từng tháng với lãi suất
0,25% một tháng và trả trong vòng 5 năm . Hỏi số tiền mà Minh phải trả cho
ngân hàng trong từng tháng là bao nhiêu?(làm tròn kết quả đến hang đơn vị ).
Hướng dẫn :
Áp dụng bài toán 2 ta tính được số tiền sau 4 năm gia đình Minh đã vay tất cả là
n
x  1 r  �
�1  r   1�
�
r
Tn=
với x=3 triệu, r = 0,03% , n=4

3.1, 003.  1, 0034  1
0, 03

T=

=12.972.407 đồng

Áp dụng bài toán 1 ,Số tiền mà Minh phải trả hàng tháng là:
T .r.  1  r 

n

1  r  1
S= 
với T=12.972.407 và r = 0,25% và n=5x12=60 tháng
n

Trang 21


T .0, 0025  1, 0025 

S=

 1, 0025

60

60

1

�232.289 đồng

Một số bài tập tương tự rèn luyện kĩ năng
Bài 1. Một người gửi ngân hàng với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm được
nhập vào vốn .Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu
A.9 năm .

B.10 năm .

C.8 năm .

D.7 năm .

Bài 2. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn
một quý ,với lãi suất 1,655 một quý .Hỏi sau bao lâu người gửi có ít nhất 20
triệu đồng (bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ?(giả sử lãi suất không đổi
A 16 quý .

B.18 quý.

C.17 quý .

D.19quý.

Bài 3. Bà Hoa gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 6% năm theo thể thức
lãi kép .Tính số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm ?(giả sử lãi suất không đổi)
A. 33,8 triệu . B. 32,5 triệu.

C. 31,7 triệu.

D. 30,9 triệu.

Bài 4. Bà nguyên vay ngân hàng 50 triệu đồng và trả góp trong vòng 4 năm với
lãi xuất 1,15% mỗi tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay bà bắt đầu hoàn
nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau . Hỏi mỗi tháng bà
phải trả nợ cho ngân hàng bao nhiêu tiền ?
50  1, 0115 
48
A.

 1, 0115
48
1, 0115   1

B.
48

50 50  1,0115 
1,011548  1
C.

48

50  1, 0115 .1, 0115
48
D.
48

Bài 5. Chị Thanh vay tiền ngân hàng mua nhà 300 triệu đồng và trả góphàng
tháng .Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị trả 5,5 triệu đồng và chịu lãi
suất 0,5 % một tháng cho số tiền chưa trả .Với hình thức hoàn nợ như vậy thì
sau bao lâu chị Thanh sẽ trả hết số nợ của ngân hàng ?

A.75 tháng. B.64 tháng. C.48 tháng .
D.55 tháng.
Bài 6. Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 1,65% mỗi quý .Hỏi sau 2 năm người đó thu về được bao nhiêu tiền cả gốc
lẫn lãi ?
A.10.(1,0165)8.
B.10(0,0165)8 . C.10.(1,165)8 . D.10.(0,165)8.
Bài 7. Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép , kì hạn 1
năm với lãi suất 7, 56% một năm . Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít
nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu? ( giả sử lãi suất không thay đổi)
A. 10 . B. 9.
C. 9,5 .
D. 8.
Bài 8. Anh Hùng mua nhà trị giá 500 trăm triệu đồng theo phương thức trả góp
đều đặn theo tháng .Nếu anh Hùng muốn trả hết nợ trong 5 năm và phải trả lãi

Trang 22


với mức 6% mỗi năm thì mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền ? (làm tròn đến
nghìn đồng)
A.10.834000. B. 9.892.000.
C. 8.333.000.
D. 11869800.
Bài 9: Một người gửi ngân hàng với số tiền là 600 triệu đồng ,với lãi suất 7%
trên năm theo thể thức lãi kép. Hỏi sau 15 năm số tiền người đó thu về cả gốc
lẫn lãi là bao nhiêu ? ( giả sử lãi suất không đổi trong 15 năm đó).
A. 3.435.418.924 .
B. 2.655.418.924 .
C. 1.857.418.924 .

D. 1.655.418.924.
Bài 10. Một người gửi 30 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên
tục với lãi xuất 7 % trên một năm ( giả sử lãi suất không đổi trong vòng 3 năm
đó ). Hỏi sau 3 năm người đó rút cả vốn lẫn lãi được bao nhiêu tiền ? (làm tròn
đến hàng phần chục ).
A. 37 triệu.
B. 37,2 triệu. C. 36,8 triệu.
D. 36 triệu.
Bài 11: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng ,
lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép .Sau đúng 6 tháng , người đó gửi
thêm 100 triệu đồng nữa với kì hạn và lãi suất như trước đó .Tính tổng số tiền
mà người đó nhận được sau một năm gửi ?(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị ) .
A. 210 triệu.
B. 220 triệu .
C. 212 triệu.
D. 216triệu.
D- Bài toán áp dụng các công thức của lũy thừa, mũ và logarit
Nhiều hiện tượng tăng trưởng ( hoặc suy giảm)của tự nhiên và xã hội
,chẳng hạn sự tăng dân số, cũng được tính theo công thức S=A.eNr .Công
thức này còn được gọi là công thức tăng trưởng mũ .
Ví dụ 1 (SGK giải tích 12 nâng cao/T96) Biết rằng năm 2001 ,dân số Việt Nam
là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được
ước tính theo công thức S=A.eNr ( A là dân số của năm lấy làm mốc ,r là tỉ lệ
tăng dân số hằng năm, S là dân số sau N năm) .Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như
vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người ?
A.2014.

B.2015.

C.2016 .

D.2017.

Hướng dẫn : Áp dụng công thức S=A.eNr đã biết A =78685800 và r = 1,7% và
S= 100 triệu người , ta phải tìm N
Nên ta có 100=78,6858.e0,017N
Lấy lôgarit tự nhiên hai về ta được ln100=ln(78,6858.e0,017N)
ln100  ln 78, 6858
�14
0, 017
Suy ra N=
( Dùng máy tính để tính ).vậy đến năm 2015 dân

số nước ta sẽ ở mức 100 triệu người nên chọn B.
Trang 23


Ví dụ 2: Sự tăng dân số của thế giới được ước tính theo công thức S=AeNr
( A là dân số của năm lấy làm mốc, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm,S là dân số
sau N năm) . Biết tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 1,32% . Năm 1998 dân số thế
giới vào khoảng 5926,5 triệu người . Dự đoán dân số thể giới vào năm 2020 là:
A.7786,5 triệu người .

B.7856,3 triệu người.

C.7954,6 triệu người .

D. 7971,6 triệu người.

Hướng dẫn bài toán Áp dụng công thức S=AeNr trong đó đã biết A=5926,5

triệu người, biết r = 1,32%, biết N =2020-1998=22 năm ta phải tìm S
Ta có S= 5926,5.e22.0,0132 = 7971,6 triệu người ( Dùng máy tính để tính )
Nên chọn D.
Ví dụ 3: Theo số liệu của tổng cục thống kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là
90.728.900 người . Biết tỉ lệ tăng dân số sẽ được duy trì khoảng 1,05% và sự
tăng dân số được ước tính theo công thức S=A.e Nr ( A là dân số của năm lấy làm
mốc, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm,S là dân số sau N năm). Với tốc độ tăng như
thế thì vào năm 2030 dân số nước ta là bao nhiêu người?
A.107.232.573. B .107.232.574 .

C.198.049.810. D. 106.118.331.

Hướng dẫn Áp dụng công thức S = A.eNr , đã biết A= 90.728.900 người, và
r=1.05 % ta phải tìm S
Số năm N =2030-2014 =16 năm .Ta có S= 90728900(1+1,05%) 16 =107.232.574
( Dùng máy tính để tính ) nên chọn B.
Ví dụ 4 (Bài tập 45 SGK giải tích 12 nâng cao/T97):Sự tăng trưởng của một
loài vi khuẩn theo công thức S = A.ert .Trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu ,
r là tỉ lệ tăng trưởng ( r>0) t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban
đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con . Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn tăng
gấp đôi ?
A.3giờ 9 phút . B.2 giờ 20 phút.

C.4 giờ 15 phút. D.5 giờ 6 phút.

Hướng dẫn :Từ giả thiết của bài toán ta tìm được tỉ lệ tăng trưởng r
Áp dụng công thức S=A.ert ta có 300=100.e5r

�r 

ln 300  ln100 ln 3

�0, 2197
5
5

Để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi tức là S=200 ,A=100, r=0,2197 ta tìm t
Áp dụng công thức S=A.ert

Trang 24


�
t

ln 200  ln100
0, 2197

ln 2
0, 2197

3,15

giờ= 3 giờ 9 phút( Dùng máy tính để tính ) nên

chọn A
Ví dụ 5 ( Bài tập 46 SGK giải tích 12 nâng cao/T97):Cho biết chu kì bán hủy
của chất phóng xạ plutôni là Pu239 là 24360 năm ( tức là một lượng Pu 239 sau
24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa.Sự phân hủy được tính theo công
thức S= A.ert trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu , r là tỉ lệ phân hủy

hàng năm ( r<0) t là thời gian phân hủy , S là lượng còn lại sau thời gian phân
hủy t. Hỏi 10 gam Pu 239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?
A.80124 năm

B.81213 năm.

C.82015 năm.

D.82235năm.

Hướng dẫn : Trước hết ta tìm tỉ lệ phân hủy hằng năm của Pu
Vì Pu có chu kì bán hủy là 24360 nên áp dụng công thức S= Aert
ta có 5=10.e

r.24360

ln 5  ln10
�2,84543.10 5 �0, 000028
suy ra r = 24360

Vậy 10 gam Pu phân hủy còn 1 gam thì A=10, S=1, r =-0,000028
Ta có 1=10.e-0,000028t
 ln10
�82235
Bấm máy tính t = 0, 000028
(năm) vậy chọn D.

Ví dụ 6: Áp suất không khí P đo bằng milimét thủy ngân , kí hiệu là mmHg suy
giảm so với độ cao x đo bằng mét , tức là P giảm theo công thức
P= P0 .exi trong đó P 0 =760mmHg là áp suất mức nước biển ( x=0) ,i là hệ

số suy giảm. rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71mmHg.
Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu?
A.529,54mmHg B.530,23mmHg.
C.531,15mmHg. D.532,21mmHg.
Hướng dẫn : Trước hết ta phải tìm được hệ số suy giảm I từ công thức
P= P0 .exi trong đó P0 =760mmHg ,P= 672,71 và x= 1000
Ta có 672,71 = 760.e1000i

ln 672, 71  ln 760
�0, 00012
1000
bấm máy tính i =

Áp dụng công thức trên với P0 =760mmHg và x=3000 và i �-0,00012
Thì P �760.e3000.(-0,00012) �530,23mmHg( Dùng máy tính để tính ) Chọn B.
Ví dụ 7 ( Bài 92/SGK giải tích 12 nâng cao/131) Các loài cây xanh trong quá
trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ các bon 14 ( một đồng vị của các

Trang 25