Mnc lnc

Lài cám ơn

1

Lài cam đoan

2

Má đau

3

1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

6

1.1. M®t so không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Không gian các hàm cơ bán . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Không gian các hàm suy r®ng . . . . . . . . . . .

7

1.2. Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Bien đoi Fourier và bien đoi fourier ngưoc
1.2.2.

. . . .

8

Bien đoi Fourier và đao hàm . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Hàm Gauss và Đ%nh lý Plancherel..............................10
1.2.4. Bien đoi Fourier cna các hàm suy r®ng.......................10
2 GIÁI TÍCH THèI GIAN -TAN SO
2.1. Can phái có phân bo thòi gian-tan so . . . . . . . . . . .

i

12
12


2.1.1. Bieu dien mien thòi gian.................................................12
2.1.2.

Bieu dien mien tan so....................................................15


2.2. Công thúc tín hi¾u và nhung đ¾c trưng trong mien xác
đ%nh (t, f )........................................................................17
2.2.1. Nhung mô hình tín hi¾u đưoc dùng trong m¾t
phang thòi gian - tan so (t, f ).....................................17
2.2.2. Giái tích tín hi¾u..............................................................18
2.2.3. Băng thông và thòi gian huu hi¾u................................23
2.2.4. Thành phan đơn và Tín hi¾u đa thành phan . . .

25

2.3. Tan so túc thòi và thòi gian tre...................................................26
2.3.1. Tan so túc thòi..................................................................26
2.3.2. Tan so túc thòi và thòi gian tre......................................28
2.3.3. Tan so túc thòi trung bình và nhóm tre........................30
2.3.4. Giám dư thòi gian, dái tan so đ®ng lnc.......................33
3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG PHÂN BO THèI
GIAN-TAN SO

34

3.1. Phương pháp 1: Phân bo Wigner-Ville.....................................34
3.1.1. Dau hi¾u tan so túc thòi sac canh................................34
3.1.2. Công thúc cna hat nhân tín hi¾u..................................35
3.1.3. Phân bo Wigner...............................................................36
3.1.4. Phân bo Wigner-Ville.......................................................37

ii


3.2. Phương pháp 2: M¾t đ® pho năng lưong bien thiên theo

thòi gian..........................................................................................42
3.2.1. Pho cna quá trình ngau nhiên không dùng...................42
3.2.2. Ưóc lưong pho Wigner-Ville............................................43
3.3. Phương pháp 3: Bien đoi Fourier cúa so...................................45
3.3.1. STFT và ánh pho.............................................................45
3.3.2. Đ® dài cúa so toi ưu cna ánh pho.................................45
3.3.3. STFT so sánh vói bien đoi Gabor..................................46
3.4. Phương pháp 4: Hàm loc cna thòi gian.....................................48
3.4.1. Dãy loc và sonograph......................................................48
3.4.2. Tương đương vói ánh pho..............................................48
3.5. Phương pháp 5: Pho năng lưong túc thòi.................................49
3.5.1. Phân bo trang....................................................................49
3.6. Phương pháp 6: M¾t đ® năng lưong........................................51
3.6.1. M¾t đ® năng lưong phúc cna Rihaczek.......................51
3.6.2. M¾t đ® năng lưong thnc cna Levin...............................53
3.6.3. Các phân bo Rihaczek và Levin cúa so........................53
Tài li¾u tham kháo

55

iii


Lài cám ơn
Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2, dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên
Cưòng, ngưòi thay đã truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quí báu
trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn day báo và đ®ng
viên đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn
trong chuyên môn. Tác giá xin bày tó lòng kính trong và lòng biet

ơn chân thành nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích
cùng vói quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket
thúc tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá trân trong cám ơn Trưòng Cao đang Công nghi¾p Hóa
chat đã tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn
thành tot lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 7 năm 2012
Tác giá
Lê Th% Phong Lan

1


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng. Lu¾n văn
không he trùng l¾p vói đe tài khác.
Hà N®i, tháng 7 năm 2012
Tác giá
Lê Th% Phong Lan


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Hai bieu dien co đien các tín hi¾u là bieu dien theo mien thòi
gian s (t) và bieu dien theo mien tan so S (f ). Trong cá hai bieu
dien này, các bien t và f đang đưoc coi là loai trù nhau: đe có đưoc
bieu dien này thì bieu dien kia phái là bien lay tích phân. Do đó moi

bieu dien co đien tín hi¾u là không đ%a phương hóa đưoc đoi vói bien
kia, túc là bieu dien tan so là trung bình hau khap nơi cna bieu dien
thòi gian và bieu dien thòi gian là trung bình hau khap nơi cna bieu
dien tan so (phép bien đoi Fourier và bien đoi Fourier ngưoc). Đieu
này đòi hói ngành phân tích tín hi¾u phái cái tien ky thu¾t xú lý tín
hi¾u sao cho bieu dien đong thòi bien thòi gian và bien tan so, túc là
vùa phái xú lý đ%a phương hóa đong thòi thông tin ve tín hi¾u cá
theo thòi gian và tan so. Sn phát trien cna lý thuyet hàm và giái tích
hàm là m®t công cu th¾t tot cho vi¾c nghiên cúu và trien khai van đe
nêu trên. Gabor, E.P. Wigner là nhung nhà toán hoc tiên phong trong
vi¾c tìm ra các giái pháp bieu dien thòi gian – tan so m®t cách đong
thòi và đ%a phương hóa đưoc. Đen nay, giái tích thòi gian – tan so đã
tró thành m®t ngành toán hoc đ®c l¾p, là m®t nhánh cna giái tích
đieu hòa, đã đưoc phát trien manh me, có ánh hưóng đen nhieu lĩnh
vnc toán hoc khác. Đoi vói giái tích thòi gian – tan so, thông thưòng
can có m®t so giá thiet đe phù hop vói các úng dung thnc tien. Chính
vì the, đã có nhieu dang bieu dien thòi gian – tan so đưoc thiet


l¾p: bieu dien Wigner, bieu dien Gabor, bieu dien Rihaczek,... Moi
dang bieu dien này đeu xuat phát tù m®t yêu cau cu the nào đó
trong úng dung. Vói mong muon hieu biet sâu hơn ve lý do hình
thành các phân bo thòi gian-tan so kieu như mô tá trên và đưoc sn
đong ý hưóng dan cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng tôi lna chon đe tài
“M®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so” đe thnc
hi¾n lu¾n văn.

2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu giái tích thòi gian-tan so.
Tìm hieu m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan

so.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày ve giái tích thòi gian-tan so.
Trình bày ve m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi giantan so.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu: M®t so phương pháp hình thành phân bo
thòi gian-tan so.
Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u liên quan đen phương pháp
hình thành phân bo thòi gian-tan so.


5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các kien thúc và phương pháp cna giái tích hàm đe tiep
c¾n van đe.

6. NhÑng đóng góp cúa lu¾n văn
Lu¾n văn là m®t công trình nghiên cúu tong quan ve các
phương pháp xây dnng giái tích thòi gian - tan so.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±
Trong lu¾n văn này, chúng ta se sú dung ký hi¾u j là đơn v% áo
trên trưòng so phúc, túc là j2 = −1.

1.1.

M®t so không gian hàm


1.1.1.

Không gian các hàm cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.1. Không gian D (Ω) là không gian gom các hàm∞ ϕ ∈
∞
các hàm trong C (Ω)
0 (Ω) vói khái ni¾m h®i tu sau: dãy {ϕj }
∞
C
0
j=1
đưoc goi là h®i tu đen hàm ϕ0 ∈ C0∞ (Ω) neu
(i) Có m®t t¾p compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K,j = 0, 1, 2, ...
(ii) lim sup |Dαϕj (x) − Dαϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+.
j→∞ x∈Ω

Khi đó ta viet là ϕ = D_ lim ϕj .
j→∞

M¾nh đe 1.1. Không gian D (Ω) là đú.


1.1.2.

Không gian các hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.2. Moi phiem hàm tuyen tính liên tuc f trên D (Ω) đưoc
goi là m®t hàm suy r®ng trên Ω. T¾p tat cá các hàm suy r®ng trên Ω

đưoc kí hi¾u là Dr (Ω). Hàm suy r®ng f ∈ Dr (Ω) tác đ®ng lên moi ϕ
∈ D (Ω) đưoc viet là (f, ϕ).
Hai hàm suy r®ng f, g đưoc goi là bang nhau neu
(f, ϕ) = (g, ϕ) , ∀ϕ ∈ D (Ω) .
Đ%nh nghĩa 1.3. (Đao hàm cúa hàm suy r®ng) Cho f ∈ Dr(Ω), α =
(α1, α2, ..., αn) ∈ Z+n . Đao hàm cap α cna hàm suy r®ng f trong Ω,
kí hi¾u là Dαf , là ánh xa tù D(Ω) vào C đưoc xác đ%nh bói
Dαf : ϕ ›→ (−1)

|α|

(f, Dαϕ) , ϕ ∈ D(Ω).

Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian các hàm khá vi vô han giám nhanh S(Rn)
là t¾p hop
S(Rn)
=

.
.
.
.
ϕ ∈ C∞(Rn)| sup xαDβ ϕ(x) < +∞, α, β ∈ Zn
.
.
+

x∈Rn

cùng vói khái ni¾m h®i tu như sau: Dãy {ϕk}


∞
k=

⊂ S(Rn) đưoc goi là

1
h®i tu tói ϕ ∈ S(Rn) trong S(Rn) neu
.
.
lim sup xαDβ ϕ (x) − xαDβ ϕ(x) = 0, α, β ∈ Zn .
k
.
.
+
k→∞ x∈Rn

Kí hi¾u S_ lim ϕ = ϕ.
k
k→∞

Không gian các hàm khá vi vô han giám nhanh trù m¾t trong
Lp(Rn), 1 ≤ p < ∞.
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho hàm suy r®ng f ∈ D (Rn). Hàm suy r®ng f
r

đưoc goi là hàm suy r®ng tăng ch¾m neu ton tai m ∈ N và so dương
C sao
7



cho

.

(f, ϕ) ≤ C sup (1 + |x| m
2

|Dαϕ(x)| , ∀ϕ ∈ D(Rn).

|α|≤m

)

x∈Rn

T¾p hop các hàm suy r®ng tăng ch¾m f ta goi là không gian các hàm
suy r®ng tăng ch¾m, kí hi¾u là Sr (Rn).
Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m Sr (Rn) là không gian
tat cá các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên S(Rn).
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho fk, f ∈ Sr(Rn), k = 1, 2, ... Dãy
{fk}

∞

k=
1

đưoc goi


là h®i tu trong Sr(Rn) tói hàm f ∈ Sr(Rn), neu
1.

Có m®t so tn nhiên m và so dương C sao cho
|Dαϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C∞(Rn), k ∈ N∗.

2

(fk, ϕ) ™ C sup (1 + |x| )m
.

0

x∈Rn
2.

Dãy {fk}

∞

k=
1

|α|™m
r
n

r

h®i tu trong S (R )tói f . Kí hi¾u: S _ lim


fk = f .

k→∞

Đ%nh lý 1.1. Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m Sr (Rn) là
đay đú.

1.2.

Bien đoi Fourier
Bien đoi Fourier và bien đoi fourier ngưac

1.2.1.

Đ%nh nghĩa 1.7. Neu f ∈ L1 (Rn) thì phép bien đoi Fourier cnaf , kí
∧

hi¾u f hay F (f ), đưoc xác đ%nh bói
¸
−j2πxω
∧
dx, ω ∈ Rn.
f (ω) = f (x)e
Rn

8

(1.1)



Bo đe 1.1. [Riemann-Lebesgue] Neu f ∈ L1 (Rn),
thì
..
..
và lim . ∧f (ω). = 0.
.
|ω|→∞ .

9

∧

f là liên tnc đeu


Đ%nh nghĩa 1.8. Vói x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S(Rn) ta đ%nh nghĩa các
toán tú như sau:
1. Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u Txf là sn d%ch chuyen
thòi gian đưoc xác đ%nh bói Txf (x) = f (t − x).
2. Sn đieu bien theo ω cna f , kí hi¾u Mωf đưoc xác đ%nh bói
Mωf (t) = e2πjωtf (t).
3. Phép đoi hop cna f , ký hi¾u f ∗ đưoc xác đ%nh bói
f ∗ (x) = f (−x).
4. Toán tú đoi xúng cna f , kí hi¾u f˜ đưoc xác đ%nh bói
∼

f (x) = f (−x).
5. Tích ch¾p cna hai hàm f, g ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là f ∗ g và
đưoc

xác đ%nh như sau: (f ∗ g)(x) = ¸ f (y)g(x − y)dy.
Rn
1

Đ%nh nghĩa 1.9. Cho f ∈ L (Rn). Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f ,
ký hi¾u là F −1 f đưoc đ%nh nghĩa bói
¸
−1
F f (x) = f (ω)ej2πxωdω, x ∈ Rn.
Rn
1

∧

n

Đ%nh lý 1.2. Neu f ∈ L (R )
f ∈ L1 (Rn) thì chúng ta có
và
¸
j2πxω
∧
dω, ∀x ∈ Rn.
f (x) = f (ω)e
Rn

Nghĩa là, F và F −1 là các toán tú ngưoc cúa nhau.

1.2.2.


Bien đoi Fourier và đao hàm
Cho m®t đa chí so α = (α1, α2, ..., αd) ∈
Zn
n

+

thông thưòng chúng


ta viet |α| =

.

αi, ω

α

n

Q

=

và Dα =

ω
α
i


i=1

i=1

i

∂ 1
αα
∂x1
1

αn

∂
... ∂x
n
αn

là toán tú đao hàm


riêng, và χαf (x) = xαf (x) là toán tú nhân.
Dùng bien đoi Fourier chúng ta thu đưoc:
∧

(Dαf ) (ω) = (2πjω)
α

α


∧ (ω)

(1.2)

f

∧

∧

và ((−2πjω) f ) (ω) = Dαf (ω)
ho¾c theo kí hi¾u toán tú bên trên thì
α

F D = (2πj)

1.2.3.

|α|

α

α

X F và F X = (

1

|α|


)

DαF.

(1.3)

2π

Hàm Gauss và Đ%nh lý Plancherel

Đ%nh nghĩa 1.10. Hàm
ϕd(x) = e− πx2
a

đưoc goi là hàm Gauss không chuan hoá vói đ® r®ng a > 0 trên Rn.
Bo đe 1.2. (Bien đoi Fourier cúa hàm Gauss) Vói moi a > 0
n

ϕa(ω) = a 2 ϕ 1 (ω)
ˆ
a

∧

Nói riêng trong trưòng hop a = 1, (e−πx2 ) = e−πω2 .
∧

Đ%nh lý 1.3. [Plancherel] Neu f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn)thì "f"L2 = |f |L2
. Do đó F có the mó r®ng tói m®t toán tú unita trên L2(Rn)và thóa
mãn đang thúc Paseval

(f, g) = .

1.2.4.

∧

f,

g∧

.

, ∀f, g ∈ L2(Rn).

Bien đoi Fourier cúa các hàm suy r®ng

Bo đe 1.3. M®t so tính chat cúa phép bien đoi Fourier


.

(i) F ϕ(ξ − h) = F e

jhx

.

ϕ(x) (ξ), ξ, h ∈ Rn, ϕ ∈ S(Rn)

(ii) F (ϕ(x − h))(ξ) = e−jhξ F ϕ(ξ), ξ, h ∈ Rn, ϕ ∈ S(Rn)

(iii) F (ϕ(tx))(ξ) = |t|

−n

ξ

F ϕ( ), t ƒ= 0,ξ ∈ Rn, ϕ ∈ S(Rn)
t

Neu A ∈ GL(Rn) thì F (ϕ(Ax))(ξ) =

(iv)
n

đó, GL(R ) là không gian tat cá các ma tr¾n

1

t

F ϕ((A−1 ) ξ), trong

det
khá Angh%ch

cap n.

Đ%nh nghĩa 1.11. Cho f ∈ Sr(Rn). Bien đoi Fourier cna hàm suy
r®ng
f , kí hi¾u Ff là hàm suy r®ng tăng ch¾m đưoc xác đ%nh bói

(F f, ϕ) = (f, F ϕ) , ϕ ∈ S(Rn)
và bien đoi Fourier ngưoc, kí hi¾u F −1 f , là hàm suy r®ng tăng
ch¾m đưoc xác đ%nh bói
.

F

−1

.

.

f, ϕ = f, F

−1

.

ϕ , ϕ ∈ S(Rn).


Chương 2
GIÁI TÍCH THèI GIAN -TAN SO
2.1.
2.1.1.

Can phái có phân bo thài gian-tan so
Bieu dien mien thài gian
Bieu dien m®t tín hi¾u như m®t hàm cna cá thòi gian và tan so


là rat huu ích và đưoc minh hoa bói 3 tín hi¾u thnc tien quan trong:
1. Tín hi¾u FM hình sin: M®t kênh âm thanh tivi mono xem như
m®t kênh FM radio mono đưoc truyen qua m®t máy phát bien đi¾u
tan so. Neu tín hi¾u audio mono là m®t giai đi¾u tinh khiet cna tan so
(tan so bien đi¾u) thì tan so cna máy phát có dang
fi(t) = fc + fdcos [2πfmt + φ]

(2.1)

trong đó t là thòi gian, fi(t) là bien đi¾u tan so, fε là tan so truyen tái
chính (ho¾c “trung tâm”), fd là đ® l¾ch tan so t®t đính và tính đen φ là
pha cna tín hi¾u bien đi¾u. Biên đ® cna máy phát là hang so.
2. Tín hi¾u FM tuyen tính: Xét m®t tín hi¾u hình sin trong
khoáng thòi gian toàn phan T , vói biên đ® hang so mà tan so tăng
tù f0 tói f0 +B tai m®t tí so hang so α = BT . Neu goc cna thòi gian
đưoc chon sao cho


nhung tín hi¾u bat đau tai t = 0, thì tan so lu¾t bien đi¾u FM đưoc viet
fi(t) = f0 + αt; 0 ≤ t ≤ T.

(2.2)

3. Cau tao âm nhac: M®t not nhac bao gom m®t so “thành phan”
tan so khác nhau, trong so đó tan so thap nhat đưoc goi là cơ bán và
phan còn lai đưoc goi phan bo sung. Chúng xuat hi¾n trong m®t
khoáng thòi gian cu the và có the bien đoi biên đ® trong khoáng này.
Trong ký hi¾u âm nhac hi¾n đai, moi not nhac đưoc kí hi¾u bói m®t
“đau”. V% trí thang đúng cna đau (cùng vói khóa nhac và dau khóa)

đe chí đ® cao cna not nhac đó, nghĩa là tan so cna thành phan cơ bán
cna not. V% trí nam ngang cna “đau” cùng vói các ký hi¾u khác đe
chí thòi gian bat đau và quãng thòi gian not nhac đó đưoc sú dung.
Moi m®t ví du trong ba ví du trên đeu có sn bien thiên ve thòi
gian và bien thiên ve tan so theo thòi gian. Nhung tín hi¾u như the
thưòng đưoc goi là tín hi¾u không dùng.
Đ%nh nghĩa 2.1. Tín hi¾u bieu dien như m®t hàm cna thòi gian, đưoc
viet là s(t). Bieu dien này dan trnc tiep tói năng lưong túc thòi, đưoc
2

viet là |s(t)| , chí năng lưong tín hi¾u đưoc phân bo theo thòi gian như
the nào, năng lưong tín hi¾u toàn phan là
+∞

¸

2

|s(t)| dt.

E =

(2.3)

−∞

Nói chung, mien thòi gian đưoc mô tá có nhung giói han như có
the thay đoi vói ba ví du trên.
1. Tín hi¾u FM hình sin mà tan so thóa mãn phương trình (2.1)
đưoc viet

s (t) = A cos(2πf t +
fd

1

fm

c


sin [2πfmt + φ] + ψ),
(2.4)
trong đó A là biên đ® và ψ là pha bù, phân so

fd
fm

đưoc goi là chí so bien

đi¾u và đ® l¾ch pha toi đa đen 2πfct. Trong phương trình này chưa
nói rõ tan so bien thiên theo thòi gian như the nào.
2. Tín hi¾u FM tuyen tính mà tan so thóa mãn phương trình (2.2)
đưoc viet
s2(t) =
Arect

.

t −
.


T

α

cos .2π .f0t
+

t2 . + ψ . ,

(2.5)

2

2

T
trong đó A là biên đ® và ψ là pha bù. Hàm rect là xung lưong chu nh¾t
có chieu cao đơn v% và khoáng thòi gian đơn v%, đưoc t¾p trung trong
goc cna thòi gian, túc là



rectτ =


1, |τ | ™
1

2


(2.6)

0, còn lai

Vì the nhân tú rect[...] bang 1 trong khoáng 0 ™ t ™ T và bang 0
trong các trưòng hop còn lai. Tuy nhiên lai van không chí rõ
phương trình
(2.5) lai thóa mãn lu¾t FM.
3. Cau tao âm nhac đưoc bieu dien như đưòng cong áp suat
không khí tai 1 điem cu the trong không gian. Moi đưòng cong như the
là m®t áp suat bien thiên theo thòi gian và đưoc thay đoi bói m®t
micrô và máy khuech đai vào tín hi¾u đi¾n có dang s3(t). Ba ví du này
chí ra rang sn bieu dien mien xác đ%nh thòi gian dan đen thông tin m
%t mù ve tan so, vì ta giá thiet rang 2 bien t và f là loai trù lan nhau.


2.1.2.

Bieu dien mien tan so
Tín hi¾u s(t) đưoc bieu dien trong mien xác đ%nh tan so bói bien

đoi Fourier cna nó, cho bói
¸+∞

S(f ) = F {s(t)} ∆
s(t)e−j2πftdt.
t→f =
−∞


(2.7)

Bien đoi Fourier là nói chung hàm phúc, mô đun |S(f )| cna nó goi là
pho đ® lón và pha cna nó goi là pha pho. Bình phương cna mô đun goi
là pho năng lưong và chí năng lưong cna tín hi¾u đưoc phân bo trên
mien xác đ%nh cna tan so, năng lưong toàn b® cna tín hi¾u là
¸+∞

¸+∞
2

|S(f )| df

E =

S(f )S ∗ (f )df

(2.8)

−∞

=
−∞

trong đó dau (∗) bieu th% so phúc liên hop. M¾c dù bieu dien S(f ) là
hàm cna tan so còn bien thòi gian đưoc lay tích phân nhưng bien đoi
Fourier là bieu dien đay đn cna tín hi¾u vì tín hi¾u đưoc khôi phuc lai
nhò sú dung bien đoi Fourier ngưoc:
s(t) = F −1
t→

f

+∞

{S(f )}
=

¸

S(f )ej2πftdt.

(2.9)

−∞

Tuy nhiên, bieu dien theo mien tan so lai “che giau” thông tin ve thòi
gian, vì S(f ) không đe c¾p tói bien t .
Khi nhung bieu dien quy ưóc trong mien thòi gian ho¾c tan so là
không đay đn thì giái pháp rõ ràng là tìm ra m®t bieu dien tín hi¾u như
hàm 2 bien ho¾c hàm suy r®ng mà mien xác đ%nh là không gian 2
chieu (t, f ). Co đ%nh bien t thì giá tr% cna hàm so bieu dien nhung


tan so tai thòi điem t còn co đ%nh bien f thì giá tr% cna hàm so bieu
dien nhung


thòi điem mà tan so f có m¾t. Nhung bieu dien như the goi là bieu
dien thòi gian – tan so.
Bieu dien thòi gian – tan so cna nhung tín hi¾u không dùng có

hi¾u quá không chí ó phát thanh, kháo sát đ%a chan, âm thanh như ó
ba ví du đã mô tá bên trên, mà còn hi¾u quá đoi vói nhieu lĩnh vnc
khoa hoc công ngh¾, chang han trong rada, truyen thông, xú lí tieng
nói, kháo sát y hoc,...
Xú lý tín hi¾u thòi gian – tan so là xú lý m®t tín hi¾u nào đó nhò
bieu dien thòi gian – tan so.
Trong giái tích thòi gian – tan so, nhung tính chat sau đây thưòng
đưoc yêu cau đoi vói bieu dien thòi gian – tan so:
- Bieu dien thòi gian – tan so là thnc (bói năng lưong là thnc);
- Tích phân cna bieu dien thòi gian trên toàn m¾t phang thòi gian
– tan so là năng lưong toàn phan cna tín hi¾u;
- Tích phân trên m®t hình chu nh¾t cna m¾t phang thòi gian –
tan so, tương úng vói dái tan huu han và khoáng thòi gian huu han
xap xí vói năng lưong tín hi¾u mà dái tan trái qua trong khoáng thòi
gian đó, mien là dái tan và khoáng thòi gian là đn lón.


2.2.

Công thNc tín hi¾u và nhÑng đ¾c trưng trong
mien xác đ%nh (t, f )

2.2.1.

NhÑng mô hình tín hi¾u đưac dùng trong m¾t
phang thài gian - tan so (t, f )
Đe bieu dien tín hi¾u như FM tuyen tính, m®t vài kieu mô hình

tín hi¾u thưòng đưoc dùng trong phân tích và xú lý tín hi¾u. Vi¾c
chon mô hình phu thu®c vào so và tham so tn nhiên can đe mô tá tín

hi¾u. Ví du, m®t đưòng hình sin đơn vói tan so hang so và biên đ®
đưoc bình thưòng hóa và pha đưoc mô tá bói
s4(t) = cos2πfct

(2.10)

trong đó chí có tham so là tan so fc. Neu biên đ® và pha có nghĩa trong
úng dung thì hai tham so đưoc sú dung. M®t sn phoi hop tuyen tính
cna nhung tín hi¾u như the có the đưoc viet dưói dang
s5(t) =

M
.

akcos(2πfkt + ψk).

(2.11)

k=1

é đó, hàm s5 chúa tói 3M tham so. Vì s4(t) và s5(t) chúa nhung so
hang (ho¾c “nhung thành phan") là hang so cna biên đ®, tan so và
pha, chúng đưoc mô tá rõ ràng và đay đn nhò bien đoi Fourier. Tuy
nhiên, m®t tín hi¾u FM hình sin ho¾c tín hi¾u nhó lai đòi hói m®t
phân bo thòi gian - tan so. M®t tín hi¾u audio âm nhac cũng đưoc goi
là m®t dang cna phân bo thòi gian - tan so và phân bo thòi gian - tan
so lý giái rõ ràng nhung thành phan b®i. Sn khác nhau đưoc nâng lên
bói nhung tín hi¾u phúc
như


M


s6(t) = (

.

ak(t)e

t

j2π

¸

)dτ
0

k=1

fk (τ

) + ω(t).

(2.12)


trong đó ak(t) là biên đ® bien thiên theo thòi gian cna thành phan thú
k, fk(t) là tan so bien thiên thòi gian cna thành phan thú k, và ω(t) là
tieng on thêm vào. Nhung tín hi¾u như the khi phân tích không chí can

phái phân bi¾t các thành phan bien thiên theo thòi gian tù các thành
phan khác, m¾c dù các biên đ® và tan so bien thiên, mà còn phái tách
chúng khói nhieu. Nhung thành phan như v¾y van đưoc áp dung neu
biên đ® cna thành phan thú k là m®t b®i so cna nhân tú tieng on mk(t),
như trong tín hi¾u
M

s7(t) = (
mk(t)e

.

t

¸

j2π

fk (τ

) + ω(t).

(2.13)

)dτ
0

k=1

2.2.2.


Giái tích tín hi¾u
M®t tín hi¾u s(t) là thnc khi và chí khi
S(−f ) = S∗(f ),

(2.14)

trong đó S(f ) là bien đoi Fourier cna s(t). Nói cách khác, m®t tín hi¾u
thnc là m®t bieu dien Hermite đoi xúng giua nhung tan so dương và
tan so âm. Vì v¾y nhung thành phan tan so âm cna tín hi¾u thnc có
the b% khú tù bieu dien cna m®t tín hi¾u thnc mà không mat thông
tin.
Đ%nh nghĩa 2.2. M®t tín hi¾u z(t) đưoc goi là giái tích neu
Z(f ) = 0 vói f < 0,

(2.15)

trong đó Z(f ) là bien đoi Fourier cna z(t).
Nói cách khác, m®t tín hi¾u giái tích chúa nhung tan so không âm, nó
có the có m®t thành phan pho tai tan so không (DC).
Đ%nh lý 2.1. Tín hi¾u